大學物理剛體力學基礎課件

二、

剛體定軸轉動的描述

若物體在運動過程中，其所有的質元都繞某一直線作圓周運動，這種運動稱之為轉動。該直線稱為轉軸。

二、剛體定軸轉動的描述若物體在運動過程中，其所1

若轉動軸固定不動，即既不能改變方向又不能平移，這個轉軸為固定軸，這種轉動稱為定軸轉動。

我們只討論定軸轉動。OZ１、轉動瞬軸、定軸轉動

若轉軸的方向或位置在運動過程中變化，這個軸在某個時刻的位置稱為該時刻的轉動瞬軸。

若轉動軸固定不動，即既不能改變方向又不能平移，這個轉軸2垂直于轉動軸的平面為轉動平面。

１）角量描述：角位移角速度角加速度

由于這時組成剛體的各質點均在各自的轉動平面內繞軸作圓周運動，因此前面關于質點圓周運動的全套描述方法，此處全部可用。

以轉動平面與軸的交點為原點，任引一射線為極軸，原點引向考察點的矢徑與極軸的夾角為角位置，并引入0x2、定軸轉動的角量描述垂直于轉動軸的平面為轉動平面。１）角量描述：角位移角速度3２)剛體定軸轉動的特點所有質點的角量都相同

；質點的線量與該質點的軸矢徑大小成正比

。２)剛體定軸轉動的特點所有質點的角量都相同；4一、力矩1、力對固定點的力矩

1）定義：作用于質點的力對慣性系中某參考點的力矩，等于力的作用點對該點的位矢與力的矢積，即

力矩是矢量，M

的方向垂直于r和F所決定的平面，其指向用右手螺旋法則確定。2）力矩的單位、牛·米(N·m)om3-2力矩

剛體定軸轉動的轉動定律一、力矩1、力對固定點的力矩1）定義：作用于質點的力對慣53）力矩的計算：

M的大小、方向均與參考點的選擇有關※在直角坐標系中，其表示式為3）力矩的計算：M的大小、方向均與參考點的選擇有關※6

力矩在x,y,z軸的分量式，稱力對軸的矩。例如上面所列Ｍx,My,Mz

,即為力對Ｘ軸、Ｙ軸、Ｚ軸的矩。

２、力對軸的矩：

設力Ｆ的作用線就在Z軸的轉動平面內，作用點到Ｚ軸的位矢為r，則力對Ｚ軸的力矩為·式中為力F到軸的距離若力的作用線不在轉動在平面內，則只需將力分解為與軸垂直、平行的兩個分力即可。rF力矩在x,y,z軸的分量式，稱力對軸的矩。例如上面所列71.力對固定點的力矩為零的情況：

力F等于零，力F的作用線與矢徑r共線（力F的作用線穿過0點,即，有心 力對力心的力矩恒為零）。2.力對固定軸的力矩為零的情況：

有兩種情況,B）力的方向沿矢徑的方向（）有心力的力矩為零A)1.力對固定點的力矩為零的情況： 力F等于零，2.力對固定軸83.質點系內一對內力對任一點的力矩之矢量和為零3.質點系內一對內力對任一點的力矩之矢量和為零9二、剛體定軸轉動的轉動定律：剛體繞定軸轉動，在剛體上取一質元，繞軸作半徑的圓周運動，作用在質點上的合力矩由牛頓第二定律可知則質點所受力矩二、剛體定軸轉動的轉動定律：剛體繞定軸轉動，在剛體上取一質10對剛體所受所有力矩求和得：由于剛體各質點相對軸距離不變，令對剛體所受所有力矩求和得：由于剛體各質點相對軸距離不變，令112、剛體定軸轉動的轉動定理

作定軸轉動的剛體，其轉動角加速度與外力對該軸的力矩之和成正比，與剛體對該軸的轉動慣量成反比。其在定軸轉動中的地位與牛頓定律在質點運動中地位相當。

轉動定律說明了J是物體轉動慣性大小的量度。因為：2、剛體定軸轉動的轉動定理作定軸轉動的剛體，其轉動角加速12即J越大的物體，保持原來轉動狀態(tài)的性質就越強，轉動慣性就越大；反之，J越小，越容易改變其轉動狀態(tài)，保持原有狀態(tài)的能力越弱，或者說轉動慣性越小。

