風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量培訓(xùn)教材課件

第8講風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量預(yù)期效用與主觀(guān)概率理論，對(duì)人們?cè)诓淮_定環(huán)境中的行為進(jìn)行了準(zhǔn)確描述和深刻分析，論證了人們追求預(yù)期效用最大化的行為準(zhǔn)則，為研究不確定條件下的選擇問(wèn)題提供了很好的理論基礎(chǔ)。本講在此基礎(chǔ)上展開(kāi)進(jìn)一步的討論，主要議題有三個(gè)：預(yù)期效用與主觀(guān)概率理論是否反映了實(shí)際現(xiàn)象？在風(fēng)險(xiǎn)活動(dòng)面前，人們的態(tài)度如何？如何測(cè)定人們規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的傾向強(qiáng)弱？回答第三個(gè)問(wèn)題是本講的重點(diǎn)。事實(shí)上，從上一講的賭博事例已經(jīng)看到，當(dāng)效用函數(shù)的性能發(fā)生了“凸性線(xiàn)性凹性”的變化時(shí)，消費(fèi)者對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度相應(yīng)地發(fā)生了“愛(ài)好中性厭惡”的變化。由此得到一個(gè)猜想：效用函數(shù)越凹，人們?cè)絽拹猴L(fēng)險(xiǎn)，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向越強(qiáng)。我們將證明這一猜想是正確的，由此便可引出一種對(duì)人們規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的傾向強(qiáng)弱進(jìn)行測(cè)定的辦法——風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量。第8講風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量預(yù)期效用與主觀(guān)概率理論，對(duì)人們?cè)诓淮_定環(huán)1一、關(guān)于預(yù)期效用的悖論與爭(zhēng)議關(guān)于不確定條件下的選擇問(wèn)題，上一講建立的預(yù)期效用和主觀(guān)概率理論似乎是完美的和合乎實(shí)際的，讓我們完全有理由相信人們?cè)诓淮_定的環(huán)境(風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境或無(wú)常環(huán)境)中是根據(jù)不確定性行動(dòng)的預(yù)期效用大小來(lái)進(jìn)行評(píng)判和選擇的。然而阿萊和艾斯勃格分別對(duì)預(yù)期效用和主觀(guān)概率進(jìn)行了實(shí)際考察，發(fā)現(xiàn)了理論與實(shí)際不符的兩個(gè)現(xiàn)象：AllaisParadox和EllsbergParadox，引起了人們對(duì)預(yù)期效用和主觀(guān)概率理論的質(zhì)疑和爭(zhēng)議。有些人借此否定預(yù)期效用和主觀(guān)概率理論，認(rèn)為需要建立新的理論來(lái)解釋不確定條件下的選擇行為。另一些人則認(rèn)為，出現(xiàn)這兩個(gè)悖論的原因不是理論錯(cuò)了，而在于人們進(jìn)行評(píng)判時(shí)發(fā)生了“視覺(jué)錯(cuò)誤”。比如，有時(shí)候人們無(wú)法判斷距離，但這不意味著需要重新發(fā)明一種距離概念。因此，預(yù)期效用和主觀(guān)概率理論是正確的。下面，我們介紹這兩個(gè)悖論。一、關(guān)于預(yù)期效用的悖論與爭(zhēng)議關(guān)于不確定條件下的選擇問(wèn)題，上一2(一)AllaisParadox這是一個(gè)關(guān)于預(yù)期效用的悖論?，F(xiàn)有四種彩票A、B、C、D，其獎(jiǎng)勵(lì)等級(jí)、獲獎(jiǎng)概率分布以及預(yù)期收入情況見(jiàn)下表所示。彩票ABCD獎(jiǎng)金(萬(wàn)元)100110100010001100獲獎(jiǎng)概率100%10%89%1%11%89%10%90%預(yù)期收入(萬(wàn)元)1001001111調(diào)查發(fā)現(xiàn)，很多人都認(rèn)為

A

B且

D

C。A與B相比，雖然預(yù)期收入都為100萬(wàn)元，但

A是穩(wěn)當(dāng)?shù)氐玫?00萬(wàn)元，B則有1%的可能一無(wú)所獲，而多得10萬(wàn)元的概率才僅僅不過(guò)10%：概率小，多得的數(shù)額也相對(duì)較小。這樣，A明顯比B好。C與D相比，雖然預(yù)期收入都為11萬(wàn)元，但購(gòu)買(mǎi)

D

僅以少1%的可能性就要比購(gòu)買(mǎi)

C

多得10萬(wàn)元，因而D比C好。(一)AllaisParadox這是一個(gè)關(guān)于預(yù)期效用的悖3計(jì)算預(yù)期效用設(shè)消費(fèi)者的預(yù)期效用函數(shù)為

u。計(jì)算一下預(yù)期效用，則有：u(A)=u(100)u(B)=u(110)10%+u(100)89%+u(0)1%u(C)=u(100)11%+u(0)89%

u(D)=u(110)10%+

u(0)90%

根據(jù)調(diào)查結(jié)果A

B，應(yīng)有u(A)>u(B)。由此可知：u(100)11%>u(110)10%+u(0)1%在此式兩邊加上u(0)89%可得：u(100)11%+u(0)89%>u(110)10%+u(0)90%即

u(C

)

>

u(D)，這與實(shí)際調(diào)查結(jié)果

D

C

相矛盾：通過(guò)預(yù)期效用函數(shù)得到的評(píng)價(jià)與消費(fèi)者的實(shí)際評(píng)價(jià)相悖。那么這個(gè)悖論是否說(shuō)明預(yù)期效用理論有著不切實(shí)際的地方？其實(shí)，這個(gè)悖論中消費(fèi)者評(píng)價(jià)的“視覺(jué)錯(cuò)誤”是明顯存在的。計(jì)算預(yù)期效用設(shè)消費(fèi)者的預(yù)期效用函數(shù)為u。計(jì)4(二)EllsbergParadox這是一個(gè)關(guān)于主觀(guān)概率的悖論。情景：袋中有紅球、藍(lán)球和綠球共300個(gè)，其中紅球100個(gè)。現(xiàn)有四種形式的賭博A、B、C、D：A：從袋中摸出一球，如果為紅球，可得1000元。B：從袋中摸出一球，如果為籃球，可得1000元。C：從袋中摸出一球，若不是紅球，可得1000元。D：從袋中摸出一球，若不是籃球，可得1000元。面對(duì)這四種賭博，每個(gè)人都需要對(duì)袋中有多少藍(lán)球和有多少綠球作出自己的主觀(guān)判斷，因而涉及主觀(guān)概率。通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)人基本上都認(rèn)為

A

B

且

C

D

。作出這種評(píng)價(jià)的原因可能在于

A

的確定性比

B

高，C

的確定性比

D

高。用

P表示賭博者的主觀(guān)概率測(cè)度，u表示在這個(gè)概率測(cè)度下的預(yù)期效用函數(shù)。用

F

表示摸出紅球這一事件，G

表示摸出藍(lán)球這一事件。則表示摸出的球不是紅球，表示摸出的球不是藍(lán)球。(二)EllsbergParadox這是5計(jì)算預(yù)期效用從A

B知：(

p-

q)

u(1000)>(

p-

q)

u(0)。從

C

D

知：(

p-

q)

u(1000)<(

p-

q)

u(0)。這是兩個(gè)矛盾的不等式！可見(jiàn)，按照主觀(guān)概率理論，根本不可能讓

A

B

和

C

D

同時(shí)成立。然而，調(diào)查得到的事實(shí)卻是如此。因此，主觀(guān)概率理論也有不切實(shí)際的地方和時(shí)候。其實(shí)，出現(xiàn)這個(gè)悖論，很大的原因還在于評(píng)價(jià)判斷上出現(xiàn)的錯(cuò)覺(jué)。是調(diào)查中消費(fèi)者評(píng)價(jià)錯(cuò)了，而不是理論錯(cuò)了。令p

=

P(F

)，q

=

P(G

)。則。計(jì)算這四種賭博的效用，可得到：計(jì)算預(yù)期效用從AB知：(p-q6二、對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度從賭博事例可得到這樣的啟示：一個(gè)人對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度完全反映在他的偏好關(guān)系上。對(duì)此，可用預(yù)期效用理論加以嚴(yán)格表述。設(shè)消費(fèi)者的確定性選擇集合

