微分方程建模(同名437)課件

微分方程建模1微分方程建模1

當(dāng)我們描述實(shí)際對象的某些特性隨時(shí)間（空間）而演變的過程、分析它的變化規(guī)律、預(yù)測它的未來形態(tài)、研究它的控制手段時(shí)。通常要建立對象的動態(tài)模型。

在許多實(shí)際問題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時(shí)，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題。2感謝你的觀看2019年8月21當(dāng)我們描述實(shí)際對象的某些特性隨時(shí)間（空間）而一、數(shù)學(xué)建模的基本思維過程

轉(zhuǎn)化實(shí)際問題

1、對要討論的問題所涉及的重要特征進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)刻畫（轉(zhuǎn)化），即用數(shù)學(xué)語言對問題涉及到的重要特征進(jìn)行表述.2、尋求的實(shí)際問題的文字?jǐn)⑹觯靡恍┰瓌t或定律，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)描述。解數(shù)學(xué)問題用數(shù)學(xué)工具求解得到的數(shù)學(xué)問題。3感謝你的觀看2019年8月21一、數(shù)學(xué)建模的基本思維過程轉(zhuǎn)化實(shí)際問題2、尋求的二、微分方程模型

涉及“改變”、“變化”、“增加”、“減少”、“衰變”、“邊際”、“速度”、“運(yùn)動”、“追趕”、“逃跑”、、、等等詞語的確定性連續(xù)問題。b、微分方程建模的基本手段微元法等a、微分方程建模的對象4感謝你的觀看2019年8月21二、微分方程模型涉及“改變”、“變化

1、尋找改變量一般說來微分方程問題都遵循這樣的文字等式變化率（微商）=單位增加量--單位減少量等式通常是利用已有的原則或定律。c、微分方程建模的基本規(guī)則2、對問題中的特征進(jìn)行數(shù)學(xué)刻畫3、用微元法建立微分方程；4、確定微分方程的定解條件（初邊值條件）；5、求解或討論方程（數(shù)值解或定性理論）6、模型和結(jié)果的討論與分析。5感謝你的觀看2019年8月211、尋找改變量一般說來微分方程問題都遵循這樣的文字對論文的評價(jià)主要以“假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰性”為標(biāo)準(zhǔn)。所以，在論文中應(yīng)努力反映出這些特點(diǎn)。三、

