九年級(jí)數(shù)學(xué)思想方法與代數(shù)綜合

精銳教育學(xué)科教師輔導(dǎo)講學(xué)員 數(shù)：學(xué)員 學(xué)科教師T（化歸思想T（數(shù)形結(jié)合思想T（分類討論思想（方程思想授課日歸思想與代數(shù)1.梯形ABCD的面積為1，試ACBDADBC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形的面積9O（0，0 9252 2、問題的等價(jià) 3.

x22x

的自變量x的取值范圍為任意實(shí)數(shù),c的取值范圍3、函數(shù)思函數(shù)思想，是指用函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)去分析問題、問題和解決問題。4.如圖，線段AB的長(zhǎng)為2，CAB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以ACBCAB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形△ACD和△BCEDE長(zhǎng)的最小值是1．DE．AC＝x∵△ACD和△BCE分別是等腰直角三角∴∠DCA＝45°，∠ECB＝45°，DC＝，CE＝故DE2＝DC2＋CE2＝x2＋MBC（B，CMMN∥yNMm，請(qǐng)用mMN在（2）NB、NCM，使△BNCm答案（1）yx22xMN(m22m3)(m

m2

0m1（3）SBNCSCMNSMNB2MNOBMN最大時(shí)，△BNCMNm23m(m23m

9)

m

322

94所以當(dāng)m3時(shí)，△BNC19327 6.xx22axb20a0,b033

，且2x1x22a，b在（2）yx22axb2xA、C（A－y解：(1)xx22axb20∴Δ=(2a)24b20a2-b2≥0,（a+b（a-∵a0,b0∴a+b＞0,a-∴ab3（2）∵ 3∴設(shè)a2kb

3kxx24kx3k20得xk或-3kx1kx23k時(shí)，由2x1x22k22當(dāng)x13k,x2=-k時(shí)，由2x1x22得k 253∴a4,b 33（3）當(dāng)a4b3

（－6，02，0（0，12z＝3x－yy3xz.yx28x12y3xyx28xCz的值等于－67.x2+y2=12x+y

y3x

x22(1m)xn經(jīng)過點(diǎn)（13m12求nm若此拋物線的頂點(diǎn)為（pq，用含mp和q，并求qp之間的函數(shù)

x22(1m)xn經(jīng)過點(diǎn)（13m12∴3m1(1)22(1m)(1)n2∴nm32（2）∵

x22(1m)xm32∴pm

qm23m12∵pm ∴mp1.∴q(p1)23(p1)2

∴qp2p210ykx2k2)x2（其中k0P(mnn ．（1）y0，則kx2k2)x20整理，得(x1)(kx2)0解得x1x2 (,∴該拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，(,ky

2 k24k(k2)x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 , ) |n|的最小值為

k2平移后拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(, ) x1由 由k

y

1y y

15、折線和最小問題的轉(zhuǎn)若點(diǎn)M是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，求AM+OM的最小值．答案:解析式為y=﹣x2+x．OM+AM最小值為 12xOyOABC的邊OAy軸的正半軸上，OCx軸的正半軸上，OA＝AB＝2，OC＝3，BBD⊥BCOAD．將∠DBCB按順時(shí)針方向旋y軸的正半軸、xEF．求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式BE經(jīng)過（1）中拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，求CFyEABD CP、Q（QP的上方，yEABD C（1）（0，2B（224a2b2則9a3b2a 解得 b 2 ∴y x x2 （2）由y2x24x2＝2(x1)28

