數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性

第四章函數(shù)的連續(xù)性4.1連續(xù)性概念

連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

4.3初等函數(shù)的連續(xù)性

4.2第四章函數(shù)的連續(xù)性4.1連續(xù)性概念連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)14.1連續(xù)性概念一、函數(shù)在一點的連續(xù)性1.函數(shù)的增量4.1連續(xù)性概念一、函數(shù)在一點的連續(xù)性1.函數(shù)的增量22.連續(xù)的定義2.連續(xù)的定義3數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性4特點:極限計算轉(zhuǎn)化為函數(shù)值計算函數(shù)值表示轉(zhuǎn)化為極限表示在x0有定義1.在x0附近定義;2.極限存在特點:極限計算轉(zhuǎn)化為函數(shù)值計算函數(shù)值表示轉(zhuǎn)化為極限表示在x05例1證由定義2知例1證由定義2知63.單側(cè)連續(xù)定理3.單側(cè)連續(xù)定理7例2解右連續(xù)但不左連續(xù),例2解右連續(xù)但不左連續(xù),84.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)9例3證例3證10例4證明證只須證明例4證明證只須證明11二、函數(shù)的間斷點二、函數(shù)的間斷點12間斷=不連續(xù)1.在x0及其附近定義;2.極限存在間斷=不連續(xù)1.在x0及其附近定義;131.跳躍間斷點例5解1.跳躍間斷點例5解142.可去間斷點例62.可去間斷點例615解注意

可去間斷點只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.解注意可去間斷點只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則16如例6中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點如例6中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點173.第二類間斷點例7解3.第二類間斷點例7解18間斷的演示第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點震蕩間斷點間斷的演示第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點無窮間斷點19間斷的演示第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點無定義、值太高、值太低跳躍間斷點無窮間斷點震蕩間斷點間斷的演示第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點無窮間斷點20間斷的演示●●●哎呀,不好!有個洞,還沒有支撐，我掉下去了!!!注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.G間斷的演示●●●哎呀,不好!有個洞,還沒有支撐，我掉下去21間斷的演示●●●哎呀,不好!有個洞,還沒有支撐，我掉下去了!!!注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.正好，連上了，我和其他的點連上了！G間斷的演示●●●哎呀,不好!有個洞,還沒有支撐，我掉下去22間斷的演示●●●哎呀,太高了!夠不著，又有個洞,我還是掉下去了!!!●注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.正好，連上了，我和其他的點連上了！G間斷的演示●●●哎呀,太高了!夠不著，又有個洞,我還是掉下23間斷的演示●●●哎呀,太低了!跳不上去，唉，只能在下面呆著了!!!●●注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.正好，連上了，我和其他的點連上了！G間斷的演示●●●哎呀,太低了!跳不上去，唉，只能在下面呆著了24間斷的演示●●哎呀,前不著村，后不著店的，就是能單邊撐著，也靠不住啊，我還是掉下去了!!!●注意到：這種間斷點稱為跳躍間斷點.

這點放哪兒能接上呢？●G間斷的演示●●哎呀,前不著村，后不著店的，就是能單邊撐著，也25間斷的演示●●哎，小紅點，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！這種間斷點稱為無窮間斷點G間斷的演示●●哎，小紅點，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知26間斷的演示●：Hi,小紅點，你能不能停住？我怎么也停不住，那可怎么連上?。俊瘢篐i,小藍(lán)點，你停不住，我也停不住啊。還想連上，你可真逗！●●●●這種間斷點稱為震蕩間斷點。G間斷的演示●：Hi,小紅點，你能不能停??？我怎么也停不住，27例8解注意不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.例8解注意不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.28★狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.★僅在x=0處連續(xù),其余各點處處間斷.★狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間斷點29★在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,但其絕對值處處連續(xù).判斷下列間斷點類型:★在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,但其絕對值處處連續(xù).判斷30例9解例9解31例10討論若有間斷點判別其類型，并作出圖形解例10討論若有間斷點判別其類型，并作出圖形解32數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性33三、小結(jié)1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);3.間斷點的分類與判別;間斷點第一類間斷點:可去型,跳躍型.第二類間斷點:無窮型,振蕩型.(見下圖)三、小結(jié)1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;2.區(qū)間上的連34第一類間斷點oyx可去型oyx跳躍型第二類間斷點oyx無窮型oyx振蕩型第一類間斷點oyx可去型oyx跳躍型第二類間斷點oyx無窮型35思考題思考題36思考題解答且思考題解答且37但反之不成立.例但但反之不成立.例但384.2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)三反函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而有關(guān)函數(shù)極限的諸多性質(zhì)，都可以移到連續(xù)函數(shù)中來。二閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)四一致連續(xù)性4.2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)三反39一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)Th4.2（局部有界性）若在連續(xù)。則在某有界.Th4.3（局部保號性）若在連續(xù)，且則對任何正數(shù)，存在某有.注①在具體應(yīng)用局部保號性時，若