數(shù)學(xué)建模論文的撰寫方法6感謝你的觀看2019年8月21對論文的評價(jià)主要以“假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性論文格式及組成題目摘要，關(guān)鍵詞問題重述模型假設(shè)分析與建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的求解模型檢驗(yàn)(總結(jié)與評價(jià))模型推廣參考文獻(xiàn)附錄（若有）正文7感謝你的觀看2019年8月21論文格式及組成題目模型假設(shè)正文7感謝你的觀看2019年8月21、題目論文題目是一篇論文給出的涉及論文范圍及水平的第一個(gè)重要信息。要求簡短精練、高度概括、準(zhǔn)確得體、恰如其分。既要準(zhǔn)確表達(dá)論文內(nèi)容，恰當(dāng)反映所研究的范圍和深度，又要盡可能概括、精練。8感謝你的觀看2019年8月211、題目論文題目是一篇論文給出的涉及論文范圍及水平的第一個(gè)重2、摘要、關(guān)鍵詞摘要是論文內(nèi)容不加注釋和評論的簡短陳述，其作用是使讀者不閱讀論文全文既能獲得必要的信息。在數(shù)學(xué)建模論文中，摘要是非常重要的一部分。數(shù)學(xué)建模論文的摘要應(yīng)包含以下內(nèi)容：所研究的實(shí)際問題、建立的模型、求解模型的方法、獲得的基本結(jié)果以及對模型的檢驗(yàn)或推廣。論文摘要需要概括、簡練的語言反映這些內(nèi)容，尤其要突出論文的優(yōu)點(diǎn)，如巧妙的建模方法、快速有效的算法、合理的推廣等。一般科技論文的摘要要求不列舉例證，不出現(xiàn)圖、表和數(shù)學(xué)公式，不自我評價(jià)，且字?jǐn)?shù)200以內(nèi)。前幾年，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽要求摘要字?jǐn)?shù)應(yīng)在300字以內(nèi)。但從2001年開始，為了提高論文評選效率，要求將論文第一頁全用作摘要，對字?jǐn)?shù)已無明確限制。在摘要中也可適當(dāng)出現(xiàn)反映結(jié)果數(shù)學(xué)公式。9感謝你的觀看2019年8月212、摘要、關(guān)鍵詞摘要是論文內(nèi)容不加注釋和評論的簡短陳述，其作3、問題重述數(shù)學(xué)建模比賽要求解決給定的問題，所以論文中應(yīng)敘述給定問題。撰寫這部分內(nèi)容時(shí)，不要照抄原題，應(yīng)把握問題的實(shí)質(zhì)，再用較精練的語言敘述問題。10感謝你的觀看2019年8月213、問題重述10感謝你的觀看2019年8月214、模型假設(shè)建模時(shí)，要根據(jù)問題的特征和建模目的，抓住問題的本質(zhì)，忽略次要因素，對問題進(jìn)行必要的簡化，做出一些合理的假設(shè)。模型假設(shè)部分要求用精練、準(zhǔn)確的語言列出問題中所給出的假設(shè)，以及為了解決問題所做的必要、合理的假設(shè)。假設(shè)作得不合理或太簡單，會導(dǎo)致錯(cuò)誤的或無用的模型；假設(shè)作得過分詳盡，試圖把復(fù)雜對象的眾多因素都考慮進(jìn)去，會使工作很難或無法繼續(xù)下去，因此常常需要在合理與簡化之間作出恰當(dāng)?shù)恼壑小?1感謝你的觀看2019年8月214、模型假設(shè)建模時(shí)，要根據(jù)問題的特征和建模目的，5、分析與建立模型根據(jù)假設(shè)，用數(shù)學(xué)的語言、符號描述對象的內(nèi)在規(guī)律，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建模時(shí)應(yīng)盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具，使建立的模型易于被人理解。在撰寫這一部分時(shí)，對所用的變量、符號、計(jì)量單位應(yīng)作解釋，特定的變量和參數(shù)應(yīng)在整篇文章保持一致。為使模型易懂，可借助于適當(dāng)?shù)膱D形、表格來描述問題或數(shù)據(jù)。12感謝你的觀看2019年8月215、分析與建立模型12感謝你的觀看2019年8月216、模型求解使用各種數(shù)學(xué)方法或軟件包求解數(shù)學(xué)模型。此部分應(yīng)包括求解過程的公式推導(dǎo)、算法步驟及計(jì)算結(jié)果。為求解而編寫的計(jì)算機(jī)程序應(yīng)放在附錄部分。有時(shí)需要對求解結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，如結(jié)果的誤差分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏度分析等。13感謝你的觀看2019年8月216、模型求解13感謝你的觀看2019年8月217、模型檢驗(yàn)把求解和分析結(jié)果翻譯回到實(shí)際問題，與實(shí)際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。如果結(jié)果與實(shí)際不符，問題常出在模型假設(shè)上，應(yīng)該修改、補(bǔ)充假設(shè)，重新建模。這一步對于模型是否真的有用十分關(guān)鍵。14感謝你的觀看2019年8月217、模型檢驗(yàn)14感謝你的觀看2019年8月218、模型推廣模型的評價(jià)不要流于空泛，需對模型的意義、可信程度、精度等可能問題，需要認(rèn)真地思考和討論。將該問題的模型推廣到解決更多的類似問題，或討論給出該模型的更一般情況下的解法，或指出可能的深化、推廣及進(jìn)一步研究的建議。15感謝你的觀看2019年8月218、模型推廣15感謝你的觀看2019年8月219、參考文獻(xiàn)在正文中提及或直接引用的材料或原始數(shù)據(jù)，應(yīng)注明出處，并將相應(yīng)的出版物列舉在考文獻(xiàn)中。需標(biāo)明出版物名稱、頁碼、著者姓名、出版日期、出版單位等。參考文獻(xiàn)按正文中的引用次序列出，其中書籍的表述方式為：[編號]作者，書名[M]，出版地：出版社，出版年。參考文獻(xiàn)中期刊雜志論文的表述方式為：[編號]作者，論文名[J]，雜志名，出版年，卷期號：起止頁碼。參考文獻(xiàn)中網(wǎng)上資源的表述方式為：[編號]作者，資源標(biāo)題，網(wǎng)址，訪問時(shí)間（年月日）。16感謝你的觀看2019年8月219、參考文獻(xiàn)在正文中提及或直接引用的材料或原始數(shù)據(jù)，應(yīng)注明出10、附錄附錄是正文的補(bǔ)充，與正文有關(guān)而又不便于編入正文的內(nèi)容都收集在這里。包括：計(jì)算機(jī)程序、比較重要但數(shù)據(jù)量較大的中間結(jié)果等。為便于閱讀，應(yīng)在源程序中加入足夠的注釋和說明語句。17感謝你的觀看2019年8月2110、附錄附錄是正文的補(bǔ)充，與正文有關(guān)而又不便于編入正文的內(nèi)18最簡單的數(shù)學(xué)模型之一——“航行問題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時(shí)20千米/小時(shí).甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問船的速度是多少?x=20y=5求解感謝你的觀看2019年8月2118最簡單的數(shù)學(xué)模型之一——“航行問題”用x表示船速，y19航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟

作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；

用符號表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運(yùn)動的距離等于速度乘以時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)）。感謝你的觀看2019年8月2119航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟作出簡化假設(shè)（船速、水速四、導(dǎo)彈跟蹤問題1、實(shí)驗(yàn)?zāi)康谋緦?shí)驗(yàn)主要涉及常微分方程。通過實(shí)驗(yàn)復(fù)習(xí)微分方程的建模和求解；介紹兩種微分方程的數(shù)值方法：Euler法和改進(jìn)的Euler法；還介紹了仿真方法。203、數(shù)學(xué)模型微分方程建模的方法主要是依據(jù)守恒律來建立等量關(guān)系式。對于這個(gè)問題，尋求等量關(guān)系是比較簡單的。設(shè)坐標(biāo)系如圖3.1所示，取導(dǎo)彈基地為原點(diǎn)O(0,0)，x軸指向正東方,y軸指向正北方。2、實(shí)際問題某軍的一導(dǎo)彈基地發(fā)現(xiàn)正北方向120km處海面上有敵艦一艘以90km/h的速度向正東方向行駛。該基地立即發(fā)射導(dǎo)彈跟蹤追擊敵艇，導(dǎo)彈速度為450km/h，自動導(dǎo)航系統(tǒng)使導(dǎo)彈在任一時(shí)刻都能對準(zhǔn)敵艇。試問導(dǎo)彈在何時(shí)何處擊中敵艦？感謝你的觀看2019年8月21四、導(dǎo)彈跟蹤問題1、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?03、數(shù)學(xué)模型2、實(shí)際問題感

