《矩陣分析》配套教學(xué)課件

同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系2009-3-22矩陣分析預(yù)備知識(shí)1矩陣運(yùn)算例.解線性方程組2線性方程組與矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系34矩陣定義5簡(jiǎn)記為其中數(shù)稱為的第i行第j列的元素,的(i,j)

元素。6同型矩陣：兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等。矩陣相等：矩陣相等7設(shè)有兩個(gè)矩陣那末矩陣A與B的和記作A+B，規(guī)定為定義：矩陣的加法注意：只有當(dāng)兩個(gè)矩陣是同型矩陣時(shí)，才能進(jìn)行加法運(yùn)算.8負(fù)矩陣：稱為矩陣A的負(fù)矩陣。9矩陣加法滿足的運(yùn)算規(guī)律:10定義：數(shù)與矩陣相乘11數(shù)乘矩陣滿足的運(yùn)算規(guī)律：設(shè)

A,B為m×n矩陣，l,m為數(shù)12定義：并把此乘積記作C=

AB設(shè)是一個(gè)

m×s矩陣，是一個(gè)

s×n矩陣，那末規(guī)定矩陣

A與矩陣

B的乘積是一個(gè)

m×n矩陣，其中矩陣的乘法131415矩陣乘法滿足的運(yùn)算規(guī)律：線性方程組的矩陣表示16(1)方程組(1)的系數(shù)矩陣(CoefficientMatrix)17方程組(1)的增廣矩陣(AugmentedMatrix)18方程組(1)的未知向量和常數(shù)項(xiàng)方程組(1)又可以表示為19在方程組(1)中記方程組(1)又可以表示為21定義:把矩陣

A

的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做

A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作

.矩陣的轉(zhuǎn)置22轉(zhuǎn)置矩陣滿足的運(yùn)算規(guī)律：23定義：由

n階方陣

A的元素所構(gòu)成的行列式，叫做方陣

A的行列式，記作|A|或

detA方陣的行列式24運(yùn)算規(guī)律：對(duì)角線法則:主對(duì)角線副對(duì)角線25對(duì)角線法則：26基本結(jié)論：(1)上三角形行列式27(2)下三角形行列式28行列式的性質(zhì)性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。2022/12/1530性質(zhì)2：互換行列式的兩行(列)，行列式變號(hào)?；Qi、j兩行：互換i、j

兩列：“運(yùn)算性質(zhì)”2022/12/15性質(zhì)3：用非零數(shù)k

乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用數(shù)k

乘此行列式。“運(yùn)算性質(zhì)”用k

乘第i

行：用k

乘第i

列：2022/12/15性質(zhì)4：若某一行是兩組數(shù)的和，則此行列式就等于如下兩個(gè)行列式的和。2022/12/1533性質(zhì)5：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一數(shù)k后再加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。用數(shù)k乘第j

行加到第i

行上：用數(shù)k乘第j

列加到第i

列上：“運(yùn)算性質(zhì)”2022/12/1534性質(zhì)6：方陣的跡定義：

n階方陣

A的對(duì)角元素的和稱為

A的跡，記作

tr(A)，即矩陣的跡滿足的運(yùn)算規(guī)律：36定義：設(shè)

A是

n階矩陣，若存在n階矩陣X使AX=E,XA=E則稱

A是可逆的，并稱X是A的逆矩陣，矩陣的逆37若A是可逆矩陣，則A的逆矩陣是唯一的。記A的逆矩陣為38方陣A的逆矩陣的求法:39定義：行列式的各個(gè)元素的代數(shù)余子式所構(gòu)成的如下矩陣稱為矩陣

A的伴隨矩陣.2022/12/15解：例：2022/12/152022/12/1543用消元法解方程組2線性方程組方程組(1)的增廣矩陣4445464748行階梯形行階梯形49行最簡(jiǎn)形“最簡(jiǎn)方程組”行最簡(jiǎn)形50令定義：下面三類變換稱為矩陣的初等行變換:同樣可定義矩陣的初等列變換

(“r”換成“c”)初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱初等變換。初等變換51三類初等變換都是可逆的，并且其逆變換是同一類的初等變換。52若矩陣

A經(jīng)過(guò)有限次初等變換變成

B，則稱

A與B等價(jià)，記作A

~

B.矩陣的等價(jià)關(guān)系滿足：反身性A

~

A；對(duì)稱性若A

~B，則B

~

A；傳遞性若A

~

B，B

~

C，則A

~

C。5354等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形542022/12/1555任一m×n矩陣A