可取，

②與極限相應(yīng)的性質(zhì)做比較

這里只是把“極限存在”，改為改為其余一致?！斑B續(xù)”，把一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)Th4.2（局部有界性）若在連續(xù)。則在40證明連續(xù)函數(shù)的局部有界性——若處連續(xù)，則和，使得．[證]據(jù)在連續(xù)的定義，滿足．現(xiàn)取相應(yīng)存在，就有

[證畢]

證明連續(xù)函數(shù)的局部有界性——若處連續(xù)，則和，使得．在連續(xù)41四則運(yùn)算的連續(xù)性Th4.4例如,連續(xù)是用極限定義的，本定理是極限四則運(yùn)算定理的直接結(jié)果，不證自明。四則運(yùn)算的連續(xù)性Th4.4例如,連續(xù)是用極限定42Th4.5證Th4.5證43將上兩步合起來:意義1.在定理的條件下，極限符號可以與函數(shù)符號互換，即極限號可以穿過外層函數(shù)符號直接取在內(nèi)層，將上兩步合起來:意義1.在定理的條件下，極限符號可以與函數(shù)符44注1.定理的條件：內(nèi)層函數(shù)有極限，外層函數(shù)在極限值點處連續(xù)例1解注1.定理的條件：內(nèi)層函數(shù)有極限，外層函數(shù)例1解45例2解同理可得例2解同理可得46注意定理是定理4.5的特殊情況.例如,注意定理是定理4.5的特殊情47二、最大值和最小值定理定義:例如,二、最大值和最小值定理定義:例如,48一般而言，在其定義域上不一定在Ｄ上有界.無最大（?。┲?；在［０，１］上也無最大（?。┲怠Ｓ凶畲螅ㄐ。┲?，即使例如：一般而言，在其定義域上不一定在Ｄ上有界.無最大（小）值；在49定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點,定理不一定成立.定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大50定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.證定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界51定義:定義:52幾何解釋:幾何解釋:53證由零點定理,abABMmC幾何解釋:證由零點定理,abABMmC幾何解釋:54例3證由零點定理,推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.例3證由零點定理,推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大55例4證由零點定理,例4證由零點定理,56例5證由零點定理知總之例5證由零點定理知總之57注①方程f(x)=0的根函數(shù)f(x)的零點②有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)命題的證明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20間接法（輔助函數(shù)法）：先作輔助函數(shù)，再利用零點定理輔助函數(shù)的作法（1）將結(jié)論中的ξ(或x0或c)改寫成x（2）移項使右邊為0，令左邊的式子為F(x)則F(x)即為所求注①方程f(x)=0的根函數(shù)f(x)的零點②有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)58區(qū)間一般在題設(shè)中或要證明的結(jié)論中已經(jīng)給出，余下只須驗證F(x)在所討論的區(qū)間上連續(xù)，再比較一下兩個端點處的函數(shù)值的符號，或指出要證的值介于F(x)在所論閉區(qū)間上的最大值與最小值之間。區(qū)間一般在題設(shè)中或要證明的結(jié)論中已經(jīng)給出，余59三反函數(shù)的連續(xù)性定理4.8嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).三反函數(shù)的連續(xù)性定理4.8嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單60Th4.8若函數(shù)上嚴(yán)格遞增(或減)且在相應(yīng)的定義域（或上連續(xù).連續(xù),則其反函數(shù)證明不妨設(shè)上嚴(yán)格遞增.此時的值域即反函數(shù)任?。?，異于＜＜使它們與的距離Th4.8若函數(shù)上嚴(yán)格遞增(或減)且在相應(yīng)的定義域（61