當(dāng)t=0時(shí)，導(dǎo)彈位于點(diǎn)O，敵艇位于點(diǎn)A(0,H)，其中H=120（km）。21設(shè)導(dǎo)彈在t時(shí)刻的位置為P(x(t),y(t))，由題意,感謝你的觀看2019年8月21當(dāng)t=0時(shí)，導(dǎo)彈位于點(diǎn)O，敵艇位于點(diǎn)A(0,H方程(3.1),(3.3)連同初值條件構(gòu)成了一個(gè)關(guān)于時(shí)間變量t的一階微分方程組的初值問題。其中另外在t時(shí)刻,敵艇位置為,其中。由于導(dǎo)彈軌跡的切線方向必須指向敵艇，即直線PM的方向就是導(dǎo)彈軌跡上點(diǎn)P的切線方向,故有或?qū)憺?2兩邊對t求導(dǎo)為了尋求x與y的關(guān)系,要設(shè)法消去變量t,由式(3.2)得感謝你的觀看2019年8月21方程(3.1),(3.3)連同初值條件其中22兩邊對t求導(dǎo)即有把式(3.1)寫為代入上式,就得到軌跡方程.這是一個(gè)二階非線性微分方程,加上初值條件,則初值問題23感謝你的觀看2019年8月21即有23感謝你的觀看2019年8月21就是導(dǎo)彈軌跡的數(shù)學(xué)模型。值得注意的是，前面導(dǎo)出的一階微分方程組(3.1)，(3.3)和(3.4)實(shí)際上已經(jīng)是一個(gè)數(shù)學(xué)模型了，不過多一個(gè)變量（或說參數(shù)）而已。24則（3.5）化為一階可分離變量方程即易得由初值條件(3.7)即4、解析方法方程（3.5）可以降階.令感謝你的觀看2019年8月21就是導(dǎo)彈軌跡的數(shù)學(xué)模型。值得注意的是，前面導(dǎo)出的一階微分方程注意到上式可改寫為于是有這樣我們又得到一個(gè)可分離變量方程積分得利用于是導(dǎo)彈軌跡方程為25感謝你的觀看2019年8月21注意到上式可改寫為25感謝你的觀看2019年8月21設(shè)導(dǎo)彈擊中敵艇于B(L,H),以Y=H代入(3.9)式,得而導(dǎo)彈擊中敵艇的時(shí)刻將數(shù)據(jù)代入(3.10),(3.11)式,得265、數(shù)值方法

將初值問題(3.5)~(3.7)化為一階微分方程組感謝你的觀看2019年8月21設(shè)導(dǎo)彈擊中敵艇于B(L,H),以Y=H代入(3.9)式取自變量y的步長為,于是得節(jié)點(diǎn)相應(yīng)點(diǎn)上的x的值和p的值記為顯然,有初值條件我們將介紹兩種近似算法來進(jìn)行數(shù)值處理.27設(shè)導(dǎo)彈到達(dá)處的時(shí)刻為那么得到計(jì)算的迭代格式ⅠEuler方法

Euler方法十分簡單,就是用差商代替微商,即以代之以而代之以這樣有感謝你的觀看2019年8月21取自變量y的步長為,于于是表3.1是取n=4時(shí)的計(jì)算結(jié)果,讀者可以用來檢驗(yàn)程序或應(yīng)用軟件的正確性.

表3.1

kykxkpk000013000.052601.50.123905.00.22412011.50.42此時(shí)28感謝你的觀看2019年8月21于是28感謝你的觀看2019年8月21表3.2是對于不同的n值所對應(yīng)的計(jì)算結(jié)果.顯然,n越大(即h越小),結(jié)果就越精確.

表3.2n4812244896120240L11.5215.9617.9720.5522.2523.3323.5824.15T0.1280.1770.2000.2280.2470.2590.2620.268

29注意，由問題（3.1）,(3.3),(3.4)消去t推導(dǎo)出問題（3.5）～(3.7)是較為巧妙和偶然的.一般而言，一個(gè)微分方程組未必能消去一些變元而減少方程的個(gè)數(shù)。那么，我們能否直接對初值問題(3.1),(3.3),(3.4)進(jìn)行數(shù)值處理呢？答案是肯定的。實(shí)際上，只要由方程(3.1),(3.3)解出和的表達(dá)式，這樣問題變?yōu)楦兄x你的觀看2019年8月2129注意，由問題（3.1）,(3.3),(3.4)消去取時(shí)間步長對應(yīng)時(shí)導(dǎo)彈軌跡上點(diǎn)的坐標(biāo)為則Euler格式為當(dāng)計(jì)算到即停止,于是,30感謝你的觀看2019年8月21取時(shí)間步長對應(yīng)表3.3和表3.4分別列出了取步長為0.1和0.05時(shí)的計(jì)算結(jié)果:

表3.3ktkxkyk

00.00.000000.0000010.10.0000045.0000020.25.3615489.6794630.322.67495131.21553此時(shí)取31感謝你的觀看2019年8月21表3.3和表3.4分別列出了取步長為0.

