2020年高中數(shù)學(xué)新教材變式題13 概率與統(tǒng)計

十三、《概率與統(tǒng)計》變式題(命題人：廣州市第三中學(xué)劉窗洲)審校人張志紅1.(人教A版選修2-3第66頁例4)某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是0.8，求這名射手在10次射擊中，(1)恰有8次擊中目標(biāo)的概率；(2)至少有8次擊中目標(biāo)的概率？變式1：某人參加一次考試，4道題中解對3道則為及格，已知他的解題正確率為0.4，則他能及格的概率為【解析】他能及格則要解對4道題中解對3道或4道:解對3道的概率為：P(A)二C30.43?0.6,4解對4道的概率為：P(B)二C40.44,且A與B互斥，他能及格的概率為4P(A+B)二C30.43?0.6+C40.44.44變式2：設(shè)甲、已、丙三人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為0.7、0.6和0.5。三人各向目標(biāo)射擊一次，求至少有一人命中目標(biāo)的概率及恰有兩人命中目標(biāo)的概率；若甲單獨向目標(biāo)射擊三次，求他恰好命中兩次的概率．【解析】(I)設(shè)Ak表示“第k人命中目標(biāo)”，k=1,2,3.這里，A，A，A獨立，且P(A)=0.7，P(A)=0.6，P(A)=0.5.TOC\o"1-5"\h\z123123從而，至少有一人命中目標(biāo)的概率為-P(A?A?A)=1-P(A)P(A)P(A)=1-0.3X0.4X0.5=0.94123123恰有兩人命中目標(biāo)的概率為P(A?A?A+A?A?A+A?A?A)123_123_123_=P(A?A?A)+P(A?A?A)+P(A?A?A)123_123_123_=P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)+P(A)P(A)P(A)123123123=0.7x0.6x0.5+0.7x0.4x0.5+0.3x0.6x0.5=0.44答：至少有一人命中目標(biāo)的概率為0.94，恰有兩人命中目標(biāo)的概率為0.44.(II)設(shè)甲每次射擊為一次試驗，從而該問題構(gòu)成三次重復(fù)獨立試驗又已知在每次試驗中事件

命中目標(biāo)”發(fā)生的概率為0.7，故所求概率為P(2)二C2(0.7)2(0.3)二0.441.33答：他恰好命中兩次的概率為0.441.變式3：在2020年雅典奧運會中，中國女排與俄羅斯女排以“五局三勝”制進(jìn)行決賽，根據(jù)以往戰(zhàn)況，中國女排在每一局贏的概率為3,已知比賽中，俄羅斯女排先勝了每一局，求：中國女排在這種情況下取勝的概率；求本場比賽只打四局就結(jié)束的概率．(均用分?jǐn)?shù)作答)3)3解析】(1)中國女排取勝的情況有兩種，第一種是中國女排連勝三局，第二種是在第2局到第4局，中國女排贏了兩局，第5局中國女排贏，???中國女排取勝的概率為廠(3)23_3)3+C2?()2??=3555625(2)。?(2)2?3+(3)3二竺(2)555125變式4：一個質(zhì)地不均勻的硬幣拋擲5次,正面向上恰為1次的可能性不為0,而且與正面向上恰i為2次的概率相同.令既約分?jǐn)?shù)=為硬幣在5次拋擲中有3次正面向上的概率，求i+j.j【解析】設(shè)正面向上的概率為P,依題意：C1pG—P丄=C2P2(L—P》，1—P=2P,解得：P=j,硬幣在5次拋擲中有3次正面向上的概率為：402432.(人教A版選修2-3第77頁例4)隨機(jī)拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，求向上一面的點數(shù)X的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。

