坐標(biāo)表象中的動(dòng)量算符課件

三、坐標(biāo)表象中的動(dòng)量算符1.由

得或即p在坐標(biāo)表象的矩陣元為且

動(dòng)量算符在坐標(biāo)表象的表示，是從動(dòng)量算符的基本性質(zhì)中推導(dǎo)出來(lái)的.類似可證；三、坐標(biāo)表象中的動(dòng)量算符1.由四、動(dòng)量空間的波函數(shù)

，，

展開(kāi)系數(shù)具有與類似的幾率解釋，即

是在處范圍內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率，或者說(shuō)是測(cè)得粒子動(dòng)量為附近范圍內(nèi)的幾率。

常被稱為動(dòng)量空間波函數(shù)：

若歸一，則

四、動(dòng)量空間的波函數(shù)

五、x表象與p表象的聯(lián)系

由x-表象到p-表象的變換函數(shù)而聯(lián)系

由得是動(dòng)量本征態(tài)在x-表象的波函數(shù)。可見(jiàn)動(dòng)量本征態(tài)波函數(shù)是一平面波，這一結(jié)論無(wú)需通過(guò)求解方程。除相位因子處，歸一常數(shù)c可定出為，即因，可知坐標(biāo)空間波函數(shù)與動(dòng)量空間波函數(shù)的關(guān)系為，類似有

與前面的關(guān)系互為付氏變換五、x表象與p表象的聯(lián)系

六(1/2)、高斯波包：

即波矢為k的平面波受中心位于原點(diǎn)的高斯輪廓調(diào)制而得的函數(shù)，粒子出現(xiàn)于距原點(diǎn)大于d處的幾率以高斯形式衰減。高斯波包是滿足最小測(cè)不準(zhǔn)原理的波包:

；x的色散為類似可求得；六(1/2)、高斯波包：

六(2/2)、高斯波包：

動(dòng)量空間的高斯波包為即動(dòng)量空間的高斯波包波函數(shù)也具有高斯函數(shù)的形式，只是展開(kāi)與坐標(biāo)空間的展寬成反比。在x空間的展寬越大則在p空間展寬越小,反之亦然。在x空間無(wú)限延展的平面波具有確定的動(dòng)量值，而具有確定位置的態(tài)則在p空間是無(wú)限延展的平面波。六(2/2)、高斯波包：

動(dòng)量空間的高斯波包為七、對(duì)三維的推廣

上面一維空間的表達(dá)式很容易推廣到三維，需要的變動(dòng)包括：七、對(duì)三維的推廣上面一維空間的表達(dá)式很容易推廣到三維，需要第二章：量子動(dòng)力學(xué)

(物理狀態(tài)和觀測(cè)量隨時(shí)間的變化)2.1時(shí)間演化和方程時(shí)間在量子力學(xué)中是參量而非算符，不是可觀測(cè)量。相對(duì)性量子理論通過(guò)將位置作為參量而將時(shí)空對(duì)等處理相對(duì)論時(shí)空觀：時(shí)間-空間、能量-動(dòng)量相互轉(zhuǎn)化能量量子化

動(dòng)量量子化波：波長(zhǎng)、頻率;粒子：動(dòng)量、能量能量=普朗克常數(shù)x波的頻率

某方向動(dòng)量=普朗克常數(shù)x該方向波數(shù)deBroglie波提供了適用于所有物理基本單元的新原理：將世界看做由多場(chǎng)而非多點(diǎn)粒子作用組成而使所有物理得到統(tǒng)一deBroglie波是對(duì)牛頓力學(xué)基本概念的顛覆，并直接啟發(fā)了薛定諤波方程一、時(shí)間演化算符第二章：量子動(dòng)力學(xué)(物理狀態(tài)和觀測(cè)量隨時(shí)間的變化)2.二、時(shí)間演化算符的性質(zhì)

1.(時(shí)間的)連續(xù)性

2.幺正性（幾率守恒）

即對(duì)，

有

3.結(jié)合性：

二、時(shí)間演化算符的性質(zhì)

1.(時(shí)間的)連續(xù)性三、時(shí)間演化算符的表達(dá)

與空間平移相似，考慮無(wú)窮小時(shí)間演化算符：算符的連續(xù)性、幺正性和組合性可由且為厄米算符來(lái)滿足?？紤]到的量綱與頻率相同和經(jīng)典力學(xué)中Hamiltonian是時(shí)間演化的生成元，可合理地將寫(xiě)為，即這里的與坐標(biāo)平移算子中的相同，否則將推不出量子力學(xué)的經(jīng)典極限即牛頓運(yùn)動(dòng)定律三、時(shí)間演化算符的表達(dá)與空間平移相似，考慮無(wú)窮小時(shí)間演化算四、薛定諤方程