表3.4ktkxkyk

10.050.0000022.5000020.101.0373642.9760730.153.4120567.3504140.207.6461589.4484350.2514.86790110.7579660.3029.19480128.10702此時(shí)取表3.5是對應(yīng)不同的,用Euler法所得相應(yīng)的步長推進(jìn)次數(shù)n和計(jì)算結(jié)果.

表3.50.10.050.0050.001n3656278L22.6749529.1948025.6673125.04935T0.251940.324390.285190.2783332感謝你的觀看2019年8月21

Euler方法較為簡單,但也較為粗糙,對形式較復(fù)雜的微分方程更易有較大的誤差.人們設(shè)計(jì)了不少更精確的近似算法,這里我們介紹其中的一種,進(jìn)一步研究可看參考書.33其中其中而改進(jìn)的Euler迭代格式則是Ⅱ.改進(jìn)的Euler方法(預(yù)報(bào)---校正法)

以一維情況為例,對問題Euler迭代格式是感謝你的觀看2019年8月21Euler方法較為簡單,但也較為粗糙,對形式由積分表達(dá)式的幾何意義看,右邊為下方的曲邊梯形,從圖3.2我們可以看出Euler法是用矩形來代替曲邊梯形,而改進(jìn)的Euler法則是用梯形來代替曲邊梯形.

對問題(3.18)~(3.20),我們寫出相應(yīng)的改進(jìn)Euler迭代格式34感謝你的觀看2019年8月21由積分表達(dá)式34感謝你的觀看2019年8月2135感謝你的觀看2019年8月2135感謝你的觀看2019年8月21表3.6和表3.7分別列出了取步長為0.1和0.05時(shí)的計(jì)算結(jié)果:

表3.6ktkxkyk

00.00.000000.0000010.12.6807744.8397320.212.5752488.2867930.322.07242130.25569此時(shí)取表3.7ktkxkyk

10.050.5186822.4880420.102.1059644.9219530.155.0982167.2021340.2010.1609689.0690650.2519.65646108.9789860.3024.24089130.9903036感謝你的觀看2019年8月21表3.6和表3.7分別列出了取步長為0.1此時(shí)取表3.8是對應(yīng)不同的,用改進(jìn)的Euler法所得相應(yīng)的步長推進(jìn)次數(shù)n和計(jì)算結(jié)果.

表3.80.10.050.0050.001n3656278L27.0724224.2408925.1355224.98112T0.300800.269340.279280.27757

圖3.3畫出了導(dǎo)彈軌跡由解析式所給出的精確曲線以及由Euler法和改進(jìn)的Euler法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算所給出的近似曲線.37感謝你的觀看2019年8月21此時(shí)取圖3.3畫出了導(dǎo)彈軌跡由解析式所給出的精確曲線以6、仿真方法

如果建立微分方程很困難，或者微分方程很復(fù)雜而較難作出數(shù)值處理，常?？梢杂梅抡娣椒?。所謂仿真方法，顧名思義，指的是模仿真實(shí)行為和過程的方法。在這個(gè)具體問題中，就是一步步地模擬導(dǎo)彈追蹤敵艇的實(shí)際過程。而計(jì)算機(jī)仿真，則是在計(jì)算機(jī)上通過相應(yīng)的程序和軟件來實(shí)現(xiàn)對事件運(yùn)行的實(shí)際過程的模擬。設(shè)導(dǎo)彈和敵艇在初始時(shí)刻（即t=0時(shí)）分別位于P0(0,0)和M0(0,H)。此時(shí)，導(dǎo)彈指向M0。而在t=時(shí)，導(dǎo)彈的位置P1(x1,y1)，其中，敵艇的位置則為這時(shí)導(dǎo)彈沿P1M1

方向飛行，P1M1的傾角為在t=2時(shí)，導(dǎo)彈的位置為P(x,y)，其中38感謝你的觀看2019年8月216、仿真方法38感謝你的觀看2019年8月21此時(shí)敵艇位置為,導(dǎo)彈沿P2M2方向飛行(見圖3.4).以此方式,一般地,設(shè)時(shí),導(dǎo)彈位置為敵艇的位置則為導(dǎo)彈將沿PkMk方向飛行,那么,PkMk的傾角為39感謝你的觀看2019年8月21此時(shí)敵艇位置為,導(dǎo)彈沿從而時(shí),導(dǎo)彈位置為,其中而敵艇位置為仍然可以如前那樣,當(dāng)時(shí),仿真停止;或者事先給定誤差界,當(dāng)時(shí),仿真停止,這時(shí)對于我們用仿真迭代格式(3.33)~(3.36)進(jìn)行計(jì)算,結(jié)果與Euler迭代格式的結(jié)果完全一致(見表3.3~3.5).這兩種迭代格式實(shí)際上確實(shí)是相同的,建議讀者自己驗(yàn)證一下.