都等價(jià)于一個(gè)如下的矩陣

稱F為A的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。552022/12/1556定義：矩陣A的非零子式的最高階數(shù)

稱為

A的秩，記作rank(A)。56矩陣的秩定理:

若A≌B,則rank(A)=rank(B)事實(shí)上，設(shè)

A

經(jīng)過(guò)一次初等變換變?yōu)锽， 若A的k

階子式全等于零, 則B的k

階子式也全等于零。定義：矩陣A的行階梯形中非零行的行數(shù)稱為

A的秩，記作rank(A)。5758定義：設(shè)向量組及一組實(shí)數(shù)稱為向量組A的一個(gè)線性組合，稱為線性組合的系數(shù)。表達(dá)式向量組的線性相關(guān)性59定義：設(shè)向量組和向量b若存在一組實(shí)數(shù)使得則稱向量b

是向量組A的一個(gè)線性組合，或稱向量b

能由向量組A

線性表示。60例如：則b能由線性表示.設(shè)即61所以，得62定理:

向量b可由向量組線性表示有解，其中則稱向量組B能由向量組A線性表示。若向量組A與向量組B能相互線性表示，若B組中的每一個(gè)向量都能由向量組A

線性表示，定義:設(shè)向量組及則稱向量組A與向量組B等價(jià)。64定義：65n維向量組線性相關(guān)定理:則向量組也線性相關(guān)若向量組線性相關(guān)，定理:(1)(2)n+1個(gè)n維向量線性相關(guān).(3)向量組線性無(wú)關(guān),向量組線性相關(guān),

則

能由向量組A唯一地線性表示式。67稱r為向量組A的秩，記作rank(A)

(2)A的任意向量都可由A0線性表示.線性無(wú)關(guān),則稱A0為向量組A的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，定義:設(shè)A為一個(gè)向量組，滿足：3相似矩陣其中69設(shè)A是n階方陣,P為n階可逆陣此過(guò)程的逆推在最后一步要求矩陣P是可逆的。71定義:設(shè)A

是n階方陣，若數(shù)l

和非零向量x，則稱l

是A

的一個(gè)特征值，x為A

的對(duì)應(yīng)于特征值l的特征向量。使得72由而既齊次線性方程組有非零解方程組的解空間稱為對(duì)應(yīng)于l

的特征子空間.在C中的n個(gè)根為設(shè)矩陣A

的特征多項(xiàng)式則定理：設(shè)A

為n

階實(shí)對(duì)稱矩陣，則必存在n

階正交矩陣Q使得其中L是以A

的n個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角陣。定義:設(shè)二次型若對(duì)任意都有，則稱f

為正定二次型并稱A

為負(fù)定矩陣，也記作

A<0。并稱A

為正定矩陣，也記作

A>0.，則稱f

為負(fù)定二次型若對(duì)任意都有4正定矩陣76定理:二次型為正定二次型的充要條件是f

標(biāo)準(zhǔn)形的n個(gè)系數(shù)全為正，即其正慣性指數(shù)是n推論:對(duì)稱矩陣A

為正定的充要條件是

A

的特征值全為正。77定理:對(duì)稱矩陣A

為正定的充要條件是：

A

的各階主子式全是正的；對(duì)稱矩陣A

為負(fù)定的充要條件是：A

的奇數(shù)階主子式是負(fù)的，偶奇數(shù)階主子式是正的。同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系2009-3-22第1章線性空間與線性變換1.1線性空間的基本概念79定義：設(shè)F是復(fù)數(shù)的一個(gè)非空集合，若滿足1）F中包含0和1；2）F對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算封閉則稱集合F是一個(gè)數(shù)域（field）例子：本教程所見(jiàn)數(shù)域都是實(shí)數(shù)域R或者是復(fù)數(shù)域C線性空間的定義80定義：設(shè)V是一個(gè)非空集合，F(xiàn)為數(shù)域，a,b,gV,對(duì)于任意的a,bV,總有唯一的元素gV與之對(duì)應(yīng)，稱g

