2023屆北京市第四中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)2023屆北京市第四中學(xué)高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，再與集合求交集.【詳解】因?yàn)椋?，所以．故選：D2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B．1 C． D．5【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法及模長(zhǎng)公式運(yùn)算求解．【詳解】由題意，所以，故選：B.3．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義和常見(jiàn)函數(shù)的單調(diào)性逐項(xiàng)分析即得.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，故A不符合，對(duì)于B，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得在上單調(diào)遞減，故B不符合，對(duì)于C，的定義域?yàn)椋魂P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為非奇非偶函數(shù)，故C不符合，對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，故為偶函?shù)，在上，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以D符合，故選：D.4．?dāng)?shù)列滿足（，），，其前n項(xiàng)和為，若，則（

）A．47 B．46 C．45 D．44【答案】C【分析】由題意可知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而可得，從而有，求解即可【詳解】數(shù)列滿足（，），即，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以，又，則，因?yàn)?，又，且，所以，故選：C5．若點(diǎn)在角的終邊上，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】先求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，再利用任意角的三角函數(shù)的定義求出tan的值,再利用二倍角公式求解【詳解】即為，則

故選：D【點(diǎn)睛】本題考查任意角的三角函數(shù)的定義，以及二倍角公式，屬于容易題．6．在中，若，，，則角的大小為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】利用正弦定理求得，由此求得角的大小.【詳解】由正弦定理得，即，所以或.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查正弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題.7．如果是公比為q的等比數(shù)列，為其前n項(xiàng)和，那么“”是“數(shù)列為單調(diào)數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】分別從充分性和必要性結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)入手進(jìn)行分析即可得解.【詳解】充分性：當(dāng)，時(shí)，，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，當(dāng)，時(shí)，，顯然數(shù)列是遞減數(shù)列，綜上可得充分性成立；必要性：當(dāng)數(shù)列為遞增數(shù)列時(shí)，對(duì)恒成立，可得，；當(dāng)數(shù)列為遞減數(shù)列時(shí)，對(duì)恒成立，可得，；綜上可得必要性成立；“”是“數(shù)列為單調(diào)數(shù)列”的充分必要條件.故選：C.8．函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】復(fù)合方程求解時(shí)，先求得的解有，再解即可.【詳解】下面解方程：，當(dāng)時(shí)，，得或1（舍去），當(dāng)時(shí)，，得，所以的兩根為，由得或，若，則當(dāng)時(shí)，無(wú)解，當(dāng)時(shí)，無(wú)解；若，則當(dāng)時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，解得所以的零點(diǎn)個(gè)數(shù)共有兩個(gè).故選：B9．聲音的等級(jí)（單位：）與聲音強(qiáng)度（單位：）滿足.噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)，聲音的等級(jí)約為；一般說(shuō)話時(shí)，聲音的等級(jí)約為，那么噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般說(shuō)話時(shí)聲音強(qiáng)度的A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【答案】B【解析】設(shè)噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度和一般說(shuō)話時(shí)聲音強(qiáng)度分別為、，根據(jù)題意得出，，計(jì)算出和的值，可計(jì)算出的值.【詳解】設(shè)噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度和一般說(shuō)話時(shí)聲音強(qiáng)度分別為、，由題意可得，解得，，解得，所以，，因此，噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般說(shuō)話時(shí)聲音強(qiáng)度的倍，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)模型的應(yīng)用，同時(shí)也涉及了指數(shù)與對(duì)數(shù)式的互化，考查計(jì)算能力，屬于中等題.10．已知函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】不妨設(shè)，則，，,，然后分和兩種情況討論求解.