X

是商品空間的凸閉子集，消費(fèi)者所處的風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境為(,

F)，風(fēng)險(xiǎn)選擇集合為X(或用D)，風(fēng)險(xiǎn)偏好為

。假定風(fēng)險(xiǎn)偏好

滿(mǎn)足阿基米德公理和獨(dú)立性公理。于是，存在

的預(yù)期效用函數(shù)

u:

XR。對(duì)任何,X，f,

gD及

p[0,

1]，有我們把和u在確定性選擇集合

X

上的限制

分別叫做結(jié)果偏好和結(jié)果效用函數(shù)。當(dāng)

f是X的分布函數(shù)時(shí)，E=Ef

=

X

x

d

f

(x)X

叫做的預(yù)期收益。通過(guò)比較與E，方可判斷消費(fèi)者對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度。二、對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度從賭博事例可得到這樣的啟示：一個(gè)人對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)7(一)對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的熱衷態(tài)度風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者對(duì)任何非退化風(fēng)險(xiǎn)行為

X，都有

E。風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者的結(jié)果效用函數(shù)U

:

XR

(U(x)

=

u(x))是嚴(yán)格凸函數(shù)。當(dāng)一種風(fēng)險(xiǎn)行動(dòng)X與一種確定性行動(dòng)

xX

具有相同的預(yù)期收益(E

=

x)時(shí)，如果消費(fèi)者認(rèn)為

比

x

好(

x)，那么這足以說(shuō)明消費(fèi)者是熱衷于冒險(xiǎn)的：不冒險(xiǎn)，就沒(méi)有取得高收益的可能；為了高收益，值得去冒險(xiǎn)。這種熱衷于冒險(xiǎn)的消費(fèi)者，叫做風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者。U

=

px(1

p)yE

=

px+(1

p)y事實(shí)上，對(duì)任何

x,

yX

及

p[0,1]，有u(

y)這就說(shuō)明，U(x)是嚴(yán)格凸函數(shù)。Xu(

x)xyEu(E)u()(一)對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的熱衷態(tài)度風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者對(duì)任何非退化風(fēng)險(xiǎn)行為8(二)對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的冷淡態(tài)度風(fēng)險(xiǎn)冷淡者對(duì)任何

X，都有

E。風(fēng)險(xiǎn)冷淡者的結(jié)果效用函數(shù)是凹函數(shù)，從而結(jié)果偏好是凸偏好。在風(fēng)險(xiǎn)行動(dòng)X與確定性行動(dòng)

xX

的預(yù)期收益相同(E

=

x)的情況下，如果消費(fèi)者認(rèn)為

不比

x

好(

x)，則說(shuō)明消費(fèi)者不熱衷于冒險(xiǎn)，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)持冷淡態(tài)度：不愿意冒險(xiǎn)追求高收益。這種對(duì)冒險(xiǎn)不熱衷的消費(fèi)者，叫做風(fēng)險(xiǎn)冷淡者。

xy

=

px(1

p)yy

E

y事實(shí)上，對(duì)任何x,

yX及

p[0,1],有這就說(shuō)明，U(x)是凹函數(shù)，從而是擬凹的，即結(jié)果偏好是凸偏好。XxyE

=

px+(1

p)y結(jié)果偏好是凸偏好(二)對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的冷淡態(tài)度風(fēng)險(xiǎn)冷淡者對(duì)任何X，都有91.風(fēng)險(xiǎn)厭惡者風(fēng)險(xiǎn)厭惡者對(duì)任何非退化風(fēng)險(xiǎn)行為

X，都有

E。風(fēng)險(xiǎn)厭惡者的結(jié)果效用函數(shù)嚴(yán)格凹，從而結(jié)果偏好嚴(yán)格凸。在風(fēng)險(xiǎn)行動(dòng)X與確定性行動(dòng)

xX

的預(yù)期收益相同(E

=

x)的情況下，如果消費(fèi)者認(rèn)為

比

x

差(x)，則說(shuō)明消費(fèi)者討厭冒險(xiǎn)，根本不會(huì)冒險(xiǎn)追求高收益。這種對(duì)冒險(xiǎn)行動(dòng)持討厭態(tài)度的消費(fèi)者，叫做風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，也叫做風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者。U

=

px(1

p)yE

=

px+(1

p)y事實(shí)上，對(duì)任何x,

yX及

p[0,1],有u(

y)這就說(shuō)明，U(x)是嚴(yán)格凹函數(shù)，從而嚴(yán)格擬凹，即結(jié)果偏好是嚴(yán)格凸。Xu(

x)xyEu(E)u()1.風(fēng)險(xiǎn)厭惡者風(fēng)險(xiǎn)厭惡者對(duì)任何非退化風(fēng)險(xiǎn)行為X，102.風(fēng)險(xiǎn)中立者風(fēng)險(xiǎn)中立者對(duì)任何X，都有

~E。風(fēng)險(xiǎn)中立者的結(jié)果效用函數(shù)是線(xiàn)性的，結(jié)果無(wú)差異曲線(xiàn)為直線(xiàn)。在與確定性行動(dòng)

xX的預(yù)期收益相同的風(fēng)險(xiǎn)行動(dòng)X(E

=

x)面前，如果消費(fèi)者既不更傾向于選擇，又不更傾向于選擇x

，即認(rèn)為~x，則說(shuō)明消費(fèi)者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)持中立態(tài)度，既不熱衷，也不討厭。這種對(duì)風(fēng)險(xiǎn)持中立態(tài)度的消費(fèi)者，叫做風(fēng)險(xiǎn)中立者。U

=

px(1

p)yE

=

px+(1

p)yu(

y)Xu(

x)xyEu(E)u()XxyE

=

px+(1

p)y

x~y

=

px(1

p)y~y

E~

~y結(jié)果無(wú)差異曲線(xiàn)2.風(fēng)險(xiǎn)中立者風(fēng)險(xiǎn)中立者對(duì)任何X，都有~E11(三)結(jié)果效用函數(shù)的基數(shù)意義一般情況下，經(jīng)濟(jì)活動(dòng)者要么是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者，要么是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)冷淡者。應(yīng)該說(shuō)，絕大多部分人都是風(fēng)險(xiǎn)冷淡者，具有風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向。這樣一來(lái)，在預(yù)期效用函數(shù)下，絕大多數(shù)人的結(jié)果效用函數(shù)都是凹函數(shù)，結(jié)果偏好是凸偏好，而只有少數(shù)人的結(jié)果效用函數(shù)是凸函數(shù)。無(wú)論如何，風(fēng)險(xiǎn)選擇理論讓我們進(jìn)一步看到了確定性條件下對(duì)消費(fèi)者偏好作出凸性假設(shè)的合理性，也看到了確定性偏好的必然凸性。更重要的是，我們看到了每個(gè)人在確定性選擇集合上都存在著凹或凸的效用函數(shù)。效用函數(shù)的凹性是說(shuō)消費(fèi)者的邊際效用遞減，凸性是說(shuō)邊際效用遞增。而邊際效用是基數(shù)意義下的效用，也就是說(shuō)，只有在基數(shù)效用意義下，才能談?wù)撔в迷黾佣嗌?。因此，凹或凸的結(jié)果效用函數(shù)的存在，意味著基數(shù)效用函數(shù)存在。因此，預(yù)期效用函數(shù)存在定理順便回答了基數(shù)效用函數(shù)的存在性問(wèn)題，而且是肯定的回答。(三)結(jié)果效用函數(shù)的基數(shù)意義一般情況下，經(jīng)濟(jì)活動(dòng)者要么是一12三、賭博顯示的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度指標(biāo)

