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高考沖刺:怎樣解解答題編稿:楊社鋒審稿:孫永釗【高考展望】數(shù)學(xué)解答題是高考數(shù)學(xué)試卷中的一類(lèi)重要題型,這些題涵蓋了中學(xué)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容,具有知識(shí)容量大、解題方法多、能力要求高、突顯數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用以及要求考生具有一定的創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力等特點(diǎn)。解答題綜合考查學(xué)生的運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力和分析問(wèn)題、題解決問(wèn)題的能力,分值占試卷的一半左右,主要分六塊:三角函數(shù)(或與平面向量交匯)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(或與不等式交匯)、概率與統(tǒng)計(jì)、解析兒何(或與平面向量交匯)、立體兒何、數(shù)列(或與不等式交匯)。從歷年高考題看,這些題型的命制都呈現(xiàn)出顯著的特點(diǎn)和解題規(guī)律,從閱卷中發(fā)現(xiàn)考生“會(huì)而得不全分”的現(xiàn)象大有人在。針對(duì)以上情況,在高考數(shù)學(xué)備考中認(rèn)真分析這些解題特點(diǎn)及時(shí)總結(jié)出來(lái),這樣有針對(duì)性的進(jìn)行復(fù)習(xí)訓(xùn)練,能達(dá)到事半功倍的效果.【方法點(diǎn)撥】【高清課堂:解答題的解答策略409166考情解讀】求解解答題的一般技巧解答題是高考數(shù)學(xué)試卷的重頭戲,占整個(gè)試卷分?jǐn)?shù)的半壁江山。在解答解答題時(shí),應(yīng)注意正確運(yùn)用解題技巧.(1)對(duì)會(huì)做的題目:要解決“會(huì)而不對(duì),對(duì)而不全”這個(gè)老大難的問(wèn)題,要特別注意表達(dá)準(zhǔn)確,考慮周密,書(shū)寫(xiě)規(guī)范,關(guān)鍵步驟清晰,防止分段扣分.解題步驟一定要按教科書(shū)要求,避免因“對(duì)而不全”失分.(2)對(duì)不會(huì)做的題目:對(duì)絕大多數(shù)考生來(lái)說(shuō),更為重要的是如何從拿不下來(lái)的題目中分段得分.有什么樣的解題策略,就有什么樣的得分策略.對(duì)這些不會(huì)做的題目可以采取以F策略:缺步解答:如遇到一個(gè)不會(huì)做的問(wèn)題,將它們分解為一系列的步驟,或者是一個(gè)個(gè)小問(wèn)題,先解決問(wèn)題的一部分,能解決多少就解決多少,能演算凡步就寫(xiě)兒步.特別是那些解題層次明顯的題目,每一步演算到得分點(diǎn)時(shí)都可以得分,最后結(jié)論雖然未得出,但分?jǐn)?shù)卻可以得到一半以上.跳步解答:解題過(guò)程卡在某一過(guò)渡環(huán)節(jié)上是常見(jiàn)的.這時(shí)我們可以先承認(rèn)中間結(jié)論,往后推,看能否得到結(jié)論.若題目有兩問(wèn),第(1)問(wèn)想不出來(lái),可把第(1)問(wèn)的結(jié)論當(dāng)作“己知”,先做第(2)問(wèn),跳一步再解答.輔助解答:一道題目的完整解答,既有主要的實(shí)質(zhì)性的步驟,也有次要的輔助性的步驟.實(shí)質(zhì)性的步驟未找到之前,找輔助性的步驟是明智之舉.如:準(zhǔn)確作圖,把題目中的條件翻譯成數(shù)學(xué)表達(dá)式,根據(jù)題目的意思列出要用的公式等.羅列這些小步驟都是有分的,這些全是解題思路的重要體現(xiàn),切不可以不寫(xiě),對(duì)計(jì)算能力要求高的,實(shí)行解到哪里算哪里的策略.