數(shù)學(xué)模型基本概念

數(shù)學(xué)模型基本概念

《數(shù)學(xué)建模》的重要性

1、科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)模型越來越起到重要作用；

2、《數(shù)學(xué)建?！氛n程建設(shè)在全國各大專院校蓬勃開展；

3、數(shù)學(xué)建模教育有利于學(xué)生解決實際問題綜合能力的提高；

4、我們身邊許多實際問題看起來與數(shù)學(xué)無關(guān)，但通過分析都可用簡捷數(shù)學(xué)方法完美的解決。一、觀測實驗和抽象分析法歐拉多面體問題問題：一般凸的多面體其面數(shù)F、頂點數(shù)V和邊數(shù)E之間有何關(guān)系？對此歐拉具體地觀察了四面體、五面體…結(jié)果如下：幾種簡單的數(shù)學(xué)方法名稱FVE四面體446五面體5（5）5（6）8（9）六面體6（6）8（6）12（10）七面體7（7）7（10）12（15）歐拉猜想F+V-E=2歐拉證明了這一猜想，這便是著名的歐拉定理。說明：1)用觀察、歸納發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)定理（建立模型）是一種重要方法。2）觀察應(yīng)該是大量的，僅憑少量的觀察就去猜想有時會鑄成錯誤。例如：17世紀大數(shù)學(xué)家費爾馬（Fermat.1601-1655年）對公式進行試算：都是素數(shù)費爾馬斷言：“對任意自然數(shù)n，都是素數(shù)?！?，這是著名的費爾馬猜想。相隔近100年后，歐拉算出：不是素數(shù)，后來又有很多人算出n=6.7.8.9.11.12.15.18.23等都不是素數(shù)。二、鴿籠原理鴿籠原理：M+1只鴿子飛進M只籠子里，至少有2只鴿子在同一個籠子里。問題１：在一個邊長為1的正三角形ABC中，一次最多能找到幾個點，使得這些點彼此間的距離大于1/2？方法：在三角形內(nèi)分別以A、B、C為中心，以1/2為半徑作圓弧，將三角形分為四個部分，則根據(jù)鴿籠原理可知，最多可找到四個點，彼此距離大于1/2，例如A、B、C點及三角形的中心這四個點。問題２：能否在8×8的方格表ABCD各個空格中分別填寫1、2、3這三個數(shù)中的任一個，使得每行、每列及對角線AC、BD上的各個數(shù)的和都不相同？為什么？方法：如圖，因為每行、每列及對角線上的數(shù)都是8個,所以8個數(shù)的和最小值是1×8＝8，最大值是3×8=24，共有17個不同的和。而由題意知，每行、每列及對角線AC、BD上各個數(shù)的和應(yīng)有8+8+2=18個，所以根據(jù)鴿籠原理，要想使每行、每列及兩對角線上18個和都不相同是辦不到的。三、估算方法問題：能否將一張紙對折100次？而從地球到太陽也不過1.5億千米。結(jié)論：普通的紙對折100次是無法辦到的。方法：設(shè)紙的厚度為0.05毫米，對折100次后，共有2100層。四、“奇偶校驗”方法問題：鋪瓷磚問題要用40塊方形瓷磚鋪設(shè)如圖所示的地面上，但當(dāng)時商店只有長方形瓷磚，每塊大小等于方形的兩塊。一人買了20塊長方形瓷磚，試著鋪地面，結(jié)果弄來弄去始終無法完整鋪好，你能給解決嗎？方法：在40個方格上黑白相間地染色（思考：發(fā)現(xiàn)了什么？）仔細觀察，發(fā)現(xiàn)共有19個白格和21個黑格。一塊長方形瓷磚可蓋住一白一黑兩格，所以鋪上19塊長方形瓷磚后（無論用什么方式），總要剩下2個黑格沒有鋪，而一塊長方形瓷磚是無法蓋住2個黑格，唯一的辦法是把最后一塊長方形瓷磚一分為二。