變式1：設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率為0.8,現(xiàn)在連續(xù)射擊4次，求擊中目標(biāo)的次數(shù)E的概率分布．【解析】擊中目標(biāo)的次數(shù)E可能為0,1,2,3,4。當(dāng)2=0時，P￡=0)=C00.24,4當(dāng)2=1時，P《二1)=C10.81-0.23,4當(dāng)2=2時，P&=2)=C20.82?0.22,4當(dāng)2=3時，P《二3)=C30.83?0.21,4當(dāng)2=4時，P￡=4)=C40.84,4所以2的分布列為：201234PC00.24C10.81?0.23C20.82?0.22C30.83?0.21C40.8444444變式2：袋中有12個大小規(guī)格相同的球，其中含有2個紅球，從中任取3個球，求取出的3個球中紅球個數(shù)2的概率分布．解析】2的所有可能的取值為：0，1，2．當(dāng)2=0時，P《二0)=僉,C312當(dāng)2=1時，P《二1)=￡10,C312評述：當(dāng)2=2時，p￡=2)二(2^0,評述：2012C3C1C2C2C1P—10—2_10—2_10C3C3C312121212C3C1C2C2C1120+90+1010+—2—10+—2_10==1.C3C3C3220121212變式3：從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量E表示所選3人中女生的人數(shù).求g的分布列；求g的數(shù)學(xué)期望；求“所選3人中女生人數(shù)g<1”的概率.”Ck-C3-k"【解析】(1)g可能取的值為0,1,2。P(g=k)=24,k=0,1,2.C36所以,g的分布列為g012P13155531(2)由(1),g的數(shù)學(xué)期望為Eg=Ox5+1x5+2x5=1由(1),“所選3人中女生人數(shù)g<1”的概率為4p(g<1)=p(g=0)+p(g=1)=5.變式4：甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題乙能答對其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測試,至少答對2題才算合格.(I)求甲答對試題數(shù)e的概率分布及數(shù)學(xué)期望；(II)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.【解析】(I)依題意，甲答對試題數(shù)e的概率分布如下:e0123p1311301026甲答對試題數(shù)e的數(shù)學(xué)期望13119ee=0x30+1X10+2X2+3X6=5.(II)設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B,則C2C1+C360+202C2C1+C356+5614P(A)=6~44==,P(B)二C31203C3120151010因為事件A、B相互獨立，方法一：???甲、乙兩人考試均不合格的概率為P(A-B)=P(A)P(b)=1--)(1——)=—.1545.??甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為p=i-p(a-b)=1-45=445454544答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為石.方法二：?甲、乙兩人至少有一個考試合格的概率為P=P(A?B)+P(A?B)+P(A?B)=P(A)P(B)+P(A)P(B)+P(A)P(B)TOC\o"1-5"\h\z111421444=X+—X+—X=.153153154544答：甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為453.(人教A版選修2-3第86頁B組2)若X?N(5,1)，求P(6<X<7)。變式1：隨機(jī)變量乙服從正態(tài)分布N(0,1),如果P(?1)=0.8413,求P(-1<^<0).【解析SN(0,1),?P(―1<{<0)=P(0<{<1)=0(1)—0(0)=0.8413—0.5=0.3413.變式2：一投資者在兩個投資方案中選擇一個，這兩個投資方案的利潤x(萬元)分別服從正態(tài)分布N(8,32)和N(6,22),投資者要求利潤超過5萬元的概率盡量地大，那么他應(yīng)選擇哪一個方案?【解析】對第一個方案，有x?N(8,32),于是P(x>5)=1-P(x<5=1-F(5)=1-05一8—)=1-0(-1)=1—[1—0(1)]=0(1)=0.8413.35一6對第二個方案，有x?N(6,22),于是P(x>5)=1—P(x<5)=1_F(5)=1—⑦(亠6)2=1—0(—0.5)二①(0.5)=0.6915.相比之下，“利潤超過5萬元”的概率以第一個方案為好，可選第一個方案.變式3：在某校舉行的數(shù)學(xué)競賽中，全體參賽學(xué)生的競賽成績近似服從正態(tài)分布N(70,100).已知成績在90分以上(含90分)的學(xué)生有12名.試問此次參賽的學(xué)生總數(shù)約為多少人？若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學(xué)生，試問設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線約為多少分？可供査閱的(部分)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表叫)=PC<x0)x001234567891.20.88490.88690.88880.89070.89250.89440.89620.89800.89970.90151.30.90320.90490.90660.90820.90990.91150.91310.91470.91620.91771.40.91920.92070.92220.92360.92510.92650.92780.92920.93060.93191.90.97130.97190.97260.97320.97380.97440.97500.97560.97620.97672.00.97720.97780.97830.97880.97930.97980.98030.98080.98120.98172.10.98210.98260.98300.98340.98380.98420.98460.98500.98540.9857【解析】：本小題主要考查正態(tài)分布，對獨立事件的概念和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查閱，考查運用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力．【解答】(I)設(shè)參賽學(xué)生的分?jǐn)?shù)為E，因為E?N(70,100),由條件知，P(g>90)=1—P(g<90)=1—F(90)=1—①P0］。70)=1—①(2)=1—0.9772=0.228.這說明成績在90分以上(含90分)的學(xué)生人數(shù)約占全體參賽人數(shù)的2.28％，因此，12參賽總?cè)藬?shù)約為-526(人).0.0228(II)假定設(shè)獎的分?jǐn)?shù)線為x分，則x一7050P(g>x)=1—P(g<x)=1—F(x)=1—①(―10—)=526=0.0951，即即①（^lO70）=0-9°49,查表得Xi070-1.31，解得x=83.1.故設(shè)獎得分?jǐn)?shù)線約為83.1分．4.(人教A版選修2-3第100頁例2)一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)，現(xiàn)收集了7組觀測數(shù)據(jù)列于表中，試建立y與x之間的回歸方程。溫度x/°C21232527293235產(chǎn)卵數(shù)y/個711212466115325變式1：為了對2020年佛山市中考成績進(jìn)行分析，在60分以上的全體同學(xué)中隨機(jī)抽出8位，他們的數(shù)學(xué)(已折算為百分制)、物理、化學(xué)分?jǐn)?shù)對應(yīng)如下表，學(xué)生編號12345678數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)x6065707580859095物理分?jǐn)?shù)y7277808488909395化學(xué)分?jǐn)?shù)z6772768084879092(1)若規(guī)定85分(包括85分)以上為優(yōu)秀，求這8位同學(xué)中數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的概率；用變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)說明物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的相關(guān)程度；求y與x、z與x的線性回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，并用相關(guān)指數(shù)比較所求回歸模型的效果.參考數(shù)據(jù)：x=77.5，y=85，z=81，￡（x一X）2?105°，X（y-y）2=456，iiTOC\o"1-5"\h\zi=1i=1￡（z一z）2u55°，￡（x一x）（y一y）u688，￡（x一X）（z一z）~755，￡（y-y）2~7,iiiiiii=1i=1i=1i=1￡（z—z）2u94，v'1°5°u32.4^.''456u21.4,J550u23.5.iii=1解答：(1)由表中可以看出，所選出的8位同學(xué)中，數(shù)學(xué)和物理分?jǐn)?shù)均為優(yōu)秀的人數(shù)是3人，其概率是33分8(2)變量y與x、z與x的相關(guān)系數(shù)分別是68832.4x21.4?68832.4x21.4?0.9975532.4x23.5可以看出，物理與數(shù)學(xué)、化學(xué)與數(shù)學(xué)的成績都是高度正相關(guān).5分6分(3)設(shè)y與x、z與x的線性回歸方程分別是y=bx+a、z=b'x+a'.688根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，可以計算出b==0.65,a=85-0.65*77.5=34.63,1050