求最值方法 -高考數(shù)學復習

xxx公司文件編號：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準審核制定方案設計，管理制度一問一答--------最值問題方法總論1高中數(shù)學求最值有哪些方法？

答：有9種方法：1）配方法2）判別式法；3）不等式法；4）換元法；5）函數(shù)單調性法；6）三角函數(shù)性質法；7）導數(shù)法；8）數(shù)形結合發(fā)；9）向量法2如何將恒成立問題轉化為最值問題？

答：1)恒成立，則2）恒成立，則一元整式函數(shù)最值1、二次函數(shù)開口方向、對稱軸、所給區(qū)間均確定,如何求最值

答：1）確定對稱軸與軸交點的橫坐標是否在所給區(qū)間。2）如果在所給區(qū)間，一個最值在頂點處取得，另一個最值在與頂點橫坐標較遠的端點處取得。3）若不在所給區(qū)間，利用函數(shù)的單調性確定其最值。2、二次函數(shù)所給區(qū)間確定，對稱軸位置變化，如何求最值

答：1）移動對稱軸，將對稱軸平移到定區(qū)間的左側、右側及區(qū)間內討論，2）在區(qū)間內，只考慮對稱軸與區(qū)間端點的距離即可。3、二次函數(shù)所給區(qū)間變化，對稱軸位置確定，如何求最值

答：分類討論，分為四種情況：1）對稱軸在閉區(qū)間左側；2）對稱軸在閉區(qū)間右側3）對稱軸在閉區(qū)間內且在中點的左側；4）對稱軸在閉區(qū)間內且在中點的右側（或過中點）；4、二次函數(shù)所給區(qū)間、對稱軸位置都不確定，如何求最值

答：將其中一個看作是“定”的，另一個看作是“動”的，然后如上分四種情況進行討論。5、什么情況下運用基本不等式求最值？

答：當兩個變量的和或積為定值時運用，有時需要變形。即兩個正數(shù)的積為定值時，它們的和有最小值，兩個正數(shù)的和為定值時，它們的積有最大值。6、對于多項式乘積的最值問題，如何求解答：可以考慮展開后，利用基本不等式求解7、如何求復合型函數(shù)的最值答：若函數(shù)在上單調性相同，則在上與有相同的單調性，可利用單調性求在上的最值。8、如何求三次及三次以上函數(shù)的最值？

答：用導數(shù)法求，利用函數(shù)的單調性；9、如何求二次函數(shù)與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)通過四則運算構成的函數(shù)答：用導數(shù)法求單調性，利用單調性求最值10、如何求含絕對值的函數(shù)的最值？

答:1）去掉絕對值，轉化為分段函數(shù)后求最值/11、如何求含參數(shù)的函數(shù)最值答：1）利用導數(shù)求最值，2）根據(jù)參數(shù)的取值范圍，用分類討論思想求解12、如何求指數(shù)，對數(shù)函數(shù)最值？

答：利用換元法，轉化成整式函數(shù)最值問題，注意換元后函數(shù)定義域的變化。分式函數(shù)最值問題1、如何求形如的函數(shù)的最值答：有兩種方法1）利用基本不等式求最值法2）利用其單調性求最值，求解時，需先判斷其單調區(qū)間。2、如何求一元二次分式函數(shù)，形如的函數(shù)值域？

答：1）轉化成關于自變量的一元二次方程2）利用判別式求的取值范圍。3）注意二次系數(shù)等于零的情況。3、分式函數(shù)中分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)最值問題，如何求解？

答：可取倒數(shù)后，利用基本不等式求解無理函數(shù)最值問題1、對于含有根式的最值問題，首先考慮如何處理答：考慮平方后，利用基本不等式求解/2、如何求無理函數(shù)被開方數(shù)含自變量的一次式，形如不為零）的最值答：利用整體換元法求解3、如何求解無理式的和、差最值問題答：1）將根號下的變量進行配方2）轉化為兩點間的距離的和、差最值3）根據(jù)已知條件，利用數(shù)形結合的方法求解。/4、如何求形如型函數(shù)的值域答：1）確定函數(shù)的定義域，設為閉區(qū)間，2）令，且，原函數(shù)可化為型的函數(shù)，從而得出函數(shù)的值域。（例題在書上105頁）5、如何求形如型函數(shù)值域？

答：1）確定函數(shù)的定義域，設為閉區(qū)間，2）令且，換元，將型函數(shù)，求值域（例題在書上105頁）條件最值問題1、已知或可化為已知型為條件的如何求均不為零）最值答：可利用“1”的代換求乘法，即，展開后用基本不等式求最值。2、已知均不為零），如何求均不為零）的最值

答：常將變形為后，然后利用“1”的代換求乘法，展開后用基本不等式求最值。3、已知條件含形如型的關系式，如何求關于一次式的和或積的最值問題答：將關系式變形，用一個變量表示另一個變量后求解，相當于消元后再利用基本不等式求最值。4、如何求解對稱式（任意互換兩個字母，代數(shù)式不變）和給定字母順序（如）的表達式的最值？

答：用增量換元法進行換元，換元的目的是為了減元。/5、舉例說明增量換元法答：若，求最小值，因為，所以可設，代入方程6、如何求已知條件含關系式型最值問題答：1）利用，換元，轉化成三角函數(shù)求最值問題求解。2）若涉及，則利用，轉化成三角函數(shù)求最值問題求解。，其中，將問題轉化成三角函數(shù)求最值問題求解。線性規(guī)劃中最值問題1、如何求解線性規(guī)劃中最值問題？