C G（183GGH⊥AB 3∵∴

3∴GH是△BEA4∴EA＝3GH＝3BBM⊥OCM．MB＝OA＝AB．∵∴∴Rt△EBA≌R ∴3

．∵CM＝OC－OM＝3－2＝1，∴CF＝FM＋CM＝3BCGHC向上（－1，1． 4 y

x x＝1H，坐標(biāo)為（1， 2G的坐標(biāo)為（1，311：y=x＋bx－2xA、ByCA(－1，0)，20)xMC＋MD，mB

2：已知點(diǎn)A（3，4），點(diǎn)B為直線x=﹣1上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)1，若點(diǎn)C（x，0）且﹣1＜x＜3，BC⊥ACy與x2，當(dāng)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，1）時(shí)，在x軸上另取兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=1．線段EF在x軸上平移，線段EF平移至何處時(shí)，四邊形ABEF的周長(zhǎng)最?。壳蟪龃藭r(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．1，過點(diǎn)AAE⊥x軸于點(diǎn)E．在△BCD與△CAE中，∴y=﹣x2+x+∴當(dāng)x=1時(shí)，y（3）2，過點(diǎn)A作xAA′AA′=1B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接A′B′，交x軸于點(diǎn)E，在x軸上截取線段EF=1，則此時(shí)四邊形ABEF的周長(zhǎng)最小．設(shè)直線A′B′的解析式為y=kx+b，則則．∴直線A′B′的解析式為y=x+當(dāng)y=0時(shí)，x+=0，解得x=﹣故線段EF2所示位置時(shí)，四邊形ABEF的周長(zhǎng)最小，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（﹣，1、化一般為具體是化歸思想 3、消元思想求變量之間的函數(shù)關(guān)系式時(shí)，注意代入消元時(shí)，不出現(xiàn)的那個(gè)量要被別的量替換，。形結(jié)合思想與代數(shù)1.ykxbymx1，B（-kb結(jié)合圖象直接寫出不等式kxbm0的解集x

ymA1

ykxx答案：(1)k=1,b=-12)-1<x<0例2、二次函數(shù)yax2bx的圖象如圖，若一元二次方程ax2bxm0有 數(shù)根，則m的最大值為（B）A.- 相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（D A.k<- B.k>- C. D.4.

ym1)x2m2)x1xA、Bmm>1,AB的左側(cè)，OAOB=13,設(shè)（2）中拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，過點(diǎn)C作直線l//x軸, 將拋物線在y軸左側(cè)的部分沿直線l翻折,拋物線的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象.請(qǐng)你結(jié)合新圖象回答:當(dāng)直線y1xbP(x0y0)y07時(shí),b的取值范圍3答案（1）m的取值范圍是m

860且m11． 6（2）y1x22x1 （3）b的取值范圍為1b5或b<-74

-4-3-2-

4321Oy12345678分析:（3）∵Cy

1x2

x1y

-1-2 -3C的坐標(biāo)為(0

-4-5y7

1x2

x17 1 x16

x24D(67

-4-3-2-1O1C-

34567l3-當(dāng)直線y1xb經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)，可得b5 -3---當(dāng)直線y1xb經(jīng)過C點(diǎn)時(shí)，可得b1 -- -y1xb(b1y1x22x1(x ,1xb1x22x1.整理得x2

3b33 3 3 由D(-3)2

4(-

3)=12b+21=0，得b74b的取值范圍為1b5或b<-745yx2bxc（x0x=1y1，x=0x=4時(shí)的函數(shù)值相等．yx2bxc（x≥0）f(xxx2bxc(xf(x)2(x

xf(xxkk（1）∵yx2bxc（x≥0）x=1y1，x=0x=4時(shí)的函數(shù)值相等，∴b解得b4c2yx24x2（x≥0．4所示．（2）k的取值范圍是2k2（

x22(1m)xn經(jīng)過點(diǎn)（13m12求nm若此拋物線的頂點(diǎn)為（pq，用含mp和q，并求qp之間的函數(shù)y2mx1xy2y，直接寫出m 圍

x22(1m)xn經(jīng)過點(diǎn)（13m12∴3m1(1)22(1m)(1)n2∴nm32（2）∵

x22(1m)xm32∴pm

qm23m12∵pm ∴mp1.∴q(p1)23(p1)2m的取值范圍是3m1且m

∴qp2p27.m為整數(shù)，方程2x2mx1=0的兩個(gè)根都大于-132my2x2mx∵2x2mx10的兩根都在132x1y02m10x3y093m10 ∴21m1．∵m為整數(shù) 3

①當(dāng)m2時(shí)，方程2x22x10，4812②當(dāng)m1時(shí)，方程2x2x10，x1

1 ③當(dāng)m0時(shí)，方程2x210x22m8.yx22xcc＝－3x若－2＜x＜1xc的取值范圍．（1）yx22x3.y0x22x30x13x2（－3,0（1，0）（2）yx22xcx①若拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則交點(diǎn)為（－1，0）.有012c，解得c1.[來源: x當(dāng)x2時(shí)，y ∴44c≤0，解得c當(dāng)x1時(shí)，y0，∴12c0，解得c3. ∴3c≤0.綜上所述，c的取值范圍是c1或3c≤0.問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC

2,13,

．積同學(xué)在解答這道題時(shí)先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格(每 個(gè)方形的邊長(zhǎng)為1)，再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在方形的頂點(diǎn)處如圖1所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．．ACBACB圖 圖 圖請(qǐng)你將△ABC的面積直接填寫在橫線上． (2)我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為、25a、26a(a0)，請(qǐng)利用圖2的正方形網(wǎng)格(每個(gè) 正方形的邊長(zhǎng)為a)畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積是 4m216m24m216m2m2(m0,no,m為

