指數(shù)分布參數(shù)基于不完全數(shù)據(jù)的區(qū)間估計(jì)(完整版)實(shí)用資料

指數(shù)分布參數(shù)基于不完全數(shù)據(jù)的區(qū)間估計(jì)（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）

科技信息博士?專家論壇指數(shù)分布參數(shù)基于不完全數(shù)據(jù)的區(qū)間估計(jì)（完整版）實(shí)用資料(可以直接使用，可編輯完整版實(shí)用資料，歡迎下載）指數(shù)分布參數(shù)基于不完全數(shù)據(jù)的區(qū)間估計(jì)西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院李云飛[摘要]本文針對(duì)不完全觀測(cè)數(shù)據(jù),討論了指數(shù)分布總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)。主要是利用樣本分位數(shù)和概率密度函數(shù)的核估計(jì)來(lái)構(gòu)造樞軸量,并推導(dǎo)出了相應(yīng)的大樣本近似分布,從而得到了總體參數(shù)的近似置信區(qū)間。而且當(dāng)精度要求不是特別高的時(shí)候,給出了總體參數(shù)易于計(jì)算的近似置信區(qū)間。[關(guān)鍵詞]指數(shù)分布不完全數(shù)據(jù)樣本分位數(shù)核估計(jì)樞軸量置信區(qū)間基金項(xiàng)目:基金項(xiàng)目:西華師范大學(xué)科研啟動(dòng)基金資助項(xiàng)目(05B011)作者簡(jiǎn)介:李云飛(1980-),男,四川樂(lè)山人,講師,碩士,主要從事數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面的研究。—285—科技信息博士?專家論壇—286—科技信息博士?專家論壇—287—關(guān)于區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)以參數(shù)為分類標(biāo)準(zhǔn)的分類區(qū)間估計(jì)部分關(guān)于總體均值的區(qū)間估計(jì)小樣本、已知情況下，總體均值的區(qū)間估計(jì) ~N（，）；~N（0，1）總體均值的區(qū)間：[-，+]小樣本、未知情況下，總體均值的區(qū)間估計(jì)~t(n-1)總體均值的置信區(qū)間：[-，+]3.大樣本情況下，總體均值的區(qū)間估計(jì)~N（，）；在大樣本情況下：與都服從N（0，1），所以可以用S替換.總體均值的區(qū)間：[-，+](可用樣本方差S替)關(guān)于二總體均值差的區(qū)間估計(jì)大樣本情況下，二總體均值差區(qū)間估計(jì)（）~N（，）；~N（0，1）均值差的置信區(qū)間為：[-，]關(guān)于總體成數(shù)p的區(qū)間估計(jì)大樣本情況下總體成數(shù)p的區(qū)間估計(jì)~N（）;~N(0,1);總體p的置信區(qū)間為[-+]四、關(guān)于二總體成數(shù)差區(qū)間估計(jì) ~N；~N（0，1）二總體成數(shù)差的置信區(qū)間是：[-+]關(guān)于總體方差的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體N（，）以下統(tǒng)計(jì)量滿足自由度為k=n-1的分布：~（n-1） 總體方差的置信區(qū)間為：[]假設(shè)檢驗(yàn)部分（除了二總體方差比外，均以雙邊檢驗(yàn)為例）一、關(guān)于總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)1．小樣本、已知情況下、單正態(tài)總體均值檢驗(yàn)：=：統(tǒng)計(jì)量z=~N（0，1）比較z與，做出決定小樣本、未知情況下、單正態(tài)總體均值檢驗(yàn)：=：統(tǒng)計(jì)量t=~t(n-1)比較t與，做出決定3．大樣本情況下，總體均值檢驗(yàn)：=：統(tǒng)計(jì)量z=~N（0，1）比較z與，做出決定4．配對(duì)樣本的比較，假設(shè)先后兩次觀察無(wú)顯著性差別，則有：，若未知，可用代替；=配對(duì)樣本的均值滿足K=n-1的t分布：t=~t(n-1)：=：統(tǒng)計(jì)量t==比較t與做出決定。二、關(guān)于二總體均值差的檢驗(yàn)1．大樣本情況下，二總體均值差檢驗(yàn)：-=0：0統(tǒng)計(jì)量：z=~N（0，1）比較z與做出決定2．小樣本、均已知情況下，二總體均值差檢驗(yàn)：-=0：0統(tǒng)計(jì)量：z=~N（0，1）比較z與做出決定3．小樣本、均未、但知情況下，二總體均值差檢驗(yàn)：-=0：0因?yàn)?，所以總體方差=，可用兩樣本方差的加權(quán)平均值來(lái)代替=統(tǒng)計(jì)量t===~t(比較t與做出決定三、關(guān)于總體成數(shù)p的檢驗(yàn)1．大樣本情況下，總體成數(shù)檢驗(yàn)：p=：p~N（）;~N(0,1);統(tǒng)計(jì)量z=~N（0，1），比較z與做出決定。四、關(guān)于二總體成數(shù)差檢驗(yàn)大樣本情況下，二總體成數(shù)差檢驗(yàn)：=0：0~N；~N（0，1）統(tǒng)計(jì)量：z=其中：=，=；當(dāng)為未知的時(shí)候，須用樣本成數(shù)進(jìn)行估算時(shí)，分為以下兩種情況（1）.若原假設(shè)中兩總體成數(shù)的關(guān)系為=0,這時(shí),兩總體可看做參數(shù)P相同的總體.它們的點(diǎn)估計(jì)值為=;=1-:這時(shí)統(tǒng)計(jì)量z可化簡(jiǎn)為z=與比較做出決定。（2）若原假設(shè)中兩總體成數(shù)不等即0；那么，它們的點(diǎn)估計(jì)值有：，；，；這是統(tǒng)計(jì)量z=與比較，做出決定。五、關(guān)于的假設(shè)檢驗(yàn)1．小樣本情況下，單正態(tài)總體的檢驗(yàn)：=：統(tǒng)計(jì)量：~(n-1)比較與和與作出決定2．小樣本情況下，二總體方差比檢驗(yàn)：=：統(tǒng)計(jì)量：F=~F（在原假設(shè)=上面的統(tǒng)計(jì)量可化簡(jiǎn)為F=~F（這里有一個(gè)特殊的地方我們?yōu)榱吮阌谔幚碇话雅c中較大的放在分子的位置，所以F>=1,這樣無(wú)論是單邊檢驗(yàn)還是雙邊檢驗(yàn),F的臨界值都只在右側(cè).F與F(比較,作出決定.第十章雙樣本假設(shè)檢驗(yàn)及區(qū)間估計(jì)雙樣本統(tǒng)計(jì)，除了有大樣本、小樣本之分外，根據(jù)抽樣之不同，還可分為獨(dú)立樣本與配對(duì)樣本。所謂獨(dú)立樣本，指雙樣本是在兩個(gè)總體中相互獨(dú)立地抽取的。所謂配對(duì)樣本，指只有一個(gè)總體，雙樣本是由于樣本中的個(gè)體兩兩匹配成對(duì)而產(chǎn)生的。配對(duì)樣本就不是相互獨(dú)立的了。第一節(jié)兩總體大樣本假設(shè)檢驗(yàn)大樣本均值差檢驗(yàn)為了把單樣本檢驗(yàn)推廣到能夠比較兩個(gè)樣本的均值的檢驗(yàn)，必須再一次運(yùn)用中心極限定理。下面是一條由中心極限定理推廣而來(lái)的重要定理：如果從N(μ1，σ12)和N(μ2，σ22)兩個(gè)總體中分別抽取容量為n1和n2的獨(dú)立隨機(jī)樣本，那么兩個(gè)樣本的均值差(―)的抽樣分布就是N(μ1―μ2，+)。與單樣本的情況相同，在大樣本的情況下(兩個(gè)樣本的容量都超過(guò)50)，這個(gè)定理可以推廣應(yīng)用于任何具有均值μ1和μ2以及方差σ12和σ22的兩個(gè)總體。當(dāng)n1和n2逐漸變大時(shí)，(―)的抽樣分布像前面那樣將接近正態(tài)分布。大樣本均值差檢驗(yàn)的步驟有：(1)零假設(shè)H0：μ1―μ2＝D0備擇假設(shè)H1：?jiǎn)蝹?cè)雙側(cè)H1：μ1―μ2＞D0H1：μ1―μ2≠D0或H1：μ1―μ2＜D0(2)否定域：?jiǎn)蝹?cè)Zα，雙側(cè)Zα/2。(3)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z＝＝如果σ12和σ22未知，可用S12和S22代替。(4)判定大樣本成數(shù)差檢驗(yàn)與單樣本成數(shù)檢驗(yàn)中的情況一樣，兩個(gè)成數(shù)的差可以被看作兩個(gè)均值差的特例來(lái)處理(但它適用各種量度層次)。于是，大樣本成數(shù)檢驗(yàn)的步驟有：(1)零假設(shè)H0：p1―p2＝D0備擇假設(shè)H1：?jiǎn)蝹?cè)雙側(cè)H1：p1―p2＞D0H1：p1―p2≠D0或H1：p1―p2＜D0(2)否定域：?jiǎn)蝹?cè)Zα，雙側(cè)Zα/2。(3)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z＝＝其中：＝為總體1的樣本成數(shù)；＝為總體2的樣本成數(shù)。當(dāng)p1和p2未知，須用樣本成數(shù)和進(jìn)行估算時(shí)，要分兩種情況討論。兩總體小樣本假設(shè)檢驗(yàn)與對(duì)單總體小樣本假設(shè)檢驗(yàn)一樣，本書(shū)對(duì)兩總體小樣本假設(shè)檢只討論總體滿足正態(tài)分布的情況。小樣本均值差檢驗(yàn)設(shè)兩總體分別滿足正態(tài)分布N(μ1，σ12)和N(μ2，σ22)，與單總體小樣本的情況相似，對(duì)總體均值差，根據(jù)σ12和σ22是否已知，也須采用不同的統(tǒng)計(jì)量。A．σ12和σ22已知B．σ12和σ22未知，但假定它們相等。C．σ12和σ22未知，但不能假定它們相等小樣本方差比檢驗(yàn)檢驗(yàn)方差比所用統(tǒng)計(jì)量為F＝∽F（―1，―1）方差比檢驗(yàn)，比起前面所介紹的檢驗(yàn)有一個(gè)不同點(diǎn)，那就是無(wú)論是單側(cè)檢驗(yàn)還是雙側(cè)檢驗(yàn)，F(xiàn)的臨界值都只在右側(cè)。其原因是我們總是把和中的較大者放在分子上，以便使用者掌握。因此有F＝≥1或者F＝≥1第三節(jié)配對(duì)樣本的假設(shè)檢驗(yàn)配對(duì)樣本，是兩個(gè)樣本的單位兩兩匹配成對(duì)，它實(shí)際上只能算作一個(gè)樣本，也稱關(guān)聯(lián)樣本。單一實(shí)驗(yàn)組的假設(shè)檢驗(yàn)關(guān)于配對(duì)樣本的假設(shè)檢驗(yàn)，我們通過(guò)單一實(shí)驗(yàn)組的實(shí)驗(yàn)來(lái)加以理解。單一實(shí)驗(yàn)組實(shí)驗(yàn)是對(duì)同一對(duì)象在某種措施實(shí)行前后進(jìn)行觀察比較的一種簡(jiǎn)單實(shí)驗(yàn)，它只有實(shí)驗(yàn)組而沒(méi)有控制組?；蛘哒f(shuō)，同一個(gè)組在實(shí)施實(shí)驗(yàn)刺激之前是實(shí)驗(yàn)中的“控制組”，在實(shí)施實(shí)驗(yàn)刺激之后就成了“實(shí)驗(yàn)組”。對(duì)于單一實(shí)驗(yàn)組這種“前—后”對(duì)比型配對(duì)樣本的假設(shè)檢驗(yàn)，我們的做法是，不用均值差檢驗(yàn)，而是求出每一對(duì)觀察數(shù)據(jù)的差，直接進(jìn)行一對(duì)一的比較。如果采用“前測(cè)”“后測(cè)”兩個(gè)總體無(wú)差異的零假設(shè)，也就是等于假定實(shí)驗(yàn)刺激無(wú)效。于是，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為每對(duì)觀察數(shù)據(jù)差的均值μd＝0的單樣本假設(shè)檢驗(yàn)了。2．一實(shí)驗(yàn)組與一控制組的假設(shè)檢驗(yàn)單一實(shí)驗(yàn)組實(shí)驗(yàn)的邏輯，是把實(shí)驗(yàn)對(duì)象前測(cè)后測(cè)之間的變化全部歸因于實(shí)驗(yàn)刺激。在社會(huì)現(xiàn)實(shí)生活進(jìn)行的實(shí)際實(shí)驗(yàn)中，對(duì)象前測(cè)后測(cè)之間的變化，有時(shí)除了受到實(shí)驗(yàn)刺激外，還受到其他社會(huì)因素的作用。因而，配對(duì)樣本的一實(shí)驗(yàn)組與一控制組之假設(shè)檢驗(yàn)，要設(shè)法把實(shí)驗(yàn)變量的作用和額外變量的作用區(qū)分開(kāi)來(lái)，然后就像對(duì)待單一實(shí)驗(yàn)組實(shí)驗(yàn)一樣，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為零假設(shè)μd＝0的單樣本檢驗(yàn)來(lái)處理。