以上對(duì)于消費(fèi)者對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度的研究表明，沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向的風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者，其結(jié)果效用函數(shù)是嚴(yán)格凸的；而對(duì)風(fēng)險(xiǎn)持中立態(tài)度的消費(fèi)者，其結(jié)果效用函數(shù)既不嚴(yán)格凸，也不嚴(yán)格凹；一旦消費(fèi)者具有了風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向，其結(jié)果效用函數(shù)就成為嚴(yán)格凹的。這種現(xiàn)象讓我們自然產(chǎn)生這樣一種感覺(jué)：效用函數(shù)越凹，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向越強(qiáng)。那么，這種感覺(jué)是否正確？我們還是以為賭博為例，來(lái)對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行說(shuō)明。設(shè)經(jīng)濟(jì)人的財(cái)富收入效用函數(shù)為u(r)，，并設(shè)財(cái)富以元為單位來(lái)計(jì)。假定經(jīng)濟(jì)人當(dāng)前有w元。設(shè)

F

是隨機(jī)事件，其發(fā)生的概率為p。通過(guò)事件

F，可以設(shè)計(jì)賭博g(x,y)：若事件F

發(fā)生，則贏(yíng)

x

元，經(jīng)濟(jì)人的財(cái)富變?yōu)閣

+x

元；若事件F

未發(fā)生，則贏(yíng)

y

元，經(jīng)濟(jì)人的財(cái)富變?yōu)閣

+y元。三、賭博顯示的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度指標(biāo)以上對(duì)于消費(fèi)者13平面上每一點(diǎn)(x,

y)都代表一個(gè)賭博g(x,

y)。這樣，平面代表通過(guò)事件F設(shè)計(jì)的賭博的全體G：，稱(chēng)為賭博平面。(一)賭博平面盈利性賭博px

+

(1p)y

>

0虧損性賭博px

+

(1p)y

<

0xyo公平賭博原點(diǎn)(0,0)代表不賭。

賭博平面G=R2平面上每一點(diǎn)(x,y)都代表一個(gè)賭14對(duì)于賭博(x,

y)，消費(fèi)者是否接受，要看賭博的預(yù)期效用是否不低于不賭的效用：(二)接受集GAxy公平賭博GA

={(x,

y)

:pu(w+x)+(1p)u(w+y)

u(w)

}接受集邊界

GA接受集邊界在原點(diǎn)的切線(xiàn)oGA在原點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方程：px+(1p)y

=

0接受集邊界

GA在原點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)正是公平賭博直線(xiàn)！接受集GA是指由一切為消費(fèi)者所接受的賭博(x,y)組成的集合。對(duì)于賭博(x,y)，消費(fèi)者是否接受，要看賭15對(duì)任何(x,y),

(x,y)GA

及實(shí)數(shù)

t[0,

1]，令(x,y)=t

(x,y)+(1t)(x,y)

則有：1.接受集的凸性故

(x,y)

=

t

(x,y)

+

(1t)(x,y)

GA。這就證明了GA是凸集。對(duì)任何(x,y),(x,y)16

(0)正是

GA

在原點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率。這樣，就得到了接受集邊界

GA在原點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方程：p

x+(1

p)

y=0可見(jiàn)，接受集的邊界GA在原點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)正是公平賭博直線(xiàn)！接受集的邊界GA：GA={(x,

y)R2

:pu(w+x)+(1p)u(w+y)=u(w)}邊界方程pu(w+x)+(1p)u(w+y)=u(w)

隱含著y

=

(x)。求導(dǎo)可得：p

u(w+x)+(1p)

u(w+y)

(x)=0令x=0，即得到y(tǒng)

=

(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)：2.接受集邊界在原點(diǎn)的切線(xiàn)(0)正是GA在原點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜17由此可見(jiàn)，

(0)與u(w)

u(w)成正比，從而接受集邊界GA在原點(diǎn)(0,0)處的曲率大小與

u(w)

u(w)

成正比！3.接受集邊界在原點(diǎn)的曲率接受集邊界GA在原點(diǎn)處的曲率大小與

(0)成正比。為此，進(jìn)行如下求導(dǎo)計(jì)算：由此可見(jiàn)，(0)與u(w)u18(三)原點(diǎn)附近賭博的意義原點(diǎn)(0,0)附近的賭博具有特殊的意義：原點(diǎn)附近的賭博都是(賭金)數(shù)量較小的賭博：小賭博。如果一個(gè)人連小賭博都不愿意接受，那么就表明這個(gè)人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度較大，足見(jiàn)他具有較強(qiáng)的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向。一個(gè)人不愿意接受的小賭博越多，他的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度越大，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向越強(qiáng)。

(0)越大，接受集邊界GA

在原點(diǎn)(0,0)處越彎曲，不接受的小賭博便越多，從而風(fēng)險(xiǎn)厭惡度越大，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向越強(qiáng)。

u(w)

u(w)越大，

(0)越大。Animportantfact：

u(w)

u(w)

衡量著經(jīng)濟(jì)人的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度！Arrow&Pratt’smeasureAP(w)ofriskaversion：(三)原點(diǎn)附近賭博的意義原點(diǎn)(0,0)附近191.阿羅-普拉特風(fēng)險(xiǎn)厭惡度小賭博接受不接受1.阿羅-普拉特風(fēng)險(xiǎn)厭惡度小賭博接受不接受202.風(fēng)險(xiǎn)厭惡度

AP

與風(fēng)險(xiǎn)加價(jià)

RPU

=

v

(r)U

=

u

(r)2.風(fēng)險(xiǎn)厭惡度AP與風(fēng)險(xiǎn)加價(jià)RPU=v(r)U21四、風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向與風(fēng)險(xiǎn)厭惡度

賭博顯示的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度指標(biāo)AP(w)，適用于在任何風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境中去測(cè)量人們的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向的程度強(qiáng)弱。為了證實(shí)這一結(jié)論，設(shè)經(jīng)濟(jì)人所處的風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境為(,F,P)，確定性選擇集合

X

為實(shí)數(shù)集合

R，即

X=R，也就是說(shuō)，經(jīng)濟(jì)人選擇的任何結(jié)果都可以用實(shí)數(shù)加以表示，從而經(jīng)濟(jì)人的風(fēng)險(xiǎn)選擇集合

X

是風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境(,F,P)中的隨機(jī)變量的全體。再設(shè)u:X

R是經(jīng)濟(jì)人的VNM效用函數(shù)。注意下述事實(shí)：第一，風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者的VNM效用函數(shù)u

是嚴(yán)格凸函數(shù)；第二，風(fēng)險(xiǎn)厭惡者的VNM效用函數(shù)

u

是嚴(yán)格凹函數(shù)；第三，風(fēng)險(xiǎn)中立者的VNM效用函數(shù)

u

是線(xiàn)性函數(shù)；第四，風(fēng)險(xiǎn)冷淡者的VNM效用函數(shù)

u

是凹函數(shù)。按照行為變化是絕對(duì)量變還是相對(duì)量變，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向分為絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向(通常省略“絕對(duì)”二字)和相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向。

四、風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向與風(fēng)險(xiǎn)厭惡度賭博顯示的風(fēng)險(xiǎn)22(一)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向

風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量函數(shù)(阿羅-普拉特度量函數(shù))：函數(shù)

AP:

XR

的作用在于度量經(jīng)濟(jì)人的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向的程度強(qiáng)弱，其函數(shù)值就叫做經(jīng)濟(jì)人的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向或絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度。一般來(lái)說(shuō)，表達(dá)經(jīng)濟(jì)人風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向強(qiáng)弱的方式有三種：第一種是比較不同VNM效用函數(shù)下的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量函數(shù)。風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量函數(shù)的值越大，表示風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向越強(qiáng)。第二種是比較不同VNM效用函數(shù)的凹性強(qiáng)度。VNM效用函數(shù)越凹(指在遞增凹變換下把一個(gè)效用函數(shù)變成另一個(gè)效用函數(shù))，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向越強(qiáng)。第三種是比較不同VNM效用函數(shù)下的風(fēng)險(xiǎn)加價(jià)大小。風(fēng)險(xiǎn)加價(jià)越大，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向越強(qiáng)。(一)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量函數(shù)(阿231.普拉特定理定理(Pratt)

設(shè)確定性選擇集合

X=

R，風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境為(,F,P)。再設(shè)uA

:

X

R

和uB

:

X

R

都是二階可微、遞增、凹的VNM效用函數(shù)。則下面三個(gè)條件相互等價(jià)：對(duì)任何w

X，都有；存在遞增的凹函數(shù)

g，使得

uA(w)