如一個外徑和質量相同的實心圓柱與空心圓筒，若受力和力矩一樣，誰轉動得快些呢？MM即J越大的物體，保持原來轉動狀態(tài)的性質就越強，轉動慣性13

轉動慣量計算舉例：轉動慣量的單位：千克·米2（kg·m2）4、轉動慣量的計算對于單個質點質點系若物體質量連續(xù)分布，轉動慣量計算舉例：轉動慣量的單位：千克·米2（kg·m214解(1)轉軸通過棒的中心并與棒垂直例如圖所示，求質量為m，長為l的均勻細棒的轉動慣量：(1)轉軸通過棒的中心并與棒垂直；(2)轉軸通過棒一端并與棒垂直.在棒上任取一質元，其長度為dx，距軸O的距離為x，設棒的線密度(即單位長度上的質量)為

，則該質元的質量dm＝λdx.該質元對中心軸的轉動慣量為整個棒對中心軸的轉動慣量為解例如圖所示，求質量為m，長為l的均勻細棒的轉動慣量：在棒15(2)轉軸通過棒一端并與棒垂直時，整個棒對該軸的轉動慣量為由此看出，同一均勻細棒，轉軸位置不同，轉動慣量不同.(2)轉軸通過棒一端并與棒垂直時，整個棒對該軸的轉動慣量為由16解(1)求質量為m，半徑為R的圓環(huán)對中心軸的轉動慣量.如圖2.36(a)所示，在環(huán)上任取一質元，其質量為dm，該質元到轉軸的距離為R，則該質元對轉軸的轉動慣量為考慮到所有質元到轉軸的距離均為R，所以細圓環(huán)對中心軸的轉動慣量為例設質量為m，半徑為R的細圓環(huán)和均勻圓盤分別繞通過各自中心并與圓面垂直的軸轉動，求圓環(huán)和圓盤的轉動慣量.解(1)求質量為m，半徑為R的圓環(huán)對中心軸的轉動慣量.如圖17則整個圓盤對中心軸的轉動慣量為(2)求質量為m，半徑為R的圓盤對中心軸的轉動慣量.整個圓盤可以看成許多半徑不同的同心圓環(huán)構成.為此，在離轉軸的距離為r處取一小圓環(huán)，如圖2.36(b)所示，其面積為dS＝2πrdr，設圓盤的面密度(單位面積上的質量)

，則小圓環(huán)的質量dm＝σdS＝σ2πrdr，該小圓環(huán)對中心軸的轉動慣量為以上計算表明，質量相同，轉軸位置相同的剛體，由于質量分布不同，轉動慣量不同.則整個圓盤對中心軸的轉動慣量為(2)求質量為m，半徑為R的圓18(2)質量元的選?。壕€分布面分布

體分布(1)剛體的轉動慣量

以上各例說明：線分布體分布面分布與剛體的總質量有關，與剛體的質量分布有關，與軸的位置有關。(2)質量元的選?。壕€分布面分布體分布(1)剛體的轉動慣19(3)由于剛體是一個特殊質點系，即各質點之間無相對位移，對于給定的剛體其質量分布不隨時間變化，故對于

定軸而言，剛體的轉動慣量是一個常數。(3)由于剛體是一個特殊質點系，即各質點之間無相對位移，對20例如圖(a)所示，質量均為m的兩物體A，B.A放在傾角為α的光滑斜面上，通過定滑輪由不可伸長的輕繩與B相連.定滑輪是半徑為R的圓盤，其質量也為m.物體運動時，繩與滑輪無相對滑動.求繩中張力和及物體的加速度a(輪軸光滑).解物體A，B，定滑輪受力圖見圖2.37(b).對于作平動的物體A，B，分別由牛頓定律得對定滑輪，由轉動定律得例如圖(a)所示，質量均為m的兩物體A，B.A放在傾角21由于繩不可伸長，所以聯立式①，②，③，④，⑤得由于繩不可伸長，所以聯立式①，②，③，④，⑤得22例轉動著的飛輪的轉動慣量為J，在t＝0時角速度為.此后飛輪經歷制動過程，阻力矩M的大小與角速度ω的平方成正比，比例系數為k(k為大于零的常數)，當ω＝