3．對(duì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與相關(guān)檢驗(yàn)的評(píng)論第四節(jié)雙樣本區(qū)間估計(jì)雙樣本區(qū)間估計(jì)和雙樣本假設(shè)檢驗(yàn)的聯(lián)系是很緊密的。雙樣本區(qū)間估計(jì)，即是為均值差或成數(shù)差設(shè)置置信區(qū)間的方法，這需要我們匯合單樣本區(qū)間估計(jì)和雙樣本假設(shè)檢驗(yàn)兩方面的知識(shí)。σ12和σ22已知，對(duì)均數(shù)差的區(qū)間估計(jì)[(―)―Zα/2，(―)+Zα/2]σ12和σ22未知，對(duì)均值差的區(qū)間估計(jì)對(duì)于大樣本，σ12和σ22未知，可以用S12和S22替代，然后用上式求出均值差的置信區(qū)間即可。對(duì)于大樣本，σ12和σ22未知，可以用S12和S22替代，然后用(10．17)式求出均值差的置信區(qū)間即可。對(duì)于小樣本，σ12和σ22未知，兩樣本均值差的抽樣分布就不再服從Z分布，而是服從t分布了。此時(shí)[(―)―tα/2(n1+n2―2)，(―)+tα/2(n1+n2―2)]如果不能假設(shè)σ12＝σ22，求算則要用＝3．大樣本成數(shù)差的區(qū)間估計(jì)與單樣本成數(shù)的區(qū)間估計(jì)一樣，成數(shù)差區(qū)間估計(jì)可以被看作均值差的特例來(lái)處理(但它適用于各種量度層次)。[(―)―Zα/2，(―)+Zα/2]如果總體成數(shù)和未知，可用樣本成數(shù)和代替,同時(shí)分兩種情況討論：A．若能假設(shè)＝[(―)―Zα/2，(―)+Zα/2]B．若不能假設(shè)＝，根據(jù)(10．5)式，(10．19)式變?yōu)閇(―)―Zα/2，(―)+Zα/2]4．配對(duì)樣本均值差的區(qū)間信計(jì)配對(duì)樣本均值差的區(qū)間估計(jì)與獨(dú)立樣本均值差的區(qū)間估計(jì)不同，它實(shí)質(zhì)上是μd的單樣本區(qū)間估計(jì)。[―tα/2(n―1)，+tα/2(n―1)]實(shí)驗(yàn)五抽樣分布于區(qū)間估計(jì)之用EXCEL進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康募耙笫炀毷褂肊xcel進(jìn)行參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容本章介紹的假設(shè)檢驗(yàn)包括一個(gè)正態(tài)總體的參數(shù)檢驗(yàn)和兩個(gè)正態(tài)總體的參數(shù)檢驗(yàn)。對(duì)于一個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn),可利用函數(shù)工具和自己輸入公式的方法計(jì)算統(tǒng)計(jì)量,并進(jìn)行檢驗(yàn)。1)一個(gè)正態(tài)總體的參數(shù)檢驗(yàn)一個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)：方差已知【例1】假設(shè)某批礦砂10個(gè)樣品中的鎳含量，經(jīng)測(cè)定為3.28，3.27，3.25，3.25，3.27，3.24，3.26，3.24，3.24，3.25（單位：％）。設(shè)總體服從正態(tài)分布，且方差為，問(wèn)：在下能否認(rèn)為這批礦砂的平均鎳含量為3.25。解根據(jù)題意，提出檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)是：；：這是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題，具體步驟如下：步驟一：輸入數(shù)據(jù)。打開(kāi)Excel工作簿，將樣本觀測(cè)值輸入到A1：A10單元格中。步驟二：假設(shè)檢驗(yàn)。1.在B2中輸入“=AVERAGE(A1：A10)”，回車后得到樣本平均值3.255；2.在B3中輸入總體標(biāo)準(zhǔn)差0.01；3.在B4中輸入樣本容量10；4.在B5中輸入顯著性水平0.01；5.在B6中輸入“”，即輸入“”，回車后得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的的雙側(cè)分位數(shù)；6.在B7中輸入檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式：“”，回車后得統(tǒng)計(jì)量的值：。步驟三：結(jié)果分析。由于，未落入否定域內(nèi)，所以接受原假設(shè)，即這批礦砂的平均鎳含量為3.25%。一個(gè)正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)：方差未知【例2】某一引擎生產(chǎn)商聲稱其生產(chǎn)的引擎的平均速度每小時(shí)高于公里。現(xiàn)將生產(chǎn)的20臺(tái)引擎裝入汽車內(nèi)進(jìn)行速度測(cè)試，得到行駛速度（單位：公里/小時(shí)）如下：250236245261256258242262249251254250247245256256258254262263試問(wèn)：樣本數(shù)據(jù)在顯著性水平為0.025時(shí)是否支持引擎生產(chǎn)商的說(shuō)法。解根據(jù)題意，提出檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)是：；：這是一個(gè)右側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題，具體步驟如下：步驟一：輸入數(shù)據(jù)。打開(kāi)Excel工作簿，將樣本觀測(cè)值輸入到B3：F6單元格中，如下圖所示：步驟二：假設(shè)檢驗(yàn)。1.計(jì)算樣本平均速度，在單元格D8中輸入公式：“”，回車后得到樣本平均速度為252.75；2.計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差，在單元格D9中輸入公式：“”，回車后得到樣本標(biāo)準(zhǔn)差為7.31167；3.在單元格D10中輸入樣本容量20；4.在單元格D11中輸入檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式：“”，回車后得統(tǒng)計(jì)量的值：。5.在單元格D12中輸入公式：“=TINV（2*0.025，D10-1）”，回車后得到自由度為的分布的雙側(cè)分位數(shù)。步驟三：結(jié)果分析。原假設(shè)：的否定域?yàn)?，由于，沒(méi)有落在否定域內(nèi)，故接受原假設(shè)，樣本數(shù)據(jù)并不支持該制造商的說(shuō)法。一個(gè)正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)：均值未知【例3】假設(shè)原材料抗拉強(qiáng)度的方差不超過(guò)5時(shí)為合格品?，F(xiàn)取出25件原材料組成隨機(jī)樣本，測(cè)得樣本方差為7，試問(wèn)該批原材料是否合格。假設(shè)原材料的抗拉強(qiáng)度近似服從正態(tài)分布。解根據(jù)題意，提出檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)是：；：這是一個(gè)右側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題，具體步驟如下：1.打開(kāi)Excel工作簿。2.在B3中輸入總體方差5。3.在B4中輸入樣本方差7。4.在B5中輸入樣本容量25。5.在B6中輸入顯著性水平0.05。6.在B7中輸入公式：“”，即輸入“”，回車后得自由度為的分布的的上側(cè)分位數(shù)。7.在單元格B8中輸入檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式：“”，回車后得統(tǒng)計(jì)量的值：。由于，所以不否定，認(rèn)為該批原材料合格。2）兩個(gè)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn)兩個(gè)正態(tài)總體均值相等的假設(shè)檢驗(yàn)：已知【例4】裝配一個(gè)部件可以采用不同的方法，我們關(guān)心的問(wèn)題是哪一種方法的效率更高。勞動(dòng)效率可以用平均裝配時(shí)間反映。現(xiàn)從采用不同的方法裝配的部件中各隨機(jī)抽取12件產(chǎn)品，記錄各自的裝配時(shí)間（單位：分鐘）如下：甲方法：313429323538343029323126乙方法：262428293029322631293228假設(shè)兩總體為正態(tài)總體，且方差相同。問(wèn)兩種方法的裝配時(shí)間有無(wú)顯著不同。解根據(jù)題意，提出檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)是：；：這是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題，具體步驟如下：步驟一：輸入數(shù)據(jù)。打開(kāi)Excel工作簿，將樣本觀測(cè)值輸入到A2：B13單元格中。步驟二：假設(shè)檢驗(yàn)。1.選擇“工具”下拉菜單。2.選擇“數(shù)據(jù)分析”選項(xiàng)。3.在分析工具中選擇“t檢驗(yàn)：平均值的成對(duì)二樣本分析”。4.當(dāng)出現(xiàn)對(duì)話框后，⑴在“變量1的區(qū)域”方框內(nèi)鍵入A2：A13；⑵在“變量2的區(qū)域”方框內(nèi)鍵入B2：B13；⑶在“假設(shè)平均差”方框內(nèi)鍵入0；⑷在“”方框內(nèi)鍵入0.05；⑸在“輸出選項(xiàng)”中選擇“輸出區(qū)域”，并在“輸出區(qū)域”方框內(nèi)鍵入C1；⑹選擇“確定”。輸出結(jié)果如下：由于，拒絕，表明兩種方法的裝配時(shí)間有顯著不同。兩個(gè)正態(tài)總體方差相等的假設(shè)檢驗(yàn)：未知【例5】檢驗(yàn)例4中兩個(gè)總體的方差是否相等。解根據(jù)題意，提出檢驗(yàn)的原假設(shè)和備擇假設(shè)是：；：這是一個(gè)雙側(cè)檢驗(yàn)問(wèn)題，具體步驟如下：步驟一：輸入數(shù)據(jù)。打開(kāi)Excel工作簿，將樣本觀測(cè)值輸入到A2：B13單元格中。步驟二：假設(shè)檢驗(yàn)。1.選擇“工具”下拉菜單。2.選擇“數(shù)據(jù)分析”選項(xiàng)。3.在分析工具中選擇“F檢驗(yàn)：雙樣本方差”。4.當(dāng)出現(xiàn)對(duì)話框后，⑴在“變量1的區(qū)域”方框內(nèi)鍵入A2：A13；⑵在“變量2的區(qū)域”方框內(nèi)鍵入B2：B13；⑶在“”方框內(nèi)鍵入0.05；⑷在“輸出選項(xiàng)”中選擇“輸出區(qū)域”，并在“輸出區(qū)域”方框內(nèi)鍵入C1；⑸選擇“確定”。輸出結(jié)果如下：由于，故不能否定原假設(shè)，表明兩種方法裝配時(shí)間的方差沒(méi)有顯著差異。【思考題1】某城鎮(zhèn)去年居民家庭平均每人每月生活費(fèi)收入275元。根據(jù)抽樣調(diào)查，今年該城鎮(zhèn)50戶居民家庭平均每人每月生活費(fèi)收入如下：367322294273237398327298276246311355240275296324382229264288235271291319360226262286309352337222260284304343217259283303200253281301329212257281303332試問(wèn)該城鎮(zhèn)居民家庭平均每人每月生活費(fèi)收入今年與去年比較是否明顯提高（α=0.05）？【思考題2】為了評(píng)價(jià)兩個(gè)學(xué)校的教學(xué)質(zhì)量,分別在兩個(gè)學(xué)校抽取樣本。在A學(xué)校抽取30名學(xué)生,在B學(xué)校抽取40名學(xué)生,對(duì)兩個(gè)學(xué)校的學(xué)生同時(shí)進(jìn)行一次英語(yǔ)標(biāo)準(zhǔn)化考試,成績(jī)?nèi)缦卤硭?。假設(shè)學(xué)校A考試成績(jī)的方差為64,學(xué)校B考試成績(jī)的方差為100。檢驗(yàn)兩個(gè)學(xué)校的教學(xué)質(zhì)量是否有顯著差異。學(xué)校A學(xué)校B70

