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微分幾何補充題微分幾何補充題微分幾何補充題資料僅供參考文件編號:2022年4月微分幾何補充題版本號:A修改號:1頁次:1.0審核:批準:發(fā)布日期:微分幾何補充題1.求曲線的切線與直線所成的夾角.解,直線的方向向量為,設(shè)與的夾角為,則有,所以,2.求曲面:上的臍點.解,,,,,,,,,由得,解得,從而,所以原點是曲面唯一的臍點.3.求正螺面()上點沿方向的法曲率.解:, 所以在點沿方向的法曲率是,將代入上式,4.求正螺面()上的雙曲點、橢圓點和拋物點.解由第3題,知, 得,所以正螺面上全是雙曲點,無橢圓點和拋物點.5.若一曲面與平面相切于一條曲線,證明:此曲線是曲面的漸近曲線又是曲率線,并證明沿此曲線上的點都是拋物點.證明1)曲面與平面相切于一條曲線此曲線在這個平面上,且這個平面是曲面在此曲線上每一點的切平面.是漸近曲線.2)又()即又是單位向量 所以,是主方向就是曲率線3)漸近方向又是主方向,上的點都是拋物點.6.假定曲面被一族漸近曲線所覆蓋,證明:這族漸近曲線的正交軌線的法曲率等于曲面的平均曲率的兩倍.證明:如圖,設(shè)漸近方向與主方向的夾角為,則漸近曲線的正交軌線的切

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