時，飛輪的角加速度是多少？從開始制動到現在經歷的時間是多少？解(1)由題知，故由轉動定律有即將代入，求得這時飛輪的角加速度為例轉動著的飛輪的轉動慣量為J，在t＝0時角速度為23(2)為求經歷的時間t，將轉動定律寫成微分方程的形式，即分離變量，并考慮到t＝0時，

，兩邊積分故當時，制動經歷的時間為(2)為求經歷的時間t，將轉動定律寫成微分方程的形式，即分離241、轉動動能

可見，剛體的轉動動能等于剛體的轉動慣量與角速度平方乘積的一半。注意比較轉動動能平動動能i質點的動能

整個剛體的動能—對i求和3-3剛體定軸轉動的動能定理1、轉動動能可見，剛體的轉動動能等于剛體的轉動慣量252、力矩的功對于i質點其受外力為Fi，對i求和，當整個剛體轉動d

，則力矩的元功

式中M為作用于剛體上外力矩之和---其表明：力矩的元功等于力矩與角位移之乘積（∵內力矩之和為零）

∴當剛體轉過有限角時，力矩的功為2、力矩的功對于i質點其受外力為Fi，對i求和，當263、剛體定軸轉動的動能定理：力矩對剛體所做的功，等于剛體轉動動能的增量。3、剛體定軸轉動的動能定理：力矩對剛體所做的功，等于剛體轉274、剛體的勢能其中m為剛體的總質量,yc為剛體質心的高度。

質量分布均勻而有一定幾何形狀的剛體，質心的位置為它的幾何中心。OXYmiMC4、剛體的勢能其中m為剛體的總質量,yc為剛體質心的高度。28例如圖所示，一根質量為m，長為l的均勻細棒OA，可繞固定點O在豎直平面內轉動.今使棒從水平位置開始自由下擺，求棒擺到與水平位置成30°角時中心點C和端點A的速度.解棒受力如圖2.39所示，其中重力G對O軸的力矩大小等于，是θ的函數，軸的支持力對O軸的力矩為零.由轉動動能定理，有等式左邊的積分為重力矩的功.即式中

是棒的質心所在處相對棒的質心C在最低點(即棒在豎直位置處)的高度.

例如圖所示，一根質量為m，長為l的均勻細棒OA，可繞固定點29則中心點C和端點A的速度分別為將及

代入①式，得則中心點C和端點A的速度分別為將30§3-4剛體定軸轉動的角動量定理

角動量守恒定律§3-4剛體定軸轉動的角動量定理31一、

質點的角動量

在質點的勻速圓周運動中，動量mv不守恒，但角動量的引入：開普勒行星運動定律的面積定律

許多實例都說明是一個獨立的物理量，再考慮到行星的質量m為恒量，一、質點的角動量在質點的勻速圓周運動中，動量m32

在描述行星的軌道運動，自轉運動，衛(wèi)星的軌道運動及微觀粒子的運動中都具有獨特作用。因此必須引入一個新的物理量－－角動量L，來描述這一現象。

衛(wèi)星地球+在描述行星的軌道運動，自轉運動，衛(wèi)星33１、質點對固定點的角動量

動量為mv的質點，對慣性系內某參考點0的角動量，等于質點對該參考點的位矢r與其動量mv的矢積。

角動量是矢量，角動量L

的方向垂直于r和mv所組成的平面，其指向可用右手螺旋法則確定。注意：為表示是對哪個參考點的角動量，通常將角動量L畫在參考點上。L的大小為·L１、質點對固定點的角動量動量為mv的質點，對慣34★角動量的單位是：千克·米2·秒-1(kg·m2·s-1)。

