等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和講義

等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和一、等差數(shù)列的相關(guān)概念（一）等差數(shù)列的定義：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差．．．．．．．．．．．．．．．．等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差。．．．．．．．利用：“an1－an＝d(d為常數(shù))”判斷一個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列。注意：（1）如果一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)起，而是從第3項(xiàng)起或第4項(xiàng)起，那么此數(shù)列不是等差數(shù)列；（2）等差數(shù)列要求這個(gè)常數(shù)必須相同；（3）公差d：d＝an1－an＝an－an1(n≥2)；（4）當(dāng)d＝0時(shí)，數(shù)列為常數(shù)數(shù)列；當(dāng)d＞0，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0，數(shù)列為遞減數(shù)列；（5）公差必須為后一項(xiàng)減前一項(xiàng)，不能顛倒。（二）、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式如果等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，那么它的通項(xiàng)公式是an＝a1＋(n－1)d，或者．．．．．．．通項(xiàng)公式的變形：an＝am＋(n－m)d。．．．．．．．（三）、等差中項(xiàng)：（1）由三個(gè)數(shù) a，A，b組成的等差數(shù)列， A叫做a和b的等差中項(xiàng)，則 2A＝a＋b；．．．． ．．．．．．．．．．．． ．．． ．．．．．．．．． ．．． ．．．（2）若在一個(gè)等差數(shù)列中，除去首項(xiàng)和末項(xiàng)以外，每一項(xiàng)都是它前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差中項(xiàng)，即2an＝an1＋an1。3）特別地：在△ABC中，A、B、C成等差數(shù)列，則B＝600。例1：已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列a3＝5，a7＝－7，則a15＝____________?！净玖糠ā?431【解析】－4.變式練習(xí)1：若等差數(shù)列{an}的公差d≠0，且a1，a2是關(guān)于x的方程x2－a3x＋a4＝0的兩根，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。a＋a＝a，2a＋d＝a＋2d，＝2，12311解得a1n＝2n.【解】由題意知∴＋3，a＝，＋＝d＝，124111變式練習(xí)2：（1）方程x2－6x＋1＝0的兩根的等差中項(xiàng)為________。（2）等差數(shù)列{an}中，前三項(xiàng)依次為1，5，1，則公差d＝________.x16xx【解析】(1)設(shè)方程兩根為x1、x2，則x1＋x2＝6，所以其等差中項(xiàng)為x1＋x2＝3.21由1＋1＝2×5得x＝2，故知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，公差d＝1.x＋1x6x312變式練習(xí)3：等差數(shù)列{an}中，若a7－a3＝20，則a2017－a2011＝()A：40B：30C：25D：20【解析】選B.因?yàn)?d＝a－a＝20，所以d＝5，于是a－a＝6d＝673201720115＝30.二、等差數(shù)列的性質(zhì)1、d＞0，{an}是遞增數(shù)列；d＝0，{an}是常數(shù)列；d＜0，{an}是遞減數(shù)列。2、公差d＝ana1＝anam(m、n∈N＋)n1nm3、若p＋q＝m＋n，則ap＋aq＝am＋anm、n、p、q∈N＋；特別地：mn＝k，則2ak＝am＋an(角標(biāo)公式)2例2：在公差為 d的等差數(shù)列{an}中，1）若a2＋a3＋a23＋a24＝48，則a13________________。2）若a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2×a5＝52，則d＝____________。2＝4，2＝13，【解析】：（1）a13＝12.（2）∴a或a∴d＝3或d＝－3.5＝135＝4，aa變式練習(xí)1：已知等差數(shù)列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，則a4＋a8＝___________。