某班有49個學(xué)生，坐成7行7列。每個坐位的前后左右的坐位叫做它的“鄰座”，要讓這49個學(xué)生都換到他的鄰座上去，問這種調(diào)換位置的方案能否實現(xiàn)？思考：鄰座問題方法：如果把7行7列的座位轉(zhuǎn)化為7×7的方格表，然后對此7×7的方格表的每一格染上白色或黑色，染色時要滿足相鄰的兩格是不同的顏色。則所謂每個人離開自己的座位坐到鄰座上去即要從白格進入黑色或從黑色進入白格。而實際上圖中的白格為25格而黑色為24格(或者白24黑25)，所以，白格中的人不可能都進入黑色。五、問題的轉(zhuǎn)化處理法問題1：（幾何轉(zhuǎn)化）把一個復(fù)雜的問題，抽象成各種意義下的幾何問題加以解決，這種方法叫做幾何模擬法。幾何模擬法常常在發(fā)現(xiàn)問題解答的同時，也就論證了解答的正確性，這種方法當(dāng)然是數(shù)學(xué)中的一種重要思維方法。分析：本題局限在代數(shù)不等式的范疇不易求證，但將其轉(zhuǎn)化到幾何上，構(gòu)造反映題目要求的幾何模型即容易解決。根據(jù)題意作正三角形△PQR及△NML如圖,所以在6人的集會上，總會有3人互相認識或者互相不認識。如何論證呢？問題2：（幾何轉(zhuǎn)化）于是原問題轉(zhuǎn)化為：在這個6點圖中，必然出現(xiàn)實三角形或虛三角形。方法：把6個人看作平面上的6個點，并分別記作為(i=1.2…6)。若兩人相識，則用實線聯(lián)接此兩點，反之用虛線。而不相識與相識在問題中是對等的，至于其它點的情況類似。于是問題又轉(zhuǎn)化為：在從出發(fā)并有3條實線的6點圖中，必然出現(xiàn)實三角形或虛三角形。其它10種情況類似可證，至此問題得證。則必出現(xiàn)實的三角形，若都不是實線，即在這種情況下結(jié)論是正確的。在圓周上均勻地放上4枚圍棋子，規(guī)定操作規(guī)則如下：原來相鄰棋子若是同色的，就在其間放一枚黑子，若異色就在其間放一枚白子，然后把原來4枚棋子取走，完成這一程序就算是一次操作。證明：無論開始時園周上的黑白棋子的排列順序如何，最多只需操作4次，圓周上就全是黑子。方法：構(gòu)造一個反映題設(shè)要求的賦值模型，可使問題簡化。問題3：（代數(shù)轉(zhuǎn)化）分別化簡為第一次操作后得到的4枚棋子可表示為：第二次操作后得到的4枚棋子可表示為：第三次操作后得到的4枚棋子可表示為：最后都是第四次操作后得到的4枚棋子都是故這4枚棋子的賦值都是1，這表明只需操作4次，圓周上的棋子全是黑子。幾個簡單的實際問題

問題１已知甲桶中放有10000個藍色的玻璃球，乙桶中放有10000個紅色的玻璃球。任取甲桶中100個球放入乙桶中，混合后再任取乙桶中100個球放入甲桶中，如此重復(fù)3次，問甲桶中的紅球多還是乙桶中的藍球多?

怎樣用數(shù)學(xué)方法解決問題1？解：設(shè)甲桶中有x個紅球;

乙桶中有y個藍球因為對藍球來說，甲桶中的藍球數(shù)加上乙桶中的藍球數(shù)等于10000,所以

10000-x+y=10000

解得：x=y

故甲桶中紅球與乙桶中藍球一樣多。

問題2某人早8時從山下旅店出發(fā)沿一條路徑上山，下午5時到達山頂并留宿，次日早8時沿同一路徑下山，下午5時回到旅店，則這人在兩天中的同一時刻經(jīng)過途中的同一地點，為什么？

解法一：

將兩天看作一天，一人兩天的運動看作一天兩人同時分別從山下和山頂沿同一路徑相反運動，因為兩人同時出發(fā)，同時到達目的地，又沿同一路徑反向運動，所以必在中間某一時刻t兩人相遇，這說明某人在兩天中的同一時刻經(jīng)過路途中的同一地點。

怎樣用數(shù)學(xué)方法解決？解法二：

以時間t為橫坐標(biāo)，以沿上山路線從山下旅店到山頂?shù)穆烦蘹為縱坐標(biāo)，從山下到山頂?shù)目偮烦虨閐；

第一天的行程可設(shè)為x=F(t)，則F(t)是單調(diào)增加的連續(xù)函數(shù)，且F(8)=0,F(17)=d；第二天的行程可設(shè)為x=G(t)，則G(t)是單調(diào)減少的連續(xù)函數(shù)，且G(8)=d,G(17)=0.在t時刻:

在坐標(biāo)系中分別作曲線x=F(t)及x=G(t)，如下圖：

則兩曲線必相交于點，即這個人兩天在同一時刻經(jīng)過同一地點。

嚴格的數(shù)學(xué)論正：

令H(t)=F(t)-G(t)

由F(t)、G(t)在區(qū)間[8,17]上連續(xù)，所以H(t)在區(qū)間[8,17]上連續(xù)，又H(8)=F(8)-G(8)=0-d=-d<0

H(17)=F(17)-G(17)=d-0=d>0

由介值定理知在區(qū)間[8,17]內(nèi)至少存在一點使即這人兩天在同一時刻經(jīng)過路途中的同一地點。

這說明在早8點至晚5點之間存在某一時刻

使得路程相等。

通過以上內(nèi)容可以看出，在我們周圍的許多實際問題，甚至有些實際問題看起來好象與數(shù)學(xué)無關(guān)，但通過細致的觀測、分析及假設(shè)，都可以應(yīng)用數(shù)學(xué)方法簡捷和完美的解決。這說明只要善于觀察和分析，數(shù)學(xué)的應(yīng)用是非常靈活和十分廣泛的.模型就是對現(xiàn)實原型的一種抽象或模仿。模型既反映原型，又不等于原型，或者是原型的一種近似。如地球儀這個模型，就是對地球這一原型的本質(zhì)和特征的一種近似和集中反映；一個人的塑像就是這個人的一個模型。什么是數(shù)學(xué)模型？