★當質點作圓周運動時,有v=r,且r與v互相垂直，故有★是相對量：與參照系的選擇有關，與參考點的選擇有關L＝rmv=mr2★角動量的定義并沒有限定質點只能作曲線運動而不能作直線運動?！锝莿恿康膯挝皇牵呵Э恕っ?·秒-1(kg·m2·s-1352、質點對軸的角動量☆假定質點的動量就在轉動平面內，且質點對軸的矢徑為r，則質點對z軸的角動量為，方向沿z軸，可正、可負☆質點動量不在轉動平面內，則只需考慮動量在轉動平面內的分量；或運用坐標分量式求得：2、質點對軸的角動量☆假定質點的動量就在轉動平面內，且質點36

質點的角動量定理１、對點的角動量定理（微分形式）若用r叉乘牛頓定律即式中r是質點對參考點o的位矢。

又于是有或

即：作用在質點上的力矩等于質點角動量對時間的變化率。此即質點對固定點的角動量定理。質點的角動量定理１、對點的角動量定理（微分形式）若用37２、角動量定理的積分形式：

叫沖量矩*：M和L必須是對同一點而言a、對點的角動量守恒律若，則

質點所受外力對某參考點的力矩為零，則質點對該參考點的角動量守恒。這就是質點的角動量守恒定律。

外力距對某固定點的沖量距等于質點對該點的角動量的增量。＊若質點受有心力作用，則該質點對力心的角動量一定守恒。質點角動量守恒定律２、角動量定理的積分形式：叫沖量矩*：M和L38b、對軸的角動量守恒律：

若Mz=0，則Lz=常數，即若力矩在某軸上的分量為零（或力對某軸的力矩為零），則質點對該軸的角動量守恒。b、對軸的角動量守恒律：若Mz=0，則Lz39二、

質點系的角動量定理1、質點系對固定點的角動量定理i質點對固定點O的角動量定理設有一質點系，共有n個質點，其第i個質點受力為則i質點對固定點o的角動量定理為二、質點系的角動量定理1、質點系對固定點的角動量定理40對i求和——質點系對固定點O的角動量定理由于內力成對出現，每對內力對O的力矩之和為零，因此內力矩之總和為零，于是有（i)內力矩對系統(tǒng)的總角動量無貢獻，（與質點系的動量定理相似）對i求和——質點系對固定點O的角動量定理由于內力成對出現41(iii)質點系對固定點的角動量定理的物理意義：質點系對o點的角動量隨時間的變化率等于外力對該點力矩的矢量和。(ii)在質點系的情況下，求外力對固定點的力矩之和時，不能先求合力，再求合力矩。只能說外力矩之和不能說合外力之矩。(iii)質點系對固定點的角動量定理的物理意義：質點系對422、質點系對軸的角動量定理如果將作用于質點系上的外力矩之矢量和及質點系的角動量分別向給定軸投影，即可得質點系對軸的角動量定理。

式中ri為i質點到z軸的距離，i

是vi與ri間的夾角。若質點系內各質點均繞同一軸、并以相同角速度作圓周運動，則這時則有

為簡單記只討論沿z軸的角動量定理——這時組成質點系的n個質點位于z軸的轉動平面內，于是有2、質點系對軸的角動量定理如果將作用于質點系上的外力矩之矢43將其與線動量 相比

m

表示物體的平動慣性，則J表示轉動慣性，故將命名為對軸的轉動慣量，（式中ri

為mi

到軸的距離）即：若質點系內各質點均繞同一軸、并以相同角速度作圓周運動，則這時系統(tǒng)對軸的角動量為此時質點系對軸的角動量定理為將其與線動量 相比m表示物體的平動慣性，則J441、對軸的角動量定理已知質點對軸的角動量定理的積分形式為可以證明，這個結論對剛體定軸轉動同樣成立，同時考慮到

即：剛體所受合外力矩的沖量矩等于剛體在這段時間內角動量的增量。這一關系稱剛體的角動量定理。三、

剛體組對軸的角動量定理及其守恒定律1、對軸的角動量定理已知質點對軸的角動量定理的積分形式為452、定軸轉動的角動量守恒若Mz外＝0，

若外力對Ｚ軸的力矩為零，則剛體（或剛體組）對Ｚ軸的角動量守恒，稱之為剛體對軸的角動量守恒定律。

若為剛體，當角動量守恒時，因J＝常數，則亦為常數，這與轉動定律是一致的。2、定軸轉動的角動量守恒若Mz外＝0，若外力對Ｚ463、物體組內各質點以相同角速度繞同一軸轉動時的角動量守恒