答：在線性約束條件下目標函數(shù)最值問題求解步驟：1）作圖---畫出約束條件下（不等式組）所確定的平面區(qū)域和目標函數(shù)所表示的平行直線系中的任意一條直線2）平移------將直線平行移動，以確定最優(yōu)解所對應點的位置3）求值—解有關的方程組求出最優(yōu)點的坐標，再代入目標函數(shù)，求出目標函數(shù)的最值。（例題在115頁）三角函數(shù)最值問題1、一次三角函數(shù)，如型，采用什么方法？

答：采用引入輔助角法，利用關系式asinx+bcosx=/2、二次三角函數(shù)，只含有正弦函數(shù)或余弦函數(shù)，采用什么方法？

答：3、二次三角函數(shù)的三角函數(shù)，采用什么方法？

答：利用倍角公式化為，然后求解。4、對于表達式中同時含有sinx+cosx，與sinxcosx的函數(shù)，采用什么方法？

換元法sinx+cosx=t轉化為t的二次函數(shù)去求最值，要用到必須要注意換元后新變量的取值范圍。5、合理的拆添項，湊常數(shù)，化簡成，，，sinx>0,a<1,求最值，采用什么方法？

答：基本不等式求函數(shù)的最值6、一次分式三角函數(shù)，分子、分母的三角函數(shù)同名，如，采用什么方法？

答:1)先用反解法，再用三角函數(shù)的有界性去解。2）先化為部分分式（即整數(shù)和分式相加），再利用三角函數(shù)的有界性去解。7、一次分式三角函數(shù)，分子、分母的三角函數(shù)不同名，如，采用什么方法？

答：1）數(shù)形結合法，點(cosx,sinx)在單位圓上，是斜率的表達式2）化分式為等式，引入輔助角法）和有界性來求解。8、型三角函數(shù)求最值問題，當sinx>0,a>1，采用什么方法？

答：不能用均值不等式求最值，適合用函數(shù)在區(qū)間內的單調性來求解。換元，求導，根據(jù)定義域確定單調性。9、含參數(shù)的三角函數(shù)的值域問題，需要對參數(shù)進行討論。答：含參數(shù)的三角函數(shù)的值域問題，需要對參數(shù)進行討論。10、條件最值問題答：根據(jù)條件，將高次函數(shù)化為降冪，將多多元函數(shù)降元?；喓笤偾蠼狻ＡⅢw幾何最值問題/1、求解立體幾何最值問題方法是什么？

答：1）轉化為平面問題求解2）轉化為函數(shù)的最值，需要恰當引入?yún)⒆兞?，準確建立目標函數(shù)。2、如何求解三視圖中最值問題答：將三視圖還原成幾何體，并且將三視圖中線段的長度正確反映到幾何體中，從而求得最值。/3、如何求解幾何表面距離最短的問題？

答：1）將空間幾何體表面展開，將立體幾何問題轉化為平面幾何問題，2）利用平面內兩點間距離最值問題求解3）求解時注意分類討論思想。4、立體幾何求最值可用的公理和定義有哪些？

答：1）兩點之間線段最短2）分別在兩異面直線上的兩點的連線中，它們的公垂線最短。/5、如何求解與立體幾何動點有關的最值問題答：建立目標函數(shù)法，將動態(tài)問題轉化為目標函數(shù)最值問題。解析幾何最值問題1、求解解析幾何最值問題有哪些方法？

答：1）結合定義，轉化為平面幾何知識求解，利用三角形兩邊之和大于第三邊，或三角形兩邊之差小于第三邊；點到直線的垂線最短等2）不等式組求解法：列出參數(shù)適合的不等式組，通過解不等式組得出參數(shù)范圍；3）函數(shù)值域求解法4）構造一個二次方程，利用根的判別式/2、如何求解關于圓的最值問題答：1）根據(jù)圓的對稱性，轉化為與圓心有關的最值問題，即圓心與圓外的點距離最值與圓半徑和、差的關系2）數(shù)形結合求解最值；如幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率；如最值，可設，則為縱截距最值問題；如為圓上的點與原點距離的平方。3、如何求解涉及橢圓（或雙曲線）上的動點與其中一個焦點及另外一個動點的距離和、差最值問題答/1）借助橢圓（或雙曲線）定義，轉化為該動點與另一個焦點的距離與定點的距離和、差問題，2）然后利用平面幾何知識求解，其中常用“兩邊之和大于第三邊”，“兩邊之差小于第三邊”。4、如何求解圓錐曲線上的動點與圓上動點間的距離最值問題答：1）涉及四個變量，無法直接求解2）轉化為圓心與圓錐曲線動點距離最值與圓半徑和、差的關系3）也可構造以圓的圓心為圓心，以半徑的動圓與已知圓錐曲線相切，利用消元后得到的二次方程判別式求得的值。/4、如何求解圓錐曲線上的點與定直線距離最值問題答：1）代數(shù)法，設出圓錐曲線上點的坐標，用點到直線的距離公式轉化為某一變量的函數(shù)，利用函數(shù)最值方法求解。2）幾何法：通過作與這條直線平行的圓錐曲線的切線，則兩平行線間的距離就是所求的最值，切點就是曲線上取得最值的點。5、如何求解圓錐曲線上的點與定點距離最值問題答：設出圓錐曲線上點的坐標，用兩點間的距離公式轉化為某一變量的二次函數(shù)，利用函數(shù)最值方法求解。多元變量最值1、怎樣解多元變量之間具有相等關系的最值問題答：1）利用它們之間的相等關系，選擇一個變量用其他變量表示后，代入，消去這個變量后求最值。2）若不能選擇一個變量用其他變量表示，將已知關系式變形后，結合待求式特征求最值。（例題