1.時(shí)間演化算符的薛定諤方程由((t-t0)不必為無(wú)窮小)有即2.態(tài)矢時(shí)間演化的薛定諤方程對(duì)態(tài)矢，有或當(dāng)然，若知，并知其對(duì)初態(tài)的作用，則無(wú)需解此方程。四、薛定諤方程1.時(shí)間演化算符的薛定諤方程五、時(shí)間演化算符的形式解

H與t無(wú)關(guān)，如穩(wěn)恒磁場(chǎng)與磁矩的相互作用此時(shí)容易解得2.

，但，如方向恒定的交變磁場(chǎng)。則：

容易驗(yàn)證該滿足方程：3.不同時(shí)的H不對(duì)易，如磁場(chǎng)方向隨時(shí)間而變的自旋磁場(chǎng)作用此時(shí)的解為

在這一章中我們主要討論第一種情形。五、時(shí)間演化算符的形式解H與t無(wú)關(guān)，如穩(wěn)恒磁場(chǎng)與磁矩六、能量本征矢

知道時(shí)間演化算符隨時(shí)間變化，還需知它如何作用于一態(tài)矢才能求出態(tài)矢的時(shí)間變化。如果選用能量本征態(tài)矢為基，則時(shí)間演化算符對(duì)態(tài)的作用可輕易求得。；有；即展開(kāi)系數(shù)的模不變，但相位變化了。由于不同分量的相對(duì)相位發(fā)生變化，與可以是完全不同的。對(duì)，則，態(tài)保持為H與A的共同本征態(tài)。六、能量本征矢知道時(shí)間演化算符隨時(shí)間變化，還需知它如何作六、能量本征矢（續(xù)）

由上討論可見(jiàn)量子力學(xué)的基本任務(wù)是找出與H對(duì)易的觀測(cè)量及其本征態(tài)。將初態(tài)由這個(gè)觀測(cè)量的本征態(tài)展開(kāi)，便可求出態(tài)隨時(shí)間的變化。對(duì)有簡(jiǎn)并情形，我們需要找出一組完整的相互對(duì)易且與H對(duì)易的算符,并用它們的共同本征態(tài)為基。該基一般用組合指標(biāo)表征，這樣,將任意態(tài)以展開(kāi)將可求得其時(shí)間的演化了。

六、能量本征矢（續(xù)）七、期望值的時(shí)間演化

1.由于：即任何觀測(cè)量對(duì)能量本征態(tài)的期望值都不隨時(shí)間變化。因此,能量本征態(tài)被稱為定態(tài)。2.對(duì)一般態(tài)：

可見(jiàn)期望值一般是隨時(shí)間變化的。3.對(duì)也是B的本征態(tài)之特例（B與H對(duì)易），則不隨時(shí)間變化

（與H對(duì)易的觀測(cè)量是運(yùn)動(dòng)的常數(shù)）七、期望值的時(shí)間演化1.由于：作業(yè)1.29,1.32,1.332.2作業(yè)1.29,1.32,1.33三、坐標(biāo)表象中的動(dòng)量算符1.由

得或即p在坐標(biāo)表象的矩陣元為且

動(dòng)量算符在坐標(biāo)表象的表示，是從動(dòng)量算符的基本性質(zhì)中推導(dǎo)出來(lái)的.類似可證；三、坐標(biāo)表象中的動(dòng)量算符1.由四、動(dòng)量空間的波函數(shù)

，，

展開(kāi)系數(shù)具有與類似的幾率解釋，即

是在處范圍內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率，或者說(shuō)是測(cè)得粒子動(dòng)量為附近范圍內(nèi)的幾率。

常被稱為動(dòng)量空間波函數(shù)：

若歸一，則

四、動(dòng)量空間的波函數(shù)

五、x表象與p表象的聯(lián)系

由x-表象到p-表象的變換函數(shù)而聯(lián)系

由得是動(dòng)量本征態(tài)在x-表象的波函數(shù)?？梢?jiàn)動(dòng)量本征態(tài)波函數(shù)是一平面波，這一結(jié)論無(wú)需通過(guò)求解方程。除相位因子處，歸一常數(shù)c可定出為，即因，可知坐標(biāo)空間波函數(shù)與動(dòng)量空間波函數(shù)的關(guān)系為，類似有