J

可變，ω亦可變，但仍有Jω=常數，故有3、物體組內各質點以相同角速度繞同一軸轉動時的角動量守恒474、剛體組繞同一軸轉動時的角動量守恒總角動量4、剛體組繞同一軸轉動時的角動量守恒總角動量48解此題可分解為三個簡單過程：(1)棒由水平位置下擺至豎直位置但尚未與物塊相碰.此過程機械能守恒.以棒、地球為一系統(tǒng)，以棒的重心在豎直位置時為重力勢能零點，則有例如圖，質量為m，長為l的均勻細棒，可繞過其一端的水平軸O轉動.現將棒拉到水平位置(OA′)后放手，棒下擺到豎直位置(OA)時，與靜止放置在水平面A處的質量為M的物塊作完全彈性碰撞，物體在水平面上向右滑行了一段距離s后停止.設物體與水平面間的摩擦系數μ處處相同，求證解此題可分解為三個簡單過程：(1)棒由水平位置下擺至豎直位49(2)棒與物塊作完全彈性碰撞，此過程角動量守恒(并非動量守恒)和機械能守恒，設碰撞后棒的角速度為ω′，物塊速度為v，則有(3)碰撞后物塊在水平面滑行，其滿足動能定理聯立以上四式，即可證得：(2)棒與物塊作完全彈性碰撞，此過程角動量守恒(并非動量守恒50

平動

轉動

動量

角動量動量定理

角動量定理

動量守恒定律

角動量守恒定律

動能定理

動能定理

機械能守恒定律條件：（或只有保守力作功）

質點平動與剛體定軸轉動的對應關系平動51謝謝！52謝謝！525353二、

剛體定軸轉動的描述

若物體在運動過程中，其所有的質元都繞某一直線作圓周運動，這種運動稱之為轉動。該直線稱為轉軸。

二、剛體定軸轉動的描述若物體在運動過程中，其所54

若轉動軸固定不動，即既不能改變方向又不能平移，這個轉軸為固定軸，這種轉動稱為定軸轉動。

我們只討論定軸轉動。OZ１、轉動瞬軸、定軸轉動

若轉軸的方向或位置在運動過程中變化，這個軸在某個時刻的位置稱為該時刻的轉動瞬軸。

若轉動軸固定不動，即既不能改變方向又不能平移，這個轉軸55垂直于轉動軸的平面為轉動平面。

１）角量描述：角位移角速度角加速度

由于這時組成剛體的各質點均在各自的轉動平面內繞軸作圓周運動，因此前面關于質點圓周運動的全套描述方法，此處全部可用。

以轉動平面與軸的交點為原點，任引一射線為極軸，原點引向考察點的矢徑與極軸的夾角為角位置，并引入0x2、定軸轉動的角量描述垂直于轉動軸的平面為轉動平面。１）角量描述：角位移角速度56２)剛體定軸轉動的特點所有質點的角量都相同

；質點的線量與該質點的軸矢徑大小成正比

。２)剛體定軸轉動的特點所有質點的角量都相同；57一、力矩1、力對固定點的力矩

1）定義：作用于質點的力對慣性系中某參考點的力矩，等于力的作用點對該點的位矢與力的矢積，即

力矩是矢量，M

的方向垂直于r和F所決定的平面，其指向用右手螺旋法則確定。2）力矩的單位、牛·米(N·m)om3-2力矩

剛體定軸轉動的轉動定律一、力矩1、力對固定點的力矩1）定義：作用于質點的力對慣583）力矩的計算：

M的大小、方向均與參考點的選擇有關※在直角坐標系中，其表示式為3）力矩的計算：M的大小、方向均與參考點的選擇有關※59

力矩在x,y,z軸的分量式，稱力對軸的矩。例如上面所列Ｍx,My,Mz

,即為力對Ｘ軸、Ｙ軸、Ｚ軸的矩。

２、力對軸的矩：

設力Ｆ的作用線就在Z軸的轉動平面內，作用點到Ｚ軸的位矢為r，則力對Ｚ軸的力矩為·式中為力F到軸的距離若力的作用線不在轉動在平面內，則只需將力分解為與軸垂直、平行的兩個分力即可。rF力矩在x,y,z軸的分量式，稱力對軸的矩。例如上面所列601.力對固定點的力矩為零的情況：