2【解析】：3變式練習(xí)2：a1＋a9＝15，a8＝4，則a2＝()（1）在等差數(shù)列中A：10B：11C：12D：9【解析】B（2）在等差數(shù)列{an}中，若a4＝10，則a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝()A：30B：40C：50D：60【解析】C2變式練習(xí)3：在等差數(shù)列{an}中，a5＋a6＝4，則log2(2a12a22a10)＝()A：10B：20C：40D：2＋log52【解析】a1＋a2＋?＋a10＝5(a5＋a6)＝5×4＝20，從而log2(錯(cuò)誤！未找到引用源。·錯(cuò)誤！未找到引用源。·?·錯(cuò)誤！未找到引用源。)＝log2220＝20.變式練習(xí)4：在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，則a7－1錯(cuò)誤！未2找到引用源。a的值為()8A：4B：6C：8D：10【解析】選C.因?yàn)閍2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，所以a6＝16.所以a7－1錯(cuò)誤！未找到引用源。a8＝1(2a7－a8)＝1(a6＋a8－a8)＝8222三、等差數(shù)列前 n項(xiàng)和Sn1、公式：Sn＝n(a1an)＝na1＋n(n1)d；22由前n項(xiàng)和公式得：Sn＝An2＋Bn＋C，則{an}成等差數(shù)列的充要條件是C＝0。2、性質(zhì)：（1）、在等差數(shù)列{an}中，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列。例3：設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3＝3，S9－S6＝27，則該數(shù)列的首項(xiàng) a1等于()A：－6錯(cuò)誤！未找到引用源。B：－3C：6錯(cuò)誤！未找到引用源。D：35555【解析】：由錯(cuò)誤！未找到引用源。得錯(cuò)誤！未找到引用源。解得a1=錯(cuò)誤！未找到引用源。.故選D.變式練習(xí)1：在等差數(shù)列an中，已知S848，S12168，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式?！窘馕觥浚篴18,d4an＝4n－12變式練習(xí)2：《九章算術(shù)》有這樣一個(gè)問題：今有女子善織，日增等尺，七日織二十一尺，第二日、第五日、第八日所織之和為十五尺，問第十日織尺數(shù)為（ ）A：6 B：9 C：12 D：15【解析】：S＝21，a2a5a815，則a10＝157變式練習(xí)3：已知數(shù)列an為等差數(shù)列，前30項(xiàng)的和為50，前50項(xiàng)的和為30，求前803項(xiàng)的和。4An250900A30BA【解析】：解：設(shè)SnBn，解得75302500A50B49B15Sn4n249nS80480249808075157515注：等差數(shù)列有如下性質(zhì)：若Spq,Sqppq則Spqpq。例4：在等差數(shù)列an中，已知a4a512，那么它的前8項(xiàng)之和S8等于（）A：12B：24C：36D：48【解析】：D變式練習(xí)1：已知等差數(shù)列an中，a2a5a9a1260，那么S13（）A：390B：195C：180D：120【解析】：C變式練習(xí)2：在等差數(shù)列{an}中，a21＝20，則S41＝__________?！窘馕觥?20變式練習(xí)3：已知在等差數(shù)列an中，a3、a15是方程x2－6x－10＝0的根，則S17＝（）A：41B：51C：61D：68【解析】：B變式練習(xí)4：an的公差d1，a2a4a10080，那么S100（）已知等差數(shù)列2A：80B：120C：135D：160【解析】：B例5：等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)的和為30，前2m項(xiàng)的和為100，則它的前3m項(xiàng)的和為()A：130B：170C：210D：260【解析】：CS31S6()變式練習(xí)1：設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若3，則S6S123B：1C：81A：3D：109【解析】：A變式練習(xí)2：等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝，＝36，則a7a8a9（）9S6A．63B．45C．36D．27【解析】：B變式練習(xí)3：等差數(shù)列 an共有3m項(xiàng)，若前2m項(xiàng)的和為200，前3m項(xiàng)的和為225，則4中間m項(xiàng)的和為（）A：50B：75C：100D：125【解析】：B四、等差數(shù)列前 n項(xiàng)和的最值1、等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn＝na1＋n(n1)d＝1d2＋(a1－d)上式可變成：Sn＝An2＋222Bn。