=

g(uB(w))

對(duì)一切wX

成立；對(duì)一切

X，都有RPA(

)RPA(

)。普拉特研究了上述三種表達(dá)方式之后指出，它們相互等價(jià)。這樣一來(lái)，函數(shù)

AP

:

X

R

便很好地度量著經(jīng)濟(jì)人的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向。這里，風(fēng)險(xiǎn)行為

的風(fēng)險(xiǎn)加價(jià)RP(

)的定義為：RP(

)=Ec(

)其中的c(

)是這樣確定的：c(

)X&

u(c(

))

=

u(

)。1.普拉特定理定理(Pratt)設(shè)確定性選擇集合X242.普拉特定理的嚴(yán)格形式定理(Pratt)

設(shè)確定性選擇集合

X=

R，風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境為(,F,P)。再設(shè)uA

:

X

R

和uB

:

X

R

都是二階可微、遞增、凹的VNM效用函數(shù)。則下面三個(gè)條件相互等價(jià)：對(duì)任何w

X，都有；存在遞增的嚴(yán)格凹函數(shù)

g

使得

uA(w)

=

g(uB(w))對(duì)一切wX

成立；對(duì)一切非退化的風(fēng)險(xiǎn)行動(dòng)

X，都有RPA(

)>RPA(

)。普拉特定理中的那些不等式還可以換成嚴(yán)格不等式，從而得到普拉特定理的嚴(yán)格形式。2.普拉特定理的嚴(yán)格形式定理(Pratt)設(shè)確定性選25(二)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向風(fēng)險(xiǎn)厭惡度AP(w)測(cè)量的是在行為的絕對(duì)量變中，經(jīng)濟(jì)人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度強(qiáng)弱，因而才叫做絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度。但實(shí)際中，人們也常常使用相對(duì)量變，即用比例來(lái)表達(dá)數(shù)量變化。采用相對(duì)量變的好處在于消除了量綱影響，從而能更好地把握經(jīng)濟(jì)變量的變化。這樣，我們也需要測(cè)量經(jīng)濟(jì)人在行為的相對(duì)量變中對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度大小，這就是所謂的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度及相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向。

為此，我們給出如下定義。設(shè)

u

:

X

R

是經(jīng)濟(jì)人的VNM效用函數(shù)，X=R。對(duì)任何w

S，定義RAP(w)為：函數(shù)RAP

:

X

R叫做經(jīng)濟(jì)人的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量函數(shù)，或阿羅-普拉特相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)度量，或相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向。函數(shù)值RAP(w)叫做經(jīng)濟(jì)人在w

處的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度或在w

處的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向。(二)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向風(fēng)險(xiǎn)厭惡度AP(w261.賭博揭示的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向設(shè)經(jīng)濟(jì)人的財(cái)富收入效用函數(shù)為u(r)且(rX)(u(r)

>

0),并設(shè)財(cái)富以元為單位來(lái)計(jì)。假定經(jīng)濟(jì)人當(dāng)前擁有w元財(cái)富。設(shè)F是一個(gè)隨機(jī)事件，其發(fā)生的概率為p。通過(guò)事件F，可以設(shè)計(jì)相對(duì)賭博：對(duì)任何

x,

yR，平面上的點(diǎn)(x,

y)代表這樣的賭博：如果事件F

發(fā)生，則贏(yíng)

x

w

元，經(jīng)濟(jì)人的財(cái)富變?yōu)?1+x)w

元；若事件F

未發(fā)生，則贏(yíng)得

yw

元，經(jīng)濟(jì)人的財(cái)富變?yōu)?1+y)w

元。這樣，通過(guò)事件F設(shè)計(jì)的相對(duì)賭博的全體G正是平面R2：G=R2。原點(diǎn)(0,0)代表不賭，其余點(diǎn)(x,

y)((0,0))都代表真正的賭博。賭博(x,y)的預(yù)期效用為EU(x,

y)

=

pu((1+x)w)+(1p)u((1+y)w)。

賭博(x,

y)被接受當(dāng)且僅當(dāng)

pu((1+x)w)+(1p)u((1+y)w)

u(w)。

(x,

y)是公平賭博當(dāng)且僅當(dāng)

px

+

(1p)y

=

0。1.賭博揭示的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向設(shè)經(jīng)濟(jì)人的財(cái)27接受集的邊界在原點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)正是公平賭博直線(xiàn)！2.相對(duì)接受集GA公平的賭博相對(duì)接受集邊界GA在原點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方程：凸集接受集的邊界在原點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)正是公平賭28對(duì)任何(x,y),

(x,y)GA

及實(shí)數(shù)

t[0,

1]，令(x,y)=t

(x,y)+(1t)(x,y)

則有：(1)相對(duì)接受集的凸性故

(x,y)

=

t

(x,y)

+

(1t)(x,y)

GA。這就證明了GA是凸集。對(duì)任何(x,y),(x,y)29

(0)正是

GA

在原點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率。這樣，就得到了相對(duì)接受集的邊界

GA在原點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方程：p

x+(1

p)

y=0相對(duì)接受集的邊界GA在原點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)正是公平賭博直線(xiàn)！相對(duì)接受集的邊界GA：GA={(x,

y)R2

:pu((1+x)w)+(1p)u((1+y)w)=u(w)}邊界方程pu(w+xw)+(1p)u(w+yw)=u(w)

隱含著y

=

(x)。求導(dǎo)：p

u(w+xw)w+(1p)

u(w+yw)w

(x)=0令x=0，即得到y(tǒng)

=

(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)：(2)相對(duì)接受集的邊界在原點(diǎn)的切線(xiàn)(0)正是GA在原點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜30由此可見(jiàn)，

(0)與u(w)w

u(w)成正比，從而接受集邊界GA在原點(diǎn)(0,0)處的曲率大小與RAP(w)=

u(w)w

u(w)

成正比！(3)相對(duì)接受集的邊界在原點(diǎn)的曲率接受集邊界GA在原點(diǎn)處的曲率大小與

(0)成正比。為此，進(jìn)行如下求導(dǎo)計(jì)算：由此可見(jiàn)，(0)與u(w)wu313.阿羅-普拉特相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度相對(duì)小賭博接受不接受3.阿羅-普拉特相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度相對(duì)小賭博接受不接受324.原點(diǎn)附近賭博的意義原點(diǎn)(0,0)附近的相對(duì)賭博具有特殊的意義：原點(diǎn)附近的相對(duì)賭博都是數(shù)量相對(duì)較小的賭博：相對(duì)小賭博。如果一個(gè)人連相對(duì)較小的賭博都不愿意接受，那么就表明這個(gè)人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度較大，足見(jiàn)他具有較強(qiáng)的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向。一個(gè)人不愿意接受的相對(duì)小賭博越多，他的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度越大，相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向越強(qiáng)。

(0)越大，相對(duì)接受集邊界GA

在原點(diǎn)(0,0)處越彎曲，不接受的相對(duì)小賭博便越多，風(fēng)險(xiǎn)厭惡度越大，相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向越強(qiáng)。

u(w)w

u(w)越大，

(0)越大。Animportantfact：

u(w)w

u(w)

衡量著相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度！Arrow&Pratt’srelativemeasureRAP(w)ofriskaversion：4.原點(diǎn)附近賭博的意義原點(diǎn)(0,0)附近的33五、風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向的變化規(guī)律經(jīng)濟(jì)人的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向如何隨財(cái)富數(shù)量的變化而變化？在什么情況下適合使用絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度來(lái)測(cè)定經(jīng)濟(jì)人的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向，又在什么情況下適合使用相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度來(lái)測(cè)定？對(duì)于這些問(wèn)題，下述回答似乎是合理的。第一，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度AP(w)隨財(cái)富量w的增加而遞減。

第二，相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度RAP(w)不隨財(cái)富量w的變化而變化。