值得注意的是,在仿真方法中,我們根本沒有用到微分方程組(3.18)~(3.20),卻得到了它的一種離散形式,這是十分有意思的.40感謝你的觀看2019年8月21從而時(shí),導(dǎo)彈位置為五、實(shí)驗(yàn)任務(wù)

1.應(yīng)用數(shù)學(xué)軟件或編制計(jì)算程序?qū)栴}(3.12)~(3.14)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，先運(yùn)用Euler法，與表3.2以及表3.3的數(shù)據(jù)比較，并以更小的步長計(jì)算結(jié)果；再用改進(jìn)的Euler法計(jì)算（步長與Euler法相同）。

2．在本實(shí)驗(yàn)介紹的計(jì)算過程中，我們是計(jì)算到即停止，然后取

,這樣做法可能會有不小的誤差。有時(shí)甚至?xí)霈F(xiàn)整體步長改小而結(jié)果卻未必能改進(jìn)的情況。由于Euler法或改進(jìn)的Euler法的計(jì)算格式中每一步值的取得僅僅依賴上一步的值，因此在計(jì)算過程中改變步長是可行的，即當(dāng)計(jì)算到而y遠(yuǎn)大于H時(shí)，可縮小步長（例如為原來的十分之一）以xy作為新起點(diǎn)繼續(xù)進(jìn)行迭代。試用這種變步長方法來改進(jìn)在任務(wù)１中得到的結(jié)果。3．如果當(dāng)基地發(fā)射導(dǎo)彈的同時(shí)，敵艇立即由儀器發(fā)覺。假定敵艇為一高速快艇，它即刻一135km/h的速度與導(dǎo)彈方向垂直的方向逃逸，問導(dǎo)彈何時(shí)何地?fù)糁锌焱?？試建立?shù)學(xué)模型并求解。4、如果敵艇以135km/h的速度與導(dǎo)彈方向成固定夾角的方向逃逸，問導(dǎo)彈何時(shí)何地?fù)糁袛惩?？試建立?shù)學(xué)模型。并選擇若干特殊角度進(jìn)行計(jì)算。5、對問題5的結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)敵艇與導(dǎo)彈方向成何夾角逃逸才好？從結(jié)論中你又能得到些什么看法？

41感謝你的觀看2019年8月21五、實(shí)驗(yàn)任務(wù)41感謝你的觀看2019年8月21微分方程建模42微分方程建模1

當(dāng)我們描述實(shí)際對象的某些特性隨時(shí)間（空間）而演變的過程、分析它的變化規(guī)律、預(yù)測它的未來形態(tài)、研究它的控制手段時(shí)。通常要建立對象的動態(tài)模型。

在許多實(shí)際問題中，當(dāng)直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時(shí)，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題。43感謝你的觀看2019年8月21當(dāng)我們描述實(shí)際對象的某些特性隨時(shí)間（空間）而一、數(shù)學(xué)建模的基本思維過程

轉(zhuǎn)化實(shí)際問題

1、對要討論的問題所涉及的重要特征進(jìn)行合理的數(shù)學(xué)刻畫（轉(zhuǎn)化），即用數(shù)學(xué)語言對問題涉及到的重要特征進(jìn)行表述.2、尋求的實(shí)際問題的文字?jǐn)⑹觯靡恍┰瓌t或定律，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)描述。解數(shù)學(xué)問題用數(shù)學(xué)工具求解得到的數(shù)學(xué)問題。44感謝你的觀看2019年8月21一、數(shù)學(xué)建模的基本思維過程轉(zhuǎn)化實(shí)際問題2、尋求的二、微分方程模型

涉及“改變”、“變化”、“增加”、“減少”、“衰變”、“邊際”、“速度”、“運(yùn)動”、“追趕”、“逃跑”、、、等等詞語的確定性連續(xù)問題。b、微分方程建模的基本手段微元法等a、微分方程建模的對象45感謝你的觀看2019年8月21二、微分方程模型涉及“改變”、“變化

1、尋找改變量一般說來微分方程問題都遵循這樣的文字等式變化率（微商）=單位增加量--單位減少量等式通常是利用已有的原則或定律。c、微分方程建模的基本規(guī)則2、對問題中的特征進(jìn)行數(shù)學(xué)刻畫3、用微元法建立微分方程；4、確定微分方程的定解條件（初邊值條件）；5、求解或討論方程（數(shù)值解或定性理論）6、模型和結(jié)果的討論與分析。46感謝你的觀看2019年8月211、尋找改變量一般說來微分方程問題都遵循這樣的文字對論文的評價(jià)主要以“假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性和文字表述的清晰性”為標(biāo)準(zhǔn)。所以，在論文中應(yīng)努力反映出這些特點(diǎn)。三、

