2023屆北京市鐵路第二中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁，共=sectionpages44頁2023屆北京市鐵路第二中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知全集，集合，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用補(bǔ)集概念求解即可.【詳解】.故選：C2．函數(shù)的定義域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意得到，再解不等式組即可.【詳解】由題知：，解得且.所以函數(shù)定義域為.故選：B3．已知函數(shù)的定義域是，若對于任意兩個不相等的實數(shù)，，總有成立，則函數(shù)一定是（

）A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．增函數(shù) D．減函數(shù)【答案】C【分析】利用函數(shù)單調(diào)性定義即可得到答案.【詳解】對于任意兩個不相等的實數(shù)，，總有成立，等價于對于任意兩個不相等的實數(shù)，總有.所以函數(shù)一定是增函數(shù).故選：C4．在等比數(shù)列中，，，則等于（

）A．256 B．-256 C．512 D．-512【答案】A【分析】求出等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，，所以，所以，故選：A.5．在的二項展開式中，第項的二項式系數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題可通過二項式系數(shù)的定義得出結(jié)果.【詳解】第項的二項式系數(shù)為，故選：A.6．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】首先求解二次不等式，然后結(jié)合不等式的解集即可確定充分性和必要性是否成立即可.【詳解】求解二次不等式可得：或，據(jù)此可知：是的充分不必要條件.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，屬于基礎(chǔ)題.7．從一批零件中抽取80個，測量其直徑（單位：），將所得數(shù)據(jù)分為9組：，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間內(nèi)的個數(shù)為（

）A．10 B．18 C．20 D．36【答案】B【分析】根據(jù)直方圖確定直徑落在區(qū)間之間的零件頻率，然后結(jié)合樣本總數(shù)計算其個數(shù)即可.【詳解】根據(jù)直方圖，直徑落在區(qū)間之間的零件頻率為：，則區(qū)間內(nèi)零件的個數(shù)為：.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率分布直方圖的計算與實際應(yīng)用，屬于中等題.8．已知函數(shù)．給出下列結(jié)論：①的最小正周期為；②是的最大值；③把函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個單位長度，可得到函數(shù)的圖象．其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．① B．①③ C．②③ D．①②③【答案】B【分析】對所給選項結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因為，所以周期，故①正確；，故②不正確；將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)向左平移個單位長度，得到的圖象，故③正確.故選：B.【點(diǎn)晴】本題主要考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)及圖象的平移，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，邏輯分析那能力，是一道容易題.9．在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】計算出四個選項中對應(yīng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差，由此可得出標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組.【詳解】對于A選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于B選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于C選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于D選項，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.因此，B選項這一組的標(biāo)準(zhǔn)差最大.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差的大小比較，考查方差公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.10．德國著名數(shù)學(xué)家、解析數(shù)論的創(chuàng)始人狄利克雷（1805年2月13日~1859年5月5日），對函數(shù)論、三角級數(shù)論等都有重要貢獻(xiàn)，主要著作有《數(shù)論講義》《定積分》等.狄利克雷函數(shù)就是以其名字命名的函數(shù)，其解析式為則下列關(guān)于狄利克雷函數(shù)的判斷錯誤的是（

）A．對任意有理數(shù)t，B．對任意實數(shù)x，C．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)D．存在實數(shù)x，y，【答案】C【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義判斷ABD，結(jié)合奇偶性的定義判斷C．【詳解】對于A，對任意有理數(shù)t，當(dāng)x為有理數(shù)時，為有理數(shù)，則；當(dāng)x為無理數(shù)時，為無理數(shù)，則，故A正確；對于B，若x為有理數(shù)，則；若x為無理數(shù)，則，故B正確；對于C，當(dāng)x為有理數(shù)時，則為有理數(shù)，則；當(dāng)x為無理數(shù)時，則為無理數(shù)，則，于是對任意實數(shù)x，都有，即狄利克雷函數(shù)為偶函數(shù)，故C錯誤；對于D，取，，因為為無理數(shù)，所以，故D正確.故選：C.二、填空題11．是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)_________．【答案】【分析】將分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，然后利用運(yùn)算化簡可得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.12．記為等差數(shù)列的前項和，若，則___________.【答案】100【分析】根據(jù)題意可求出首項和公差，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】得【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)為等差數(shù)列的求和，為基礎(chǔ)題目，利用基本量思想解題即可，充分記牢等差數(shù)列的求和公式是解題的關(guān)鍵．13．若函數(shù)為奇函數(shù)，則__________.（填寫一個符合條件的解析式即可）【答案】x，，（答案不唯一）.【分析】由奇函數(shù)定義結(jié)合三角函數(shù)誘導(dǎo)公式可得，即為奇函數(shù).【詳解】由為奇函數(shù)，則，即恒成立，考慮到的任意性，可得，則為奇函數(shù)即可，故答案為：（答案不唯一）.14．已知函數(shù)．①的最大值為；②的最小值為；③在上是減函數(shù)；④為的極大值．那么上面命題中真命題的序號是_____．【答案】①④【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)給定條件探討導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)即可判斷作答.【詳解】由求導(dǎo)得：，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞減，而，因此，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的最大值為，為的極大值，①④正確，②③不正確，所以給定命題中真命題的序號是①④.故答案為：①④三、雙空題15．已知函數(shù).①的函數(shù)圖象關(guān)于__________對稱；②若存在唯一，滿足，則____________.【答案】