97

85

87

64

7386

90

82

83

92

7472

94

76

89

73

8891

79

84

76

87

8885

78

83

84

91

7476

91

57

62

89

82

93

6480

78

99

59

79

82

70

8583

87

78

84

84

70

79

7291

93

75

85

65

74

79

6484

66

66

85

78

83

75

742021年4月第26卷第4期電工技術(shù)學(xué)報(bào)TRANSACTIONSOFCHINAELECTROTECHNICALSOCIETYVol.26No.4Apr.2021一種基于線性時(shí)頻分布和二進(jìn)制閾值特征矩陣的電能質(zhì)量分類方法王麗霞1,2何正友1趙靜1（1.西南交通大學(xué)電氣工程學(xué)院成都6100312.中鐵第一勘察設(shè)計(jì)集團(tuán)西安710043）摘要從電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)中有效提取擾動(dòng)特征信息并進(jìn)行正確分類是電能質(zhì)量監(jiān)測(cè)分析系統(tǒng)需要解決的重要問(wèn)題。本文提出了一種基于線性時(shí)頻分布和二進(jìn)制閾值特征矩陣的電能質(zhì)量擾動(dòng)分類方法。首先結(jié)合兩種線性時(shí)頻分布（窗口傅里葉變換和S變換）的優(yōu)點(diǎn)，提取能夠表征信號(hào)特點(diǎn)的五個(gè)特征并對(duì)其進(jìn)行量化和編碼；在此基礎(chǔ)上，確立了基于二進(jìn)制閾值特征矩陣的擾動(dòng)分類判據(jù)，通過(guò)將二進(jìn)制特征與閾值矩陣進(jìn)行數(shù)值比較來(lái)判定擾動(dòng)的類型。對(duì)電壓暫升、暫降、中斷、切痕、振蕩、脈沖、諧波、諧波和暫降、諧波和暫升9種常見(jiàn)擾動(dòng)的仿真分析結(jié)果表明該方法有較高的準(zhǔn)確率（＞99%），證明了所提方法的正確性和有效性。關(guān)鍵詞：電能質(zhì)量分類窗口傅里葉變換S變換二進(jìn)制閾值特征矩陣中圖分類號(hào)：TM712PowerQualityDisturbanceClassificationBasedonLinearTime-FrequencyDistributionandBinaryThresholdFeatureMatrixWangLixia1,2HeZhengyou1ZhaoJing1（1.SouthwestJiaotongUniversityChengdu610031China2.ChinaSurveyandDesignInstituteRailuayFirstGroupLtd.Xi'an710043China）AbstractExtractingthecharacteristicinformationofpowerqualitydisturbancesandclassifyingthemisanimportantproblemthatshouldbesolvedbypowerqualitymonitoringsystem.ProposedaPQdisturbancesclassificationmethodbasedlineartime-frequencydistribution(windowedFouriertransformandS-transform)andbinarythresholdfeaturematrix.CombinedtheadvantagesofWFDandST,themethodpresentsfivefeaturesandbinariesthem,constitutesabinarythresholdfeaturematrix,classifiesdifferentdisturbancesthroughcomparingthemagnitudesofthebinaryfeaturetothebinarythresholdfeaturematrix.Simulationresultsof9commonkindsofdisturbancesindicatethatthemethodhasgoodperformanceofaccuracy(＞99%)andshowsthevalidityandefficiencyofthemethod.Keywords：Powerquality,classification,windowedFouriertransform,S-transform,Binarythresholdfeaturematrix國(guó)家自然科學(xué)基金（50877068），教育部?jī)?yōu)秀新世紀(jì)人才支持計(jì)劃（NCET-06-0799）和四川省杰出青年基金（06ZQ026-012）資助項(xiàng)目。收稿日期2021-06-23改稿日期2021-11-17186電工技術(shù)學(xué)報(bào)2021年4月1引言電力系統(tǒng)負(fù)荷類型的改變使得電能質(zhì)量下降；而基于微處理機(jī)的控制器和功率電子器件等敏感用電設(shè)備的使用，又提高了對(duì)電能質(zhì)量的要求。為了改善電能質(zhì)量，避免設(shè)備損壞和電網(wǎng)故障，必須建立完善的電能質(zhì)量監(jiān)測(cè)分析系統(tǒng)。如何從電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)中有效提取擾動(dòng)特征信息并進(jìn)行正確分類則是電能質(zhì)量監(jiān)測(cè)分析系統(tǒng)首先要解決的問(wèn)題。目前，國(guó)內(nèi)外提出的信號(hào)特征提取方法主要有：雙線性時(shí)頻分布，傅里葉變換，短時(shí)傅里葉變換，小波分析，S變換等[1-5]。其中傅里葉變換具有計(jì)算量小、穩(wěn)定可靠等優(yōu)點(diǎn)，但存在時(shí)間分辨率低，頻譜泄露等問(wèn)題，所以不適用于分析非平穩(wěn)信號(hào)；短時(shí)傅里葉變換通過(guò)加窗來(lái)提高時(shí)間分辨率，其分析效果依賴于窗函數(shù)的選取；基于小波變換的多分辨分析，具有良好的時(shí)頻局部性能，在提取暫態(tài)和突變信號(hào)的特征上有亮眼的表現(xiàn)，但存在受噪聲影響較大，計(jì)算復(fù)雜且對(duì)低頻擾動(dòng)的分析能力較差的缺陷；雙線性時(shí)頻分布物理意義較明確，時(shí)頻分辨率高，結(jié)果直觀，但因?yàn)橛?jì)算較復(fù)雜且交叉項(xiàng)問(wèn)題難以解決而使其在實(shí)際運(yùn)用中受到限制；S變換結(jié)合了短時(shí)傅里葉變換和小波分析的優(yōu)點(diǎn)，是一種可逆的時(shí)頻分析方法，具有良好的時(shí)頻特性，在時(shí)頻平面上的表現(xiàn)也比小波變換更加直觀，并且可通過(guò)快速傅里葉變換實(shí)現(xiàn)，是一種優(yōu)良的時(shí)頻分析工具。除特征提取外，分類器的選取也是影響分類結(jié)果和效率的一個(gè)重要因素。常見(jiàn)的分類器可以分為兩類，一類是基于訓(xùn)練的識(shí)別方法[3,7]，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機(jī)，此類型的分類系統(tǒng)需要一定數(shù)量的樣本進(jìn)行訓(xùn)練，且具有黑匣子的特征，缺乏直觀的物理解釋；另一類是基于規(guī)則的識(shí)別方法，如專家系統(tǒng)，此類方法的優(yōu)點(diǎn)在于計(jì)算簡(jiǎn)單，準(zhǔn)確率高且對(duì)噪聲不敏感等優(yōu)點(diǎn)，但如何確定規(guī)則是此類方法的關(guān)鍵。文獻(xiàn)[6]將特征量化，用二進(jìn)制編碼來(lái)表示不同的擾動(dòng)，然后通過(guò)二進(jìn)制數(shù)運(yùn)算來(lái)確定分類結(jié)果，此方法計(jì)算簡(jiǎn)單準(zhǔn)確率較高，但存在著對(duì)閾值選取依賴性太強(qiáng)，部分編碼不可識(shí)別的問(wèn)題。本文借鑒特征二值化的思想并進(jìn)行改進(jìn)，提出了用二進(jìn)制特征閾值矩陣來(lái)進(jìn)行擾動(dòng)分類的方法。算法首先結(jié)合窗口傅里葉變換和S變換的優(yōu)點(diǎn)，提取五個(gè)能夠反映不同擾動(dòng)特點(diǎn)的特征量，再將其量化，進(jìn)行合理的排序和組合，用8位的二進(jìn)制數(shù)來(lái)表征每一個(gè)分析的信號(hào)的特征，并建立一個(gè)二進(jìn)制閾值特征矩陣，將計(jì)算所得的二進(jìn)制數(shù)與特征矩陣?yán)锏臄?shù)值進(jìn)行比較，通過(guò)數(shù)值所在的區(qū)間來(lái)判定擾動(dòng)的類型，最后通過(guò)仿真來(lái)驗(yàn)證此方法的有效性。2特征提取和量化不同特征提取方法有其各自的優(yōu)勢(shì)，只采用一種方法有時(shí)難以全面地描述信號(hào)的特征。本文選用窗口傅里葉變換和S變換兩種線性時(shí)頻分析工具，分別對(duì)擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分析，從分析的結(jié)果中提取五個(gè)特征，并制定相應(yīng)的分類規(guī)則對(duì)特征進(jìn)行量化。2.1離散窗口傅里葉變換窗口傅里葉變換是傅里葉變換的改進(jìn)形式，其分析結(jié)果反映每個(gè)窗口截取的信號(hào)局部頻域特征。本文擬采用非重疊矩形窗窗口傅里葉變換，窗口的長(zhǎng)度取信號(hào)一個(gè)周期。其離散形式的表達(dá)式如下：?j(2πki/N)WDFTnN∑?1(k)=x[i+(n?1)×N]e（1）i=0式中，x為待分析信號(hào)；i為采樣點(diǎn)；n=1,2,",L為窗口的標(biāo)號(hào)；k=0,1,???,N?1代表離散頻率；N為一個(gè)周期的采樣點(diǎn)數(shù)。此變換的結(jié)果為一個(gè)L×N的矩陣，橫軸代表信號(hào)的周期，縱軸代表頻率。以離散窗口傅里葉變換為基礎(chǔ)提取的特征如下。