《復(fù)變函數(shù)與積分變換》期末考試試卷及答案1

..一．填空題〔每一小題3分,共計(jì)15分〕11i 3

2k,k0,1,23 Ln(1i)

1ln2i的主值是〔 2 4 ；1f(z)3.

1z2

f(5)(0)

〔0 〕,z0

zsinz4

的〔 一級(jí) 〕極點(diǎn)；1,f(z)1,z

Res[f(z),]

〔-1〕；二．選擇題〔每題4分,共24分〕〔A〕

f(z)u(x,y)iv(x,y)的導(dǎo)函數(shù)為〔B ；f(z)u iu f(z)u iux y；〔B〕 x y；〔C〕

f(z)u iv f(z)u ivx y；〔D〕 y x.2．C

z3,如果函數(shù)f(z)〔D〕,如此 f(z)dz0．C〔A〕

3 3(z2 ； 〔B〕 ；〔2 z z

3(z(z2)2

；〔D〕

3(z2)2.3．如果級(jí)數(shù)

n1

czn

z2在

點(diǎn)收斂,如此級(jí)數(shù)在〔C〕〔A〕

z2

點(diǎn)條件收斂； 〔B

z

點(diǎn)絕對(duì)收斂；zz i z1〔C〕 點(diǎn)絕對(duì)收斂； 〔D〕 點(diǎn)一定發(fā)散．４．如下結(jié)論正確的答案是< B >〔A〕如果函數(shù)f(z)在z0

點(diǎn)可導(dǎo),如此f(z)在z0

點(diǎn)一定解析；<B>如果

f(z)

在C所圍成的區(qū)域內(nèi)解析,如此C

f(z)dz0〔C〕如果C

f(z)dz0

f(z)

在C所圍成的區(qū)域內(nèi)一定解析；〔D

f(z)u(xyiv(xy在區(qū)域內(nèi)解析的充分必要條件是u(xyv(xy)在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)．5．如下結(jié)論不正確的答案是〔D 是解析函數(shù),求三．按要求完成如下各題〔每一小題10分,共40分〕是解析函數(shù),求〔1

f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2) a,b,c,d.f(z)解析,由C-R條件,a2,d2, a2c,2bd,cb,給出C-R條件6分,正確求導(dǎo)給2分,結(jié)果正確2分.〔2

ez C(z1)2z

其中C是正向圓周：解：此題可以用柯西公式\柯西高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算也可用留數(shù)計(jì)算洛朗展開(kāi)計(jì)算,僅給出用前者計(jì)算過(guò)程因?yàn)楹瘮?shù)

f(z)

ez( ( z 2z

z0,z1

12

z,z1

2為圓心畫(huà)互不相 交 互 不 包 含 的 小 圓ez ez

c1

2 且 位 于 c 內(nèi) ez

dz

(z1)2

dz

z dzC(z1)2z

C z C1

(z1)2無(wú)論采用那種方法給出公式至少給一半分,其他酌情給分.〔3

z15 dzz3z2)2(2z4)3f(zz3內(nèi),由留數(shù)定理 z15z3z2)2(2z4)3

dziRef(z),]

-----〔5分〕iRef z15

1 1( ) z z2

dz2i

----〔8分〕z3z2)2(2z4)3z(z21)(z2)3

--------〔10分〕〔4〕函數(shù)

f(z) (z(sinz)3

在擴(kuò)大復(fù)平面上有什么類(lèi)型的奇點(diǎn)？,如果有極點(diǎn),請(qǐng)指出它的級(jí).解 ：z(z21)(z2)3(z3)2f(z) 的奇點(diǎn)為zkk0,1,2,3,，(sinz)3〔zk,k0,,2,3,為（sinz3

0的三級(jí)零點(diǎn)，〔2〕z0，z1,為f(z)的二級(jí)極點(diǎn)，z2是f(z)的可去奇點(diǎn)，〔3〕z3為f(z)的一級(jí)極點(diǎn)，〔3〕〔4〕z2,3,4，為f(z)的三級(jí)極點(diǎn)；〔4〕〔5為f(z)的非孤立奇點(diǎn)。備注：給出全部奇點(diǎn)給5分,其他酌情給分.1四、〔此題14分〕將函數(shù)f(z)1z2(z