為a與b的和，記作g=a+b，且81對(duì)于任意的l

F

及任意的a

V

，總有唯一的元素d

V與之對(duì)應(yīng)，稱d為l與a的積，記作d=la，且則稱V

為數(shù)域F

上的線性空間，稱V

的元素為向量，稱滿足(1)-(4)的和為加法，滿足(5)-(8)的積為數(shù)乘。82定義加法：例1.實(shí)數(shù)域上全體

n維向量的集合定義數(shù)乘：例2實(shí)數(shù)域R上的全體m×n

矩陣，對(duì)矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成R上的線性空間，記作Rm×n∴

Rm×n是一個(gè)線性空間。83對(duì)于多項(xiàng)式的加法、數(shù)乘多項(xiàng)式構(gòu)成線性空間。84例3次數(shù)小于n的多項(xiàng)式的全體，記作P[x]n

對(duì)于多項(xiàng)式的加法和乘數(shù)運(yùn)算不構(gòu)成線性空間n-1次多項(xiàng)式的全體}0{][

011+++=aaxaxaxQn-1n-1n-1nL例4.][對(duì)運(yùn)算不封閉xQn\85例5

在區(qū)間[a,b]上全體實(shí)連續(xù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)的加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線性空間，記作C[a,b]。86∴

C[a,b]是一個(gè)線性空間。例6正實(shí)數(shù)的全體R+

，在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為驗(yàn)證R+對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間．87有對(duì)任何中存在零元素,,1)3(++?RaR使有負(fù)元素,,)4(1+-+??"RaRa證明88所以對(duì)所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間．89線性空間的性質(zhì)（1）V中的零元素是惟一的。（2）V中任何元素的負(fù)元素是惟一的。（3）數(shù)零和零元素的性質(zhì)：定義:設(shè)V是一個(gè)線性空間，a1,a2,…

an∈V

若(1)a1,a2,…an線性無(wú)關(guān)，

(2)a∈V,a可由a1,a2,…an線性表示，

a=

x1a1+

x2a2+…+xnan則稱a1,a2,…

an為V的一組基，

稱x1,x2,…,xn為a

在基a1,a2,…

an下的坐標(biāo)，稱n為V的維數(shù)，記作dimV=n。維數(shù)，基與坐標(biāo)9192例1設(shè)則是實(shí)數(shù)域R上的線性空間。93自然基94例2設(shè)下的坐標(biāo)。求a=(1,0,-1)T

在基為

R3的一組基，9596例3求中的元素，在基下的坐標(biāo)。97解：設(shè)98定理:設(shè)a1,a2…,ar(1≤r≤n)是n維線性空間V中的r個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，則存在V中n-r個(gè)向量ar+1,…an

使得a1,…,ar

,ar+1,…an

成為V的基.基的擴(kuò)張定理基變換與坐標(biāo)變換定義:設(shè)V是一個(gè)線性空間，a1,a2,…

an∈Vb1,b2,…

bn∈V為V的兩組基，若【基變換公式】的則

P稱為由基到基【基變換公式】轉(zhuǎn)移矩陣（或過(guò)渡矩陣），其中102例3設(shè)是中的兩組基，求由基到基的轉(zhuǎn)移矩陣P；103基變換公式P是由基到基的轉(zhuǎn)移矩陣P定理:設(shè)V是線性空間，a1,a2,…

an,b1,b2,…

bn

是V的兩組基，P是由基a1,a2,…

an到b1,b2,…

bn

的

過(guò)渡矩陣，則是由

x到

y的坐標(biāo)變換公式，其中105106例4設(shè)是中的兩組基，下的坐標(biāo)在基下的坐標(biāo)。向量是

，求

在基107108定義:設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，W是V的非空子集，

若對(duì)于V中的加法和數(shù)乘二種運(yùn)算，W是數(shù)域F

上的線性空間，則稱W是V的子空間。定理:設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，W是V的非空子集，

若W對(duì)于V中的加法和數(shù)乘二種運(yùn)算封閉，即則稱W是V的子空間。1.2子空間與維數(shù)定理109例1.實(shí)數(shù)域上

n維向量的集合例2.設(shè)A為m×n矩陣，向量的集合例3.設(shè)V是數(shù)域F上的線性空間，V的子空間,記作則定理:設(shè)V是F上的線性空間，為W1與