書(shū)寫(xiě)也是輔助解答,“書(shū)寫(xiě)要工整,卷面能得分”是說(shuō)第一印象好會(huì)在閱卷老師的心理上產(chǎn)生光環(huán)效應(yīng).閱卷老師都喜歡“錦上添花”而不喜歡“雪中送炭”。逆向解答:對(duì)一個(gè)問(wèn)題正面思考發(fā)生思維受阻時(shí),用逆向思維的方法去探求新的解題途徑,往往能得到突破性的進(jìn)展.順向推有困難就逆推,直接證有困難就反證.求解解答題的一般步驟第-?步:(弄清題目的條件是什么,解題目標(biāo)是什么?)這是解題的開(kāi)始,一定要全面審△饑—△卜0且kEN*,k>2?S13己知數(shù)列{%}的通項(xiàng)公式為=:〃2一才〃(心泌)。試證明{△%}是等差數(shù)列;若數(shù)列{%}的首項(xiàng)ai=-13,且滿足A\-A^h+^=-22m+i(/zg7V*),求數(shù)列{撇一*}及{《』的通項(xiàng)公式;在(2)的條件下,判斷與是否存在最小值;若存在,求出其最小值,若不存在,說(shuō)明理由?!窘馕觥?1)依題意:???M=g(〃+1)2_?(〃+1)]-tv一?川二5"一4?.?Ms-△%=[5(〃+1)-4]-(5〃-4)=5,?.?數(shù)列{△%}是首項(xiàng)為1,公差為5的等差數(shù)列。%-色=2”,a=22m-17-2n-'oo(w>1,ne2V*)2〃+[2“n17令f(x)=x2——x,17則當(dāng)XG(-00,—)時(shí),函數(shù)六X)單調(diào)遞減;417當(dāng)工€(_,+8)時(shí),函數(shù)/?")單調(diào)遞增;417又因劣=2站一17?2n-'=(2“廿—:?2",而I22-^I<|23-^|,44所以當(dāng)n=2時(shí),數(shù)列編存在最小值,其最小值為一18。例5、設(shè)動(dòng)點(diǎn)P到定直線x=-4的距離為d,已知F(2,0)且d-\PF\=2(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;過(guò)圓錐曲線的焦點(diǎn)F,任作一條與兩坐標(biāo)軸都不垂直的弦AB,若點(diǎn)M在x軸上,且使得MF為的一條內(nèi)角平分線,則稱(chēng)點(diǎn)M為該圓錐曲線的“特征點(diǎn)”,問(wèn)該曲線是否存在特征點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo),并觀察點(diǎn)M是怎樣的點(diǎn),同時(shí)將你的結(jié)論推廣,若不存在,清說(shuō)明理由(不用證明推廣后的結(jié)論).【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x,y),且點(diǎn)P到直線x=-2的距離為d/,..?動(dòng)點(diǎn)P到定直線x=-4的距離為d,F(2,0)Rd-\PF|=2,?.?動(dòng)點(diǎn)P到定直線x=-2的距離為d/,F(2,0)且*=|PF|,即點(diǎn)P是以坐標(biāo)原點(diǎn)為頂點(diǎn),以F(2,0)為焦點(diǎn)的拋物線,?.?動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是>'2=8x.假設(shè)拋物線存在特征點(diǎn)M,并設(shè)其坐標(biāo)為M(m,0),.??弦AB不垂直于x軸,且拋物線/=8x的焦點(diǎn)為(2,0),..?設(shè)直線AB的方程為工=燈,+2(##0),代入/=8x并整理,得:寸_8耕一16=0,設(shè)A(xi,yi)9B(x2,y2),則yt+y2=既汕=一16,ZAMB被x軸平分,二旦」+P—=0,x{-mx2-zw即旦1—+旦。=0,工]-mx2-my\(x2-m)+y2(x,-m)=0,即Ji(饑+2)+力(加+2)-(乂+力而=°,?「2燈[),2-(凹+y2)(/n-2)=0,即-32k—8A(/n-2)=0,&。(),/.m=—2.故拋物線上存在特征點(diǎn)M,其坐標(biāo)為M(-2,0),該點(diǎn)是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn),猜想:對(duì)于拋物線),2=2px(p>0),其“特征點(diǎn)M”是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn).【總結(jié)升華】本題從特例出發(fā),探究一般情況下的結(jié)論,解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí),可以通過(guò)特例得到的信息,從命題提出的探究方向思考,歸納問(wèn)題的結(jié)論(有時(shí)不止一個(gè),而有些問(wèn)題的結(jié)論并不成立),再給出數(shù)學(xué)推理證明,本題由于題目的要求沒(méi)有給出推理證明.舉一反三:【變式1】已知數(shù)列坊,%%,…%),其中。1,。2,。3,’1%0是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,。10,〃11,《2尸,,。20是公差為d的等差數(shù)列,。20,“21,"22,…“30是公差為/的等差數(shù)列以。0)若。20=陽(yáng),求d的值;試寫(xiě)出。30關(guān)于d的關(guān)系式,并求出。30的取值范圍;(III)續(xù)寫(xiě)己知數(shù)列,使%o,S,S,?34O是公差為"3的等差數(shù)列,…,依次類(lèi)推,把己知數(shù)列推廣為無(wú)窮數(shù)列,提出同(【I)類(lèi)似的問(wèn)題,((II)應(yīng)當(dāng)作為特例),并進(jìn)行研究,你能得到什么樣的結(jié)論?【解析】(I)%o=10,但。=l°+l°d=4O,「?d=3;(II)當(dāng)dG(-00,0)U(0,+CO),€[7.54-co);(III)所給數(shù)列可推廣為無(wú)窮數(shù)列{%},其中《,角,%,???%0是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,當(dāng)〃N1時(shí),數(shù)列"ioMm+i,《o〃+2,?Eio(”+i)是公差為刁”(d二0)的等差數(shù)列,研究的結(jié)論可以是:由久0=角0+10"3=10(1+"++1)(d,0),l_d'+依次類(lèi)推可得:《05=10(1+』+"2+...+/)={1°乂三7丁(4。1),10(〃+1"=1)當(dāng)(6/。0)時(shí),?10(?+1)的取值范圍是:(0,+8).視題目的所有條件和答題要求,以求正確、全面理解題意,在整體上把握試題的特點(diǎn)、結(jié)構(gòu),多方位、多角度地看問(wèn)題,不能機(jī)械地套用模式,而應(yīng)從各個(gè)不同的側(cè)面、角度來(lái)識(shí)別題目的條件和結(jié)論以及圖形的幾何特征與數(shù)學(xué)式的數(shù)量特征之間的關(guān)系,從而利于解題方法的選擇和解題步驟的設(shè)計(jì).第二步:(探究問(wèn)題己知與未知、條件與目標(biāo)之間的聯(lián)系,構(gòu)思解題過(guò)程.)根據(jù)審題從各個(gè)不同的側(cè)面、不同的角度得到的信息,全面地確定解題的思路和方法.要注意“熟題找差異,生題找聯(lián)系”。第三步:(形成書(shū)面的解題程序,書(shū)寫(xiě)規(guī)范的解題過(guò)程.)解題過(guò)程其實(shí)是考查學(xué)生的邏輯推理以及運(yùn)算轉(zhuǎn)化等能力.評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)是按步給分,也就是說(shuō)考生寫(xiě)到哪步,分?jǐn)?shù)就給到哪步,所以卷面上講究規(guī)范書(shū)寫(xiě).第四步:(反思解題思維過(guò)程的入手點(diǎn)、關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn),用到的數(shù)學(xué)思想方法,以及考查的知識(shí)、技能、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)等.)