數(shù)學(xué)建模論文的撰寫方法47感謝你的觀看2019年8月21對論文的評價(jià)主要以“假設(shè)的合理性、建模的創(chuàng)造性、結(jié)果的正確性論文格式及組成題目摘要，關(guān)鍵詞問題重述模型假設(shè)分析與建立數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型的求解模型檢驗(yàn)(總結(jié)與評價(jià))模型推廣參考文獻(xiàn)附錄（若有）正文48感謝你的觀看2019年8月21論文格式及組成題目模型假設(shè)正文7感謝你的觀看2019年8月21、題目論文題目是一篇論文給出的涉及論文范圍及水平的第一個(gè)重要信息。要求簡短精練、高度概括、準(zhǔn)確得體、恰如其分。既要準(zhǔn)確表達(dá)論文內(nèi)容，恰當(dāng)反映所研究的范圍和深度，又要盡可能概括、精練。49感謝你的觀看2019年8月211、題目論文題目是一篇論文給出的涉及論文范圍及水平的第一個(gè)重2、摘要、關(guān)鍵詞摘要是論文內(nèi)容不加注釋和評論的簡短陳述，其作用是使讀者不閱讀論文全文既能獲得必要的信息。在數(shù)學(xué)建模論文中，摘要是非常重要的一部分。數(shù)學(xué)建模論文的摘要應(yīng)包含以下內(nèi)容：所研究的實(shí)際問題、建立的模型、求解模型的方法、獲得的基本結(jié)果以及對模型的檢驗(yàn)或推廣。論文摘要需要概括、簡練的語言反映這些內(nèi)容，尤其要突出論文的優(yōu)點(diǎn)，如巧妙的建模方法、快速有效的算法、合理的推廣等。一般科技論文的摘要要求不列舉例證，不出現(xiàn)圖、表和數(shù)學(xué)公式，不自我評價(jià)，且字?jǐn)?shù)200以內(nèi)。前幾年，全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽要求摘要字?jǐn)?shù)應(yīng)在300字以內(nèi)。但從2001年開始，為了提高論文評選效率，要求將論文第一頁全用作摘要，對字?jǐn)?shù)已無明確限制。在摘要中也可適當(dāng)出現(xiàn)反映結(jié)果數(shù)學(xué)公式。50感謝你的觀看2019年8月212、摘要、關(guān)鍵詞摘要是論文內(nèi)容不加注釋和評論的簡短陳述，其作3、問題重述數(shù)學(xué)建模比賽要求解決給定的問題，所以論文中應(yīng)敘述給定問題。撰寫這部分內(nèi)容時(shí)，不要照抄原題，應(yīng)把握問題的實(shí)質(zhì)，再用較精練的語言敘述問題。51感謝你的觀看2019年8月213、問題重述10感謝你的觀看2019年8月214、模型假設(shè)建模時(shí)，要根據(jù)問題的特征和建模目的，抓住問題的本質(zhì)，忽略次要因素，對問題進(jìn)行必要的簡化，做出一些合理的假設(shè)。模型假設(shè)部分要求用精練、準(zhǔn)確的語言列出問題中所給出的假設(shè)，以及為了解決問題所做的必要、合理的假設(shè)。假設(shè)作得不合理或太簡單，會導(dǎo)致錯(cuò)誤的或無用的模型；假設(shè)作得過分詳盡，試圖把復(fù)雜對象的眾多因素都考慮進(jìn)去，會使工作很難或無法繼續(xù)下去，因此常常需要在合理與簡化之間作出恰當(dāng)?shù)恼壑小?2感謝你的觀看2019年8月214、模型假設(shè)建模時(shí)，要根據(jù)問題的特征和建模目的，5、分析與建立模型根據(jù)假設(shè)，用數(shù)學(xué)的語言、符號描述對象的內(nèi)在規(guī)律，得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。建模時(shí)應(yīng)盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具，使建立的模型易于被人理解。在撰寫這一部分時(shí)，對所用的變量、符號、計(jì)量單位應(yīng)作解釋，特定的變量和參數(shù)應(yīng)在整篇文章保持一致。為使模型易懂，可借助于適當(dāng)?shù)膱D形、表格來描述問題或數(shù)據(jù)。53感謝你的觀看2019年8月215、分析與建立模型12感謝你的觀看2019年8月216、模型求解使用各種數(shù)學(xué)方法或軟件包求解數(shù)學(xué)模型。此部分應(yīng)包括求解過程的公式推導(dǎo)、算法步驟及計(jì)算結(jié)果。為求解而編寫的計(jì)算機(jī)程序應(yīng)放在附錄部分。有時(shí)需要對求解結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，如結(jié)果的誤差分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏度分析等。54感謝你的觀看2019年8月216、模型求解13感謝你的觀看2019年8月217、模型檢驗(yàn)把求解和分析結(jié)果翻譯回到實(shí)際問題，與實(shí)際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性。如果結(jié)果與實(shí)際不符，問題常出在模型假設(shè)上，應(yīng)該修改、補(bǔ)充假設(shè)，重新建模。這一步對于模型是否真的有用十分關(guān)鍵。55感謝你的觀看2019年8月217、模型檢驗(yàn)14感謝你的觀看2019年8月218、模型推廣模型的評價(jià)不要流于空泛，需對模型的意義、可信程度、精度等可能問題，需要認(rèn)真地思考和討論。將該問題的模型推廣到解決更多的類似問題，或討論給出該模型的更一般情況下的解法，或指出可能的深化、推廣及進(jìn)一步研究的建議。56感謝你的觀看2019年8月218、模型推廣15感謝你的觀看2019年8月219、參考文獻(xiàn)在正文中提及或直接引用的材料或原始數(shù)據(jù)，應(yīng)注明出處，并將相應(yīng)的出版物列舉在考文獻(xiàn)中。需標(biāo)明出版物名稱、頁碼、著者姓名、出版日期、出版單位等。參考文獻(xiàn)按正文中的引用次序列出，其中書籍的表述方式為：[編號]作者，書名[M]，出版地：出版社，出版年。參考文獻(xiàn)中期刊雜志論文的表述方式為：[編號]作者，論文名[J]，雜志名，出版年，卷期號：起止頁碼。參考文獻(xiàn)中網(wǎng)上資源的表述方式為：[編號]作者，資源標(biāo)題，網(wǎng)址，訪問時(shí)間（年月日）。57感謝你的觀看2019年8月219、參考文獻(xiàn)在正文中提及或直接引用的材料或原始數(shù)據(jù)，應(yīng)注明出10、附錄附錄是正文的補(bǔ)充，與正文有關(guān)而又不便于編入正文的內(nèi)容都收集在這里。包括：計(jì)算機(jī)程序、比較重要但數(shù)據(jù)量較大的中間結(jié)果等。為便于閱讀，應(yīng)在源程序中加入足夠的注釋和說明語句。58感謝你的觀看2019年8月2110、附錄附錄是正文的補(bǔ)充，與正文有關(guān)而又不便于編入正文的內(nèi)59最簡單的數(shù)學(xué)模型之一——“航行問題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時(shí)20千米/小時(shí).甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時(shí)，從乙到甲逆水航行需50小時(shí)，問船的速度是多少?x=20y=5求解感謝你的觀看2019年8月2118最簡單的數(shù)學(xué)模型之一——“航行問題”用x表示船速，y60航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟

