情境2-投影的概述

學(xué)習(xí)情境2投影的基本知識(shí)與技能任務(wù)一

點(diǎn)的投影任務(wù)二線的投影

任務(wù)三面的投影

任務(wù)四體的投影

任務(wù)一

點(diǎn)的投影投影的概念

在日常生活中，物體在陽光或燈光的照射下，就會(huì)在地面或墻面上產(chǎn)生影子，這種現(xiàn)象叫做投影。投影的現(xiàn)象

通常我們把光源稱為投影中心，影子所在的墻面或地面稱為投影面，發(fā)射出的光線稱為投射線，并設(shè)想投影線能夠穿透物體，使物體各個(gè)部分的棱線都能在影子中體現(xiàn)出來。投影的形成投影的分類

投影法有多種。投射線都從投影中心一點(diǎn)發(fā)出在投影面上作出形體投影的方法，稱為中心投影法。相互平行的投射線在投影面上作出形體投影的方法為平行投影法。當(dāng)投射線垂直于投影面時(shí)，稱為正投影法。當(dāng)投射線傾斜于投影面時(shí)，稱為斜投影法。中心投影平行投影土木工程中常用的投影

土木工程中常用的投影有：多面正投影，軸測投影，透視投影，標(biāo)高投影。多面正投影圖示例軸測投影圖示例透視投影圖示例標(biāo)高投影圖示例三投影面體系

空間五個(gè)不同形狀的物體，它們?cè)谕粋€(gè)投影面上的投影卻是相同的。因此，在正投影法中物體的一個(gè)投影一般是不能反映空間物體形狀的。

用三個(gè)相互垂直的平面做投影面，分別作物體在這三個(gè)投影面上的三個(gè)投影，才能比較充分地表現(xiàn)出這個(gè)物體的空間形狀。這三個(gè)相互垂直的投影面，稱為三投影面體系。點(diǎn)的三面投影及其規(guī)律A點(diǎn)的三面投影點(diǎn)的投影規(guī)律：正面投影和水平投影的連線必定垂直于X軸，即：正面投影和側(cè)面投影的連線必定垂直于Z軸，即：水平投影到X軸的距離等于側(cè)面投影到Z軸的距離，即：點(diǎn)的三個(gè)投影到各投影軸的距離，分別代表空間點(diǎn)到相應(yīng)的投影面的距離?？臻g點(diǎn)到投影面的距離點(diǎn)的坐標(biāo)

空間一點(diǎn)到三投影面的距離，就是該點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)（用小寫字母x、y、z表示），即：空間點(diǎn)到W面的距離為。空間點(diǎn)到V面的距離為?？臻g點(diǎn)到H面的距離為。

空間點(diǎn)及其投影位置即可用坐標(biāo)方法表示，如點(diǎn)A的空間位置是A(x,y,z)。點(diǎn)的坐標(biāo)兩點(diǎn)的相對(duì)位置空間一個(gè)點(diǎn)有前、后、上、下、左、右六個(gè)方位，這六個(gè)方位在投影圖上也能反映出來。投影面上的方位點(diǎn)的重影及其可見性

如果兩個(gè)點(diǎn)位于同一投射線上，則兩點(diǎn)在垂直投射線的同一投影面上的投影必定重疊，該投影稱為重影。重影的空間兩個(gè)點(diǎn)稱為重影點(diǎn)。重影點(diǎn)已知點(diǎn)B的H面投影b和W面投影，求作點(diǎn)B的V面投影。已知點(diǎn)的兩個(gè)投影求第三個(gè)投影

任務(wù)拓展如圖2－23所示，試判別A、B兩點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系。判斷兩點(diǎn)的相對(duì)位置任務(wù)二線的投影直線的概念

直線可以看作是點(diǎn)沿著一定方向運(yùn)動(dòng)的軌跡，或看作沿一定方向的無數(shù)點(diǎn)的集合。由初等幾何可知，兩點(diǎn)可以確定一直線。直線的投影一般仍是直線。直線的投影各種位置直線的投影

空間直線對(duì)投影面的相對(duì)位置可分為：一般位置直線、投影面平行線、投影面垂直線三類，其中，投影面平行線和投影面垂直線又稱為特殊位置直線。（一）一般位置直線的投影特性