設(shè)與對應(yīng)的函數(shù)值分別為由的嚴(yán)格增性知＜＜令則當(dāng)時，對應(yīng)的的值都落在與之間，故有＜這就證明了在點連續(xù)，從而在內(nèi)連續(xù).類似地可證在其定義區(qū)間的端點與分別為右連續(xù)與左連續(xù).所以在上連續(xù).設(shè)與對應(yīng)的函數(shù)值分別為由的嚴(yán)格增性知＜＜令則當(dāng)時，對應(yīng)的的62四函數(shù)的整體連續(xù)性-——一致連續(xù)：設(shè)在某一區(qū)間Ｉ連續(xù)，按照定義，也就是在區(qū)間Ｉ內(nèi)每一點都連續(xù)。即對時，就有在一致連續(xù)定義中與無關(guān)，是在區(qū)間放在何處而皆準(zhǔn)的普適常數(shù)。四函數(shù)的整體連續(xù)性-——一致連續(xù)：設(shè)在某一區(qū)間Ｉ63數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性64{

{

{{65數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性66１．一致連續(xù)的定義定義2設(shè)為定義在區(qū)間Ｉ上的函數(shù)。若對任給的，存在一個，使得對任何，只要，就有則稱函數(shù)在區(qū)間Ｉ上一致連續(xù)。在一致連續(xù)定義中與無關(guān)，是在區(qū)間放在何處而皆準(zhǔn)的普適常數(shù)。１．一致連續(xù)的定義定義2設(shè)為定義在區(qū)間Ｉ上的函數(shù)。若對任給67數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性68數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性69數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性70五、小結(jié)連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)反函數(shù)的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.一致連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法.五、小結(jié)連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)反函數(shù)的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性71思考題思考題72思考題解答是它的可去間斷點思考題解答是它的可去間斷點734.3初等函數(shù)的連續(xù)性