(1)回頭檢驗(yàn)一一即直接檢查己經(jīng)寫(xiě)好的解答過(guò)程,一般來(lái)講解答題到最后得到結(jié)果時(shí)有一種感覺(jué),若覺(jué)得運(yùn)算挺順利則好,若覺(jué)得解答別扭則十有八九錯(cuò)了,這就要認(rèn)真查看演算過(guò)程.(2)特殊檢驗(yàn)一一即取特殊情形驗(yàn)證,如最值問(wèn)題總是在特殊狀態(tài)下取得的,于是可以計(jì)算特殊情形的數(shù)據(jù),看與答案是否吻合.【典型例題】類(lèi)型一:規(guī)范解答過(guò)程對(duì)于會(huì)做的題,要做到不丟分,具體要求解題步驟表達(dá)準(zhǔn)確、考慮周密、書(shū)寫(xiě)規(guī)范、關(guān)鍵步驟清晰,防止分段扣分。例1.解關(guān)于尤的不等式:ctr?+2or+l>0(aeR).【思路分析】二次形式不等式,不一定是真的二次不等式,需要分類(lèi)討論?!窘馕觥?1)當(dāng)〃=()時(shí),不等式為1>(),解集為xeR;TOC\o"1-5"\h\z當(dāng)〃>0時(shí),需要對(duì)方程ax2+2cix+}=0的根的情況進(jìn)行討論:_a>0[a>0[a>0!-no>lA>0-4。>01)>0即時(shí),方程ax2+2ctx+}=0有兩根-2tz±V4a2-4a-a±yja2-a1)*2-==一1土.laciaa>0a>0=><△vO4。--4a<0即()v“v1時(shí),方程織2+沁+1=0a>0a>0=><△vO4。--4a<0即()v“v1時(shí),方程織2+沁+1=0沒(méi)有實(shí)根,=>0<a<\0<a<\a>0a>0=><、=>、△=04a~-4a=0此時(shí)為開(kāi)口向上的拋物線,故原不等式的解為(一0,+8).a>0nq=]。=0或。=1即〃=1時(shí),方程av2+2or+1=0有兩相等實(shí)根為知=一1,則原不等式的解為(一00,-1)U(-1,+8).當(dāng)6/V0時(shí),△>()恒成立,即。v0時(shí),方程or?+2欲+1=0有兩根_2q±y/a(a-\)TOC\o"1-5"\h\zX\,2==一]土.2aa此時(shí),為開(kāi)口向下的拋物線,故原不等式的解集為(-1+aa綜上所述,原不等式的解集為:+一1)\la(a-1)當(dāng)ovO時(shí),解集為(―1+——,一1———);aa當(dāng)0<a<\時(shí),解集為(-co,+oo);當(dāng)。=1時(shí),解集為(_oo,_l)U(-1,+8);當(dāng)。>1時(shí),解集為(*,一1-匝正目)1)(-1+匹正5,+8).aa舉一反三:Y【變式1】若對(duì)于任意x>0,-r——〈。恒成立,則a的取值范圍是x*+3x+1X【解析】心對(duì)一切尤>0恒成立,JT+3X+1aZ—在R+上的最大值.JT+3x+1當(dāng)且僅當(dāng)x=->0即x=l時(shí)等取號(hào).X【變式2】解關(guān)于x的不等式:x2+a3<(a+a2)xCa^R).【解析】原不等式可分解因式為:(x—o)(x—。2)<0,(下面按兩個(gè)根。與。2的大小關(guān)系分類(lèi))當(dāng)a=a2,即。=0或〃=1時(shí),不等式為J<0或(工一1)2<0,不等式的解集為:XG0;當(dāng)a>a\即()<a<1時(shí),不等式的解集為:xe(a\a);當(dāng)a<a2f即。<0或。>1時(shí),不等式的解集為:xc(",E);綜上所述,原不等式的解集為:當(dāng)a=0或。=1時(shí),xe0;當(dāng)0v“v1時(shí),xe(a2,a);當(dāng)。v()或。>1時(shí),xe(a,a2).例2、己知函數(shù)=(">0).x討論f(x)的單調(diào)性;求/(x)在區(qū)間[。,2川上的最小值.【解析】(1)函數(shù)/(幻的定義域?yàn)?0,+8)對(duì)/(X)=£1JH求導(dǎo)數(shù),得廣⑴.上華(。>())XX解不等式廣⑴="?上華>(),得0<x<ex解不等式f'(*)=〃?上來(lái)vO,得x>ex故f(x)在((),e)上單調(diào)遞增,在(e,+8)上單調(diào)遞減(2)①當(dāng)2aWe時(shí),即?