對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的直線，稱為一般位置直線。直線與投影面之間的夾角，稱為直線對(duì)投影面的傾角。直線對(duì)H、V、W面的傾角分別用表示。

一般位置直線的投影特性：一般位置直線的三面投影均傾斜于投影軸，都不反映直線實(shí)長和與投影面所成的傾角。（二）投影面平行線的投影特性投影面平行線是指僅平行于一個(gè)投影面，而傾斜于另兩個(gè)投影面的直線。

投影面平行線的投影特性：投影面平行線平行于某一個(gè)投影面，在該投影面上的投影反應(yīng)實(shí)長，且該投影與投影軸的夾角等于空間直線與相應(yīng)投影面的傾角。在另外兩個(gè)投影面上的投影，分別平行于相應(yīng)的兩個(gè)投影軸，且共同垂直于第三投影軸，兩投影為縮短的直線。（三）投影面垂直線的投影特性投影面垂直線是指垂直于一個(gè)投影面，同時(shí)平行于另外兩個(gè)投影面的直線。

投影面垂直線的投影特性：投影面垂直線在它所垂直的投影面上的投影積聚為一個(gè)點(diǎn)，在其他兩個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長，并分別垂直于該直線所垂直的投影面的兩個(gè)投影軸，平行于第三投影軸。練一練一般位置直線與投影面的傾角與實(shí)長

一般位置直線的各個(gè)投影都不反映直線的實(shí)長和與投影面所成傾角的真實(shí)大小。如何求作一般位置直線的實(shí)長與傾角，下面介紹直角三角形法求一般位置直線的實(shí)長與傾角。一般位置直線的實(shí)長和與投影面所成的傾角上述直角三角形可以直接在已知的投影圖上求作，作法如下：用直角三角形法求一般位置直線的實(shí)長與傾角直線上的點(diǎn)

位于直線上的點(diǎn)，它的投影必定在該直線的同名投影上。根據(jù)這一特性，我們即可求作直線上的點(diǎn)的投影，并可用來判別直線與點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系。

如果直線上的一個(gè)點(diǎn)把直線分為一定比例的兩段，則該點(diǎn)投影也分直線同名投影為相同比例的兩段，這種性質(zhì)稱為定比性。練一練：試問E、D點(diǎn)是否在直線AB上。直線與點(diǎn)的相對(duì)位置兩直線的相對(duì)位置關(guān)系空間兩直線的相對(duì)位置關(guān)系有三種情況：（1）兩直線平行：（2）兩直線相交：（3）兩直線交叉：

相交的兩條直線或平行的兩條直線，都是在同一個(gè)平面上的兩條直線，稱為共面直線；交叉的兩條直線則不在同一個(gè)平面上，稱為異面直線。兩直線的相對(duì)位置關(guān)系（一）兩直線平行的投影特性

空間相互平行的兩直線的同名投影也相互平行。反之，若兩直線的同名投影都相互平行，則這兩直線在空間一定是相互平行的。

對(duì)于特殊位置的空間兩直線，必須看反映實(shí)長的一組投影是否平行，才能判斷空間兩直線是否平行。而對(duì)于一般位置直線只要看任意兩組投影是否平行，即可判斷空間兩直線是否平行。平行兩直線的投影

（二）兩直線相交的投影特性

如果兩直線相交，則它們的同名投影一定相交，且各同名投影的交點(diǎn)應(yīng)符合空間點(diǎn)的投影規(guī)則。反之，如果兩直線的同名投影相交，且交點(diǎn)符合空間點(diǎn)的投影規(guī)則，則這兩條直線在空間也一定相交。

對(duì)于特殊位置的空間兩直線，必須看反映實(shí)長的一組投影是否相交，交點(diǎn)是否符合點(diǎn)的投影規(guī)律，才能判斷空間兩直線是否相交。而對(duì)于一般位置直線只要看任意兩組投影是否相交，交點(diǎn)是否符合點(diǎn)的投影規(guī)律，即可判斷空間兩直線是否相交。相交兩直線的投影（三）兩直線交叉的投影特性