4.3初等函數(shù)的連續(xù)性74一初等函數(shù)的連續(xù)性★三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★一初等函數(shù)的連續(xù)性★三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是75★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))Th4.12基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.Th4.13一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))Th4.12基本初等函數(shù)在定義76注意1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義.在0點的鄰域內(nèi)沒有定義.注意2.初等函數(shù)求極限的方法代入法.注意1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)77例1求解它的一個定義區(qū)間是例1求解它的一個定義區(qū)間是78例2解例2解79例3求解不能應(yīng)用差的極限運(yùn)算法則，須變形——先分子有理化，然后再求極限例3求解不能應(yīng)用差的極限運(yùn)算法則，須變形80數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性81習(xí)題課習(xí)題課82一、主要內(nèi)容（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念一、主要內(nèi)容（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念83函數(shù)的定義函數(shù)的性質(zhì)單值與多值奇偶性單調(diào)性有界性周期性反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)（一）函數(shù)函數(shù)函數(shù)反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接基本初等函數(shù)復(fù)合函841.函數(shù)的定義函數(shù)的分類2.函數(shù)的性質(zhì)有界、單調(diào)、奇偶、周期3.反函數(shù)4.隱函數(shù)5.基本初等函數(shù)冪、指、反、對、三6.復(fù)合函數(shù)7.初等函數(shù)8.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)1.函數(shù)的定義函數(shù)的分類2.函數(shù)的性質(zhì)有界、單調(diào)、奇偶、周期85數(shù)列極限函數(shù)極限左右極限極限存在的充要條件無窮大兩者的關(guān)系無窮小的性質(zhì)極限的性質(zhì)求極限的常用方法無窮小判定極限存在的準(zhǔn)則兩個重要極限無窮小的比較等價無窮小及其性質(zhì)唯一性（二）極限數(shù)列極限函數(shù)極限左右極限極限存在的無窮大兩861、極限的定義：單側(cè)極限2、無窮小與無窮大無窮??；無窮大；無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小的運(yùn)算性質(zhì)3、極限的性質(zhì)四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的極限極限存在的條件1、極限的定義：單側(cè)極限2、無窮小與無窮大無窮??；無窮大；無874、求極限的常用方法a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.5、判定極限存在的準(zhǔn)則夾逼定理、單調(diào)有界原理4、求極限的常用方法a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限;5、判886、兩個重要極限7、無窮小的比較8、等價無窮小的替換性質(zhì)9、極限的唯一性、局部有界性、保號性6、兩個重要極限7、無窮小的比較8、等價無窮小的替換性質(zhì)9、89（三）連續(xù)左右連續(xù)連續(xù)的充要條件間斷點定義振蕩間斷點無窮間斷點跳躍間斷點可去間斷點第一類第二類在區(qū)間[a,b]上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)初等函數(shù)的連續(xù)性非初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（三）連續(xù)左右連續(xù)連續(xù)的間斷點定義振蕩間斷點第一類901、連續(xù)的定義單側(cè)連續(xù)連續(xù)的充要條件閉區(qū)間的連續(xù)性2、間斷點的定義間斷點的分類第一類、第二類3、初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性4、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最值定理、有界性定理、介值定理、零點定理1、連續(xù)的定義單側(cè)連續(xù)連續(xù)的充要條件閉區(qū)間的連續(xù)性2、間斷點91二、典型例題例1解利用函數(shù)表示法的無關(guān)特性代入原方程得代入上式得二、典型例題例1解利用函數(shù)表示法的無關(guān)特性代入原方程得代入上92解聯(lián)立方程組解聯(lián)立方程組93例2求下列極限①②例2求下列極限①②94③④③④95⑤⑤96例3解一例3解一97解二例4解二例498解解法討論解解法討論99例5證明①②例5證明①②100證①（整體和大于部分和）由夾逼定理知證①（整體和大于部分和）由夾逼定理知101②由夾逼定理知例6求極限②由夾逼定理知例6求極限102[分析]要用夾逼定理，須進(jìn)行放縮不能這樣用夾逼定理，解注意到分子成等差數(shù)列[分析]要用夾逼定理，須進(jìn)行放縮不能這樣用夾逼定理，解注意到103例7證例7證104即xn單調(diào)減，有下界故由單調(diào)有界原理得即xn單調(diào)減，有下界故由單調(diào)有界原理得105例8解例8解106例9解例9解107數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性108例10求下列極限①②例10求下列極限①②109③只記住了重要極限的形式，而沒有掌握其實質(zhì)例11③只記住了重要極限的形式，而沒有掌握其實質(zhì)例11110解因f(x)在x=0處為無窮間斷，即又x=1為可去間斷，解因f(x)在x=0處為無窮間斷，即又x=1為可去間斷，111例12①例12①112②②113例13解例13解114從而由等價無窮小的代換性質(zhì)得從而由等價無窮小的代換性質(zhì)得115例14解例14解116數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性117例15證明若f(x)和g(x)連續(xù)，則函數(shù)證由于f(x)和g(x)連續(xù)，故f(x)+g(x)連續(xù)例15證明若f(x)和g(x)連續(xù)，則函數(shù)證由于f(x)和118例16利用介值定理證明，當(dāng)n為奇數(shù)時，方程至少有一實根證例16利用介值定理證明，當(dāng)n為奇數(shù)時，方程至少有一實根證119故由函數(shù)極限的保號性質(zhì)可知又n是奇數(shù)，所以故由零點定理知故由函數(shù)極限的保號性質(zhì)可知又n是奇數(shù)，所以故由零點定理知120例17證由題設(shè)知故在上必存在最大值M和最小值m例17證由題設(shè)知故在上必存在最大值M和最小值m121由介值定理可得由介值定理可得122第四章函數(shù)的連續(xù)性4.1連續(xù)性概念