當(dāng)d≠0時(shí)，數(shù)列S1，S2，,,Sn的圖象是拋物線上的一群弧立點(diǎn)。2、等差數(shù)列前 n項(xiàng)和的最值：（1）利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì)；（2）當(dāng)a1＞0，d＜0時(shí)，由am0，am1≤0，則Sm為最大值；（3）a1＜0，d＞0時(shí)，由am≤0，am1≥0，則Sm為最小值。例6：在等差數(shù)列{an}中，a1＝25，S17＝S9，求Sn的最大值?！窘馕觥浚悍椒ㄒ唬骸逽17＝S9得：25×17＋17(171)d＝25×9＋9(91)d得：d＝－2，∴Sn＝25n＋n(n1)22(2)＝－(n－13)2＋1692∴當(dāng)n＝13時(shí)，Sn有最大值169。方法二：同法一先求出d＝－2，∵a1＝25＞0an25(n1)0n131得2由252n01an1n122

∴當(dāng)n＝13時(shí)，Sn有最大值169。變式練習(xí)1：在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，S4＝S9，則Sn取最大時(shí)，n＝__________?！窘馕觥浚?或7變式練習(xí)2：在等差數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n＝（ ）。A：6 B：7 C：8 D：9【解析】：a111Sn(n6)236Ad2變式練習(xí)3：在等差數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和為Sn，若S16＞0，S17＜0，當(dāng)Sn取最大值時(shí)，n＝（）。A：16B：8C：9D：10【解析】：a1a160a1a160a8a90a80a1a17得a90得a90故a9B005例7：已知數(shù)列{a}是等差數(shù)列，a2＝4，a＝－14，則計(jì)算｜a1｜＋｜a2｜＋,,＋｜n8an1｜＋｜an｜的值?！窘馕觥浚骸遖n＝10－3n≥0，n≤31，當(dāng)n≤3時(shí)，an＞0，當(dāng)n≥4時(shí)，an＜03｜a1｜＋｜a2｜＋,,＋｜an－1｜＋｜an｜a1a2a3an,(n3)＝a5an,(n4)a1a2a3a4(a1an)n3n217n3),(n3)＝2,(n＝23n217n48,(n4)2(a1a2a3)(a1a2an),(n4)2課后綜合練習(xí)n1＝2，2an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，則a101的值（）1、在數(shù)列{a}中，aA：49B：50C：51D：52【解析】：D2、在等差數(shù)列{an}中首項(xiàng)為70，公差為－9，則這個(gè)數(shù)列中絕對值最小的一項(xiàng)為（）A：a8B：a9C：a10D：a11【解析】：B3、在等差數(shù)列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，則a1等于（）A：－9B：－8C：－7D：－4【解析】：B4、已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a1＋a7＋a13＝，則tan(a2＋a12)的值為（）A：3B：－3C：±3D：－33【解析】：B5、在等差數(shù)列{an}中，首項(xiàng)為 a1＝0，公差d≠0，若ak＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7，則k的值是（）A：21B：22C：23D：24【解析】：B6、已知等差數(shù)列n1＋a2＋a3＋,,＋a99＝99，則a3＋a6＋a9＋,,＋{a}的公差為1，且aa96＋a99＝（）A：99B：66C：33D：0【解析】：B7、已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列且 a1＋a5＋a9＝4 ，則cos(a2＋a8)的值為 ( )6A：3B：1C：－3錯(cuò)誤！未找到引用源。D：－12222【解析】選 D8、在等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，則a3＋a6＋a9的值為 ( )A：30 B：27 C：24 D：21【解析】選B.令b1＝a1＋a4＋a7＝39，b2＝a2＋a5＋a8＝33，b3＝a3＋a6＋a9，因?yàn)閧an}成等差數(shù)列，所以 b1，b2，b3成等差數(shù)列，所以 a3＋a6＋a9b3＝b2＋(b2－b1)＝2b2－b1＝27.9、等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S2＝2，S4＝8，則S6等于_______________?！窘馕觥浚?410、在等差數(shù)列an中，若S4＝1，S8＝4，則a17＋a18＋a19＋a20＝____?！窘馕觥浚?11、在等差數(shù)列an中，a1a2a315,anan1an278，Sn155，則n________________?！窘馕觥浚?0sin2a4cos2