力F等于零，力F的作用線與矢徑r共線（力F的作用線穿過0點,即，有心 力對力心的力矩恒為零）。2.力對固定軸的力矩為零的情況：

有兩種情況,B）力的方向沿矢徑的方向（）有心力的力矩為零A)1.力對固定點的力矩為零的情況： 力F等于零，2.力對固定軸613.質點系內一對內力對任一點的力矩之矢量和為零3.質點系內一對內力對任一點的力矩之矢量和為零62二、剛體定軸轉動的轉動定律：剛體繞定軸轉動，在剛體上取一質元，繞軸作半徑的圓周運動，作用在質點上的合力矩由牛頓第二定律可知則質點所受力矩二、剛體定軸轉動的轉動定律：剛體繞定軸轉動，在剛體上取一質63對剛體所受所有力矩求和得：由于剛體各質點相對軸距離不變，令對剛體所受所有力矩求和得：由于剛體各質點相對軸距離不變，令642、剛體定軸轉動的轉動定理

作定軸轉動的剛體，其轉動角加速度與外力對該軸的力矩之和成正比，與剛體對該軸的轉動慣量成反比。其在定軸轉動中的地位與牛頓定律在質點運動中地位相當。

轉動定律說明了J是物體轉動慣性大小的量度。因為：2、剛體定軸轉動的轉動定理作定軸轉動的剛體，其轉動角加速65即J越大的物體，保持原來轉動狀態(tài)的性質就越強，轉動慣性就越大；反之，J越小，越容易改變其轉動狀態(tài)，保持原有狀態(tài)的能力越弱，或者說轉動慣性越小。

如一個外徑和質量相同的實心圓柱與空心圓筒，若受力和力矩一樣，誰轉動得快些呢？MM即J越大的物體，保持原來轉動狀態(tài)的性質就越強，轉動慣性66

轉動慣量計算舉例：轉動慣量的單位：千克·米2（kg·m2）4、轉動慣量的計算對于單個質點質點系若物體質量連續(xù)分布，轉動慣量計算舉例：轉動慣量的單位：千克·米2（kg·m267解(1)轉軸通過棒的中心并與棒垂直例如圖所示，求質量為m，長為l的均勻細棒的轉動慣量：(1)轉軸通過棒的中心并與棒垂直；(2)轉軸通過棒一端并與棒垂直.在棒上任取一質元，其長度為dx，距軸O的距離為x，設棒的線密度(即單位長度上的質量)為

，則該質元的質量dm＝λdx.該質元對中心軸的轉動慣量為整個棒對中心軸的轉動慣量為解例如圖所示，求質量為m，長為l的均勻細棒的轉動慣量：在棒68(2)轉軸通過棒一端并與棒垂直時，整個棒對該軸的轉動慣量為由此看出，同一均勻細棒，轉軸位置不同，轉動慣量不同.(2)轉軸通過棒一端并與棒垂直時，整個棒對該軸的轉動慣量為由69解(1)求質量為m，半徑為R的圓環(huán)對中心軸的轉動慣量.如圖2.36(a)所示，在環(huán)上任取一質元，其質量為dm，該質元到轉軸的距離為R，則該質元對轉軸的轉動慣量為考慮到所有質元到轉軸的距離均為R，所以細圓環(huán)對中心軸的轉動慣量為例設質量為m，半徑為R的細圓環(huán)和均勻圓盤分別繞通過各自中心并與圓面垂直的軸轉動，求圓環(huán)和圓盤的轉動慣量.解(1)求質量為m，半徑為R的圓環(huán)對中心軸的轉動慣量.如圖70則整個圓盤對中心軸的轉動慣量為(2)求質量為m，半徑為R的圓盤對中心軸的轉動慣量.整個圓盤可以看成許多半徑不同的同心圓環(huán)構成.為此，在離轉軸的距離為r處取一小圓環(huán)，如圖2.36(b)所示，其面積為dS＝2πrdr，設圓盤的面密度(單位面積上的質量)