作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；

用符號表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運(yùn)動的距離等于速度乘以時(shí)間）列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；

求解得到數(shù)學(xué)解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時(shí)20千米/小時(shí)）。感謝你的觀看2019年8月2119航行問題建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟作出簡化假設(shè)（船速、水速四、導(dǎo)彈跟蹤問題1、實(shí)驗(yàn)?zāi)康谋緦?shí)驗(yàn)主要涉及常微分方程。通過實(shí)驗(yàn)復(fù)習(xí)微分方程的建模和求解；介紹兩種微分方程的數(shù)值方法：Euler法和改進(jìn)的Euler法；還介紹了仿真方法。613、數(shù)學(xué)模型微分方程建模的方法主要是依據(jù)守恒律來建立等量關(guān)系式。對于這個(gè)問題，尋求等量關(guān)系是比較簡單的。設(shè)坐標(biāo)系如圖3.1所示，取導(dǎo)彈基地為原點(diǎn)O(0,0)，x軸指向正東方,y軸指向正北方。2、實(shí)際問題某軍的一導(dǎo)彈基地發(fā)現(xiàn)正北方向120km處海面上有敵艦一艘以90km/h的速度向正東方向行駛。該基地立即發(fā)射導(dǎo)彈跟蹤追擊敵艇，導(dǎo)彈速度為450km/h，自動導(dǎo)航系統(tǒng)使導(dǎo)彈在任一時(shí)刻都能對準(zhǔn)敵艇。試問導(dǎo)彈在何時(shí)何處擊中敵艦？感謝你的觀看2019年8月21四、導(dǎo)彈跟蹤問題1、實(shí)驗(yàn)?zāi)康?03、數(shù)學(xué)模型2、實(shí)際問題感

當(dāng)t=0時(shí)，導(dǎo)彈位于點(diǎn)O，敵艇位于點(diǎn)A(0,H)，其中H=120（km）。62設(shè)導(dǎo)彈在t時(shí)刻的位置為P(x(t),y(t))，由題意,感謝你的觀看2019年8月21當(dāng)t=0時(shí)，導(dǎo)彈位于點(diǎn)O，敵艇位于點(diǎn)A(0,H方程(3.1),(3.3)連同初值條件構(gòu)成了一個(gè)關(guān)于時(shí)間變量t的一階微分方程組的初值問題。其中另外在t時(shí)刻,敵艇位置為,其中。由于導(dǎo)彈軌跡的切線方向必須指向敵艇，即直線PM的方向就是導(dǎo)彈軌跡上點(diǎn)P的切線方向,故有或?qū)憺?3兩邊對t求導(dǎo)為了尋求x與y的關(guān)系,要設(shè)法消去變量t,由式(3.2)得感謝你的觀看2019年8月21方程(3.1),(3.3)連同初值條件其中22兩邊對t求導(dǎo)即有把式(3.1)寫為代入上式,就得到軌跡方程.這是一個(gè)二階非線性微分方程,加上初值條件,則初值問題64感謝你的觀看2019年8月21即有23感謝你的觀看2019年8月21就是導(dǎo)彈軌跡的數(shù)學(xué)模型。值得注意的是，前面導(dǎo)出的一階微分方程組(3.1)，(3.3)和(3.4)實(shí)際上已經(jīng)是一個(gè)數(shù)學(xué)模型了，不過多一個(gè)變量（或說參數(shù)）而已。65則（3.5）化為一階可分離變量方程即易得由初值條件(3.7)即4、解析方法方程（3.5）可以降階.令感謝你的觀看2019年8月21就是導(dǎo)彈軌跡的數(shù)學(xué)模型。值得注意的是，前面導(dǎo)出的一階微分方程注意到上式可改寫為于是有這樣我們又得到一個(gè)可分離變量方程積分得利用于是導(dǎo)彈軌跡方程為66感謝你的觀看2019年8月21注意到上式可改寫為25感謝你的觀看2019年8月21設(shè)導(dǎo)彈擊中敵艇于B(L,H),以Y=H代入(3.9)式,得而導(dǎo)彈擊中敵艇的時(shí)刻將數(shù)據(jù)代入(3.10),(3.11)式,得675、數(shù)值方法