在以下區(qū)域內(nèi)展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)；〔10

z11,〔2〕0z1,〔3〕1z10

z11[ 1 而(z1

[n0

(1)n(zf(z)n0〔2〕當(dāng)0z1

(1)n1n(z1)n2

-------6分f(z)

1

1 znz2(zz2z)

= z2

n0n0〔3〕當(dāng)1z

zn2

-------10分f(z)

1

1( )n

1z3 z zn3 14n0 n0一．填空題〔每一小題3分,共計(jì)15分〕1i2

2k,k04 2.Ln(1i)2.

1ln2i的主值是〔2 4 ；1f(z)

(7)(0)3. 1z2,

〔0 ；zsinzf(z)4． z3

Ref(z),0],

〔0〕 ；5．f(z)5．

1z2

Res[f(z),]

〔 0 ；得分二．選擇題〔每一小題3分,共計(jì)15分〕x2y1．

是解析函數(shù)

f(z)u(x,y)iv(x,y)

的實(shí)部,如此〔A ；〔A〔C

f(z)2(xiy) f(z)2(xiy)；〔B〕 f z y f(z)2(yix) ()；〔B〕 f z y ；〔D〕 .2．C

z2,如果函數(shù)f(z)〔A〕,如此 f(z)dz0．C1 sinz 1 1〔A〕

z1； 〔B〕 z

C(z3)2

D(z1)2.3．如果級(jí)數(shù)

n1

czn

在z

點(diǎn)收斂,如此級(jí)數(shù)在<C >〔A

2點(diǎn)條件收斂； 〔B〕z點(diǎn)絕對(duì)收斂；〔C〕z1i點(diǎn)絕對(duì)收斂； 〔D〕z1點(diǎn)一定發(fā)散．４．如下結(jié)論正確的答案是< C >〔A〕如果函數(shù)

f(z)在z點(diǎn)可導(dǎo),如此f(z)在z點(diǎn)一定解析；0 0<B>如果C

f(z)dz0Cf(zC〔Cf(zzzz的冪級(jí)數(shù),0 0而且展開(kāi)式是唯一的；〔Df(zu(xyiv(xyu(xy、v(xy在該區(qū)域內(nèi)均為調(diào)和函數(shù)．5．如下結(jié)論不正確的答案是〔 C 〔A〕lnz 是復(fù)平面上的多值函數(shù)；〔B〕cosz 是無(wú)界函數(shù)；〔CsinzD

z是周期函數(shù)．得分三．按要求完成如下各題〔每一小題10分,共計(jì)40分〕〔1〕求 使 是解析函數(shù)a,b,c,d f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2〔1〕求 使 是解析函數(shù)解：因?yàn)?/p>

f(z)解析,由C-R條件,a2,d2, a2c,2bd,cb,給出C-R條件6分,正確求導(dǎo)給2分,結(jié)果正確2分.1〔2

z(z

dzCz

2；解：此題可以用柯西公式\柯西高階導(dǎo)數(shù)公式計(jì)算也可用留數(shù)計(jì)算洛朗展開(kāi)計(jì)算,僅給出用前者計(jì)算過(guò)程因?yàn)楹瘮?shù)

f(z)

1(z2z

z0,z1

12

z,z1

2為圓心畫(huà)互不相 交

不 包 含 的 小 圓1

c1

2 且 位 于 c 內(nèi) 1 dz

(z1)2

dz

z dzC(z1)2z

C z C1

(z1)2〔3

1 z3ezCz)

dzCz2；解：設(shè)f(z)在有限復(fù)平面內(nèi)所有奇點(diǎn)均在：z2內(nèi),由留數(shù)定理 f(z)dzRef(z),]z2 〔5(z21)(z2)3〔4〕函數(shù)

f(z)

(sinz)3 級(jí).得分給出全部奇點(diǎn)給5分.其他酌情給分.得分14

f(z)

1z2(z在以下區(qū)域內(nèi)展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)；〔1〕0z11,〔2〕0z1,〔3〕1z〔1〕0z11,〔20z1,〔3〕1z1〕當(dāng)0z11[ 1 而(z

[