二元函數(shù)的極限Word版

整理為word格式整理為word格式整理為word格式§2二元函數(shù)的極限(一)教學目的：掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系．(二)教學內容：二元函數(shù)的極限的定義；累次極限．基本要求：(1)掌握二元函數(shù)的極限的定義，了解重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，熟悉判別極限存在性的基本方法．(2)較高要求：掌握重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，能用來處理極限存在性問題．(三)教學建議：(1)要求學生弄清一元函數(shù)極限與多元函數(shù)極限的聯(lián)系與區(qū)別，教會他們求多元函數(shù)極限的方法．(2)對較好學生講清重極限與累次極限的區(qū)別與聯(lián)系，通過舉例介紹判別極限存在性的較完整的方法．一二元函數(shù)的極限先回憶一下一元函數(shù)的極限：的“”定義(c31)：設函數(shù)在的某一空心鄰域內由定義，如果對，當，即時，都有，則稱時，函數(shù)的極限是A.類似的，我們也可以定義二元函數(shù)的極限如下：設二元函數(shù)為定義在上的二元函數(shù)，在點為D的一個聚點，A是一個確定的常數(shù)，如果對，使得當時，都有，則稱在D上當時，以A為極限。記作也可簡寫為或例1用定義驗證整理為word格式整理為word格式整理為word格式證明:限制在（2，1）的鄰域取，則有由二元函數(shù)極限定義例2，證明證所以對于二元函數(shù)的極限的定義，要注意下面一點：是指：以任何方式趨于，包括沿任何直線，沿任何曲線趨于時，必須趨于同一確定的常數(shù)。對于一元函數(shù)，僅需沿軸從的左右兩個方向趨于，但是對于二元函數(shù)，趨于的路線有無窮多條，只要有兩條路線，趨于時，函數(shù)的值趨于不同的常數(shù)，二元函數(shù)在點極限就不存在。例1二元函數(shù)請看圖像（x62），盡管沿任何直線趨于原點時都趨于零，但也不能說該函數(shù)在原點的極限就是零，因為當整理為word格式整理為word格式整理為word格式沿拋物線時，的值趨于１而不趨于零，所以極限不存在。f(x)=0f(x)=0f(x)=1f(x)=1(考慮沿直線的方向極限).例2設函數(shù)求證證明因為所以，當時，。請看它的圖像，不管沿任何方向趨于原點，的值都趨于零。通常為證明極限不存在,可證明沿某個方向的極限不存在,或證明沿某兩個方向的極限不相等,或證明方向極限與方向有關.但應注意,沿任何方向的極限存在且相等全面極限存在.設函數(shù)證明函數(shù)在原點處極限不存在。證明盡管沿ｘ軸和ｙ軸趨于原點時的值都趨于零，但沿直線趨于原點時整理為word格式整理為word格式整理為word格式沿斜率不同的直線趨于原點時極限不一樣，請看它的圖象,例１沿任何路線趨于原點時，極限都是0，但例２沿不同的路線趨于原點時，函數(shù)趨于不同的值，所以其極限不存在。判別函數(shù)在原點是否存在極限.非正常極限極限的定義:例1設函數(shù)證明證只要取時，都有請看它的圖象，因此是無窮大量。求下列極限:i);ii);iii);iV).整理為word格式整理為word格式整理為word格式累次極限:累次極限前面講了以任何方式趨于時的極限，我們稱它為二重極限，對于兩個自變量依一定次序趨于時的極限，稱為累次極限。對于二元函數(shù)在的累次極限由兩個和,求在點的兩個累次極限.,求在點的兩個累次極限.,求在點的兩個累次極限.二重極限與累次極限的關系:（１）兩個累次極限可以相等也可以不相等，所以計算累次極限時一定要注意不能隨意改變它們的次序。例函數(shù)的兩個累次極限是（２）兩個累次極限即使都存在而且相等，也不能保證二重極限存在例，兩個累次極限都存在但二重極限卻不存在，事實上若點沿直線趨于原點時，整理為word格式整理為word格式整理為word格式二重極限存在也不能保證累次極限存在二重極限存在時,兩個累次極限可以不存在.例函數(shù)由.可見二重極限存在,但和不存在，從而兩個累次極限不存在。（4）二重極限極限和累次極限(或另一次序)都存在,則