2.1.1基頻幅值特征V特征V描述待分析信號(hào)各周期的基波成分的幅值，計(jì)算公式如下：V(n)=（2）式中，WDFTn[1]代表第n個(gè)周期基波頻率成分；abs(·)為取絕對(duì)值。圖1給出了正常信號(hào)和九種擾圖1擾動(dòng)特征VFig.1FeatureVofPQdisturbances第26卷第4期王麗霞等一種基于線性時(shí)頻分布和二進(jìn)制閾值特征矩陣的電能質(zhì)量分類方法187動(dòng)信號(hào)的幅值特征V，從圖中可以清楚地看出，該特征可以反映信號(hào)的幅值變化。其中正常信號(hào)、諧波、切痕、振蕩、脈沖的基頻幅值特征數(shù)值波動(dòng)都在0.9～1.1(pu)之間，而帶有幅值暫升、暫降和中斷情況的擾動(dòng)該特征數(shù)值都超出這一范圍。按照IEEE的相關(guān)規(guī)定，將V分為以下四種情況：若max[V(n)]＞1.1(pu)，記為V1；若max[V(n)]≤1.1(pu)且min[V(n)]≥0.9(pu)記為V2；若0.1(pu)≤min[V(n)]＜0.9(pu)記為V3；若min[V(n)]＜0.1(pu)，記為V4。2.1.2波形畸變持續(xù)的周期數(shù)特征H特征H描述信號(hào)中的非基波成分的超過(guò)閾值的持續(xù)時(shí)間，以周期數(shù)為單位。計(jì)算公式如下：H=STHD[THD(1),THD(2),",THD(L)]（3）式中，L為待分析信號(hào)的周期數(shù)，THD(n)為第n個(gè)周期的諧波畸變率，STHD計(jì)算信號(hào)諧波畸變率超過(guò)閾值的周期數(shù)，這里的閾值取0.01。根據(jù)諧波畸變率的定義，本文諧波畸變率的計(jì)算由窗口傅里葉變換的結(jié)果進(jìn)一步處理得到，即THD(n100%（4）如圖2所示，只有諧波和切痕這類周期性的持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng)的擾動(dòng)，諧波畸變率才會(huì)在較長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)保持一個(gè)較高的數(shù)值。因此H按以下的規(guī)則分類：若H＜6，則記為H1；若H≥6，則記為H2。圖2諧波畸變率Fig.2THDofPQdisturbances2.1.3擾動(dòng)過(guò)零點(diǎn)次數(shù)特征O特征O描述每個(gè)周期內(nèi)除去基波成分的擾動(dòng)波形過(guò)零點(diǎn)的次數(shù)，目的在于量度擾動(dòng)成分的頻率，計(jì)算公式如下：O（n）=root(xmiss）x?2miss(n)=x[i](1)cos??1π(i?1)???angle(WDFT(1))?+N???i=0，1,???,N?1（5）式中，root為計(jì)算信號(hào)的過(guò)零點(diǎn)；angle為計(jì)算相量的相角；xmiss(n)為估算第n個(gè)周期信號(hào)剔除基波后的擾動(dòng)分量。圖3為按上述方法所提取的信號(hào)的特征O。如圖3所示，當(dāng)信號(hào)只存在幅值上的變動(dòng)時(shí)，一個(gè)周期內(nèi)的擾動(dòng)過(guò)零點(diǎn)次數(shù)不會(huì)超過(guò)2，當(dāng)出現(xiàn)諧波時(shí)，O的數(shù)值會(huì)增加，但只有當(dāng)信號(hào)出現(xiàn)暫態(tài)振蕩時(shí)，一個(gè)周期內(nèi)才會(huì)出現(xiàn)超過(guò)20次過(guò)零點(diǎn)。本文認(rèn)為諧波出現(xiàn)的最高次數(shù)為11次，即一周期內(nèi)過(guò)零點(diǎn)不會(huì)超過(guò)22，則O按以下規(guī)則分為三類：若max[O(n)]≤2，則記為O1；若2＜max[O(n)]≤22，則記為O2；若max[O(n)]＞22，則記為O3。圖3擾動(dòng)特征OFig.3FeatureOofPQdisturbances2.2離散S變換S變換結(jié)合了連續(xù)小波變換和短時(shí)傅里葉變換的優(yōu)點(diǎn)，其分析結(jié)果為一個(gè)反映了信號(hào)時(shí)間和頻率信息的時(shí)頻矩陣，能夠較細(xì)致和直觀地表現(xiàn)信號(hào)的時(shí)頻特性。S變換可以用FFT算法來(lái)實(shí)現(xiàn)快速計(jì)算，因此可以提高算法的速度，為信號(hào)的在線檢測(cè)提供可能。離散S變換的公式如下：?N∑?1?S[m,n]=X[n+k]e?2π2k2/n2ej2πkm/Nn≠0??k=0??S[m,n]=1N∑?1x[k]n=0（6）?N?k=0?N?1X[n]=1x[k]e?j2πkm/N??Nk∑=0式中，N為待分析信號(hào)的采樣點(diǎn)數(shù)；n為采樣點(diǎn)；188電工技術(shù)學(xué)報(bào)2021年4月m=0,1,…,M?1，M為頻率劃分的等分?jǐn)?shù)。一個(gè)n個(gè)采樣點(diǎn)的信號(hào)經(jīng)S變換后成為一個(gè)M×N的時(shí)頻矩陣，在本文中記為ψ，該矩陣列對(duì)應(yīng)采樣點(diǎn)，行對(duì)應(yīng)頻率，矩陣元素為對(duì)應(yīng)的幅值。以S變換為基礎(chǔ)提取的特征如下。2.2.1最大幅值波動(dòng)特征ZZ特征描述信號(hào)的最大幅值的波動(dòng)大小。Z=std(max(abs(ψ))（7）式中，max為返回列最大值；std為返回矢量的標(biāo)準(zhǔn)偏差。當(dāng)信號(hào)為正常時(shí)，或者出現(xiàn)的其他頻率成分的擾動(dòng)的幅值小于1(pu)時(shí)，max(abs(ψ)應(yīng)該是一條較為平穩(wěn)的線，若出現(xiàn)基頻幅值較大的變動(dòng)或者其他頻率的擾動(dòng)成分幅值大于1(pu)時(shí)，該曲線就會(huì)出現(xiàn)較大的落差，計(jì)算所得的標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)值也會(huì)明顯高于其他情況。根據(jù)對(duì)各種信號(hào)進(jìn)行特征Z的多次計(jì)算，給出Z的分類規(guī)則：若Z＜0.02，則記為Z1；若Z≥0.02，則記為Z2。2.2.2擾動(dòng)信號(hào)時(shí)頻偏差特征B特征B表現(xiàn)的是電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)與正常信號(hào)之間時(shí)頻矩陣頻域最大值點(diǎn)和時(shí)域最小值點(diǎn)的偏差。計(jì)算如公式（8）所示。??B=P1+P2?M1?M2??P1=max（max(abs(ψΤ))?P2=min（max(abs(ψ))（8）??M1=max（max(abs(?Τ))??M2=min（max(abs(?))式中，ψ和?分別代表電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)和不含擾動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)信號(hào)進(jìn)行S變換所得的時(shí)頻矩陣；ψT和?T分別代表ψ和?的轉(zhuǎn)秩。max(abs(ψT)是由各個(gè)頻率出現(xiàn)最大系數(shù)構(gòu)成的矢量，代表信號(hào)的主要頻域特征，則P1為擾動(dòng)信號(hào)頻域最大值點(diǎn)；max(abs(ψ)是由各個(gè)時(shí)刻出現(xiàn)的最大系數(shù)構(gòu)成的矢量，代表信號(hào)的主要時(shí)域特征，則P2代表擾動(dòng)信號(hào)時(shí)域的最小值；相應(yīng)的M1和M2代表正常信號(hào)的頻域最大值和時(shí)域最小值點(diǎn)。B反映的是擾動(dòng)成分對(duì)信號(hào)的頻域和時(shí)域的影響。根據(jù)文獻(xiàn)[6]，B按照以下規(guī)則進(jìn)行分類：若B≤?0.00005，則記為B1；若?0.00005≤B≤0.00005，則記為B2；若B＞0.00005，則記為B3。為了更加形象地表達(dá)S變換的特點(diǎn)，圖4給出了一個(gè)暫態(tài)振蕩擾動(dòng)信號(hào)及其S變換，最后給出計(jì)算所得的Z和B的值為：0.004561和?0.00017649。圖4暫態(tài)振蕩的S變換Fig.4S-transformeroftransientoscillation在對(duì)電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行特征提取和分類后，將特征分類和擾動(dòng)類型聯(lián)系起來(lái)，相關(guān)的對(duì)應(yīng)關(guān)系見(jiàn)表1，其中“1”表示“是”，“0”表示“否”。表1擾動(dòng)及其對(duì)應(yīng)的特征分類Tab.1Disturbances’featuresandtheirclassification擾動(dòng)形式V1V2V3V4H1H2O1O2O3Z1Z2B1B2B3正常01001010010010暫升10001010001001暫降00101010001100中斷00011010001100諧波0100010101001001000110010100切痕010001100100010100011000110001000110001001脈沖01001010010001010010100010010100010011001001000100110001振蕩01000100101010010001001010010100010011010001000100100100諧波+暫升10001001001001諧波+暫降110010011檢查表1，不同種類擾動(dòng)的特征分類并無(wú)重復(fù)，因此認(rèn)為所提取的特征可以區(qū)分不同擾動(dòng)。