與前面的關(guān)系互為付氏變換五、x表象與p表象的聯(lián)系

六(1/2)、高斯波包：

即波矢為k的平面波受中心位于原點(diǎn)的高斯輪廓調(diào)制而得的函數(shù)，粒子出現(xiàn)于距原點(diǎn)大于d處的幾率以高斯形式衰減。高斯波包是滿足最小測(cè)不準(zhǔn)原理的波包:

；x的色散為類似可求得；六(1/2)、高斯波包：

六(2/2)、高斯波包：

動(dòng)量空間的高斯波包為即動(dòng)量空間的高斯波包波函數(shù)也具有高斯函數(shù)的形式，只是展開(kāi)與坐標(biāo)空間的展寬成反比。在x空間的展寬越大則在p空間展寬越小,反之亦然。在x空間無(wú)限延展的平面波具有確定的動(dòng)量值，而具有確定位置的態(tài)則在p空間是無(wú)限延展的平面波。六(2/2)、高斯波包：

動(dòng)量空間的高斯波包為七、對(duì)三維的推廣

上面一維空間的表達(dá)式很容易推廣到三維，需要的變動(dòng)包括：七、對(duì)三維的推廣上面一維空間的表達(dá)式很容易推廣到三維，需要第二章：量子動(dòng)力學(xué)

(物理狀態(tài)和觀測(cè)量隨時(shí)間的變化)2.1時(shí)間演化和方程時(shí)間在量子力學(xué)中是參量而非算符，不是可觀測(cè)量。相對(duì)性量子理論通過(guò)將位置作為參量而將時(shí)空對(duì)等處理相對(duì)論時(shí)空觀：時(shí)間-空間、能量-動(dòng)量相互轉(zhuǎn)化能量量子化

動(dòng)量量子化波：波長(zhǎng)、頻率;粒子：動(dòng)量、能量能量=普朗克常數(shù)x波的頻率

某方向動(dòng)量=普朗克常數(shù)x該方向波數(shù)deBroglie波提供了適用于所有物理基本單元的新原理：將世界看做由多場(chǎng)而非多點(diǎn)粒子作用組成而使所有物理得到統(tǒng)一deBroglie波是對(duì)牛頓力學(xué)基本概念的顛覆，并直接啟發(fā)了薛定諤波方程一、時(shí)間演化算符第二章：量子動(dòng)力學(xué)(物理狀態(tài)和觀測(cè)量隨時(shí)間的變化)2.二、時(shí)間演化算符的性質(zhì)

1.(時(shí)間的)連續(xù)性

2.幺正性（幾率守恒）

即對(duì)，

有

3.結(jié)合性：

二、時(shí)間演化算符的性質(zhì)

1.(時(shí)間的)連續(xù)性三、時(shí)間演化算符的表達(dá)

與空間平移相似，考慮無(wú)窮小時(shí)間演化算符：算符的連續(xù)性、幺正性和組合性可由且為厄米算符來(lái)滿足?？紤]到的量綱與頻率相同和經(jīng)典力學(xué)中Hamiltonian是時(shí)間演化的生成元，可合理地將寫(xiě)為，即這里的與坐標(biāo)平移算子中的相同，否則將推不出量子力學(xué)的經(jīng)典極限即牛頓運(yùn)動(dòng)定律三、時(shí)間演化算符的表達(dá)與空間平移相似，考慮無(wú)窮小時(shí)間演化算四、薛定諤方程

1.時(shí)間演化算符的薛定諤方程由((t-t0)不必為無(wú)窮小)有即2.態(tài)矢時(shí)間演化的薛定諤方程對(duì)態(tài)矢，有或當(dāng)然，若知，并知其對(duì)初態(tài)的作用，則無(wú)需解此方程。四、薛定諤方程1.時(shí)間演化算符的薛定諤方程五、時(shí)間演化算符的形式解

H與t無(wú)關(guān)，如穩(wěn)恒磁場(chǎng)與磁矩的相互作用此時(shí)容易解得2.

，但，如方向恒定的交變磁場(chǎng)。則：

容易驗(yàn)證該滿足方程：3.不同時(shí)的H不對(duì)易，如磁場(chǎng)方向隨時(shí)間而變的自旋磁場(chǎng)作用此時(shí)的解為

在這一章中我們主要討論第一種情形。五、時(shí)間演化算符的形式解H與t無(wú)關(guān)，如穩(wěn)恒磁場(chǎng)與磁矩六、能量本征矢

知道時(shí)間演化算符隨時(shí)間變化，還需知它如何作用于一態(tài)矢才能求出態(tài)矢的時(shí)間變化。如果選用能量本征態(tài)矢為基，則時(shí)間演化算符對(duì)態(tài)的作用可輕易求得。；有