連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

4.3初等函數(shù)的連續(xù)性

4.2第四章函數(shù)的連續(xù)性4.1連續(xù)性概念連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1234.1連續(xù)性概念一、函數(shù)在一點的連續(xù)性1.函數(shù)的增量4.1連續(xù)性概念一、函數(shù)在一點的連續(xù)性1.函數(shù)的增量1242.連續(xù)的定義2.連續(xù)的定義125數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性126特點:極限計算轉(zhuǎn)化為函數(shù)值計算函數(shù)值表示轉(zhuǎn)化為極限表示在x0有定義1.在x0附近定義;2.極限存在特點:極限計算轉(zhuǎn)化為函數(shù)值計算函數(shù)值表示轉(zhuǎn)化為極限表示在x0127例1證由定義2知例1證由定義2知1283.單側(cè)連續(xù)定理3.單側(cè)連續(xù)定理129例2解右連續(xù)但不左連續(xù),例2解右連續(xù)但不左連續(xù),1304.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)131例3證例3證132例4證明證只須證明例4證明證只須證明133二、函數(shù)的間斷點二、函數(shù)的間斷點134間斷=不連續(xù)1.在x0及其附近定義;2.極限存在間斷=不連續(xù)1.在x0及其附近定義;1351.跳躍間斷點例5解1.跳躍間斷點例5解1362.可去間斷點例62.可去間斷點例6137解注意

可去間斷點只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.解注意可去間斷點只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則138如例6中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點如例6中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點1393.第二類間斷點例7解3.第二類間斷點例7解140間斷的演示第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點跳躍間斷點無窮間斷點震蕩間斷點間斷的演示第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點無窮間斷點141間斷的演示第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點無定義、值太高、值太低跳躍間斷點無窮間斷點震蕩間斷點間斷的演示第一類間斷點第二類間斷點可去間斷點無窮間斷點142間斷的演示●●●哎呀,不好!有個洞,還沒有支撐，我掉下去了!!!注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.G間斷的演示●●●哎呀,不好!有個洞,還沒有支撐，我掉下去143間斷的演示●●●哎呀,不好!有個洞,還沒有支撐，我掉下去了!!!注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.正好，連上了，我和其他的點連上了！G間斷的演示●●●哎呀,不好!有個洞,還沒有支撐，我掉下去144間斷的演示●●●哎呀,太高了!夠不著，又有個洞,我還是掉下去了!!!●注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.正好，連上了，我和其他的點連上了！G間斷的演示●●●哎呀,太高了!夠不著，又有個洞,我還是掉下145間斷的演示●●●哎呀,太低了!跳不上去，唉，只能在下面呆著了!!!●●注意到：這種間斷點稱為可去間斷點.正好，連上了，我和其他的點連上了！G間斷的演示●●●哎呀,太低了!跳不上去，唉，只能在下面呆著了146間斷的演示●●哎呀,前不著村，后不著店的，就是能單邊撐著，也靠不住啊，我還是掉下去了!!!●注意到：這種間斷點稱為跳躍間斷點.

這點放哪兒能接上呢？●G間斷的演示●●哎呀,前不著村，后不著店的，就是能單邊撐著，也147間斷的演示●●哎，小紅點，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！這種間斷點稱為無窮間斷點G間斷的演示●●哎，小紅點，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知148間斷的演示●：Hi,小紅點，你能不能停??？我怎么也停不住，那可怎么連上??？●：Hi,小藍(lán)點，你停不住，我也停不住啊。還想連上，你可真逗！●●●●這種間斷點稱為震蕩間斷點。G間斷的演示●：Hi,小紅點，你能不能停??？我怎么也停不住，149例8解注意不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.例8解注意不要以為函數(shù)的間斷點只是個別的幾個點.150★狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間斷點.★僅在x=0處連續(xù),其余各點處處間斷.★狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,且都是第二類間斷點151★在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,但其絕對值處處連續(xù).判斷下列間斷點類型:★在定義域R內(nèi)每一點處都間斷,但其絕對值處處連續(xù).判斷152例9解例9解153例10討論若有間斷點判別其類型，并作出圖形解例10討論若有間斷點判別其類型，并作出圖形解154數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性155三、小結(jié)1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);3.間斷點的分類與判別;間斷點第一類間斷點:可去型,跳躍型.第二類間斷點:無窮型,振蕩型.(見下圖)三、小結(jié)1.函數(shù)在一點連續(xù)必須滿足的三個條件;2.區(qū)間上的連156第一類間斷點oyx可去型oyx跳躍型第二類間斷點oyx無窮型oyx振蕩型第一類間斷點oyx可去型oyx跳躍型第二類間斷點oyx無窮型157思考題思考題158思考題解答且思考題解答且159但反之不成立.例但但反之不成立.例但1604.2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)三反函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)的連續(xù)性是通過極限來定義的，因而有關(guān)函數(shù)極限的諸多性質(zhì)，都可以移到連續(xù)函數(shù)中來。二閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)四一致連續(xù)性4.2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)三反161一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)Th4.2（局部有界性）若在連續(xù)。則在某有界.Th4.3（局部保號性）若在連續(xù)，且則對任何正數(shù)，存在某有.注①在具體應(yīng)用局部保號性時，若