W2

的和，記作W1+W2定義:設(shè)W1,W2

是線性空間V的子空間，稱集合稱集合為W1與

W2

的交，記作W1∩W2定理:設(shè)W1,W2

是線性空間V的子空間，則W1+W2與

W1∩W2都是V的子空間。稱W1+W2為W1與

W2

的和空間，稱W1∩W2為W1與

W2

的積空間。例4.線性空間R3的子空間求Rx+Ry，Rx+Rxy

和Rx∩Rxy。例題例題定理(維數(shù)公式):設(shè)V1,V2

是線性空間V的子空間，則維數(shù)公式例5設(shè)V1,V2

是n維線性空間V的子空間，若則V1,V2

中必有非零的公共向量。子空間的直和定義：設(shè)V1,V2

是線性空間V的子空間，若對(duì)每個(gè)向量aV1+V2都有唯一的分解式則稱V1與V2

的和V1+V2是直和，記作V1

V2。例1.線性空間R3的子空間求Rx

Ry，Rx

Ryz。定理：設(shè)V1,V2

是線性空間V的子空間，則下列命題等價(jià)(2)向量0的分解式是唯一的；(4)V1的一組基與V2

的一組基的簡(jiǎn)單并是V1+V2的基；(1)V1與V2

的和V1+V2是直和;(3)V1∩V2

={0};(5)dim(V1+V2)=dimV1

+dimV2

。例2.設(shè)定理：設(shè)U是線性空間V的子空間，則存在V的子空間W，使得V=

U

W。稱W是U在V中的直和補(bǔ)。1.3線性空間的同構(gòu)同構(gòu)的性質(zhì)同構(gòu)保持線性關(guān)系不變。定理：數(shù)域F上兩個(gè)有限維線性空間同構(gòu)的充分必要條件是他們有相同的維數(shù).應(yīng)用：借助于空間Fn中已經(jīng)有的結(jié)論和方法可以研究一般線性空間的線性關(guān)系。1.4線性變換定義設(shè)V

為線性空間，V

上的變換T:V

→V若滿足則稱T

為

V

上的線性變換。例1.設(shè)T為R2上的線性變換，T:

R2→R2T(a)=a′（如圖）T把向量a繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)q

角度變換為a′。xyOaa′q稱T為旋轉(zhuǎn)變換。例2.設(shè)T為R3上的線性變換，T:

R3→R3例3.設(shè)T為

上的線性變換，

其中矩陣A是n階方陣.線性變換的性質(zhì)：設(shè)T是V上的線性變換，則線性變換的矩陣定義設(shè)T

為

V

上的線性變換，a1,a2,…,an為

V

的基A

稱為T在基a1,a2,…,an下的矩陣.132A線性變換的核與像133例1.設(shè)T為上的線性變換，，求T在基下的矩陣.解：例2.設(shè)T為R3上的變換，下的矩陣.(2)求T在基(1)證明：T為R3上的線性變換；(3)

求T的象和核例

已知線性空間定義映射T：(1)證明T是V上的線性變換；(2)求V的一組基，使得T在這組基下的矩陣為對(duì)角陣。不變子空間定義:設(shè)V是線性空間，W是V的子空間，T是V上的線性變換，若aW,都有T(a)W,

則稱W是V的T不變空間。例設(shè)T是線性空間V上的線性變換，則ImT,

KerT是T不變空間；同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系2009-3-22第2章內(nèi)積空間2.1內(nèi)積空間定義.設(shè)V是一個(gè)實(shí)線性空間，R為實(shí)數(shù)域，141若a,bV,存在唯一的rR與之對(duì)應(yīng)，記作(a,b

)=r,并且滿足(1)(a,b)=(b,a)(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)(3)(ka,b)=k(a,b)(4)(a,a)≥0,(a,a)=0a

=0則稱(a,b)為a與b的內(nèi)積，V為實(shí)內(nèi)積空間。實(shí)內(nèi)積空間也稱歐幾里得(Euclid)空間。對(duì)稱性線性性非負(fù)性142由定義知(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g)(6)(a,kb)=k(a,b)143定義內(nèi)積例.線性空間稱為內(nèi)積空間的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積。144定義內(nèi)積A為

n階實(shí)正定矩陣，例.線性空間145定義內(nèi)積例.線性空間C[a,b]，f,g∈C[a,b]向量長(zhǎng)度,Cauchy-Schwarz不等式定義.

設(shè)V為實(shí)內(nèi)積空間，稱為向量a的長(zhǎng)度，記作||a||。定理.

設(shè)V是實(shí)內(nèi)積空間，a,bV,k

R，則等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a,b線性相關(guān)；Cauchy-Schwarz不等式三角不等式正定性齊次性147例：利用Cauchy-Schwaz不等式證明向量的夾角由Cauchy-Schwaz不等式可知向量的正交定義.

