線性代數(shù)課件-矩陣

1第二章矩陣2§2.1矩陣的概念

矩陣是數(shù)學(xué)中一個(gè)重要內(nèi)容,也是經(jīng)濟(jì)研究和經(jīng)濟(jì)工作中處理線性經(jīng)濟(jì)模型的重要工具.3例1.設(shè)有線性方程組4這個(gè)方程組未知量系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)按方程組中的順序組成一個(gè)4行5列的矩形陣列如下:5這個(gè)陣列決定著給定方程組是否有解?上以及如果有解,解是什么等問(wèn)題.因此對(duì)這個(gè)陣列的研究就很有必要.6例2

某企業(yè)生產(chǎn)4種產(chǎn)品,各種產(chǎn)品的季度產(chǎn)值(單位:萬(wàn)元)如表2-1:

表2-11234180587578298708584390759090488708280產(chǎn)品產(chǎn)值季度7這個(gè)排成4行4列的產(chǎn)值陣列具體描述了這家企業(yè)各種產(chǎn)品各季度的產(chǎn)值,同時(shí)也揭示了產(chǎn)值隨季節(jié)變化規(guī)律的季增長(zhǎng)率及年產(chǎn)量等情況.8例3.

生產(chǎn)m種產(chǎn)品需用n種材料,如果以aij表示生產(chǎn)第i種產(chǎn)品(i=1,2,,m)耗用第j種材料(j=1,2,,n)的定額,則消耗定額可以用一個(gè)矩形表表示,如表2-2:9表2.212jn1a11a12a1ja1n2a21a22a2ja2niai1ai2aijainmam1am2amjamn材料定額產(chǎn)品10這個(gè)由m行n列構(gòu)成的消耗定額陣列描述了生產(chǎn)過(guò)程中產(chǎn)出的產(chǎn)品與投入材料的數(shù)量關(guān)系.11由例2,例3可以看出,這種陣列在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中是會(huì)常常遇到的,這種矩形陣列稱為矩陣.12定義2.1

由mn個(gè)數(shù)aij(i=1,2,,m;j=1,2,,n)排列成的一個(gè)m行n列的矩形表,稱為一個(gè)mn矩陣,記作其中aij稱為矩陣第i行第j列的元素.13一般情形下,用大寫(xiě)黑體字母A,B,C,表示矩陣.為了標(biāo)明矩陣的行數(shù)m和列數(shù)n,可用Amn表示,或記作(aij)mn.

所有元素均為0的矩陣,稱為零矩陣,記作O.

所有元素均為非負(fù)數(shù)的矩陣,稱為非負(fù)矩陣.

如果矩陣A=(aij)的行數(shù)與列數(shù)都等于n,則稱A為n階矩陣(或稱n階方陣).14注意:n階矩陣僅僅是由n2個(gè)元素排成的一個(gè)正方形,而與n階行列式不同.一個(gè)由n階矩陣A的元素按原來(lái)排列的形式構(gòu)成的n階行列式,稱為矩陣A的行列式,記作|A|或detA.15定義2.2

如果兩個(gè)矩陣A,B有相同的行數(shù)與相同的列數(shù),并且對(duì)應(yīng)位置上的元素均相等,則稱矩陣A與矩陣B相等,記為A=B.即如果A=(aij)mn,B=(bij)mn,且aij=bij

aij(i=1,2,,m;j=1,2,,n),則A=B.16§2.2矩陣的運(yùn)算

矩陣的意義不僅在于將一些數(shù)據(jù)排成陣列形式,而且在于對(duì)它定義了一些有理論意義和實(shí)際意義的運(yùn)算.從而使它成為進(jìn)行理論研究或解決實(shí)際問(wèn)題的有力工具.17(一)矩陣的加法與矩陣的乘法

定義2.3

兩個(gè)m行n列矩陣A=(aij),B=(bij)對(duì)應(yīng)位置元素相加得到的m行n列矩陣,稱為矩陣A與矩陣B的和,記為A+B.即

A+B=(aij)mn+(bij)mn=(aij+bij)mn,(2.2)18例1.有某種物質(zhì)(單位:噸)從3個(gè)產(chǎn)地運(yùn)往4個(gè)銷(xiāo)地,兩次調(diào)運(yùn)方案分別為矩陣A與矩陣B,19則從各產(chǎn)地運(yùn)往各銷(xiāo)地兩次的物資調(diào)運(yùn)量共為20定義2.4

以數(shù)k乘矩陣A的每一個(gè)元素所得到的矩陣,稱為數(shù)k與矩陣A的積,記作kA.如果A=(aij)mn,那么

kA=k(aij)mn=(kaij)mn, (2.3)21例2.