即不平行也不相交的空間兩直線，稱為交叉直線。交叉兩直線的投影（四）兩直線垂直相交

如果兩直線垂直相交，則其中一條直線平行于投影面，在投影面上反應(yīng)實(shí)長，且兩直線的交角在該投影面上的投影為是直角。垂直相交兩直線的投影例：已知直線AB的H、V面投影,求直線AB的實(shí)長和對(duì)V面的傾角用直角三角形法求直線AB的實(shí)長與傾角。例：已知直線AB的投影，求作直線上一點(diǎn)C的投影，使AC：CB＝3：2。分直線為定比的點(diǎn)的投影例：試作一直線與直線CD、AB相交，且平行于直線EF。作相交、平行直線的投影任務(wù)三面的投影平面的表示方法1、平面可由以下幾何元素來確定（1）不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面。（2）一條直線和直線外的一個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)平面。（3）兩條相交直線可以確定一個(gè)平面。（4）兩條平行直線可以確定一個(gè)平面。（5）平面圖形可以確定一個(gè)平面。用幾何元素表示平面2、平面的跡線表示法

由于平面可以理解為無限延伸的，這樣平面與投影面必然相交，這種平面與投影面的交線稱為跡線。用跡線表示平面平面在三投影面體系中空間位置有：投影面的平行面、投影面的垂直面、一般位置平面。（一）投影面的平行面平行于一個(gè)投影面，同時(shí)垂直于另外兩個(gè)投影面的平面，稱為投影面的平行面。

投影面的平行面投影特性：該平面在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形，平面在另外兩個(gè)投影面上的投影具有積聚性，均積聚為一條直線，且平行于相應(yīng)的投影軸。（二）投影面的垂直面

垂直于一個(gè)投影面，傾斜于另外兩個(gè)投影面的平面，稱為投影面的垂直面。

投影面的垂直面的投影特性：該平面在它所垂直的投影面上的投影，積聚為一條直線。積聚投影線與投影軸的交角等于空間平面與另兩個(gè)投影面的傾角。平面在另外兩個(gè)投影面上的投影為面積縮小的類似形。(三)一般位置平面

在三投影面體系中，與三個(gè)投影面都傾斜的平面，稱為一般位置平面。一般位置平面的投影特性：三個(gè)投影面上的投影均不反映實(shí)形，都為縮小的類似形；三個(gè)投影面上的投影與投影軸的夾角，都不等于空間平面與投影面的傾角。想一想：請(qǐng)問下列各平面是什么位置平面?平面的投影點(diǎn)在平面上的投影特性點(diǎn)在平面上的投影特性：若一個(gè)點(diǎn)在某一平面內(nèi)的直線上，則該點(diǎn)必定在該平面上。點(diǎn)在平面內(nèi)的投影直線在平面上的投影特性特性1：若一條直線通過平面上的兩個(gè)點(diǎn)，則此直線在該平面內(nèi)。特性2：若直線通過平面上的一個(gè)點(diǎn)，且與平面上的另一條直線平行，則該直線在平面上。直線在平面內(nèi)的投影平面上的特殊位置直線平面上的特殊位置直線有平面內(nèi)投影面平行線和平面內(nèi)最大斜度線。(一)平面內(nèi)投影面平行線平面內(nèi)投影面的水平線（二）平面內(nèi)最大斜度線

平面內(nèi)垂直于該平面的某一投影面的平行線，是平面對(duì)這個(gè)投影面的最大斜度線，該直線與這個(gè)投影面的傾角，就是平面與這個(gè)投影面的傾角。平面內(nèi)最大斜度線直線與平面、平面與平面平行（一）直線與平面平行如果一直線平行于平面內(nèi)的某一直線，則該直線平行于該平面。直線與平面平行練一練：已知直線MN和△ABC的投影，判斷直線MN是否與△ABC平行。直線與平面平行的判斷(二)平面與平面平行

如果一平面上的相交兩直線相應(yīng)地與另一平面上的相交兩直線平行，則這兩個(gè)平面互相平行。兩平面相互平行練一練：已知△ABC和DEF的兩面投影,判斷兩平面是否平行。兩平面相互平行的判斷直線與平面、平面與平面相交

直線與平面相交只有一個(gè)交點(diǎn)。交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)，它既在直線上又在平面上。平面與平面相交，交于一條直線，交線是兩平面的共有線。欲求交線，只需求出同屬于兩個(gè)平面的兩個(gè)共有點(diǎn)，將其連接起來即可。（一）直線與特殊位置平面相交