五、風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向的變化規(guī)律經(jīng)濟(jì)人的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾34(一)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度的變化規(guī)律對(duì)于一個(gè)用絕對(duì)數(shù)量表示的較小賭博來(lái)說(shuō)，當(dāng)經(jīng)濟(jì)人的財(cái)富較少時(shí)，這個(gè)賭博可能不被接受；但當(dāng)財(cái)富較多時(shí)，接受這個(gè)賭博的可能性就大大增加了：賭一下也不是什么大不了的事情。這表明，隨著經(jīng)濟(jì)人擁有的財(cái)富的增多，一個(gè)較小賭博被接受的可能性是上升的，從而絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度下降，絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向變?nèi)?。另外，如果考慮的是短期行為，那么經(jīng)濟(jì)人是否能夠接受一個(gè)賭博，恐怕主要還要看財(cái)富數(shù)量的絕對(duì)變化。因此可以說(shuō)，當(dāng)進(jìn)行短期分析的時(shí)期，適合使用絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度來(lái)測(cè)定經(jīng)濟(jì)人的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向。(一)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度的變化規(guī)律對(duì)于一個(gè)用絕35(二)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度的變化規(guī)律以相對(duì)賭博為例，由于賭金與財(cái)富成比例，因此低額賭注實(shí)際上是高額賭注的縮影，而縮影其實(shí)是對(duì)原型的模仿，結(jié)果原型與縮影中的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向似乎應(yīng)該一致。這樣，假定相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度為常數(shù)，這恐怕還是一個(gè)不錯(cuò)的假設(shè)。另外，如果是在進(jìn)行長(zhǎng)期分析，那么面對(duì)遙遠(yuǎn)的未來(lái)，就不宜采用絕對(duì)數(shù)量，而采用相對(duì)數(shù)量變化恐怕會(huì)更好些，可能會(huì)更能令人信服。因此，長(zhǎng)期分析中適合使用相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度來(lái)測(cè)定人們的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向。尤其是遙遠(yuǎn)未來(lái)的不確定性太大，人們保持一個(gè)不變的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向便是合情合理的，即“以不變應(yīng)萬(wàn)變”。(二)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度的變化規(guī)律以相對(duì)賭博為36可見(jiàn)，可用形式簡(jiǎn)單的效用函數(shù)

v(

,

2)=

22

來(lái)代替預(yù)期效用函數(shù)E[u(

)]。效用函數(shù)

v

僅僅是均值

和方差

2

的函數(shù)。(三)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向與效用函數(shù)形式定理

設(shè)X=

{xR

:

x

>

0}，u

:

X

R為VNM效用函數(shù)且

u(x)

>

0

對(duì)一切

xX成立。則有下述結(jié)論：經(jīng)濟(jì)人具有不變的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向

1當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)

a

>

0

和常數(shù)

b，使得對(duì)一切wX

成立。經(jīng)濟(jì)人具有始終為1

的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)

a>0和常數(shù)

b，使得對(duì)任何wX

，都有

u(w)

=

a

lnw

+

b。經(jīng)濟(jì)人具有不變的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向>

0當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a和b

>

0，使得對(duì)一切wX

成立。一個(gè)有趣的事實(shí)是，當(dāng)經(jīng)濟(jì)人具有不變的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向

>

0且風(fēng)險(xiǎn)選擇行為服從正態(tài)分布

N(

,

2)

時(shí)，我們有：

可見(jiàn)，可用形式簡(jiǎn)單的效用函數(shù)v(,37演講完畢，謝謝觀(guān)看！演講完畢，謝謝觀(guān)看！38第8講風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量預(yù)期效用與主觀(guān)概率理論，對(duì)人們?cè)诓淮_定環(huán)境中的行為進(jìn)行了準(zhǔn)確描述和深刻分析，論證了人們追求預(yù)期效用最大化的行為準(zhǔn)則，為研究不確定條件下的選擇問(wèn)題提供了很好的理論基礎(chǔ)。本講在此基礎(chǔ)上展開(kāi)進(jìn)一步的討論，主要議題有三個(gè)：預(yù)期效用與主觀(guān)概率理論是否反映了實(shí)際現(xiàn)象？在風(fēng)險(xiǎn)活動(dòng)面前，人們的態(tài)度如何？如何測(cè)定人們規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的傾向強(qiáng)弱？回答第三個(gè)問(wèn)題是本講的重點(diǎn)。事實(shí)上，從上一講的賭博事例已經(jīng)看到，當(dāng)效用函數(shù)的性能發(fā)生了“凸性線(xiàn)性凹性”的變化時(shí)，消費(fèi)者對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度相應(yīng)地發(fā)生了“愛(ài)好中性厭惡”的變化。由此得到一個(gè)猜想：效用函數(shù)越凹，人們?cè)絽拹猴L(fēng)險(xiǎn)，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向越強(qiáng)。我們將證明這一猜想是正確的，由此便可引出一種對(duì)人們規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)的傾向強(qiáng)弱進(jìn)行測(cè)定的辦法——風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量。第8講風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量預(yù)期效用與主觀(guān)概率理論，對(duì)人們?cè)诓淮_定環(huán)39一、關(guān)于預(yù)期效用的悖論與爭(zhēng)議關(guān)于不確定條件下的選擇問(wèn)題，上一講建立的預(yù)期效用和主觀(guān)概率理論似乎是完美的和合乎實(shí)際的，讓我們完全有理由相信人們?cè)诓淮_定的環(huán)境(風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境或無(wú)常環(huán)境)中是根據(jù)不確定性行動(dòng)的預(yù)期效用大小來(lái)進(jìn)行評(píng)判和選擇的。然而阿萊和艾斯勃格分別對(duì)預(yù)期效用和主觀(guān)概率進(jìn)行了實(shí)際考察，發(fā)現(xiàn)了理論與實(shí)際不符的兩個(gè)現(xiàn)象：AllaisParadox和EllsbergParadox，引起了人們對(duì)預(yù)期效用和主觀(guān)概率理論的質(zhì)疑和爭(zhēng)議。有些人借此否定預(yù)期效用和主觀(guān)概率理論，認(rèn)為需要建立新的理論來(lái)解釋不確定條件下的選擇行為。另一些人則認(rèn)為，出現(xiàn)這兩個(gè)悖論的原因不是理論錯(cuò)了，而在于人們進(jìn)行評(píng)判時(shí)發(fā)生了“視覺(jué)錯(cuò)誤”。比如，有時(shí)候人們無(wú)法判斷距離，但這不意味著需要重新發(fā)明一種距離概念。因此，預(yù)期效用和主觀(guān)概率理論是正確的。下面，我們介紹這兩個(gè)悖論。一、關(guān)于預(yù)期效用的悖論與爭(zhēng)議關(guān)于不確定條件下的選擇問(wèn)題，上一40(一)AllaisParadox這是一個(gè)關(guān)于預(yù)期效用的悖論?，F(xiàn)有四種彩票A、B、C、D，其獎(jiǎng)勵(lì)等級(jí)、獲獎(jiǎng)概率分布以及預(yù)期收入情況見(jiàn)下表所示。彩票ABCD獎(jiǎng)金(萬(wàn)元)100110100010001100獲獎(jiǎng)概率100%10%89%1%11%89%10%90%預(yù)期收入(萬(wàn)元)1001001111調(diào)查發(fā)現(xiàn)，很多人都認(rèn)為

A

B且

D

C。A與B相比，雖然預(yù)期收入都為100萬(wàn)元，但

A是穩(wěn)當(dāng)?shù)氐玫?00萬(wàn)元，B則有1%的可能一無(wú)所獲，而多得10萬(wàn)元的概率才僅僅不過(guò)10%：概率小，多得的數(shù)額也相對(duì)較小。這樣，A明顯比B好。C與D相比，雖然預(yù)期收入都為11萬(wàn)元，但購(gòu)買(mǎi)

D

僅以少1%的可能性就要比購(gòu)買(mǎi)

C

多得10萬(wàn)元，因而D比C好。(一)AllaisParadox這是一個(gè)關(guān)于預(yù)期效用的悖41計(jì)算預(yù)期效用設(shè)消費(fèi)者的預(yù)期效用函數(shù)為

u。計(jì)算一下預(yù)期效用，則有：u(A)=u(100)u(B)=u(110)10%+u(100)89%+u(0)1%u(C)=u(100)11%+u(0)89%

u(D)=u(110)10%+

u(0)90%

根據(jù)調(diào)查結(jié)果A

B，應(yīng)有u(A)>u(B)。由此可知：u(100)11%>u(110)10%+u(0)1%在此式兩邊加上u(0)89%可得：u(100)11%+u(0)89%>u(110)10%+u(0)90%即

u(C

)