【詳解】不妨設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，，，所以不存在非零實(shí)數(shù)，使得成立；當(dāng)時(shí)，若存在非零實(shí)數(shù)，使得成立，則方程有正根，即函數(shù)與有交點(diǎn)，先考慮函數(shù)的圖象與直線相切的情況，設(shè)切點(diǎn)為，則，得，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，所以方程的根只有一個(gè)，即，所以，所以函數(shù)的圖象與直線相切時(shí)，切點(diǎn)為原點(diǎn)，所以要使函數(shù)的圖象與直線有交點(diǎn)，只需，即，所以實(shí)數(shù)k的取值范圍為，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為當(dāng)時(shí)，函數(shù)與有交點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)有幾何意義求解函數(shù)的圖象與直線相切的情況，從而可得答案，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.二、填空題11．函數(shù)的定義域是______.【答案】.【分析】由對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，且分式的分母不為零，從而可求出函數(shù)的定義域.【詳解】由題意得，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故答案為?12．計(jì)算：______.【答案】1【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則即可求解．【詳解】故答案為：113．若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【分析】根據(jù)題中條件，由分離參數(shù)的方法得到，求出在給定區(qū)間的最大值，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋杂傻?，因?yàn)殛P(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，所以只需小于等于的最大值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為1，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14．已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有5個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是______.①在區(qū)間上單調(diào)遞增；②在區(qū)間上有且僅有3個(gè)極大值點(diǎn)；③在區(qū)間上有且僅有2個(gè)極小值點(diǎn)；④的取值范圍是.【答案】①②④【分析】根據(jù)題中所給范圍確定，解出的取值范圍；在運(yùn)用整體代入得思想，分別求出在②③④條件下得范圍，，結(jié)合的取值范圍即可判斷②③④是否正確.【詳解】當(dāng)時(shí)，，令由題可知在僅有五個(gè)零點(diǎn)，故解得，故④正確①當(dāng)時(shí)，而，，故①正確②③當(dāng)時(shí)，，其中令，可取0、1、2，故在區(qū)間有3個(gè)極大值點(diǎn)故②正確；同理令，若，可取0、1；若，可取0、1、2，故③錯(cuò)誤；故答案為：①②④三、雙空題15．已知等比數(shù)列滿足：，，則數(shù)列的公比______；______.【答案】

或；

【分析】由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式直接計(jì)算公比，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得，從而判斷得數(shù)列是等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列前項(xiàng)和公式計(jì)算即可得答案.【詳解】在等比數(shù)列中，，，所以，得或；因?yàn)椋詳?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得.故答案為：或；四、解答題16．已知函數(shù)，.（1）求的最小正周期；（2）求在區(qū)間，上的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）最大值為，最小值為【分析】(1)先對(duì)函數(shù)進(jìn)行降冪，再逆用兩角差的正弦公式將函數(shù)化簡(jiǎn)為，即可求得周期；(2)首先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，則在，上遞減，在，上遞增，即可求得最大值與最小值.【詳解】⑴∴函數(shù)的最小正周期為.⑵令，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，.由，得，.記，，，，，則，∴當(dāng)，時(shí)，在，上遞減，在，上遞增又，，∴在區(qū)間，內(nèi)的最大值為，最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查降冪公式，兩角差的正弦公式，正弦型函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題.17．在中，，.再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使其能夠確定唯一的三角形，求：(1)a的值；(2)的面積.條件①：；條件②：；條件③：.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)選②，；選③，；(2)選②，；選③，.【分析】（1）利用正弦定理，余弦定理即得；（2）根據(jù)三角形面積公式結(jié)合條件即得.【詳解】（1）選條件①：，在中，由余弦定理得，，，即.解得或，滿足條件的三角形有兩個(gè)，不符合題意，舍去；選條件②：即，在中，由余弦定理得，，，解得；選條件③：，在中，由正弦定理得，，所以；（2）選條件②：由題可知，，所以的面積；選條件③：，則，，所以的面積.18．某科研單位在研發(fā)鈦合金產(chǎn)品的過(guò)程中使用了一種新材料.該產(chǎn)品的性能指標(biāo)值是這種新材料的含量x（單位：克）的函數(shù)，且性能指標(biāo)值越大，該產(chǎn)品的性能越好.當(dāng)時(shí)，y和x的關(guān)系為以下三種函數(shù)模型中的一個(gè)：①；②（且）；③（且）；其中k，a，b，c均為常數(shù).當(dāng)時(shí)，，其中m為常數(shù).研究過(guò)程中部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：x（單位：克）02610……y88……(1)指出模型①②③中最能反映y和x（）關(guān)系的一個(gè)，并說(shuō)明理由；(2)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)求該新合金材料的含量x為多少時(shí)，產(chǎn)品的性能達(dá)到最佳.