5 2CAB

n n2m 圖 圖

x24xx24x2

的最小值A(chǔ)B4AD2CDAD2

1BE2ADxBD4xBD2BD2BEx2x24x2D、CECDDEx2∴CEx2

44x2CEAB的平行線交CAD D∴AF∥AFEB∴AFBE2,EFAB RtCFEF90,CFx24xx24x2檢測(cè)1.yax2bxcax2bxc0 DA．1x

B．x 2.x23x10yx3y1x0么用此方法可推斷出方程x32x10的實(shí)根x所在的范圍 (B01x0

0x0

1x0

2x03yx2kxk2kxPm，n，n<，OP=4為5

OPx3將（2）xx軸翻折，與原圖象的另一部分組成一個(gè)新的圖形MyxbMb的取值范圍.yy1-11x（1）y=0x2kxk20∵b24ack24(k2)(k2)24∵(k2)20∴(k2)240kx OP

,sinPOA ∴AP83∴P(2,8)3

OA2

C-1 P∵P8∴ 42kk232∴k 3yx22x8 （3）y=0x22x80 ∴x2,x4 ∴拋物線與xB(20C43yxbC（-2，0）時(shí)，by

yxb∴△=254(b8)0

x

相切時(shí)，x

xb∴b

121∴當(dāng)121＜b＜-2M（－10（30，0<x<4yy=ax2+bx+c－p（a≠0，p為實(shí)數(shù)）0<x<4x軸有且只p的取值范圍.解∵二次函數(shù)的圖象與xA（－1，0，B（3，0y的取值范圍是－4≤ypp=－4－3≤p1、根據(jù)二次函數(shù)及變形后的二次函數(shù)（對(duì)稱、翻折）及分段函數(shù)與某條直線（XX軸3、注意含絕對(duì)值的函數(shù) ——分類討論思想，方程思想與代數(shù)綜由概 的分類討a1.a

b

ab的所有可能值有（Ab 2個(gè) 3個(gè) 4個(gè) 5b2.關(guān)于x的方程(1–a)x2+2x+2=0有實(shí)根,a的取值范圍1答案：23x的方程mx2(3m2)x2m20求證：無論m取任何實(shí)數(shù)時(shí)，方程恒有實(shí)數(shù)y=（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間3k的值．（1）k1時(shí)，方程4x4=0k1時(shí)，方程(k1)x23k1)x2k2=0是△=（3k-1）2-4(k+1)(2k-2)=（k-k為除-1外的任意實(shí)數(shù)時(shí)，此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．k取任意實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根．（2）x13k(k3)，x=-1，x=

2 kk=1時(shí)，方程的兩根為-1，0；k=3時(shí)，方程的兩根為-1，-1．∴y=（k+1）x2+(3k-1)x+2k-2xx1x2=3，x2x1x1x2=3k=-3；x2x1=3k=0．綜上，k=0，-由圖形的形狀或位 4．AxOA=4，OAO120°OBB存在，求點(diǎn)P答案：（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣2，﹣23

y

3x223 P（2，﹣23

CD2,2B（3,2，C則滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)是 66（-2,（3,0（- （0,2- 66例6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y1x2xPyA，拋物線3y1x2bxcE(10)AB兩點(diǎn)2⑴求拋物線的解析式（關(guān)系式⑵AACABx軸于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；除點(diǎn)C外，在坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)M，使得MABM的坐標(biāo)，答案:(1y1x23x 點(diǎn)C

2,3(0, 滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)是 7、或(0,

0)、或

,0)、或 ,0)， (092)共五個(gè)9

7、如圖1，已知正方形OABC的邊長(zhǎng)為2A、C分別在x、y軸的正半軸上，MBC的中點(diǎn)。P（0，m）OC上一動(dòng)點(diǎn)（C點(diǎn)除外PMABD。D的坐標(biāo)（m的代數(shù)式表示⑵當(dāng)△APDm⑶設(shè)過P、M、B三點(diǎn)的拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作直線ME的垂線，垂足為H（如圖2當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)H請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)（不 PP 圖 圖∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為 AP=AD4＋m=(4－mm 若 過P作PF⊥AB于點(diǎn)F（如圖 AF=FD2

AD=2

∴m1(4m)

m3

∴PM=2

PD=2

AD=2

∴(2m)211(44解得m2

2(舍去)