設(shè)V是實(shí)內(nèi)積空間，a,bV,若(a,b)=0

,則稱a與b正交，記作ab。a與b正交這就是實(shí)內(nèi)積空間中的勾股定理。150向量a與b在該基下的坐標(biāo)為151度量矩陣矩陣

A

稱為基的度量矩陣。即

A

為實(shí)對(duì)稱矩陣。即

A

為實(shí)正定矩陣。2.2歐氏空間的正交基若它們兩兩正交，則稱其為一個(gè)正交向量組。定理：正交向量組必是線性無(wú)關(guān)的。154且其中每個(gè)向量的長(zhǎng)度都是1，注意：(1)

標(biāo)準(zhǔn)正交基的度量矩陣是單位矩陣，即(2)

向量在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)是該向量在對(duì)應(yīng)的基向量上的正投影，即Gram-Schmidt正交化過(guò)程Gram-Schmidt正交化過(guò)程：設(shè)是內(nèi)積空間V中線性無(wú)關(guān)的向量組，，使得則V中存在正交向量組Gram-Schmidt正交化過(guò)程

圖解157令是正交向量組，并且則記或注意到K是可逆矩陣，因此是正交向量組下面用歸納法說(shuō)明由歸納法假設(shè)可知是正交向量組。即幾個(gè)定理和推論定理1：n

維實(shí)內(nèi)積空間V必存在標(biāo)準(zhǔn)正交基。推論1：n

維實(shí)內(nèi)積空間V中任一正交向量組都可擴(kuò)充成V

的一個(gè)正交基。定理2：設(shè)是n維歐氏空間V的一組基，，使得則V中存在標(biāo)準(zhǔn)正交基其中R是主對(duì)角元為正數(shù)的上三角矩陣161幾個(gè)定理和推論1622.4正交補(bǔ)定義:設(shè)W,U是實(shí)內(nèi)積空間V的子空間，(1)aV,若bW,都有(a,b)=0,則稱a與W正交，記作aW;(2)若aW,

bU,都有(a,b)=0,則稱W

與U正交，記作W

U;(3)若W

U，并且W

+U=V,則稱U

為W的正交補(bǔ)。注意：若W

U，則W與U

的和必是直和。正交補(bǔ)的存在唯一性定理:設(shè)W是實(shí)內(nèi)積空間V的子空間，則W的正交補(bǔ)存在且唯一，記該正交補(bǔ)為，并且正交補(bǔ)的存在唯一性166定理:設(shè)W是實(shí)內(nèi)積空間V的有限維子空間，則向量的正投影定義:設(shè)W是實(shí)內(nèi)積空間V的子空間，則稱向量b為向量a在W上的正投影，稱向量長(zhǎng)度||g||為向量a到W的距離。WdbOag垂線最短定理定理:設(shè)W是實(shí)內(nèi)積空間V的子空間，aV,b為a在W上的正投影，則dW,有并且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)b=d。Wdba最小二乘法（1）

可能無(wú)解，即任意都可能使

（2）

不等于零，設(shè)法找實(shí)數(shù)組使（2）最小

這樣的為方程組（1）的最小二乘解，

此問(wèn)題叫最小二乘法問(wèn)題.1.問(wèn)題提出：實(shí)系數(shù)線性方程組2.問(wèn)題的解決設(shè)

（3）

用距離的概念，（2）就是

由（3）知

找使（2）最小，等價(jià)于找子空間

中向量使到它的距離比到

中其它向量的距離都短.

設(shè)為此必

這等價(jià)于

（4）

即

這樣（4）等價(jià)于或

（5）

例題2.5正交變換定義:設(shè)T是實(shí)內(nèi)積空間V的線性變換，若aV有則稱T為V的正交變換。正交變換的特征刻畫定理:設(shè)T是實(shí)內(nèi)積空間V的線性變換，a,bV，則下列命題等價(jià)，175推論：(1)兩個(gè)正交變換的積仍是正交變換；(2)正交變換的逆變換仍是正交變換。Householder變換構(gòu)造的正交變換討論正交變換H的幾何意義。故H(a)是a關(guān)于子空間的反射，dagbwO-g矩陣H稱為Householder矩陣，變換H稱為Householder變換，變換H也稱初等反射變換。2.6復(fù)內(nèi)積空間（酉空間）簡(jiǎn)介定義.設(shè)V是一個(gè)復(fù)線性空間，C為復(fù)數(shù)域，178若a,bV,存在唯一的cC與之對(duì)應(yīng)，記作(a,b