將初值問題(3.5)~(3.7)化為一階微分方程組感謝你的觀看2019年8月21設(shè)導(dǎo)彈擊中敵艇于B(L,H),以Y=H代入(3.9)式取自變量y的步長為,于是得節(jié)點(diǎn)相應(yīng)點(diǎn)上的x的值和p的值記為顯然,有初值條件我們將介紹兩種近似算法來進(jìn)行數(shù)值處理.68設(shè)導(dǎo)彈到達(dá)處的時(shí)刻為那么得到計(jì)算的迭代格式ⅠEuler方法

Euler方法十分簡單,就是用差商代替微商,即以代之以而代之以這樣有感謝你的觀看2019年8月21取自變量y的步長為,于于是表3.1是取n=4時(shí)的計(jì)算結(jié)果,讀者可以用來檢驗(yàn)程序或應(yīng)用軟件的正確性.

表3.1

kykxkpk000013000.052601.50.123905.00.22412011.50.42此時(shí)69感謝你的觀看2019年8月21于是28感謝你的觀看2019年8月21表3.2是對于不同的n值所對應(yīng)的計(jì)算結(jié)果.顯然,n越大(即h越小),結(jié)果就越精確.

表3.2n4812244896120240L11.5215.9617.9720.5522.2523.3323.5824.15T0.1280.1770.2000.2280.2470.2590.2620.268

70注意，由問題（3.1）,(3.3),(3.4)消去t推導(dǎo)出問題（3.5）～(3.7)是較為巧妙和偶然的.一般而言，一個(gè)微分方程組未必能消去一些變元而減少方程的個(gè)數(shù)。那么，我們能否直接對初值問題(3.1),(3.3),(3.4)進(jìn)行數(shù)值處理呢？答案是肯定的。實(shí)際上，只要由方程(3.1),(3.3)解出和的表達(dá)式，這樣問題變?yōu)楦兄x你的觀看2019年8月2129注意，由問題（3.1）,(3.3),(3.4)消去取時(shí)間步長對應(yīng)時(shí)導(dǎo)彈軌跡上點(diǎn)的坐標(biāo)為則Euler格式為當(dāng)計(jì)算到即停止,于是,71感謝你的觀看2019年8月21取時(shí)間步長對應(yīng)表3.3和表3.4分別列出了取步長為0.1和0.05時(shí)的計(jì)算結(jié)果:

表3.3ktkxkyk

00.00.000000.0000010.10.0000045.0000020.25.3615489.6794630.322.67495131.21553此時(shí)取72感謝你的觀看2019年8月21表3.3和表3.4分別列出了取步長為0.

表3.4ktkxkyk

10.050.0000022.5000020.101.0373642.9760730.153.4120567.3504140.207.6461589.4484350.2514.86790110.7579660.3029.19480128.10702此時(shí)取表3.5是對應(yīng)不同的,用Euler法所得相應(yīng)的步長推進(jìn)次數(shù)n和計(jì)算結(jié)果.

表3.50.10.050.0050.001n3656278L22.6749529.1948025.6673125.04935T0.251940.324390.285190.2783373感謝你的觀看2019年8月21

Euler方法較為簡單,但也較為粗糙,對形式較復(fù)雜的微分方程更易有較大的誤差.人們設(shè)計(jì)了不少更精確的近似算法,這里我們介紹其中的一種,進(jìn)一步研究可看參考書.74其中其中而改進(jìn)的Euler迭代格式則是Ⅱ.改進(jìn)的Euler方法(預(yù)報(bào)---校正法)

以一維情況為例,對問題Euler迭代格式是感謝你的觀看2019年8月21Euler方法較為簡單,但也較為粗糙,對形式由積分表達(dá)式的幾何意義看,右邊為下方的曲邊梯形,從圖3.2我們可以看出Euler法是用矩形來代替曲邊梯形,而改進(jìn)的Euler法則是用梯形來代替曲邊梯形.

對問題(3.18)~(3.20),我們寫出相應(yīng)的改進(jìn)Euler迭代格式75感謝你的觀看2019年8月21由積分表達(dá)式34感謝你的觀看2019年8月2176感謝你的觀看2019年8月2135感謝你的觀看2019年8月21表3.6和表3.7分別列出了取步長為0.1和0.05時(shí)的計(jì)算結(jié)果:

表3.6ktkxkyk

00.00.000000.0000010.12.6807744.8397320.212.5752488.2867930.322.07242130.25569此時(shí)取表3.7ktkxkyk

10.050.5186822.4880420.102.1059644.9219530.155.0982167.2021340.2010.1609689.06906