求直線與特殊位置平面的交點(diǎn)，應(yīng)充分利用平面投影的積聚性。直線與鉛垂面相交（二）一般位置平面與特殊位置平面相交

兩平面相交，其交線是一直線。交線是兩平面的共有線，交線上的各點(diǎn)也是兩平面的共有點(diǎn)。所以只要求出交線上兩個(gè)點(diǎn)的投影，并將同名投影連接起來，即得兩平面交線的投影。一般位置平面與鉛垂面相交(三)直線與一般位置平面相交

求直線與一般位置平面的交點(diǎn)，需要設(shè)一個(gè)包含直線在內(nèi)的特殊位置平面作輔助面，此輔助面常用跡線平面表示。直線與一般位置平面相交例：已知直線AB與△CDE相交，求作交點(diǎn)K的投影。一般位置直線與一般位置平面相交(四)一般位置平面與一般位置平面相交求兩個(gè)一般位置平面的交線，可采用上述求直線與一般位置平面交點(diǎn)的方法，分別求出一平面上的兩條邊線與另一平面的兩個(gè)交點(diǎn)，兩交點(diǎn)的連線即為兩平面的交線。例：已知△ABC與△DEF相交的兩面投影，求作交線MN的投影。兩一般位置平面相交直線與平面、平面與平面垂直（一）直線與平面垂直

由初等幾何可知，如果一直線垂直于一平面，則該直線一定垂直于平面上的任何一直線。如果一平面由平面上的兩相交直線來表示，若有一直線垂直于該平面上的兩相交直線，則該直線與該平面垂直。直線與平面的垂直問題，實(shí)際上是直線與平面上兩相交直線的垂直問題。直線與平面垂直(二)平面與平面垂直

如果一平面通過另一平面的一條垂線，或一平面上若有一直線垂直于另一平面，那么，這兩個(gè)平面就相互垂直。例：已知△ABC和△DEF的投影，判斷兩平面是否相互垂直。平面與平面垂直例：已知：過點(diǎn)A作H面的垂直面，求作：△ABC的V、H面投影圖。求作平面的投影例：已知△ABC內(nèi)一點(diǎn)K的投影，求作點(diǎn)K的H面投影k。求作平面內(nèi)點(diǎn)的投影例：已知△ABC的V、H面投影，求作△ABC與H面的傾角求作平面的傾角例：求作鉛垂線MN與△ABC的交點(diǎn)，并判斷可見性。求作直線與平面相交任務(wù)四體的投影基本形體按其表面的幾何性質(zhì)，可分為平面體和曲面體兩大類。平面體的投影

由若干個(gè)平面所圍成的立體稱為平面體。常見的平面體有棱柱、棱錐和棱臺(tái)等。（一）棱柱三棱柱的投影

棱柱是由兩個(gè)互相平行的多邊形底面和若干個(gè)棱面圍成的，相鄰兩個(gè)棱面的交線稱為棱線，所有的棱線都互相平行。練一練：繪制正五棱柱的三面投影圖。（二）棱錐正三棱錐的投影

棱錐是由多邊形底面和若干個(gè)匯交于頂點(diǎn)的棱面圍成的，相鄰棱面的交線叫棱線，所有的棱線都通過錐頂。底面是正多邊形且錐頂位于通過底面中心并垂直于底面的直線，這樣的棱錐叫正棱錐。（三）棱臺(tái)四棱臺(tái)的投影