<-|時(shí),由(1)知f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增,所以[/Wlmin=/(?)=In當(dāng)aNe時(shí),由(1)知/(X)在(e,+8)上單調(diào)遞減,所以頃劇而2(2。)=蟲(chóng)尹當(dāng)-<a<e時(shí),需比較TV,)與f(2a)的大小因?yàn)閒(a)一f(2a)=In。一."=—(21n67-ln2)=—(Ina-In2)所以,若|<?<2,則f(a)<f(2a),此時(shí)[f⑴扁二/(。)=In。若2<a<e,WJ/(2a)</(?),此時(shí)[/WU=/(2a)=綜上,當(dāng)0VaW2時(shí),[/W]min=lna;當(dāng)a>2時(shí)[/(x)]min=-^【總結(jié)升華】對(duì)于函數(shù)問(wèn)題,定義域要首先考慮,而(2)中③比較大小時(shí),作差應(yīng)該是非常有效的方法.舉一反三:1—r【變式1】設(shè)f(x)=ax+—,(a>0)ax利用函數(shù)單調(diào)性的意義,判斷f(x)在(0,+8)上的單調(diào)性;記f(x)在0GW1上的最小值為g(a),求y=g(a)的解析式.【解析】(1)設(shè)0<XKX2<+8

則f(X2)-f(Xi)=4(x>-x,)+—()=。(工,一工])一上?一—ax2Xj~a也易Ia2(x}x2-—2)=(易-工1)(。)=(易一玉)—axix2axxx2由題設(shè)X2_Xi>0,axi?X2>0..?當(dāng)0<Xi<x2^—時(shí),x}x2--<0,/.f(X2)~f(X1)<O,a一a~即f(x2)<f(X1),則f(x)在區(qū)間[0,二]單調(diào)遞減,a當(dāng)—<Xj<X2<+°°時(shí),工]花——>0?Af(x2)-f(X1)>O,a~cT即f(x2)>f(x.),則f(x)在區(qū)間(』,+8)單調(diào)遞增.a(2)因?yàn)?KxWl,由(1)的結(jié)論,當(dāng)0<-<1即aNl時(shí),g(a)=f(-)=2--;acia當(dāng)一>1,即(XaU時(shí),g(a)=f(l)=aa綜上,所求的函數(shù)y=g(a)=【變式2】求函數(shù)加=巖(心。)在"]上的值域.(F+1)(F+1)2令f\x)=0,則x=±\(1)當(dāng)OVaWl時(shí),?「OWxWa,..?f'(x)NO(只有a=l且x=l時(shí)f‘(x)=0)?.?f(x)在[0,a]上單增,從而OV/Xr)《一」,值域?yàn)椋?,螳^];。-+1。~+1⑵當(dāng)a>l時(shí),?「OWxWa,..?f(x)在[0,1)單增,在(I,"]上單減,2并且/(0)=0</(f/)=^—,/+1.-.o</(x)</(l)=j,值域?yàn)閸鳎?;?dāng)-Ka<0時(shí),

?.?OWxW|a|,.??f(x)在[0,|a|]上遞減2從而/(|a\)<f(x)</(O)即<f(x)<0,a"+\值域?yàn)椋?-,0]a-+\當(dāng)冰時(shí),?.?OWxWk,.??f(x)在[0,1)單減,在上單增,2?.?Znin⑴=八1)=?,又六0)=()>/(|們)=-三,a+1??.;《f(x)<0,值域?yàn)閒pOl.例3.(2015浙江高考)已知函數(shù)/(x)=x2-\-ax+b(a,be/?),記是|f(x)|在區(qū)間[-1,1]上的最大值.(1)證明:當(dāng)\a\>2時(shí),M(?,/?)>2:解析:(1)由/(x)=(x+;)+b-g(2)當(dāng)。,Z?解析:(1)由/(x)=(x+;)+b-g得對(duì)稱(chēng)軸為直線x=~,由同22,得一^>122?項(xiàng)局在區(qū)間[-1,1]上單調(diào),?.?財(cái)(以)={|A1)|,機(jī)-1)|}.當(dāng)/N2時(shí),貝1)/-1)=2“】4,...〃?小偵1)』-1)}N2,即M(a,b)N2.當(dāng)gW-2時(shí)頂-1)/1)=-&出4,.??g{/(-l),/l)}N2,即M(a,b)N2.