綜上所述，當(dāng)△APD是等腰三角形時(shí)，m的值為或 5⑶點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長(zhǎng) 54例8yx22k1x4k的圖象與xAx,0Bx,0 3<x<1 求kyx22k1x4kyM，若OMOB，求二次函數(shù)的在(2)NxN、A、M為頂點(diǎn)作平行四邊形，該平行四邊形Fyx22k1x4k的圖象上，請(qǐng)直接寫出滿足上述條件的解：(1)y0x22k1x4kx2kx2，∴-32k1 ∴3k1 x0y4k∵OMOB∴4k2∴k12∴yx2x2∴M0，-2Myx22k1x4k∴4k2 ∴yx2x225 5 （1

k129ABCOAB4，OBA、B、Cx軸交D.P1BBAAA停止，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)QD3DC向點(diǎn)CP同時(shí)停止.ABExFP運(yùn)動(dòng)時(shí)間tPOQE（1）OCAByax2bxcB，ca1 解得

b1 y1x21x y1(x2)221 xD(0，E(2，F(xiàn)(，0).POQE為等腰梯形，則有OPQE.即BPt63t，即t32PBOBOQBPOQBPBO PBOQ或OB2P、Qy軸的同側(cè).當(dāng)BPOQt83t，t解得t2，t2 P、Qy軸的異側(cè).當(dāng)PBOQ3t8t，t當(dāng)OB2PB·QOt(3t84，即3t28t40解得t4273t4t423

t4273當(dāng)t2或t2或t4或t427P、B、O BC的左邊yD、M（DM的下方Ex=3上的任一點(diǎn)，則在拋物線上是否存在FB、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平（1）B（－2，0，C（8，0．AD．Rt△AOD∴D的坐標(biāo)為（0,－4．yax2bx4C（8，0a1b ∴∴

解得

b

y1x23x4 2 FB、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．必有EFBCEF∵EE為（3e，且e＞0．F1（－7，t，F(xiàn)2（13，tFF(7,75F(1375

t754 BC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，AE=AF，如（2FFy1x23x41(x3)225 知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3254F點(diǎn)的坐標(biāo)為F(3,25 FF(7,75F(1375F(3,25 :2：xOyyax2bx求拋物線的解析式

x4PPMxM.A、P、M為頂點(diǎn)的三角形與△OCBP的坐標(biāo)； （1）36a6b2

a1

Pb5P y1x25x2 （2）令y0，得1x25x20 A(1，0)，B(4，0．x0，得y2．P（

1m25m2 OCOB ∴ m

1m25m 解這個(gè)方程，得m18，m21（舍OCOB 1m25m

m解這個(gè)方程，得m15，m21（舍∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5，2) F的坐標(biāo)為

5,

5)或(

5,

5或(816或(2，1 3、固定三點(diǎn)找一點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形（過三個(gè)固定點(diǎn)做三邊的平行線的三個(gè)交點(diǎn)4、固定兩點(diǎn)找兩點(diǎn)（以固定的兩點(diǎn)考慮為邊或?yàn)閷?duì)角線分類討論課后作1：yx2bxcM(1,-將二次函數(shù)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一yx

與這個(gè)新圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求n的取解;(1)M(1,-4)yxm)2k所以y(x1)24x22x 1x22x301

3.1，0，B（3,0）(2)1yxb(b1Abyxb(b1Bb由圖可知符合題意的b的取值范圍為3b2y3x2mx2求證：無論mx軸若mx的方程3x2mx20的兩個(gè)有理數(shù)根都在14343

）時(shí)，求m（1）∵△m243(2m224∴無論m為任何實(shí)數(shù)，都有m224xy3x2mx2y軸交于（0，-2）∵方程3x2mx20的兩根在-1434∴當(dāng)x=-1和x 時(shí)，y0433m2 即164m2

解得 m2mm=-2，-1，0m=-2=28，根為無理數(shù)，不合題意m=-1=25x1,x2，符合題意 m=0=24，根為無理數(shù)，不合題意.綜上所述m=-1.3A（ay1、B（2a，y2、C（3a，y3）y1x21x上 xa=1時(shí)，求△ABCy1、y2、y3a無關(guān)的等式？如果

1-1 （1）y1x21x=0x0x1 （0，0A（1，0B（2，1C（3，3SABC=

S梯形∵

1（個(gè)單位面積2y33(y2y1)1a21a1a21a，

12a212a2a2a y13a213a9a23a 又∵3（yy）312a212a1a21a 2 =9a23a ∴y33(y2y14：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)為（41）yAxB，C兩點(diǎn)（B在點(diǎn)C的左側(cè)）.A點(diǎn)坐標(biāo)為（03）.過點(diǎn)B作線段AB的垂線交拋物線于點(diǎn)D，如果以點(diǎn) BDlC APAC間，問：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，PAC的面積最大？并 出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和PAC的最大面積（1）ya(x4)21A（0，33a(04)21.a14∴拋物線為y1(x4)211x22x3 lC相交1(x4)210x2x6 32（2，0， 32CBDE，連接CE，則BEC90AOB∵ABD90，∴CBE