函數(shù)奇偶性與周期性考題

函數(shù)奇偶性與周期性考題函數(shù)奇偶性與周期性考題函數(shù)奇偶性與周期性考題函數(shù)奇偶性與周期性考題編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:函數(shù)周期性高考對于函數(shù)性質(zhì)的考查，一般不會單純地考查某一個性質(zhì)，而是對奇偶性、周期性、單調(diào)性的綜合考查.歸納起來常見的命題角度有：(1)單調(diào)性與奇偶性結(jié)合；(2)周期性與奇偶性結(jié)合；(3)單調(diào)性、奇偶性與周期性結(jié)合.(1)判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題．(2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，在解決具體問題時，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期．求下列函數(shù)周期f(t)＝f(1－t)角度一：周期性與奇偶性結(jié)合1、設(shè)f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝2x(1－x)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(1,4)\f(1,4) \f(1,2)解析：選A∵f(x)是周期為2的奇函數(shù)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)－2))＝－feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－2×eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝－eq\f(1,2).2．(2014·四川高考)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈[－1,1)時，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4x2＋2，－1≤x<0，,x，0≤x<1，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝________.解析：feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(1,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋2＝1.答案：13．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且，則（）A．0B．-1C．1D．2【答案】B4．設(shè)定義在R上的奇函數(shù)y＝f(x)，滿足對任意t∈R，都有f(t)＝f(1－t)，且x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))時，f(x)＝－x2，則f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))的值等于()A．－eq\f(1,2)B．－eq\f(1,3)C．－eq\f(1,4) D．－eq\f(1,5)解析：選C由f(t)＝f(1－t)得f(1＋t)＝f(－t)＝－f(t)，所以f(2＋t)＝－f(1＋t)＝f(t)，所以f(x)的周期為2.又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝0，所以f(3)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝f(1)＋feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝－eq\f(1,4).5．設(shè)偶函數(shù)f(x)對任意，都有，且當(dāng)時，，則（）A．10B．C．-10D．【答案】B6．設(shè)偶函數(shù)SKIPIF1<0對任意SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．10B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C7．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則()A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)<f(11)解：選D∵f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，∴f(x－8)＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，則f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且滿足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．∵f(x)在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，f(x)在R上是奇函數(shù)，∴f(x)在區(qū)間[－2,2]上是增函數(shù)，∴f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．8、已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2)＝0，對任意的x∈R，都有f(x＋4)＝f(x)＋f(4)成立，則f(2014)的值為()A．4024 B．2014C．2解：函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(2)＝0，則f(－2)＝0．∵f(x＋4)＝f(x)＋f(4)，∴令x＝－2，得f(2)＝f(－2)＋f(4)，∴f(4)＝0．∴f(x＋4)＝f(x)，即4為f(x)的周期．∴f(2014)＝f(503×4＋2)＝f(2)＝0，故選D．9、已知函數(shù)f(x)滿足f(x＋1)＝f(x－1)，f(x)＝f(2－x)，且函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0,1]內(nèi)有且只有一個零點eq\f(1,2)，則y＝f(x)在區(qū)間[0,2014]上的零點的個數(shù)為()A．2012B．1006C．2014 D．解析：選C由f(x＋1)＝f(x－1)可得函數(shù)f(x)為周期為2的周期函數(shù)，由f(x)＝f(2－x)可得f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，由函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0,1]上有且只有一個零點eq\f(1,2)，可知函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,2]上有一個零點eq\f(3,2)，又f(x)在區(qū)間[0,2014]上有1007個周期，故有2014個零點．10、已知奇函數(shù)滿足對任意都有成立，且，則．【答案】11．已知函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，則_______．【答案】12．已知函數(shù)滿足，且，當(dāng)時，，求（）A．-1B．0C．1D．2【答案】C13．定義在實數(shù)集上的奇函數(shù),對任意實數(shù)都有,且滿足,則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答】C3．(2015·石家莊一模)已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)＜1，f(5)＝eq\f(2a－3,a＋1)，則實數(shù)a的取值范圍為()A．(－1,4)B．(－2,0)C．(－1,0) D．(－1,2)解：選A∵f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數(shù)，∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)，∵f(1)＜1，f(5)＝eq\f(2a－3,a＋1)，∴eq\f(2a－3,a＋1)＜1，即eq\f(a－4,a＋1)＜0，解得－1＜a＜4，故選A.14．已知函數(shù)滿足，且，當(dāng)時，，求（）A．-1B．0C．1D．2【答案】C15.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2（1－x），x≤0，,f（x－1）－f（x－2），x＞0，))則f(2013)的值為______________．解：∵x>0時，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)．兩式相加得f(x＋1)＝－f(x－2)，∴f(x＋3)＝－f(x)，f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期為6，因此，f(2013)＝f(6×335＋3)＝f(3)．又f(－1)＝log22＝1，f(0)＝log21＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝0，∴f(2013)＝0，故填0．16．若偶函數(shù)y＝f(x)為R上的周期為6的函數(shù)，且滿足f(x)＝(x＋1)(x－a)(－3≤x≤3)，則f(－6)等于________．解析：∵y＝f(x)為偶函數(shù)，且f(x)＝(x＋1)·(x－a)(－3≤x≤3)，∴f(x)＝x2＋(1－a)x－a,1－a＝0.∴a＝(x)＝(x＋1)(x－1)(－3≤x≤3)．f(－6)＝f(－6＋6)＝f(0)＝－1.17、設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且對任意實數(shù)x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．當(dāng)x∈[0,2]時，f(x)＝2x－x2.(1)求證：f(x)是周期函數(shù)；(2)當(dāng)x∈[2,4]時，求f(x)的解析式．解：(1)證明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期為4的周期函數(shù)．(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.又∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．課后：1．定義在上的偶函數(shù)滿足，且在上為增函數(shù)，，，，則下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】B2．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A．是偶函數(shù)B．是增函數(shù)C．是周期函數(shù)D．的值域為【答案】D3．已知定義在上的函數(shù)，對任意，都有成立，若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則A．B．C．D．【答案】A．4．已知函數(shù)是R上的偶函數(shù)，對于都有成立，且，當(dāng)，且時，都有．則給出下列命題：①；②函數(shù)圖象的一條對稱軸為；③函數(shù)在[﹣9，﹣6]上為減函數(shù)；④方程在[﹣9，9]上有4個根；其中正確的命題個數(shù)為（）.2C【答案】D6．已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，則下面給出的命題中錯誤的是（）A．函數(shù)是周期函數(shù)，且周期T=3B．函數(shù)在上有可能是單調(diào)函數(shù)C．函數(shù)的圖像關(guān)于點對稱D．函數(shù)是偶函數(shù)【答案】B7．函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若，則（）A、B、C、D、【答案】B9．已知定義在R上的函數(shù)滿足條件；①對任意的，都有；②對