設(shè)3個(gè)產(chǎn)地與4個(gè)銷(xiāo)地之間的里程(單位:公里)為矩陣A,已知貨物每噸公里的運(yùn)費(fèi)為1.5元,則各產(chǎn)地與各銷(xiāo)地之間每噸貨物的運(yùn)費(fèi)(單位:元)可以記為矩陣:2223把矩陣A=(aij)mn中各元素變號(hào)得到的矩陣,稱為A的負(fù)矩陣,記作-A,即

-A=(-aij)mn

24由上面定義的矩陣加法,數(shù)與矩陣的乘法,不難得到下面的運(yùn)算律.

設(shè)A,B,C,O都是mn矩陣,l,k是數(shù),則

(1)A+B=B+A

(2)(A+B)+C=A+(B+C)

(3)A+O=A

(4)A+(-A)=O

從(3),(4)可見(jiàn),零矩陣O在矩陣加法運(yùn)算中與數(shù)0在數(shù)的加法運(yùn)算中有同樣的性質(zhì).25(5)k(A+B)=kA+kB

(6)(k+l)A=kA+lA

(7)(kl)A=k(lA)

(8)1A=A26由矩陣加法及負(fù)矩陣,可以定義矩陣減法:

A-B=A+(-B)

即,如果A=(aij)mn,B=(bij)mn,

則 A-B=A+(-B)

=(aij)mn+(-bij)mn

=(aij-bij)mn (2.5)27例3.

已知求3A-2B28解:29例4.

已知且A+2X=B,求X.解:3031例5.

設(shè)A=(aij)為三階矩陣,若已知|A|=2,求32解:

由已知|A|=2,33(二)矩陣的乘法34例1.某地區(qū)有4個(gè)工廠I,II,III,IV,生產(chǎn)甲,乙,丙3種產(chǎn)品,矩陣A表示一年中各工廠生產(chǎn)各種產(chǎn)品的數(shù)量,矩陣B表示各種產(chǎn)品的單位價(jià)格(元)及單位利潤(rùn)(元),矩陣C表示各工廠的總收入及總利潤(rùn).35單位單位價(jià)格利潤(rùn)總收入總利潤(rùn)36則矩陣A,B,C的元素之間有下列關(guān)系:總收入總利潤(rùn)37其中

cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j

(i=1,2,3,4;j=1,2)

即矩陣C中第i行第j列的元素等于矩陣A第i行元素與矩陣B第j列對(duì)應(yīng)元素乘積的和.383940如果分別記上述坐標(biāo)變換公式的系數(shù)矩陣為A=(aik),B=(bkj),C=(cij),則各矩陣元素之間的關(guān)系為

cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j(i,j=1,2,3)

即矩陣C的第i行第j列的元素等于矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積的和.

將上面例題中矩陣之間的這種關(guān)系定義為矩陣的乘法.41定義2.5

設(shè)矩陣A=(aik)ml的列數(shù)與矩陣B=(bkj)ln的行數(shù)相同,則由元素構(gòu)成的m行n列矩陣稱為矩陣A與矩陣B的積,記為C=AB或AB.42這個(gè)定義說(shuō)明,如果矩陣A的列數(shù)等于矩陣B的行數(shù),則A與B的乘積C中第i行第j列的元素,等于矩陣A的第i行元素與矩陣B的第j列對(duì)應(yīng)元素乘積的和.并且C的行數(shù)等于矩陣A的行數(shù),矩陣C的列數(shù)等于矩陣B的列數(shù).

由定義,上面兩個(gè)例題中矩陣之間的關(guān)系為

AB=C4344就此例順便求一下BA.顯然,ABBA454647由例3,例4,例5可以看到矩陣的乘法一般不滿足交換律.由例4可以看到AB有意義,BA不一定有意義.由例3,例5可以看到