>

u(D)，這與實(shí)際調(diào)查結(jié)果

D

C

相矛盾：通過(guò)預(yù)期效用函數(shù)得到的評(píng)價(jià)與消費(fèi)者的實(shí)際評(píng)價(jià)相悖。那么這個(gè)悖論是否說(shuō)明預(yù)期效用理論有著不切實(shí)際的地方？其實(shí)，這個(gè)悖論中消費(fèi)者評(píng)價(jià)的“視覺(jué)錯(cuò)誤”是明顯存在的。計(jì)算預(yù)期效用設(shè)消費(fèi)者的預(yù)期效用函數(shù)為u。計(jì)42(二)EllsbergParadox這是一個(gè)關(guān)于主觀(guān)概率的悖論。情景：袋中有紅球、藍(lán)球和綠球共300個(gè)，其中紅球100個(gè)。現(xiàn)有四種形式的賭博A、B、C、D：A：從袋中摸出一球，如果為紅球，可得1000元。B：從袋中摸出一球，如果為籃球，可得1000元。C：從袋中摸出一球，若不是紅球，可得1000元。D：從袋中摸出一球，若不是籃球，可得1000元。面對(duì)這四種賭博，每個(gè)人都需要對(duì)袋中有多少藍(lán)球和有多少綠球作出自己的主觀(guān)判斷，因而涉及主觀(guān)概率。通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)人基本上都認(rèn)為

A

B

且

C

D

。作出這種評(píng)價(jià)的原因可能在于

A

的確定性比

B

高，C

的確定性比

D

高。用

P表示賭博者的主觀(guān)概率測(cè)度，u表示在這個(gè)概率測(cè)度下的預(yù)期效用函數(shù)。用

F

表示摸出紅球這一事件，G

表示摸出藍(lán)球這一事件。則表示摸出的球不是紅球，表示摸出的球不是藍(lán)球。(二)EllsbergParadox這是43計(jì)算預(yù)期效用從A

B知：(

p-

q)

u(1000)>(

p-

q)

u(0)。從

C

D

知：(

p-

q)

u(1000)<(

p-

q)

u(0)。這是兩個(gè)矛盾的不等式！可見(jiàn)，按照主觀(guān)概率理論，根本不可能讓

A

B

和

C

D

同時(shí)成立。然而，調(diào)查得到的事實(shí)卻是如此。因此，主觀(guān)概率理論也有不切實(shí)際的地方和時(shí)候。其實(shí)，出現(xiàn)這個(gè)悖論，很大的原因還在于評(píng)價(jià)判斷上出現(xiàn)的錯(cuò)覺(jué)。是調(diào)查中消費(fèi)者評(píng)價(jià)錯(cuò)了，而不是理論錯(cuò)了。令p

=

P(F

)，q

=

P(G

)。則。計(jì)算這四種賭博的效用，可得到：計(jì)算預(yù)期效用從AB知：(p-q44二、對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度從賭博事例可得到這樣的啟示：一個(gè)人對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度完全反映在他的偏好關(guān)系上。對(duì)此，可用預(yù)期效用理論加以嚴(yán)格表述。設(shè)消費(fèi)者的確定性選擇集合

X

是商品空間的凸閉子集，消費(fèi)者所處的風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境為(,

F)，風(fēng)險(xiǎn)選擇集合為X(或用D)，風(fēng)險(xiǎn)偏好為

。假定風(fēng)險(xiǎn)偏好

滿(mǎn)足阿基米德公理和獨(dú)立性公理。于是，存在

的預(yù)期效用函數(shù)

u:

XR。對(duì)任何,X，f,

gD及

p[0,

1]，有我們把和u在確定性選擇集合

X

上的限制

分別叫做結(jié)果偏好和結(jié)果效用函數(shù)。當(dāng)

f是X的分布函數(shù)時(shí)，E=Ef

=

X

x

d

f

(x)X

叫做的預(yù)期收益。通過(guò)比較與E，方可判斷消費(fèi)者對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度。二、對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度從賭博事例可得到這樣的啟示：一個(gè)人對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)45(一)對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的熱衷態(tài)度風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者對(duì)任何非退化風(fēng)險(xiǎn)行為

X，都有

E。風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者的結(jié)果效用函數(shù)U

:

XR

(U(x)

=

u(x))是嚴(yán)格凸函數(shù)。當(dāng)一種風(fēng)險(xiǎn)行動(dòng)X與一種確定性行動(dòng)

xX

具有相同的預(yù)期收益(E

=

x)時(shí)，如果消費(fèi)者認(rèn)為

比

x

好(

x)，那么這足以說(shuō)明消費(fèi)者是熱衷于冒險(xiǎn)的：不冒險(xiǎn)，就沒(méi)有取得高收益的可能；為了高收益，值得去冒險(xiǎn)。這種熱衷于冒險(xiǎn)的消費(fèi)者，叫做風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者。U

=

px(1

p)yE

=

px+(1

p)y事實(shí)上，對(duì)任何

x,

yX

及

p[0,1]，有u(

y)這就說(shuō)明，U(x)是嚴(yán)格凸函數(shù)。Xu(

x)xyEu(E)u()(一)對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的熱衷態(tài)度風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者對(duì)任何非退化風(fēng)險(xiǎn)行為46(二)對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的冷淡態(tài)度風(fēng)險(xiǎn)冷淡者對(duì)任何

X，都有

E。風(fēng)險(xiǎn)冷淡者的結(jié)果效用函數(shù)是凹函數(shù)，從而結(jié)果偏好是凸偏好。在風(fēng)險(xiǎn)行動(dòng)X與確定性行動(dòng)

xX

的預(yù)期收益相同(E

=

x)的情況下，如果消費(fèi)者認(rèn)為

不比

x

好(

x)，則說(shuō)明消費(fèi)者不熱衷于冒險(xiǎn)，對(duì)風(fēng)險(xiǎn)持冷淡態(tài)度：不愿意冒險(xiǎn)追求高收益。這種對(duì)冒險(xiǎn)不熱衷的消費(fèi)者，叫做風(fēng)險(xiǎn)冷淡者。

xy

=

px(1

p)yy

E

y事實(shí)上，對(duì)任何x,

yX及

p[0,1],有這就說(shuō)明，U(x)是凹函數(shù)，從而是擬凹的，即結(jié)果偏好是凸偏好。XxyE

=

px+(1

p)y結(jié)果偏好是凸偏好(二)對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的冷淡態(tài)度風(fēng)險(xiǎn)冷淡者對(duì)任何X，都有471.風(fēng)險(xiǎn)厭惡者風(fēng)險(xiǎn)厭惡者對(duì)任何非退化風(fēng)險(xiǎn)行為

X，都有

E。風(fēng)險(xiǎn)厭惡者的結(jié)果效用函數(shù)嚴(yán)格凹，從而結(jié)果偏好嚴(yán)格凸。在風(fēng)險(xiǎn)行動(dòng)X與確定性行動(dòng)

xX

的預(yù)期收益相同(E

=

x)的情況下，如果消費(fèi)者認(rèn)為

比

x

差(x)，則說(shuō)明消費(fèi)者討厭冒險(xiǎn)，根本不會(huì)冒險(xiǎn)追求高收益。這種對(duì)冒險(xiǎn)行動(dòng)持討厭態(tài)度的消費(fèi)者，叫做風(fēng)險(xiǎn)厭惡者，也叫做風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避者。U

=

px(1

p)yE

=

px+(1

p)y事實(shí)上，對(duì)任何x,

yX及

p[0,1],有u(

y)這就說(shuō)明，U(x)是嚴(yán)格凹函數(shù)，從而嚴(yán)格擬凹，即結(jié)果偏好是嚴(yán)格凸。Xu(

x)xyEu(E)u()1.風(fēng)險(xiǎn)厭惡者風(fēng)險(xiǎn)厭惡者對(duì)任何非退化風(fēng)險(xiǎn)行為X，482.風(fēng)險(xiǎn)中立者風(fēng)險(xiǎn)中立者對(duì)任何X，都有