可取，

②與極限相應(yīng)的性質(zhì)做比較

這里只是把“極限存在”，改為改為其余一致?！斑B續(xù)”，把一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)Th4.2（局部有界性）若在連續(xù)。則在162證明連續(xù)函數(shù)的局部有界性——若處連續(xù)，則和，使得．[證]據(jù)在連續(xù)的定義，滿足．現(xiàn)取相應(yīng)存在，就有

[證畢]

證明連續(xù)函數(shù)的局部有界性——若處連續(xù)，則和，使得．在連續(xù)163四則運(yùn)算的連續(xù)性Th4.4例如,連續(xù)是用極限定義的，本定理是極限四則運(yùn)算定理的直接結(jié)果，不證自明。四則運(yùn)算的連續(xù)性Th4.4例如,連續(xù)是用極限定164Th4.5證Th4.5證165將上兩步合起來:意義1.在定理的條件下，極限符號可以與函數(shù)符號互換，即極限號可以穿過外層函數(shù)符號直接取在內(nèi)層，將上兩步合起來:意義1.在定理的條件下，極限符號可以與函數(shù)符166注1.定理的條件：內(nèi)層函數(shù)有極限，外層函數(shù)在極限值點處連續(xù)例1解注1.定理的條件：內(nèi)層函數(shù)有極限，外層函數(shù)例1解167例2解同理可得例2解同理可得168注意定理是定理4.5的特殊情況.例如,注意定理是定理4.5的特殊情169二、最大值和最小值定理定義:例如,二、最大值和最小值定理定義:例如,170一般而言，在其定義域上不一定在Ｄ上有界.無最大（?。┲担辉冢郏埃保萆弦矡o最大（?。┲怠Ｓ凶畲螅ㄐ。┲?，即使例如：一般而言，在其定義域上不一定在Ｄ上有界.無最大（?。┲担辉?71定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點,定理不一定成立.定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大172定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.證定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界173定義:定義:174幾何解釋:幾何解釋:175證由零點定理,abABMmC幾何解釋:證由零點定理,abABMmC幾何解釋:176例3證由零點定理,推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.例3證由零點定理,推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大177例4證由零點定理,例4證由零點定理,178例5證由零點定理知總之例5證由零點定理知總之179注①方程f(x)=0的根函數(shù)f(x)的零點②有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)命題的證明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20間接法（輔助函數(shù)法）：先作輔助函數(shù)，再利用零點定理輔助函數(shù)的作法（1）將結(jié)論中的ξ(或x0或c)改寫成x（2）移項使右邊為0，令左邊的式子為F(x)則F(x)即為所求注①方程f(x)=0的根函數(shù)f(x)的零點②有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)180區(qū)間一般在題設(shè)中或要證明的結(jié)論中已經(jīng)給出，余下只須驗證F(x)在所討論的區(qū)間上連續(xù)，再比較一下兩個端點處的函數(shù)值的符號，或指出要證的值介于F(x)在所論閉區(qū)間上的最大值與最小值之間。區(qū)間一般在題設(shè)中或要證明的結(jié)論中已經(jīng)給出，余181三反函數(shù)的連續(xù)性定理4.8嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).三反函數(shù)的連續(xù)性定理4.8嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單182Th4.8若函數(shù)上嚴(yán)格遞增(或減)且在相應(yīng)的定義域（或上連續(xù).連續(xù),則其反函數(shù)證明不妨設(shè)上嚴(yán)格遞增.此時的值域即反函數(shù)任?。?，異于＜＜使它們與的距離Th4.8若函數(shù)上嚴(yán)格遞增(或減)且在相應(yīng)的定義域（183