3二進(jìn)制閾值特征矩陣和分類系統(tǒng)的建立按上節(jié)所示的方法和規(guī)則，特征V，H，O，Z，B分別被分為了4，2，3，2，3類，需要有一些相第26卷第4期王麗霞等一種基于線性時(shí)頻分布和二進(jìn)制閾值特征矩陣的電能質(zhì)量分類方法189應(yīng)的數(shù)值或代號(hào)來(lái)代表特征以便于機(jī)器的識(shí)別。本文擬采用便于機(jī)器識(shí)別的二進(jìn)制數(shù)來(lái)表征特征分類。根據(jù)二進(jìn)制的特性，V，H，O，Z，B分別可以用2位、1位、2位、1位、2位二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行表示，這樣整個(gè)信號(hào)的特征就可以由一個(gè)8位的二進(jìn)制數(shù)來(lái)表示。在進(jìn)行特征編碼時(shí)需要考慮兩個(gè)因素，一是將準(zhǔn)確性較高的特征盡量地排在高位，第二是對(duì)特征進(jìn)行二進(jìn)制賦值時(shí)盡量使得相同的擾動(dòng)之間的編碼二進(jìn)制大小相近，目的是為了在按照大小順序排列編碼時(shí)可以把相同的擾動(dòng)排列在一起，以便于后面的特征比較和判定。按照以上的原則進(jìn)行適當(dāng)?shù)呐帕泻徒M合，將特征分類編碼見(jiàn)表2。表2特征及其對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制編碼Tab.2Featuresandtheirbinarycodes特征V1V2V3V4H1H2O1O2O3Z1Z2B1B2B3編碼010010110100011001010010按照表2所示對(duì)各種擾動(dòng)進(jìn)行編碼，從高位到低位分別為V，H，O，Z，B并按大小進(jìn)行排列，獲得表3所示的擾動(dòng)和二進(jìn)制數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系。表3擾動(dòng)及其對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制編碼Tab.3Disturbancesandtheirbinarycodes擾動(dòng)形式編碼正常00000000脈沖00000010，00000110振蕩00010000，00010001，0001001000010100，00010101，00010110諧波00101000切痕00101001，00101010，00101101，00101110暫升01000110暫升+諧波01101110暫降10000101暫降+諧波10101101中斷11000101在對(duì)特征提取并進(jìn)行分類編碼后，即可以對(duì)照表3對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行分類。但是由于閾值的設(shè)定和數(shù)值計(jì)算的誤差，每種特征分類并不能達(dá)到百分之百的正確率，那么獲得的某些代碼在表3中就有可能找不到相應(yīng)的數(shù)值，為了解決這一問(wèn)題，對(duì)表3進(jìn)行如下的處理：將以上的編碼簡(jiǎn)化為以下幾個(gè)閾值，00000000，00010000，00100000，00101001，01000000，01100000，10000000，10100000，11000000。分別記為v1,v2,…,v9，記獲得的特征向量的編碼為F并按以下邏輯對(duì)特征進(jìn)行分類：若F=v1，判定為正常；若v1＜F＜v2，判定為脈沖；若v2≤F＜v3，判定為振蕩；若v3≤F＜v4，判定為諧波；若v4≤F＜v5，判定為切痕；若v5≤F＜v6，判定為暫升；若v6≤F＜v7，判定為暫升+諧波；若v7≤F＜v8，判定為暫降；若v8≤F＜v9，判定為暫降+諧波；若v9≤F，判定為中斷。v1，v2，…，v9組成的矩陣稱之為特征閾值矩陣。相對(duì)于特征值矩陣，建立特征閾值矩陣的優(yōu)勢(shì)在于這樣的處理，使得每種擾動(dòng)都可以被分到某一類去，由于特征的排列是盡量把可靠性較高的特征排在高位，并把每種擾動(dòng)的編碼排在一起，因此即使出現(xiàn)了某些不同于表3的編碼，大部分也可以被分到正確的擾動(dòng)類別中去，并且這樣的處理方法可以減小編碼的比較次數(shù)。為了進(jìn)一步加快分類速度，可在進(jìn)行編碼比較時(shí)做以下處理，先把獲得的編碼與v5進(jìn)行比較，若小于v5，則向上逐位比較，若大于v5，則向下逐位比較，那么對(duì)獲得的編碼最多僅需5次的二進(jìn)制數(shù)比較即可獲得其分類結(jié)果。算法的流程圖如圖5所示。圖5算法流程圖Fig.5Flowchartofpresentedmethod190電工技術(shù)學(xué)報(bào)2021年4月4仿真分析選取電壓暫升、電壓暫降、電壓中斷、暫態(tài)脈沖、暫態(tài)振蕩、電壓切痕、諧波、諧波和暫降、諧波和暫升，九種常見(jiàn)的電壓擾動(dòng)信號(hào)作為分析對(duì)象，根據(jù)IEEE的相關(guān)規(guī)定，按照表4所示公式，使用Matlab進(jìn)行仿真產(chǎn)生測(cè)試樣本，特征參數(shù)在表4所示范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生[8]。表4常見(jiàn)電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)及其參數(shù)Tab.4CommonPQdisturbancesandtheirparameters擾動(dòng)形式正常暫升暫降中斷脈沖振蕩可控參數(shù)表達(dá)式xcos（ωt）x(t)u(t?t1)?u(t?t2))cos（ωt）x(t)u(t?t1)?u(t?t2))cos（ωt）x(t)u(t?t1)?u(t?t2))cos（ωt）0.9≤A≤1.11.1＜A≤1.50.1≤A＜0.90≤A＜0.10.5≤A＜3T≤t2?t1≤8TT≤t2?t1≤8TT≤t2?t1≤8T0≤α≤120ns≤t2?t1≤1msx(t)ωt)+Ae?α(t?t1)(u(t?t1)?u(t?t2)))x(t)ωt)e?α(t?t1)cos(ωnt)(u(t?t1)?u(t?t2))0.1≤A＜0.80.5T≤t2?t1≤3T0≤α≤0.320≤ωn/ω≤50切痕諧波0.1≤A≤0.41.4≤ωn/ω≤20.01T≤t2?t1≤0.5Tx(t)ωt)cos(ωnt)∑[u(t?t1?i×0.02)?u(t?t2?i×0.02)]i=0L?10.05≤a,b,c≤0.30.05≤a,b,c≤0.30.05≤a,b,c≤0.3x(t)ωt)+acos(3ωt)+bcos(5ωt)+ccos(7ωt))暫降+諧波0.1≤A＜0.9T≤t2?t1≤8Tx(t)u(t?t1)?u(t?t2))(cos(ωt)+acos(3ωt)+bcos(5ωt)+ccos(7ωt))x(t)u(t?t1)?u(t?t2))(cos(ωt)+acos(3ωt)+bcos(5ωt)+ccos(7ωt))A≤1.5T≤t2?t1≤8T暫升+諧波1.1＜以下是對(duì)每種擾動(dòng)各取1000個(gè)樣本進(jìn)行仿真測(cè)試的結(jié)果。按圖5所示流程對(duì)樣本進(jìn)行擾動(dòng)分類，獲得的仿真結(jié)果見(jiàn)表5。表5仿真結(jié)果Tab.5Simulationresults擾動(dòng)形式正常脈沖振蕩諧波切痕暫升暫升+諧波暫降暫降+諧波中斷總和測(cè)試樣本正確錯(cuò)誤錯(cuò)判類型正確率100%98.7%99.8%100%99.1%100%100%99.7%99.8%100%99.71%1000100005結(jié)論結(jié)合窗口傅里葉變換和S變換的優(yōu)點(diǎn)對(duì)電能質(zhì)量擾動(dòng)信號(hào)進(jìn)行特征提取，通過(guò)一定的規(guī)則對(duì)特征進(jìn)行分組和二值化，建立二進(jìn)制閾值矩陣對(duì)擾動(dòng)進(jìn)行分類。大量的仿真表明了所提方法的有效性。該方法的計(jì)算量小，分類速度快且分類準(zhǔn)確率較高。但是，此算法的準(zhǔn)確性會(huì)受到噪聲的影響，因此必須對(duì)信號(hào)進(jìn)行消噪預(yù)處理，再使用該方法進(jìn)行分類。如何改進(jìn)方法使得在噪聲較大的情況下也能夠獲得較高的準(zhǔn)確率，是下一步的工作。參考文獻(xiàn)[1]WrightPS.Short-timeFouriertransformsandWigner-Villedistributionsappliedtothecalibrationofpowerfrequencyharmonicanalyzers[J].IEEETransactionsonInstrumentationandMeasurement,1999,48(2):475-478.[2]李庚銀，王洪磊，周明．基于改進(jìn)小波能熵和支持向量機(jī)的短時(shí)電能質(zhì)量擾動(dòng)識(shí)別[J]．電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2021，24(4):161-166．LiGengyin，WangHonglei，ZhouMing．Short-timepowerqualitydisturbancesidentificationbasedon100098713正常10009982脈沖10001000010009919正常10001000010001000010009973脈沖10009982切痕10001000010000997129從仿真的結(jié)果看出，文中所構(gòu)造的算法能夠有效地分類和識(shí)別常見(jiàn)的電能質(zhì)量擾動(dòng)。跟其他信號(hào)處理和人工智能的方法相比，此方法有較高的準(zhǔn)確率（＞99%），且不需要進(jìn)行訓(xùn)練，對(duì)樣本的依賴性小，分類的速率高。第26卷第4期王麗霞等一種基于線性時(shí)頻分布和二進(jìn)制閾值特征矩陣的電能質(zhì)量分類方法191improvedwaveletenergyentropyandSVM[J].TransactionsofChinaElectrotechnicalSociety，2021，24(4):161-166．[3]呂干云，程浩忠，鄭金菊，等.基于S變換和多級(jí)SVM的電能質(zhì)量擾動(dòng)檢測(cè)識(shí)別[J].