~E。風(fēng)險(xiǎn)中立者的結(jié)果效用函數(shù)是線(xiàn)性的，結(jié)果無(wú)差異曲線(xiàn)為直線(xiàn)。在與確定性行動(dòng)

xX的預(yù)期收益相同的風(fēng)險(xiǎn)行動(dòng)X(E

=

x)面前，如果消費(fèi)者既不更傾向于選擇，又不更傾向于選擇x

，即認(rèn)為~x，則說(shuō)明消費(fèi)者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)持中立態(tài)度，既不熱衷，也不討厭。這種對(duì)風(fēng)險(xiǎn)持中立態(tài)度的消費(fèi)者，叫做風(fēng)險(xiǎn)中立者。U

=

px(1

p)yE

=

px+(1

p)yu(

y)Xu(

x)xyEu(E)u()XxyE

=

px+(1

p)y

x~y

=

px(1

p)y~y

E~

~y結(jié)果無(wú)差異曲線(xiàn)2.風(fēng)險(xiǎn)中立者風(fēng)險(xiǎn)中立者對(duì)任何X，都有~E49(三)結(jié)果效用函數(shù)的基數(shù)意義一般情況下，經(jīng)濟(jì)活動(dòng)者要么是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者，要么是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)冷淡者。應(yīng)該說(shuō)，絕大多部分人都是風(fēng)險(xiǎn)冷淡者，具有風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向。這樣一來(lái)，在預(yù)期效用函數(shù)下，絕大多數(shù)人的結(jié)果效用函數(shù)都是凹函數(shù)，結(jié)果偏好是凸偏好，而只有少數(shù)人的結(jié)果效用函數(shù)是凸函數(shù)。無(wú)論如何，風(fēng)險(xiǎn)選擇理論讓我們進(jìn)一步看到了確定性條件下對(duì)消費(fèi)者偏好作出凸性假設(shè)的合理性，也看到了確定性偏好的必然凸性。更重要的是，我們看到了每個(gè)人在確定性選擇集合上都存在著凹或凸的效用函數(shù)。效用函數(shù)的凹性是說(shuō)消費(fèi)者的邊際效用遞減，凸性是說(shuō)邊際效用遞增。而邊際效用是基數(shù)意義下的效用，也就是說(shuō)，只有在基數(shù)效用意義下，才能談?wù)撔в迷黾佣嗌?。因此，凹或凸的結(jié)果效用函數(shù)的存在，意味著基數(shù)效用函數(shù)存在。因此，預(yù)期效用函數(shù)存在定理順便回答了基數(shù)效用函數(shù)的存在性問(wèn)題，而且是肯定的回答。(三)結(jié)果效用函數(shù)的基數(shù)意義一般情況下，經(jīng)濟(jì)活動(dòng)者要么是一50三、賭博顯示的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度指標(biāo)

以上對(duì)于消費(fèi)者對(duì)待風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度的研究表明，沒(méi)有風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向的風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者，其結(jié)果效用函數(shù)是嚴(yán)格凸的；而對(duì)風(fēng)險(xiǎn)持中立態(tài)度的消費(fèi)者，其結(jié)果效用函數(shù)既不嚴(yán)格凸，也不嚴(yán)格凹；一旦消費(fèi)者具有了風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向，其結(jié)果效用函數(shù)就成為嚴(yán)格凹的。這種現(xiàn)象讓我們自然產(chǎn)生這樣一種感覺(jué)：效用函數(shù)越凹，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向越強(qiáng)。那么，這種感覺(jué)是否正確？我們還是以為賭博為例，來(lái)對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行說(shuō)明。設(shè)經(jīng)濟(jì)人的財(cái)富收入效用函數(shù)為u(r)，，并設(shè)財(cái)富以元為單位來(lái)計(jì)。假定經(jīng)濟(jì)人當(dāng)前有w元。設(shè)

F

是隨機(jī)事件，其發(fā)生的概率為p。通過(guò)事件

F，可以設(shè)計(jì)賭博g(x,y)：若事件F

發(fā)生，則贏(yíng)

x

元，經(jīng)濟(jì)人的財(cái)富變?yōu)閣

+x

元；若事件F

未發(fā)生，則贏(yíng)

y

元，經(jīng)濟(jì)人的財(cái)富變?yōu)閣

+y元。三、賭博顯示的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度指標(biāo)以上對(duì)于消費(fèi)者51平面上每一點(diǎn)(x,

y)都代表一個(gè)賭博g(x,

y)。這樣，平面代表通過(guò)事件F設(shè)計(jì)的賭博的全體G：，稱(chēng)為賭博平面。(一)賭博平面盈利性賭博px

+

(1p)y

>

0虧損性賭博px

+

(1p)y

<

0xyo公平賭博原點(diǎn)(0,0)代表不賭。

賭博平面G=R2平面上每一點(diǎn)(x,y)都代表一個(gè)賭52對(duì)于賭博(x,

y)，消費(fèi)者是否接受，要看賭博的預(yù)期效用是否不低于不賭的效用：(二)接受集GAxy公平賭博GA

={(x,

y)

:pu(w+x)+(1p)u(w+y)

u(w)

}接受集邊界

GA接受集邊界在原點(diǎn)的切線(xiàn)oGA在原點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方程：px+(1p)y

=

0接受集邊界

GA在原點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)正是公平賭博直線(xiàn)！接受集GA是指由一切為消費(fèi)者所接受的賭博(x,y)組成的集合。對(duì)于賭博(x,y)，消費(fèi)者是否接受，要看賭53對(duì)任何(x,y),

(x,y)GA

及實(shí)數(shù)

t[0,

1]，令(x,y)=t

(x,y)+(1t)(x,y)

則有：1.接受集的凸性故

(x,y)

=

t

(x,y)

+

(1t)(x,y)

GA。這就證明了GA是凸集。對(duì)任何(x,y),(x,y)54

(0)正是

GA

在原點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率。這樣，就得到了接受集邊界

GA在原點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方程：p

x+(1

p)

y=0可見(jiàn)，接受集的邊界GA在原點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)正是公平賭博直線(xiàn)！接受集的邊界GA：GA={(x,

y)R2

:pu(w+x)+(1p)u(w+y)=u(w)}邊界方程pu(w+x)+(1p)u(w+y)=u(w)

隱含著y

=

(x)。求導(dǎo)可得：p

u(w+x)+(1p)

u(w+y)

(x)=0令x=0，即得到y(tǒng)

=

(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)：2.接受集邊界在原點(diǎn)的切線(xiàn)(0)正是GA在原點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜55由此可見(jiàn)，

(0)與u(w)

u(w)成正比，從而接受集邊界GA在原點(diǎn)(0,0)處的曲率大小與

u(w)

u(w)

成正比！3.接受集邊界在原點(diǎn)的曲率接受集邊界GA在原點(diǎn)處的曲率大小與

(0)成正比。為此，進(jìn)行如下求導(dǎo)計(jì)算：由此可見(jiàn)，(0)與u(w)u56(三)原點(diǎn)附近賭博的意義原點(diǎn)(0,0)附近的賭博具有特殊的意義：原點(diǎn)附近的賭博都是(賭金)數(shù)量較小的賭博：小賭博。如果一個(gè)人連小賭博都不愿意接受，那么就表明這個(gè)人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度較大，足見(jiàn)他具有較強(qiáng)的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向。一個(gè)人不愿意接受的小賭博越多，他的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度越大，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向越強(qiáng)。

(0)越大，接受集邊界GA

在原點(diǎn)(0,0)處越彎曲，不接受的小賭博便越多，從而風(fēng)險(xiǎn)厭惡度越大，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向越強(qiáng)。

u(w)

u(w)越大，

(0)越大。Animportantfact：

u(w)

u(w)

衡量著經(jīng)濟(jì)人的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度！Arrow&Pratt’smeasureAP(w)ofriskaversion：(三)原點(diǎn)附近賭博的意義原點(diǎn)(0,0)附近571.阿羅-普拉特風(fēng)險(xiǎn)厭惡度小賭博接受不接受1.阿羅-普拉特風(fēng)險(xiǎn)厭惡度小賭博接受不接受582.風(fēng)險(xiǎn)厭惡度