【答案】(1)模型①；(2)；(3)當(dāng)克時(shí)產(chǎn)品的性能達(dá)到最佳．【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合條件即得；（2）結(jié)合待定系數(shù)法，代入數(shù)據(jù)運(yùn)算即得；（3）按，分類，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)分別求最值，進(jìn)而即得.【詳解】（1）模型①最能反映y和x（）的關(guān)系，由題可知時(shí)，，顯然模型③不合題意，若為模型②，則，不合題意，故模型①最能反映y和x（）的關(guān)系；（2）當(dāng)時(shí)，，由可得，由得，由得，解得，所以；當(dāng)時(shí)，y＝，由，可得，解得，即有y＝.綜上，可得；（3）當(dāng)時(shí)，，即有時(shí)，性能指標(biāo)值取得最大值12；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝7時(shí)，性能指標(biāo)值取得最大值3；綜上可得，當(dāng)x＝4克時(shí)產(chǎn)品的性能達(dá)到最佳．19．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；(3)求證：“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.【答案】(1)；(2)詳見(jiàn)解析；(3)詳見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得；（2）由題可得，然后分，，討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即得；（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可得，然后根據(jù)充分條件，必要條件的定義即得.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，∴，∴，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）由，可得，由，可得，當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，恒成立，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，恒成立，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為；（3）由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，即在區(qū)間上恒成立，又時(shí)，，所以，由可推出，而由推不出，所以“”是“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.20．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)存在兩個(gè)極小值點(diǎn)，，求證：.【答案】(1)在上遞減，在上遞增；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后，，令，再求導(dǎo)后可判斷出恒成立，所以的符號(hào)與的符號(hào)相同，從而可求出其函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)極小值點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，的最小值為，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可求出函數(shù)的極小值，從而可得結(jié)論.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，由，得，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以，恒成立，當(dāng)時(shí)，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，由于當(dāng)時(shí)，，綜上恒成立，所以的符號(hào)與的符號(hào)相同，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，在上遞增；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)極小值點(diǎn)，不合題意，當(dāng)時(shí)，的最小值為，因?yàn)椋源嬖?，使得，因?yàn)椋?，所以存在，使得?000遞減極小值遞增極大值遞減極小值遞增因此為的兩個(gè)極小值點(diǎn)，且，即，因?yàn)?，所以，即，所?【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值，解題的關(guān)鍵是當(dāng)時(shí)，根據(jù)極值的求法和零點(diǎn)的存在性定理求解證明，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.21．已知正整數(shù)，集合.對(duì)于中的元素，，定義，令.(1)直接寫(xiě)出的兩個(gè)元素及的元素個(gè)數(shù)；(2)已知，，…，，滿足對(duì)任意，都有，求m的最大值；(3)證明：對(duì)任意，，…，，總存在，使得.【答案】(1)，；個(gè)(2)4(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由題可知中的n個(gè)數(shù)中有任意3個(gè)數(shù)字為1，數(shù)字為0，根據(jù)排列組合數(shù)可列的元素個(gè)數(shù)通式為；（2）第二小問(wèn)等價(jià)于同時(shí)滿足的元素個(gè)數(shù)最多幾個(gè)，首先需要線分析最多幾個(gè)不同元素同一位置的分量可以同時(shí)為1，在以此極限情況找到m的不等式關(guān)系求出m最大值；（3）由題可知共有個(gè)非空子集，并且由題意可知當(dāng)時(shí)，因此證明存在等式，即證明的值必有奇數(shù)即可.【詳解】（1），；，即中6個(gè)分量中恰有3個(gè)1，故的元素個(gè)數(shù)為；（2）對(duì)于的非空子集，設(shè)，這里為的第j個(gè)分量，定義，規(guī)定.設(shè)，令我們先證明引理：.（反證），令，不妨設(shè)，，…，滿足，其中又因?yàn)椋遥?，故，故，這與矛盾，引理證畢.回到原題，由引理，得，，，符合題意，綜上，當(dāng)時(shí)，m的最大值為4（3）共有個(gè)非空子集，記為