電工技術(shù)學(xué)報(bào),2006,21(1):121-126.LüGanyun,ChengHaozhong，ZhengJinjü，etal.Powerqualitydisturbancesdetectionandidentifica-tionbasedonStransformandmulti-laySVMs[J].TransactionsofChinaElectrotechnicalSociety，2006,21(1):121-126.[4]李玲,金國(guó)彬,黃紹平．基于時(shí)頻平面脊信息提取的電能質(zhì)量擾動(dòng)檢測(cè)[J]．高電壓技術(shù)，2021,34(4)：772-776．LiLing，JinGuobin，HuangShaoping．Powerqualitydisturbancesdetectionbasedonridgesoftime-frequencyplain[J]．HighVoltageEngineering，2021,34(4)：772-776．[5]劉昊，唐軼，馮宇，等.基于時(shí)域變換特性分析的電能質(zhì)量擾動(dòng)分類方法[J]．電工技術(shù)學(xué)報(bào)，2021,23(11)：159-164．LiuHao,TangYi,FengYu,etal.Apowerqualitydisturbanceclassificationmethodbasedontimedomaintransformcharacteristicanalysis[J].Transac-tionsofChinaElectrottechnicalSociety,2021,23(11)：159-164．[6]ThaiNguyen,YuanLiao.PowerqualitydisturbanceclassificationutilizingS-transformandbinaryfeaturematrixmethod[J].ElectricPowerSystemsResearch,2021(79):569-575.[7]GhoshAK,LubkemanDL.Theclassificationofpowersystemdisturbancewaveformsusinganeuralnetworkapproach[C]．ProceedingsoftheIEEEPowerEngineeringSocietyTransmissionandDistributionConference,1994:323-329.[8]NermeenTalaat,IbrahimWR,GeorgeLKusic.Newtechniqueforcategorizationofpowerqualitydisturbances[C].PowerQualityandSupplyReliabilityConference,2021:11-16.作者簡(jiǎn)介王麗霞女，1985年生，碩士，研究方向?yàn)閿?shù)字信號(hào)處理及信息理論在電力系統(tǒng)中的應(yīng)用。何正友男，1970年生，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事現(xiàn)代信息論在電力系統(tǒng)故障分析中的應(yīng)用、電網(wǎng)故障診斷、配電網(wǎng)自動(dòng)化等方面的研究工作。長(zhǎng)沙通信職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)第2卷第1期JournalofChangshaTelecommunicationsVol.2No.12003年3月andTechnologyVocationalCollegeMar.2003求矩陣特征值與特征向量的新方法陳澤安(長(zhǎng)沙電力學(xué)院湖南長(zhǎng)沙410077[摘要]給出了求矩陣特征值與特征向量的新方法,改進(jìn)了一般教科書(shū)上的常見(jiàn)方法,與常見(jiàn)方法比較,有如下優(yōu)點(diǎn)。1只用矩陣運(yùn)算;2求特征值時(shí)已進(jìn)行了求特征向量的大部分運(yùn)算或全部運(yùn)算;3運(yùn)算規(guī)范,減少了計(jì)算量。[關(guān)鍵詞]特征值;特征向量;規(guī)范λ一矩陣[中圖分類號(hào)]O241.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A[文章編號(hào)]1671-9581(2003-01-066-04NewwaystoevaluatematrixeigenvalueandeigenvectorChenZeanAbstract:Thispapergivesusanewwaytoevaluatethematrixeigenvalueandeigenvector.Itsadvantagesoverthecommonwaysareasfollows:1evaluatingbyusingmatrixonly;2finishingthemajorityoperationorfulloperationbeforeevaluatingtheeigenvalue;3standardoper-ationandreducingtheoperationquantity.KeyWords:eigenvalue;eigenvector;standardλ—matrix1引言一般教科書(shū)[1][2][3]介紹的求矩陣A的特征值的方法是求一個(gè)特征方程的根,而求相應(yīng)的特征向量的方法是求若干個(gè)齊次線性方程組(A-λiEX=0的基礎(chǔ)解系。兩者的計(jì)算是分割的,一個(gè)是計(jì)算行列式,另一個(gè)是解齊次線性方程組,且計(jì)算量都較大。而本文介紹的新方法,只用一種運(yùn)算———矩陣運(yùn)算,即在求矩陣A的特征值時(shí),對(duì)特征矩陣(A-λE進(jìn)行λ—矩陣的初等行變換,在求相應(yīng)的特征向量時(shí)用[4]中定理1介紹的新方法,也只用矩陣運(yùn)算。而且,在求A的特征值時(shí),已經(jīng)進(jìn)行了大部分求相應(yīng)特征向量的運(yùn)算。有時(shí),碰巧已完成了求特征向量的全部運(yùn)算。所以新方法的計(jì)算量少,且運(yùn)算規(guī)范,不易出錯(cuò)。①[收稿日期]2003-01-12[作者簡(jiǎn)介]陳澤安(1951-男,湖南益陽(yáng)人,長(zhǎng)沙電力學(xué)院數(shù)計(jì)系副教授,研究方向:概率論。第1期求矩陣特征值與特征向量的新方法長(zhǎng)沙通信職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)第2卷第1期求矩陣特征值與特征向量的新方法第六章矩陣特征值與特征向量練習(xí)班級(jí)：姓名：學(xué)號(hào)：求矩陣與的特征值與特征向量，并回答以下問(wèn)題：不同矩陣是否可能有相同特征值，若有相同特征值時(shí)，其相應(yīng)特征向量是否也相同？不同的矩陣可能有相同的特征值，有相同的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量不一定相同。設(shè)ｎ階矩陣，試證：．設(shè)為ｎ階方陣，且試證，已知四階矩陣，的特征值為２，３，４，５，為４階單位矩陣，求的特征值．為ｎ階矩陣，其特征值為２，４，…，２n，為n階單位矩陣，則。．已知矩陣，則的特征值為(c).(A)1,0,1(B)1,1,2(C)-1,1,2(D)-1,1,1以上四個(gè)備選答案中，有且僅有一個(gè)是正確的;利用特征值的性質(zhì)選擇正確答案.七、求矩陣和的特征值與特征向量，并回答以下問(wèn)題：⑴與分別可否相似對(duì)角化？為什么？⑵相似矩陣有相同特征值，其逆命題是否也成立？八、已知矩陣與矩陣相似，求，？九、設(shè)矩陣與相似，且,．⑴求，的值；⑵求可逆矩陣，使．十、用施密特方法，將矩陣的列向量正交規(guī)范化．十一、設(shè)矩陣的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為，矩陣的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量為，且試證：向量與正交．十二、設(shè)及，求證：分塊矩陣．（提示：求分塊矩陣，使）．補(bǔ)充練習(xí)：⒈填空：已知ｎ階方陣的特征值為，，…，，其對(duì)應(yīng)特征向量分別為，，…，，則①（為常數(shù)）的特征值為對(duì)應(yīng)的特征向量為；②（為正整數(shù)）的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為；③可逆時(shí)，的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為；④可逆時(shí)，的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為；⑤為ｎ階可逆矩陣，的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為；⑥的特征值為．（的特征向量與的特征向量有何關(guān)系，參見(jiàn)本章第二次作業(yè)第五題）．⒉已知為ｎ階正交矩陣，證明：為可逆矩陣，且也是正交矩陣.⒊若皆為正交矩陣，證明：仍是正交矩陣．⒋已知兩個(gè)單位正交向量，試求列向量，使得以為列向量的矩陣為正交矩陣．⒌已知，利用的相似對(duì)角化，求（為正整數(shù)）．⒍設(shè)滿足，且．試證：為正交矩陣．第五章矩陣的特征值和特征向量1．教學(xué)目的和要求：(1)理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，會(huì)求矩陣的特征值和特征向量.(2)了解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件，會(huì)將矩陣化為相似對(duì)角矩陣.(3)了解實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì).2．教學(xué)重點(diǎn)：(1)會(huì)求矩陣的特征值與特征向量.(2)會(huì)將矩陣化為相似對(duì)角矩陣.3．教學(xué)難點(diǎn)：將矩陣化為相似對(duì)角矩陣.4．教學(xué)內(nèi)容：