綜上所述,當(dāng)|』N2時(shí),M(a,b)N2.(2)力)W2...|l+g項(xiàng)1)W2,|12+凱項(xiàng)-1)W2即-3Wo+bWl,-3&-nWl即"|W3,IMW3,又?,Ml+回={%,:|曜j5.??|』+|b|W3,當(dāng)a=2,b=-l時(shí),同+|仞=3,K|x2+2x-1|在[-1,1]上的最大值為2,即M(2,1)=2,所以同+族|的最大值為3.總結(jié)升華:在解題的過(guò)程中,直接考慮思維受阻時(shí),要學(xué)會(huì)變換解決問(wèn)題的角度,轉(zhuǎn)化命題的形式,使問(wèn)題變得直觀、簡(jiǎn)潔,進(jìn)而使問(wèn)題得以解決,有些問(wèn)題可以考慮其反面,通過(guò)解決反面使問(wèn)題得以解決,有些空間中的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題則變得簡(jiǎn)潔.這就是轉(zhuǎn)化與化歸思想的真諦.舉一反三:7T【變式】設(shè)o<0<2JI,旦方程2sin?94--)=/77有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)m的取值范圍及這兩個(gè)實(shí)根的和.【解析】將原方程2sin(6>+y)=w轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)y=2sin(x+y)的圖象與直線y=m有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí),求a的范圍及a+B的值.TT如圖,在同一坐標(biāo)系中,作出y=2sin(x+y)及y=m的圖象,由圖可知:當(dāng)-2<〃7<占或也<2時(shí),直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn),即原方程2血(蠟)5有兩個(gè)不同實(shí)根.若V3<w<2,設(shè)原方程的一個(gè)根為玉=匹+。,6rr則另一個(gè)根為超=普一。???X]+x2=—?若一設(shè)原方程的一個(gè)根為葛=號(hào)一a,則另一個(gè)根為x,=匹-a,x^+x-y=—.-6-3且由對(duì)稱(chēng)性可知,這兩個(gè)實(shí)根的和為生或-71.3類(lèi)型二:探究型問(wèn)題的解答未給出結(jié)論的通常稱(chēng)為歸納型問(wèn)題.解答這類(lèi)問(wèn)題思路:歸納一猜想一證明;結(jié)論不確定的,通常稱(chēng)之為存在型問(wèn)題.解答思路:假設(shè)一推理一定論;條件不全,需探求補(bǔ)足條件的,通常稱(chēng)為:條件探索型.解答思路:結(jié)論仁條件.答案往往不唯一;⑷給定一些對(duì)象的某種關(guān)系,通過(guò)類(lèi)比得到另一些對(duì)象的關(guān)系.解答思路:透徹理解條件,轉(zhuǎn)換思維;給出幾個(gè)論斷,選擇其中若干個(gè)論斷為條件,某一個(gè)(或幾個(gè))為結(jié)論,通常稱(chēng)為重組型.解答思路:組合條件,逐一驗(yàn)證.例4、數(shù)列{&}的前n項(xiàng)和為%已知E是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,試比較,與的大小,并證明你的結(jié)論.【解析】設(shè)等比數(shù)列{SJ的公比為q,則q>0(J)q=1時(shí),Sn=Si=a>當(dāng)n=i時(shí),^3_a,>%*當(dāng)nN2時(shí),>%*當(dāng)nN2時(shí),a?=Sn-Sn-i=ai-ai=O,^^=0=an+1(2)q=l時(shí),Sn=Si?qn_,=a.-qn_,當(dāng)n=l時(shí),~^~2~~-“2=~':('-■=¥〔1+0(0一1)一20-1)]=33一30+3)=—[(^--)2+-]>o224a.+a.n-2_.n-2/?\-a>

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