AP

與風(fēng)險(xiǎn)加價(jià)

RPU

=

v

(r)U

=

u

(r)2.風(fēng)險(xiǎn)厭惡度AP與風(fēng)險(xiǎn)加價(jià)RPU=v(r)U59四、風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向與風(fēng)險(xiǎn)厭惡度

賭博顯示的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度指標(biāo)AP(w)，適用于在任何風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境中去測(cè)量人們的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向的程度強(qiáng)弱。為了證實(shí)這一結(jié)論，設(shè)經(jīng)濟(jì)人所處的風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境為(,F,P)，確定性選擇集合

X

為實(shí)數(shù)集合

R，即

X=R，也就是說(shuō)，經(jīng)濟(jì)人選擇的任何結(jié)果都可以用實(shí)數(shù)加以表示，從而經(jīng)濟(jì)人的風(fēng)險(xiǎn)選擇集合

X

是風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境(,F,P)中的隨機(jī)變量的全體。再設(shè)u:X

R是經(jīng)濟(jì)人的VNM效用函數(shù)。注意下述事實(shí)：第一，風(fēng)險(xiǎn)愛(ài)好者的VNM效用函數(shù)u

是嚴(yán)格凸函數(shù)；第二，風(fēng)險(xiǎn)厭惡者的VNM效用函數(shù)

u

是嚴(yán)格凹函數(shù)；第三，風(fēng)險(xiǎn)中立者的VNM效用函數(shù)

u

是線(xiàn)性函數(shù)；第四，風(fēng)險(xiǎn)冷淡者的VNM效用函數(shù)

u

是凹函數(shù)。按照行為變化是絕對(duì)量變還是相對(duì)量變，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向分為絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向(通常省略“絕對(duì)”二字)和相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向。

四、風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向與風(fēng)險(xiǎn)厭惡度賭博顯示的風(fēng)險(xiǎn)60(一)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向

風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量函數(shù)(阿羅-普拉特度量函數(shù))：函數(shù)

AP:

XR

的作用在于度量經(jīng)濟(jì)人的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向的程度強(qiáng)弱，其函數(shù)值就叫做經(jīng)濟(jì)人的絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向或絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度。一般來(lái)說(shuō)，表達(dá)經(jīng)濟(jì)人風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向強(qiáng)弱的方式有三種：第一種是比較不同VNM效用函數(shù)下的風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量函數(shù)。風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量函數(shù)的值越大，表示風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向越強(qiáng)。第二種是比較不同VNM效用函數(shù)的凹性強(qiáng)度。VNM效用函數(shù)越凹(指在遞增凹變換下把一個(gè)效用函數(shù)變成另一個(gè)效用函數(shù))，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向越強(qiáng)。第三種是比較不同VNM效用函數(shù)下的風(fēng)險(xiǎn)加價(jià)大小。風(fēng)險(xiǎn)加價(jià)越大，風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向越強(qiáng)。(一)絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量函數(shù)(阿611.普拉特定理定理(Pratt)

設(shè)確定性選擇集合

X=

R，風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境為(,F,P)。再設(shè)uA

:

X

R

和uB

:

X

R

都是二階可微、遞增、凹的VNM效用函數(shù)。則下面三個(gè)條件相互等價(jià)：對(duì)任何w

X，都有；存在遞增的凹函數(shù)

g，使得

uA(w)

=

g(uB(w))

對(duì)一切wX

成立；對(duì)一切

X，都有RPA(

)RPA(

)。普拉特研究了上述三種表達(dá)方式之后指出，它們相互等價(jià)。這樣一來(lái)，函數(shù)

AP

:

X

R

便很好地度量著經(jīng)濟(jì)人的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向。這里，風(fēng)險(xiǎn)行為

的風(fēng)險(xiǎn)加價(jià)RP(

)的定義為：RP(

)=Ec(

)其中的c(

)是這樣確定的：c(

)X&

u(c(

))

=

u(

)。1.普拉特定理定理(Pratt)設(shè)確定性選擇集合X622.普拉特定理的嚴(yán)格形式定理(Pratt)

設(shè)確定性選擇集合

X=

R，風(fēng)險(xiǎn)環(huán)境為(,F,P)。再設(shè)uA

:

X

R

和uB

:

X

R

都是二階可微、遞增、凹的VNM效用函數(shù)。則下面三個(gè)條件相互等價(jià)：對(duì)任何w

X，都有；存在遞增的嚴(yán)格凹函數(shù)

g

使得

uA(w)

=

g(uB(w))對(duì)一切wX

成立；對(duì)一切非退化的風(fēng)險(xiǎn)行動(dòng)

X，都有RPA(

)>RPA(

)。普拉特定理中的那些不等式還可以換成嚴(yán)格不等式，從而得到普拉特定理的嚴(yán)格形式。2.普拉特定理的嚴(yán)格形式定理(Pratt)設(shè)確定性選63(二)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向風(fēng)險(xiǎn)厭惡度AP(w)測(cè)量的是在行為的絕對(duì)量變中，經(jīng)濟(jì)人對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度強(qiáng)弱，因而才叫做絕對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度。但實(shí)際中，人們也常常使用相對(duì)量變，即用比例來(lái)表達(dá)數(shù)量變化。采用相對(duì)量變的好處在于消除了量綱影響，從而能更好地把握經(jīng)濟(jì)變量的變化。這樣，我們也需要測(cè)量經(jīng)濟(jì)人在行為的相對(duì)量變中對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的厭惡程度大小，這就是所謂的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度及相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向。

為此，我們給出如下定義。設(shè)

u

:

X

R

是經(jīng)濟(jì)人的VNM效用函數(shù)，X=R。對(duì)任何w

S，定義RAP(w)為：函數(shù)RAP

:

X

R叫做經(jīng)濟(jì)人的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度量函數(shù)，或阿羅-普拉特相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)度量，或相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向。函數(shù)值RAP(w)叫做經(jīng)濟(jì)人在w

處的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)厭惡度或在w

處的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向。(二)相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向風(fēng)險(xiǎn)厭惡度AP(w641.賭博揭示的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向設(shè)經(jīng)濟(jì)人的財(cái)富收入效用函數(shù)為u(r)且(rX)(u(r)

>

0),并設(shè)財(cái)富以元為單位來(lái)計(jì)。假定經(jīng)濟(jì)人當(dāng)前擁有w元財(cái)富。設(shè)F是一個(gè)隨機(jī)事件，其發(fā)生的概率為p。通過(guò)事件F，可以設(shè)計(jì)相對(duì)賭博：對(duì)任何

x,

yR，平面上的點(diǎn)(x,

y)代表這樣的賭博：如果事件F

發(fā)生，則贏(yíng)

x

w

元，經(jīng)濟(jì)人的財(cái)富變?yōu)?1+x)w

元；若事件F

未發(fā)生，則贏(yíng)得

yw

元，經(jīng)濟(jì)人的財(cái)富變?yōu)?1+y)w

元。這樣，通過(guò)事件F設(shè)計(jì)的相對(duì)賭博的全體G正是平面R2：G=R2。原點(diǎn)(0,0)代表不賭，其余點(diǎn)(x,

y)((0,0))都代表真正的賭博。賭博(x,y)的預(yù)期效用為EU(x,

y)

=

pu((1+x)w)+(1p)u((1+y)w)。

賭博(x,

y)被接受當(dāng)且僅當(dāng)

pu((1+x)w)+(1p)u((1+y)w)

u(w)。

(x,

y)是公平賭博當(dāng)且僅當(dāng)

px

+

(1p)y

=

0。1.賭博揭示的相對(duì)風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避傾向設(shè)經(jīng)濟(jì)人的財(cái)65接受集的邊界在原點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)正是公平賭博直線(xiàn)！2.相對(duì)接受集GA公平的賭博相對(duì)接受集邊界GA在原點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)方程：凸集接受集的邊界在原點(diǎn)(0,0)處的切線(xiàn)正是公平賭66對(duì)任何(x,y),

(x,y)GA

及實(shí)數(shù)

t[0,

1]，令(x,y)=t

(x,y)+(1t)(x,y)

則有：(1)相對(duì)接受集的凸性故

(x,y)

=

t

(x,y)

+