本章將介紹矩陣的特征值、特征向量及相似矩陣等概念，在此基礎(chǔ)上討論矩陣的對(duì)角化問(wèn)題.

§1矩陣的特征值和特征向量

定義1

設(shè)是一個(gè)階方陣，是一個(gè)數(shù)，如果方程

(1)存在非零解向量，則稱為的一個(gè)特征值，相應(yīng)的非零解向量稱為屬于特征值的特征向量．

（1）式也可寫(xiě)成，

(2)這是個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式

,

(3)

即

上式是以為未知數(shù)的一元次方程，稱為方陣的特征方程．其左端是的次多項(xiàng)式，記作，稱為方陣的特征多項(xiàng)式．

==

=顯然，的特征值就是特征方程的解．特征方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解，其個(gè)數(shù)為方程的次數(shù)（重根按重?cái)?shù)計(jì)算），因此，階矩陣有個(gè)特征值．設(shè)階矩陣的特征值為由多項(xiàng)式的根與系數(shù)之間的關(guān)系，不難證明（?。áⅲ┤魹榈囊粋€(gè)特征值，則一定是方程的根,因此又稱特征根，若為方程的重根，則稱為的重特征根．方程的每一個(gè)非零解向量都是相應(yīng)于的特征向量，于是我們可以得到求矩陣的全部特征值和特征向量的方法如下：

第一步：計(jì)算的特征多項(xiàng)式；

第二步：求出特征方程的全部根，即為的全部特征值；

第三步：對(duì)于的每一個(gè)特征值，求出齊次線性方程組：

的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則的屬于特征值的全部特征向量是

（其中是不全為零的任意實(shí)數(shù)）．例1求的特征值和特征向量.解

的特征多項(xiàng)式為=所以的特征值為

當(dāng)=2時(shí)，解齊次線性方程組得解得令=1，則其基礎(chǔ)解系為：=因此，屬于=2的全部特征向量為：.當(dāng)=4時(shí)，解齊次線性方程組得令=1，則其基礎(chǔ)解系為：因此的屬于=4的全部特征向量為[注]：若是的屬于的特征向量，則也是對(duì)應(yīng)于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一確定．反之，不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量不會(huì)相等，亦即一個(gè)特征向量只能屬于一個(gè)特征值.