軸##

####【分析】由奇偶性定義可知為偶函數(shù)，可知圖象關(guān)于軸對稱；由對稱性可知，由可求得結(jié)果.【詳解】①定義域為，，為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱；②由①知：圖象關(guān)于軸對稱，又存在唯一，滿足，則，，解得：.故答案為：軸；.四、解答題16．的內(nèi)角的對邊分別是.已知.(1)求角；(2)若，且的面積為，求的周長.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦的二倍角公式變形可求得角；（2）由面積公式求得，再由余弦定理求得，從而得三角形周長．【詳解】（1）因為，所以，因為，所以.（2）因為的面積為，所以，解得，由余弦定理得，解得，所以的周長為.17．在等差數(shù)列中，已知，，(1)求此數(shù)列的通項公式；(2)若從此數(shù)列中依次取出第二項，第四項，第八項，……，第項，……并按原來的先后順序組成一個新的數(shù)列，求數(shù)列的通項公式與前項和.【答案】(1)(2)，.【分析】（1）設(shè)的公差為，依題意得到方程組，解得，，即可得到通項公式；（2）由（1）可得，利用等比數(shù)列前和公式及分組求和法計算可得.【詳解】（1）解：設(shè)的公差為，依題意可得.解得，，所以.（2）解：依題意，所以.18．為發(fā)展業(yè)務(wù)，某調(diào)研組對A，B兩個公司的掃碼支付情況進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從國內(nèi)個人口超過1000萬的超大城市和8個人口低于100萬的小城市中隨機(jī)抽取若干個進(jìn)行統(tǒng)計.若一次抽取2個城市，全是小城市的概率為.(1)求n的值；(2)若一次抽取4個城市，①假設(shè)抽取出的小城市的個數(shù)為X，求X的可能值及相應(yīng)的概率；②若抽取的4個城市是同一類城市，求全為超大城市的概率.【答案】(1)；(2)①X的可能取值為0，1，2，3，4，相應(yīng)概率見解析；②.【分析】⑴利用古典概型求概率的公式把一次抽取2個城市全是小城市的概率表示出來，解方程即可；⑵①的分布符合超幾何分布，根據(jù)超幾何分布的概率計算方法求概率即可；②利用條件概率求概率的方法求概率即可.【詳解】（1）從個城市中一次抽取2個城市，有種情況，其中全是小城市的有種情況，則全是小城市的概率為，解得（負(fù)值舍去）.（2）①由題意可知，X的可能取值為0，1，2，3，4，相應(yīng)的概率分別記為，，，，，.②若抽取的4個城市全是超大城市，共有種情況；若抽取的4個城市全是小城市，共有種情況，所以若抽取的4個城市是同一類城市，則全為超大城市的概率為.19．已知函數(shù).(1)求的最小正周期和對稱軸方程；(2)若函數(shù)在存在零點(diǎn)，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)最小正周期為，對稱軸方程為(2)【分析】（1）化簡函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在上有解，根據(jù)時，得到，即可求解.【詳解】（1）解：對于函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期為，令，解得，所以函數(shù)的對稱軸的方程為.（2）解：因為函數(shù)在存在零點(diǎn)，即方程在上有解，當(dāng)時，可得，可得，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍.20．已知函數(shù)．(1)設(shè)函數(shù)，若是區(qū)間上的增函數(shù)，求的取值范圍；(2)當(dāng)時，證明函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見及解析【分析】（1）求導(dǎo)．令，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)，由在區(qū)間上恒成立求解；（2）求導(dǎo)．利用導(dǎo)數(shù)法證明.【詳解】（1）解：．設(shè)，則．∵函數(shù)是區(qū)間上的增函數(shù)，在區(qū)間上恒成立若，則恒成立，此時；若，此時，恒成立，即恒成立；．綜合上：的取值范圍是．（2）當(dāng)時，，則．在區(qū)間上單調(diào)遞增．，，∴存在，使得．當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．又，，∴函數(shù)在區(qū)間上有且僅有一個零點(diǎn)．21．設(shè)集合，，，中至少有兩個元素，且滿足：①對于任意，若，都有；②對于任意，若，則；(1)判斷下列兩組集合是否滿足要求：（?。┤?，則；（ⅱ）若，則；(2)證明：若有個元素，則有個元素.【答案】(1)（?。┎粷M足要求；（ⅱ）滿足要求(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)集合中元素滿足的關(guān)系式依次判斷是否滿足兩個條件即可；（2）設(shè)，且，則；若，由條件②可推導(dǎo)得到，驗證可知不滿足條件，則；再次利用條件②可推導(dǎo)得到，可知，此時滿足條件，由此可確定共個元素.【詳解】（1）（ⅰ），，，或或或或，又，，滿足條件①；當(dāng)時，，，或或或，，不滿足條件②；綜上所述：若，則不滿足條件.（ⅱ），，