，則小圓環(huán)的質量dm＝σdS＝σ2πrdr，該小圓環(huán)對中心軸的轉動慣量為以上計算表明，質量相同，轉軸位置相同的剛體，由于質量分布不同，轉動慣量不同.則整個圓盤對中心軸的轉動慣量為(2)求質量為m，半徑為R的圓71(2)質量元的選取：線分布面分布

體分布(1)剛體的轉動慣量

以上各例說明：線分布體分布面分布與剛體的總質量有關，與剛體的質量分布有關，與軸的位置有關。(2)質量元的選?。壕€分布面分布體分布(1)剛體的轉動慣72(3)由于剛體是一個特殊質點系，即各質點之間無相對位移，對于給定的剛體其質量分布不隨時間變化，故對于

定軸而言，剛體的轉動慣量是一個常數。(3)由于剛體是一個特殊質點系，即各質點之間無相對位移，對73例如圖(a)所示，質量均為m的兩物體A，B.A放在傾角為α的光滑斜面上，通過定滑輪由不可伸長的輕繩與B相連.定滑輪是半徑為R的圓盤，其質量也為m.物體運動時，繩與滑輪無相對滑動.求繩中張力和及物體的加速度a(輪軸光滑).解物體A，B，定滑輪受力圖見圖2.37(b).對于作平動的物體A，B，分別由牛頓定律得對定滑輪，由轉動定律得例如圖(a)所示，質量均為m的兩物體A，B.A放在傾角74由于繩不可伸長，所以聯立式①，②，③，④，⑤得由于繩不可伸長，所以聯立式①，②，③，④，⑤得75例轉動著的飛輪的轉動慣量為J，在t＝0時角速度為.此后飛輪經歷制動過程，阻力矩M的大小與角速度ω的平方成正比，比例系數為k(k為大于零的常數)，當ω＝

時，飛輪的角加速度是多少？從開始制動到現在經歷的時間是多少？解(1)由題知，故由轉動定律有即將代入，求得這時飛輪的角加速度為例轉動著的飛輪的轉動慣量為J，在t＝0時角速度為76(2)為求經歷的時間t，將轉動定律寫成微分方程的形式，即分離變量，并考慮到t＝0時，

，兩邊積分故當時，制動經歷的時間為(2)為求經歷的時間t，將轉動定律寫成微分方程的形式，即分離771、轉動動能

可見，剛體的轉動動能等于剛體的轉動慣量與角速度平方乘積的一半。注意比較轉動動能平動動能i質點的動能

整個剛體的動能—對i求和3-3剛體定軸轉動的動能定理1、轉動動能可見，剛體的轉動動能等于剛體的轉動慣量782、力矩的功對于i質點其受外力為Fi，對i求和，當整個剛體轉動d

，則力矩的元功

式中M為作用于剛體上外力矩之和---其表明：力矩的元功等于力矩與角位移之乘積（∵內力矩之和為零）

∴當剛體轉過有限角時，力矩的功為2、力矩的功對于i質點其受外力為Fi，對i求和，當793、剛體定軸轉動的動能定理：力矩對剛體所做的功，等于剛體轉動動能的增量。3、剛體定軸轉動的動能定理：力矩對剛體所做的功，等于剛體轉804、剛體的勢能其中m為剛體的總質量,yc為剛體質心的高度。

質量分布均勻而有一定幾何形狀的剛體，質心的位置為它的幾何中心。OXYmiMC4、剛體的勢能其中m為剛體的總質量,yc為剛體質心的高度。81例如圖所示，一根質量為m，長為l的均勻細棒OA，可繞固定點O在豎直平面內轉動.今使棒從水平位置開始自由下擺，求棒擺到與水平位置成30°角時中心點C和端點A的速度.解棒受力如圖2.39所示，其中重力G對O軸的力矩大小等于，是θ的函數，軸的支持力對O軸的力矩為零.由轉動動能定理，有等式左邊的積分為重力矩的功.即式中

是棒的質心所在處相對棒的質心C在最低點(即棒在豎直位置處)的高度.