例2求矩陣

的特征值和特征向量.解的特征多項(xiàng)式為

==，所以的特征值為==2（二重根），.對(duì)于==2，解齊次線性方程組．由

，得基礎(chǔ)解系為：

因此，屬于==2的全部特征向量為：不同時(shí)為零.對(duì)于，解齊次線性方程組．由

，

得基礎(chǔ)解系為：因此，屬于的全部特征向量為：由以上討論可知，對(duì)于方陣的每一個(gè)特征值，我們都可以求出其全部的特征向量．但對(duì)于屬于不同特征值的特征向量，它們之間存在什么關(guān)系呢？這一問(wèn)題的討論在對(duì)角化理論中有很重要的作用．對(duì)此我們給出以下結(jié)論：

定理1屬于不同特征值的特征向量一定線性無(wú)關(guān).證明設(shè)是矩陣的不同特征值，而分別是屬于的特征向量，要證是線性無(wú)關(guān)的.我們對(duì)特征值的個(gè)數(shù)作數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí),由于特征向量不為零,所以結(jié)論顯然成立.當(dāng)＞1時(shí),假設(shè)時(shí)結(jié)論成立.由于是的不同特征值,而是屬于的特征向量,因此

如果存在一組實(shí)數(shù)使

(3)則上式兩邊乘以得

(4)另一方面,

,即

(5)(4)－(5)有

由歸納假設(shè),

線性無(wú)關(guān),因此

而互不相同,所以．于是(3)式變?yōu)?因,于是．可見(jiàn)線性無(wú)關(guān)．課后作業(yè)：習(xí)題五５－12

§２

相似矩陣

定義2

設(shè)、都是階方陣，若存在滿秩矩陣，使得

則稱與相似，記作，且滿秩矩陣稱為將變?yōu)榈南嗨谱儞Q矩陣．“相似”是矩陣間的一種關(guān)系，這種關(guān)系具有如下性質(zhì)：⑴反身性：～；⑵對(duì)稱性：若～，則～；⑶傳遞性：若～，～，則～．

相似矩陣還具有下列性質(zhì)：

定理2

相似矩陣有相同的特征多項(xiàng)式，因而有相同的特征值.證明設(shè)～，則存在滿秩矩陣，使于是

推論

若階矩陣與對(duì)角矩陣

相似，則即是的個(gè)特征值．定理3設(shè)是矩陣的屬于特征值的特征向量,且~,即存在滿秩矩陣使,則是矩陣的屬于的特征向量．證明

因是矩陣的屬于特征值的特征向量，則有

于是

所以是矩陣的屬于的特征向量．下面我們要討論的主要問(wèn)題是：對(duì)階矩陣，尋求相似變換矩陣，使為對(duì)角矩陣，這就稱為把方陣對(duì)角化．定理4階矩陣與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是：矩陣有個(gè)線性無(wú)關(guān)的分別屬于特征值的特征向量（中可以有相同的值）．證明必要性

設(shè)與對(duì)角矩陣相似，則存在滿秩矩陣，使

=設(shè)則由上式得

即

，因此

所以是的特征值，是的屬于的特征向量，又因是滿秩的，故

線性無(wú)關(guān).

充分性

如果有個(gè)線性無(wú)關(guān)的分別屬于特征值的特征向量，則有

設(shè)則是滿秩的，于是

，即

=[注]：由定理4，一個(gè)階方陣能否與一個(gè)階對(duì)角矩陣相似，關(guān)鍵在于它是否有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量．（1）如果一個(gè)階方陣有個(gè)不同的特征值，則由定理1可知，它一定有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，因此該矩陣一定相似于一個(gè)對(duì)角矩陣．.（2）如果一個(gè)階方陣有個(gè)特征值（其中有重復(fù)的），則我們可分別求出屬于每個(gè)特征值的基礎(chǔ)解系，如果每個(gè)重特征值的基礎(chǔ)解系含有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則該矩陣與一個(gè)對(duì)角矩陣相似.否則該矩陣不與一個(gè)對(duì)角矩陣相似．可見(jiàn)，如果一個(gè)階方陣有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，則該矩陣與一個(gè)階對(duì)角矩陣相似，并且以這個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量作為列向量構(gòu)成的滿秩矩陣，使為對(duì)角矩陣，而對(duì)角線上的元素就是這些特征向量順序?qū)?yīng)的特征值．

例3設(shè)矩陣，求一個(gè)滿秩矩陣，使為對(duì)角矩陣．解

的特征多項(xiàng)式為

所以的特征值為.對(duì)于解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系，即為的兩個(gè)特征向量對(duì)于=2，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系

，即為的一個(gè)特征向量.

顯然是線性無(wú)關(guān)的，取

，即有

.例4

設(shè)

，考慮是否相似于對(duì)角矩陣．解

所以的特征值為.對(duì)于解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系即為一個(gè)特征向量，對(duì)于，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系，即為的另一個(gè)特征向量.

由于只有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，因此不能相似于一個(gè)對(duì)角矩陣．課后作業(yè)：習(xí)題五13－16

§３

向量組的正交性

在解析幾何中，二維、三維向量的長(zhǎng)度以及夾角等度量性質(zhì)都可以用向量的內(nèi)積來(lái)表示，現(xiàn)在我們把內(nèi)積推廣到維向量中．定義3

設(shè)有維向量，，令

=，則稱為向量和的內(nèi)積．[注]：內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算，若用矩陣形式表示，當(dāng)和是行向量時(shí)，＝，當(dāng)和都是列向量時(shí)，＝．內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中為維向量，為常數(shù)）：（1）=；（2）=；（3）=+；（4），當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)等號(hào)成立．定義4

令

||=稱||為維向量的模（或長(zhǎng)度）．

向量的模具有如下性質(zhì)：（1）當(dāng)≠0時(shí)，||＞0；當(dāng)=0時(shí)，||=0；（2）||=||||，（為實(shí)數(shù)）；（3）||≤||||；（4）|≤||+||；特別地，當(dāng)||=1時(shí)，稱為單位向量.如果||≠0，由性質(zhì)（2），向量是一個(gè)單位向量．可見(jiàn)，用向量的模去除向量，可得到一個(gè)與同向的單位向量，我們稱這一運(yùn)算為向量的單位化，或標(biāo)準(zhǔn)化．

如果、都為非零向量，由性質(zhì)（3）

≤1，于是有下述定義：定義5

當(dāng)||≠0，||≠0時(shí)

稱為維向量、的夾角．特別地：當(dāng)=0時(shí)，，因此有定義

當(dāng)=0時(shí)，稱向量與正交．（顯然，若=0，則與任何向量都正交）．向量的正交性可推廣到多個(gè)向量的情形.定義6

已知個(gè)非零向量，若=0，則稱為正交向量組．定義7若向量組為正交向量組，且||=1，則稱為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組．例如，維單位向量組=，，是正交向量組．正交向量組有下述重要性質(zhì)：定理5

正交向量組是線性無(wú)關(guān)的向量組．定理的逆命題一般不成立，但是任一線性無(wú)關(guān)的向量組總可以通過(guò)如下所述的正交化過(guò)程，構(gòu)成正交化向量組，進(jìn)而通過(guò)單位化，構(gòu)成標(biāo)準(zhǔn)正交向量組．定理6設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，由此可作出含有個(gè)向量的正交向量組，其中，

，

，

……

.再取

則為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組．上述從線性無(wú)關(guān)向量組導(dǎo)出正交向量組的過(guò)程稱為施密特（Schimidt）正交化過(guò)程．它不僅滿足與等價(jià)，還滿足：對(duì)任何，向量組與等價(jià)．例5

把向量組=（1，1，0，0），=（1，0，1，0），=（-1，0，0，1）化為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組．解容易驗(yàn)證，，是線性無(wú)關(guān)的.將，，正交化，令=，=，再把單位化

，

則即為所求的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組．定理7若是維正交向量組，，則必有維非零向量，使，成為正交向量組．推論

含有個(gè)（）向量的維正交（或標(biāo)準(zhǔn)正交）向量組，總可以添加個(gè)維非零向量，構(gòu)成含有個(gè)向量的維正交向量組．例6已知，求一組非零向量，使，，成為正交向量組.解

應(yīng)滿足方程=0，即

.它的基礎(chǔ)解系為

把基礎(chǔ)解系正交化，即為所求．亦即取

其中于是得

定義8如果階矩陣滿足（即），那么稱為正交矩陣．正交矩陣具有如下性質(zhì)：（1）矩陣為正交矩陣的充分必要條件是；（2）正交矩陣的逆矩陣是正交矩陣；（3）兩個(gè)正交矩陣的乘積仍是正交矩陣；（4）正交矩陣是滿秩的，且|=1或．

由等式

可知，正交矩陣的元素滿足關(guān)系式

（其中）可見(jiàn)正交矩陣任意不同兩行（列）對(duì)應(yīng)元素乘積之和為0，同一行（列）元素的平方和為1，因此正交矩陣的行（列）所構(gòu)成的向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組，反之亦然．于是有

定理8

一個(gè)階矩陣為正交矩陣的充分必要條件是它的行（或列）向量組是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交向量組．課后作業(yè)：習(xí)題五1－4

§４實(shí)對(duì)稱矩陣的相似對(duì)角化

在§２中，我們討論了相似矩陣的概念和性質(zhì)以及一般的階矩陣與對(duì)角矩陣相似的問(wèn)題．本節(jié)將進(jìn)一步討論用正交變換化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣的問(wèn)題．為此首先給出下面幾個(gè)定理．定理9實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值恒為實(shí)數(shù)．從而它的特征向量都可取為實(shí)向量．定理10實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值的特征向量是正交的．證明設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣的兩個(gè)不同的特征值，即．是分別屬于的特征向量，則

，根據(jù)內(nèi)積的性質(zhì)有

，又

所以

，因，故，即與正交.定理11設(shè)為階對(duì)稱矩陣，是的特征方程的重根，則矩陣的秩從而對(duì)應(yīng)特征值恰有個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量．定理12設(shè)為階對(duì)稱矩陣，則必有正交矩陣，使，其中是以的個(gè)特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣．

例7設(shè)求一個(gè)正交矩陣，使為對(duì)角矩陣.解

，所以的特征值，.

對(duì)于，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系

，因此屬于的標(biāo)準(zhǔn)特征向量為

.

對(duì)于，解齊次線性方程組，得基礎(chǔ)解系

這兩個(gè)向量恰好正交，將其單位化即得兩個(gè)屬于的標(biāo)準(zhǔn)正交向量

，

.于是得正交矩陣

易驗(yàn)證