)=

c,并且滿足(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)(3)(ka,b)=

k(a,b)(4)(a,a)≥0,(a,a)=

0a

=

0則稱(a,b)為a與b的內(nèi)積，V為復(fù)內(nèi)積空間。復(fù)內(nèi)積空間也稱酉空間。對(duì)稱性線性性非負(fù)性(1)(a,b)=(b,a)179定義內(nèi)積例.線性空間稱為復(fù)內(nèi)積空間的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)積。180在復(fù)內(nèi)積空間中還有(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g)(6)(a,kb)=k(a,b)(8)Cauchy-Schwaz不等式且(a,b)=0

a與b正交(10)Schmidt正交化過(guò)程把線性無(wú)關(guān)的向量組變成正交組181向量a與b在該基下的坐標(biāo)為182度量矩陣與Hermite矩陣矩陣

A

稱為基的度量矩陣。，即

A

為復(fù)正定矩陣。，則稱

A

為Hermite矩陣。，即A

為Hermite矩陣。稱

A

為復(fù)正定矩陣。設(shè)T是復(fù)內(nèi)積空間V的線性變換，若aV有則稱T為V的酉變換。定理:設(shè)T是復(fù)內(nèi)積空間V的線性變換，a,bV，則下列命題等價(jià)，2.7正規(guī)變換與正規(guī)矩陣?yán)纾瑢?duì)角陣，酉矩陣，Hermite陣都是正規(guī)陣。定義3：設(shè)A,B是復(fù)方陣，若存在酉矩陣U，使則稱A與B酉相似。定理1：任意復(fù)方陣必與上三角陣酉相似。定理2：復(fù)方陣A與對(duì)角陣酉相似的充分必要條件是A是正規(guī)陣。推論：實(shí)對(duì)稱陣必與對(duì)角陣相似的。同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系2009-3-22第3章矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形3.1一元多項(xiàng)式定義.設(shè)

n是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，表達(dá)式190191則稱

f(x)與g(x)相等，記作f(x)=g(x)。若其同次項(xiàng)的系數(shù)都相等，即定義.192多項(xiàng)式加法為了方便起見(jiàn)，設(shè)193運(yùn)算規(guī)律:194數(shù)乘多項(xiàng)式運(yùn)算規(guī)律:195多項(xiàng)式乘法其中k次項(xiàng)的系數(shù)是196運(yùn)算規(guī)律:197定理3.1.1（帶余除法）設(shè)

f(x)和

g(x)是數(shù)域

F上的多項(xiàng)式，并且q(x)和

r(x)是唯一的，

帶余除法且g(x)≠0，則必存在多項(xiàng)式q(x)和

r(x)，使得若r(x)=0，則稱

g(x)是

f(x)的因式，f(x)是

g(x)的倍式，也稱g(x)能整除

f(x)，并記作g(x)|

f(x)。198例3.1.1設(shè)f(x)和

g(x)是有理數(shù)域F上的兩個(gè)多項(xiàng)式

求滿足等式的多項(xiàng)式

1992003.2因式分解定理若h(x)既是

f(x)的因式，又是

g(x)的因式，則稱h(x)為f(x)與

g

(x)的一個(gè)公因式。

定義.若h(x)既是

f(x)的倍式，又是

g(x)的倍式，則稱h(x)為f(x)與

g

(x)的一個(gè)公倍式。

則稱

d(x)為f(x)和

g(x)

的一個(gè)最大公因式。則稱

d(x)為f(x)和

g(x)

的一個(gè)最小公倍式。，并且滿足:，并且滿足:202不可約多項(xiàng)式定義.設(shè)

，若在數(shù)域F上只有平凡因式，則稱為域

F上的不可約多項(xiàng)式，否則，稱為域F上的可約多項(xiàng)式。

注意：(1)一次多項(xiàng)式總是不可約多項(xiàng)式；

(2)多項(xiàng)式的不可約性與其所在系數(shù)域密切相關(guān)。

例如，203因式分解唯一性定理

定理.數(shù)域F上任一個(gè)次數(shù)不小于1的多項(xiàng)式f(x)都可以唯一地分解成數(shù)域F上有限個(gè)不可約多項(xiàng)式的乘積。