例如圖所示，一根質量為m，長為l的均勻細棒OA，可繞固定點82則中心點C和端點A的速度分別為將及

代入①式，得則中心點C和端點A的速度分別為將83§3-4剛體定軸轉動的角動量定理

角動量守恒定律§3-4剛體定軸轉動的角動量定理84一、

質點的角動量

在質點的勻速圓周運動中，動量mv不守恒，但角動量的引入：開普勒行星運動定律的面積定律

許多實例都說明是一個獨立的物理量，再考慮到行星的質量m為恒量，一、質點的角動量在質點的勻速圓周運動中，動量m85

在描述行星的軌道運動，自轉運動，衛(wèi)星的軌道運動及微觀粒子的運動中都具有獨特作用。因此必須引入一個新的物理量－－角動量L，來描述這一現象。

衛(wèi)星地球+在描述行星的軌道運動，自轉運動，衛(wèi)星86１、質點對固定點的角動量

動量為mv的質點，對慣性系內某參考點0的角動量，等于質點對該參考點的位矢r與其動量mv的矢積。

角動量是矢量，角動量L

的方向垂直于r和mv所組成的平面，其指向可用右手螺旋法則確定。注意：為表示是對哪個參考點的角動量，通常將角動量L畫在參考點上。L的大小為·L１、質點對固定點的角動量動量為mv的質點，對慣87★角動量的單位是：千克·米2·秒-1(kg·m2·s-1)。

★當質點作圓周運動時,有v=r,且r與v互相垂直，故有★是相對量：與參照系的選擇有關，與參考點的選擇有關L＝rmv=mr2★角動量的定義并沒有限定質點只能作曲線運動而不能作直線運動?！锝莿恿康膯挝皇牵呵Э恕っ?·秒-1(kg·m2·s-1882、質點對軸的角動量☆假定質點的動量就在轉動平面內，且質點對軸的矢徑為r，則質點對z軸的角動量為，方向沿z軸，可正、可負☆質點動量不在轉動平面內，則只需考慮動量在轉動平面內的分量；或運用坐標分量式求得：2、質點對軸的角動量☆假定質點的動量就在轉動平面內，且質點89

質點的角動量定理１、對點的角動量定理（微分形式）若用r叉乘牛頓定律即式中r是質點對參考點o的位矢。

又于是有或

即：作用在質點上的力矩等于質點角動量對時間的變化率。此即質點對固定點的角動量定理。質點的角動量定理１、對點的角動量定理（微分形式）若用90２、角動量定理的積分形式：

叫沖量矩*：M和L必須是對同一點而言a、對點的角動量守恒律若，則

質點所受外力對某參考點的力矩為零，則質點對該參考點的角動量守恒。這就是質點的角動量守恒定律。

外力距對某固定點的沖量距等于質點對該點的角動量的增量。＊若質點受有心力作用，則該質點對力心的角動量一定守恒。質點角動量守恒定律２、角動量定理的積分形式：叫沖量矩*：M和L91b、對軸的角動量守恒律：

若Mz=0，則Lz=常數，即若力矩在某軸上的分量為零（或力對某軸的力矩為零），則質點對該軸的角動量守恒。b、對軸的角動量守恒律：若Mz=0，則Lz92二、

質點系的角動量定理1、質點系對固定點的角動量定理i質點對固定點O的角動量定理設有一質點系，共有n個質點，其第i個質點受力為則i質點對固定點o的角動量定理為二、質點系的角動量定理1、質點系對固定點的角動量定理93對i求和——質點系對固定點O的角動量定理由于內力成對出現，每對內力對O的力矩之和為零，因此內力矩之總和為零，于是有（i)內力矩對系統(tǒng)的總角動量無貢獻，（與質點系的動量定理相似）對i求和——質點系對固定點O的角動量定理由于內力成對出現94(iii)質點系對固定點的角動量定理的物理意義：質點系對o點的角動量隨時間的變化率等于外力對該點力矩的矢量和。(ii)在質點系的情況下，求外力對固定點的力矩之和時，不能先求合力，再求合力矩。只能說外力矩之和不能說合外