棱錐被平行于底面的平面截割，截面與底面間的部分為棱臺(tái)。棱臺(tái)的上下底面平行，所有棱線延長后交于一點(diǎn)。曲面體的投影

由曲面或者曲面與平面圍成的立體稱為曲面體，常見的曲面體有圓柱體、圓錐體和球體等。工程上常見的曲面體多為回轉(zhuǎn)體，回轉(zhuǎn)體是由一母線（直線或者曲線）繞一軸旋轉(zhuǎn)而形成的，母線在曲面上的任何位置稱為素線，母線上任一點(diǎn)的軌跡稱為緯圓。（一）圓柱圓柱體的投影（二）圓錐圓錐體的投影圓錐體由圓錐面與底面所圍成。[想一想]：如何將圓錐切割成圓臺(tái)？試?yán)L制圓臺(tái)的三面投影圖。（三）球球體的投影球面可看作一圓周繞它的任意直徑做回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)而成的。球是球面圍成的回轉(zhuǎn)體。平面體表面上點(diǎn)、線的投影（一）棱柱體表面上點(diǎn)的投影如圖所示，已知三棱柱表面上點(diǎn)D、E的V面投影，求作：點(diǎn)D、E的H面和W面投影。(a)已知條件(b)投影作圖求作三棱柱表面上點(diǎn)的投影（二）棱錐體表面上點(diǎn)的投影如圖所示，已知三棱錐表面上點(diǎn)D的V面投影，求作D點(diǎn)的H、W面投影。（a）已知條件（b）投影作圖求作三棱錐表面上點(diǎn)的投影（三）棱臺(tái)表面上線的投影如圖所示，已知四棱臺(tái)表面上直線MK的V面投影m′k′，試作：直線MK的H面和W面投影。（a）已知條件(b)投影作圖求作四棱臺(tái)上直線的投影曲面體表面上點(diǎn)、線的投影（一）圓柱體表面上點(diǎn)的投影如圖所示，已知：圓柱體表面上點(diǎn)M和點(diǎn)E的V面投影，點(diǎn)N的H面投影。求作：它們的另兩面投影。（a）已知條件（b）投影作圖求作圓柱表面上點(diǎn)的投影（二）圓錐體表面上點(diǎn)的投影如圖所示，已知：圓錐上點(diǎn)K的正面投影k′。求作：K點(diǎn)的H、W面的投影。（a）已知條件(b)投影作圖求作圓錐表面上點(diǎn)的投影（三）球體表面上點(diǎn)的投影如圖所示，已知：球體表面上的K、M點(diǎn)的V面投影k′、m′點(diǎn)。求作：k、k〞和m、m〞點(diǎn)。（a）已知條件（b）投影作圖求作球體表面上點(diǎn)的投影（四）圓柱體表面上線的投影如圖所示，已知：圓柱曲表面上AB曲線的V面投影a′b′。求作：曲段AB的H面、W面投影。(a)已知條件(b)投影作圖求作圓柱體表面上曲線的投影平面與平面體相交

平面與立體相交，在立體表面產(chǎn)生的交線稱為截交線。與立體相交的平面稱為截平面。截交線所圍成的平面圖形稱為斷面。如圖所示。平面與立體相交

平面體的截交線是一條封閉的折線，是截平面和平面體表面共有線。截交線多邊形的頂點(diǎn)是截平面與平面體側(cè)棱的交點(diǎn)及截平面與平面體側(cè)面的交線頂點(diǎn)。例：如圖所示，已知：正三棱錐被正垂面所截。求作：截交線的投影。（a）已知條件（b）投影作圖求作三棱錐的截交線平面與曲面體相交

平面與曲面體的截交線是截平面與圍成這個(gè)曲面立體的表面交線。截交線上的截交點(diǎn)是截平面與曲面體表面的共有點(diǎn)。因此，求截交線的投影需要先求出這些共有點(diǎn)的投影，然后把同名投影連接起來，即可。（一）圓柱體的截交線

當(dāng)平面與圓柱相交時(shí)，由于平面與圓柱體軸線的相對(duì)位置不同，將得到不同形狀的截交線，如表2-5所示。表2-5圓柱體的截交線截平面垂直于軸線截平面平行于軸線截平面傾斜于軸線

圓柱面上的截交線是圓圓柱面上的截交線是平行直線圓柱面上的截交線是橢圓

例：如圖所示，圓柱體被傾斜于軸線的正垂面所截，已知圓柱體的V面和H面投影。求作：圓柱體的W面投影。（a）已知條件（b）投影作圖求作圓柱的截交線（二）圓錐體的截交線

當(dāng)平面與圓錐體相交時(shí)，由于平面與圓錐體軸線的相對(duì)位置不同，將得到不同形狀的截交線，如表2-6所示。截平面位置過椎頂垂直于軸線傾斜于圓錐的軸線與素線都相交平行于一條素線平行于兩條素線截交線相交直線圓橢圓拋物線雙曲線軸測圖

投影圖

表2-6圓錐體的截交線

如圖所示，圓錐體被傾斜于軸線的正垂面所截，已知圓錐的V面和部分H面投影。求作：圓錐體的H面、W面投影。（a）已知條件（b）投影作圖求作圓錐截交線兩立體相貫

兩立體相交也稱兩立體相貫，這兩立體稱為相貫體，兩立體表面的交線稱為相貫線。相貫線是兩立體表面的共有線