其唯一性是指，若有兩個(gè)分解式

則

s=t,并且經(jīng)過(guò)對(duì)因式的適當(dāng)排序后有

其中為非零常數(shù)。

204稱為標(biāo)準(zhǔn)分解式。

分解式其中a是

f(x)的首項(xiàng)系數(shù)，是首項(xiàng)系數(shù)為１的不可約多項(xiàng)式，而是正整數(shù)205復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理：

因式分解定理

次數(shù)不小于1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上可唯一地分解成一次因式的乘積。

標(biāo)準(zhǔn)分解式為

復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式的其中是正整數(shù)，且

206實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的因式分解定理：

次數(shù)不小于1的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上可唯一地分解成一次因式和二次不可約因式的乘積。

標(biāo)準(zhǔn)分解式為

實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的其中和是正整數(shù)，且

的標(biāo)準(zhǔn)分解式。例求在實(shí)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式:在復(fù)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解式:Problem：矩陣A到底和一個(gè)多簡(jiǎn)單的矩陣相似？Solution：理想情況下：A為對(duì)角形并非所有的矩陣都可以對(duì)角化Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論。Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的應(yīng)用:微分方程組的解3.3矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

Jordan塊:形如的ni

階矩陣稱為ni

階Jordan塊。分塊對(duì)角陣稱為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

定理：任何n階復(fù)方陣A

都和一個(gè)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形相似即存在可逆陣P，和Jordan標(biāo)準(zhǔn)形使得Jordan標(biāo)準(zhǔn)形基本理論求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的方法(I)求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的方法(I)(1)行列式因子(Determinatedivisor)(2)

計(jì)算行列式因子的步驟：Step1Step2Remark.例不變因子(Invariantdivisor)(3)Remark.例218(3)定義：設(shè)

A(l)的各階不變因子在復(fù)數(shù)域的標(biāo)準(zhǔn)分解式初等因子稱指數(shù)為A(l)的初等因子。Remark.來(lái)自不同的不變因子的一次因式的方冪不能合并.例的初等因子:初級(jí)因子與Jordan塊的關(guān)系對(duì)于ni階的Jordan塊，我們有：初級(jí)因子與Jordan塊的關(guān)系(4)例例

設(shè)求矩陣A

的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形。初等因子組:2243.4l陣的標(biāo)準(zhǔn)形

定義.元素是

l

的多項(xiàng)式的矩陣稱為l

矩陣，記作A(l)例如定義.設(shè)l

矩陣A(l),B(l)滿足稱A(l)為可逆的l

矩陣，且B(l)為A(l)的逆。顯然，A(l)可逆226定義.l

矩陣的初等變換227定義:若l矩陣

A(l)經(jīng)過(guò)若干次初等變換變?yōu)锽(l)，l

矩陣的等價(jià)則稱A(l)與B(l)等價(jià)，記作228定理：設(shè)

A(l)為

m×n

階l矩陣，則A(l)等價(jià)于分塊

對(duì)角陣稱為

A(l)等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形，其中并且首項(xiàng)系數(shù)為1，l

矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形例：求l

矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形229230231l

矩陣的秩定義：l矩陣A(l)的不恒為零的子式的最高階數(shù)顯然，等價(jià)的l矩陣有相同的秩。稱為A(l)的秩。事實(shí)上，l矩陣的初等變換不會(huì)改變其子式恒為零與否的狀態(tài)，也就不會(huì)改變其不恒為零子式最高階數(shù)。例如，A為n階數(shù)字方陣，則不恒為零，故的秩為n。行列式因子定義：l矩陣A(l)的所有k階子式的首1最大公因式稱為A(l)的k階行列式因子，記作Dk(l)定理：等價(jià)的l矩陣有相同的各階行列式因子。事實(shí)上，初等變換不會(huì)改變

A(l)各階子式的最大公因式也就不會(huì)改變其各階行列式因子。234例：求A(l)的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形的各階行列式因子。依行列式因子的定義：235不變因子和初等因子定義：設(shè)為l矩陣

A(l)的k階行列式因子，定理：等價(jià)的l矩陣有相同的各階不變因子。稱為A(l)的k階不變因子。定理：等價(jià)的l矩陣有相同的初等因子。236定理：l矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的，我們稱之為Smith標(biāo)準(zhǔn)形.注意到，A(l)的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形中D(l)的對(duì)角元是A(l)的各階不變因子。求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的方法（II）238例2

設(shè)求矩陣A

的并求Jordan標(biāo)準(zhǔn)形解：242求矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J，并求可逆陣P,使例