模型的含義非常廣泛，如自然科學(xué)和工程技術(shù)中的一切概念、公式、定律、理論，社會科學(xué)中的學(xué)說、原理、政策，甚至小說、美術(shù)、表格、語言等都是某種現(xiàn)實原型的一種模型。如：牛頓第二定律就是“物體在力作用下，其運動規(guī)律”這個原型的一種模型（數(shù)學(xué)模型）。１、萬有引力定律：幾個簡單的數(shù)學(xué)模型F:兩個物體之間的引力K:萬有引力常數(shù)m1:物體1的質(zhì)量m2:物體2的質(zhì)量r:兩個物體之間的距離(大小)(r表示徑向矢量)２、冷卻問題將溫度為T。=150℃的物體放在溫度為24℃的空氣中冷卻，經(jīng)10分鐘后，物體溫度降為T=100℃，問t=20分鐘時，物體的溫度是多少？解：設(shè)物體的溫度T隨時間t的變化規(guī)律為T=T(t)則由冷卻定律及條件可得：其中K>0為比例常數(shù)，負號表示溫度是下降的，這就是所要建立的數(shù)學(xué)模型。由于這個模型是一階線性微分方程，很容易求出其特解為由T(10)=100,可定出K≈0.05當(dāng)t=20時3、哥尼斯堡七橋問題18世紀東普魯士的哥尼斯堡城（現(xiàn)俄羅斯加里寧格勒）.該城有一條布勒爾河，它有兩條支流在城中心匯合，河中有一個小島，河上有7座橋，將河中的兩個島和河岸連結(jié)。1).能否不重復(fù)的一次走完七座橋？2).能否不重復(fù)的一次走完七座橋又回到原地？〔歐拉方法〕島A、B和陸地C、D無非都是橋的聯(lián)結(jié)點，因此不妨把A、B、C、D看成4個點，把七橋看成聯(lián)結(jié)這些點的七條線，如圖。

這樣當(dāng)然不改變問題的實質(zhì)，于是一人能否不重復(fù)一次通過七座橋的問題等價于其網(wǎng)絡(luò)圖能否一筆畫成的問題（這是思維的飛躍），此網(wǎng)絡(luò)圖就是七橋問題的數(shù)學(xué)模型。歐拉證明了七橋問題是無解的，并給出了一般結(jié)論：（1）聯(lián)接奇數(shù)個橋的陸地僅有一個或超過兩個以上，不能實現(xiàn)一筆畫。

（2）聯(lián)接奇數(shù)個橋的陸地僅有兩個時，則從兩者任一陸地出發(fā)，可以實現(xiàn)一筆畫而停在另一個陸地。說明：

（1）數(shù)學(xué)模型不一定都是數(shù)學(xué)表達式，如七橋問題的數(shù)學(xué)模型是一個網(wǎng)絡(luò)圖。（3）每個陸地都聯(lián)接有偶數(shù)個橋時，則從任一陸地出發(fā)都能實現(xiàn)一筆畫，而回到出發(fā)點。

（2）歐拉解決七橋問題時，超出了過去解決問題所用數(shù)學(xué)方法的范疇，充分發(fā)揮自己的想象力，用了完全嶄新的思想方法（可稱為幾何模擬方法），從而使問題解決得十分完美，結(jié)論明確而簡捷。由于他的開創(chuàng)性的工作，產(chǎn)生了“圖論”這門學(xué)科，歐拉是人們公認的圖論的創(chuàng)始人。

（3）圖論是一門非常有用的學(xué)科，很多實際問題都可化為圖論問題解決。設(shè)有n個車間位于不同的地點，現(xiàn)擬建一倉庫P，長期向各車間運送原材料和產(chǎn)品，問P應(yīng)建在何處，才能使總運費在一定時期內(nèi)達到最??？4、最佳場址的選擇問題問題變?yōu)閷で驪(x,y)，使C(x,y)達到最小，這便是此問題的數(shù)學(xué)模型。是否還有其它方法？

數(shù)學(xué)模型就是指對于現(xiàn)實世界的某一特定對象，為了某個特定的目的，做出一些必要的簡化和假設(shè)，運用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；它或者能解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實性態(tài)，或者能預(yù)測對象的未來狀況，或者能提供處理對象的最優(yōu)決策或控制等。

數(shù)學(xué)模型的定義建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟（2）現(xiàn)實問題的理想化（3）建立數(shù)學(xué)模型（1）觀察（4）模型求解

（5）模型的分析、驗證

（6）模型的修改

以上步驟也可用下框圖表示：

現(xiàn)實問題簡化假設(shè)

建立模型

模型求解驗證分析模型

合理模型應(yīng)用

不合理

建立數(shù)學(xué)模型應(yīng)注意以下幾點：

（1）分清變量類型，恰當(dāng)使用數(shù)學(xué)工具