設(shè)與對應(yīng)的函數(shù)值分別為由的嚴(yán)格增性知＜＜令則當(dāng)時，對應(yīng)的的值都落在與之間，故有＜這就證明了在點連續(xù)，從而在內(nèi)連續(xù).類似地可證在其定義區(qū)間的端點與分別為右連續(xù)與左連續(xù).所以在上連續(xù).設(shè)與對應(yīng)的函數(shù)值分別為由的嚴(yán)格增性知＜＜令則當(dāng)時，對應(yīng)的的184四函數(shù)的整體連續(xù)性-——一致連續(xù)：設(shè)在某一區(qū)間Ｉ連續(xù)，按照定義，也就是在區(qū)間Ｉ內(nèi)每一點都連續(xù)。即對時，就有在一致連續(xù)定義中與無關(guān)，是在區(qū)間放在何處而皆準(zhǔn)的普適常數(shù)。四函數(shù)的整體連續(xù)性-——一致連續(xù)：設(shè)在某一區(qū)間Ｉ185數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性186{

{

{{187數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性188１．一致連續(xù)的定義定義2設(shè)為定義在區(qū)間Ｉ上的函數(shù)。若對任給的，存在一個，使得對任何，只要，就有則稱函數(shù)在區(qū)間Ｉ上一致連續(xù)。在一致連續(xù)定義中與無關(guān)，是在區(qū)間放在何處而皆準(zhǔn)的普適常數(shù)。１．一致連續(xù)的定義定義2設(shè)為定義在區(qū)間Ｉ上的函數(shù)。若對任給189數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性190數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性191數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性192五、小結(jié)連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)反函數(shù)的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.一致連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法.五、小結(jié)連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)反函數(shù)的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性193思考題思考題194思考題解答是它的可去間斷點思考題解答是它的可去間斷點1954.3初等函數(shù)的連續(xù)性

4.3初等函數(shù)的連續(xù)性196一初等函數(shù)的連續(xù)性★三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★一初等函數(shù)的連續(xù)性★三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是197★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))Th4.12基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.Th4.13一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))Th4.12基本初等函數(shù)在定義198注意1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,這些孤立點的鄰域內(nèi)沒有定義.在0點的鄰域內(nèi)沒有定義.注意2.初等函數(shù)求極限的方法代入法.注意1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)199例1求解它的一個定義區(qū)間是例1求解它的一個定義區(qū)間是200例2解例2解201例3求解不能應(yīng)用差的極限運(yùn)算法則，須變形——先分子有理化，然后再求極限例3求解不能應(yīng)用差的極限運(yùn)算法則，須變形202數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性203習(xí)題課習(xí)題課204一、主要內(nèi)容（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念一、主要內(nèi)容（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念205函數(shù)的定義函數(shù)的性質(zhì)單值與多值奇偶性單調(diào)性有界性周期性反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)（一）函數(shù)函數(shù)函數(shù)反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接基本初等函數(shù)復(fù)合函2061.函數(shù)的定義函數(shù)的分類2.函數(shù)的性質(zhì)有界、單調(diào)、奇偶、周期3.反函數(shù)4.隱函數(shù)5.基本初等函數(shù)冪、指、反、對、三6.復(fù)合函數(shù)7.初等函數(shù)8.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)1.函數(shù)的定義函數(shù)的分類2.函數(shù)的性質(zhì)有界、單調(diào)、奇偶、周期207數(shù)列極限函數(shù)極限左右極限極限存在的充要條件無窮大兩者的關(guān)系無窮小的性質(zhì)極限的性質(zhì)求極限的常用方法無窮小判定極限存在的準(zhǔn)則兩個重要極限無窮小的比較等價無窮小及其性質(zhì)唯一性（二）極限數(shù)列極限函數(shù)極限左右極限極限存在的無窮大兩2081、極限的定義：單側(cè)極限2、無窮小與無窮大無窮??；無窮大；無窮小與無窮大的關(guān)系無窮小的運(yùn)算性質(zhì)3、極限的性質(zhì)四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的極限極限存在的條件1、極限的定義：單側(cè)極限2、無窮小與無窮大無窮小；無窮大；無2094、求極限的常用方法a.多項式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利用無