設(shè)（P.61例3.1.6）243解：A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為244245246定義：設(shè)

A

為

n階方陣，若多項(xiàng)式滿足則稱j(l)為A

的零化多項(xiàng)式。3.5矩陣的最小多項(xiàng)式定理：(Hamilton-Cayley)設(shè)

A

為

n階方陣，則

A

的特征多項(xiàng)式為A

的零化多項(xiàng)式。哈密頓（Hamilton，WilliamRowan)愛(ài)爾蘭人．哈密頓自幼聰明，被稱為神童．他3歲英語(yǔ)已讀得非常好，4歲時(shí)是不錯(cuò)的地理學(xué)者；5歲時(shí)能閱讀和翻譯拉丁語(yǔ)、希臘語(yǔ)和希伯來(lái)語(yǔ)，喜歡用希臘語(yǔ)朗誦荷馬史詩(shī)；8歲掌握了意大利語(yǔ)和法院，覺(jué)得英語(yǔ)過(guò)于平庸，用拉丁文的六韻步詩(shī)體；10歲不到開始學(xué)習(xí)阿拉伯語(yǔ)、梵語(yǔ)、波斯語(yǔ)；同時(shí)學(xué)習(xí)馬來(lái)語(yǔ)、孟加拉語(yǔ)、古敘利亞語(yǔ)...；他即將學(xué)習(xí)漢語(yǔ)，但是太難搞到書。14歲時(shí)，因在都柏林歡迎波斯大使宴會(huì)上用波斯語(yǔ)與大使交談而出盡風(fēng)頭．主要貢獻(xiàn)：力學(xué)、數(shù)學(xué)、光學(xué)．Hamilton，1805-1865定義：設(shè)

A

為

n階方陣，則稱

A

的次數(shù)最低的零化多項(xiàng)式為A

的最小多項(xiàng)式，記作250最小多項(xiàng)式的性質(zhì)：設(shè)A

為

n階方陣，則例

設(shè)，求矩陣A

的最小多項(xiàng)式。解：A

的特征多項(xiàng)式為則A

的最小多項(xiàng)式只可能是由于(A-2E)(A-3E)=0，知A的最小多項(xiàng)式為例

設(shè)求矩陣A

的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及最小多項(xiàng)式。256初等因子組:同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系2009-3-22第4章矩陣分解MatrixFactorizationandDecomposition定理：若A的各階順序主子式2584.1LU分解（圖靈Turing,1948）則

A可唯一分解為：A=LUL

：為主對(duì)角元為1的下三角形，U

：為上三角形。259證明261例：設(shè)求A的三角分解A=LU262解：263264265例2：設(shè)用三角分解求解Ax=b266解：對(duì)A做三角分解：A=LU，則267268269LU分解的改進(jìn)(1)LDU分解270LU分解的改進(jìn)(2)Cholesky(喬列斯基)分解4.2QR分解定義：Remark:這樣的分解稱之為QR分解.(1)利用Gram-Schmidt正交化過(guò)程的QR分解G-S正交化單位化例：解：例：解：Remark:矩陣不可逆時(shí)，這樣的QR分解不唯一.(2)利用Householder變換的QR分解正交變換稱為Householder變換。Householder變換的構(gòu)造定理：Householder變換方法的QR分解定理：Remark：其中B

列滿秩，C

行滿秩。278則稱其為對(duì)A的滿秩分解。4.3滿秩分解定義：矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形滿秩分解的實(shí)現(xiàn)：向量組最大無(wú)關(guān)組的求法例：解：滿秩分解的實(shí)現(xiàn)：向量組最大無(wú)關(guān)組的求法例：解：例4.設(shè)282求A的滿秩分解283例5.設(shè)求A的滿秩分解2844.4奇異值分解定義：對(duì)奇異值進(jìn)行排序(1)的性質(zhì)，(2)(3)矩陣的奇異值分解是A的奇異值.定理：令奇異值分解定理的證明Step1Step2即求解方程的基礎(chǔ)解系，再規(guī)范正交化即得Step3Step4例5、求的奇異值分解。解：標(biāo)準(zhǔn)正交化:例6、求的奇異值分解。解：4.5廣義逆設(shè)A

為m×n陣，若存在n×m陣X

滿足：

(1)

AXA=A(2)XAX=X(3)(AX)T=AX(4)(XA)T=XA則稱X為A的Penrose-Moore逆，或“+”號(hào)逆