線性系統(tǒng)的頻域分析法之二培訓(xùn)講義課件

線性系統(tǒng)的頻域分析法之二線性系統(tǒng)的頻域分析法之二1（優(yōu)選）線性系統(tǒng)的頻域分析法之二（優(yōu)選）線性系統(tǒng)的頻域分析法之二251頻率特性52典型環(huán)節(jié)與開環(huán)系統(tǒng)頻率特性53頻域穩(wěn)定判據(jù)54頻域穩(wěn)定裕度55頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系

本章主要內(nèi)容51頻率特性本章主要內(nèi)容353頻域穩(wěn)定判據(jù)53頻域穩(wěn)定判據(jù)4

F(s)是復(fù)變量s的單值有理函數(shù)。如果函數(shù)F(s)在s平面上指定的區(qū)域內(nèi)是解析的，則對于此區(qū)域內(nèi)的任何一點(diǎn)都可以在F(s)平面上找到一個相應(yīng)的點(diǎn)，稱為在F(s)平面上的映射。

同樣，對于s平面上任意一條不通過F(s)任何奇異點(diǎn)的封閉曲線，也可在F(s)平面上找到一條與之相對應(yīng)的封閉曲線（為的映射）?；舅枷耄豪瞄_環(huán)頻率特性判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性一、預(yù)備知識——幅角定理F(s)是復(fù)變量s的單值有理函數(shù)。如果函數(shù)F5例：輔助方程為：，則s平面上點(diǎn)（-1，j1），映射到F(s)平面上的點(diǎn)為（0，-j1）,見下圖：設(shè)輔助函數(shù)為：例：輔助方程為：，則s平6令s從開始沿任一閉合路徑Γs（不經(jīng)過F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)）順時針旋轉(zhuǎn)一圈，F(xiàn)(s)的相角變化情況如下零點(diǎn)(Zi)極點(diǎn)(Pj)1)–Zi在Γs外。2)–Pj在Γs外。

結(jié)論相角無變化

1)–Zi在Γs內(nèi)，。(順時針)2)–Pj在Γs內(nèi)，。(逆時針)

令s從開始沿任一閉合路徑Γs（不經(jīng)過F(s)7

結(jié)論若F(s)在Γs中有Z個零點(diǎn)和P個極點(diǎn)，則當(dāng)S沿Γs順時針方向旋轉(zhuǎn)一圈時，F(xiàn)(s)相角有變化（順時針）

8幅角定理F(s)是s的單值有理函數(shù)，在s平面上任一閉合路徑（Гs）包圍了F(s)的Z個零點(diǎn)和P個極點(diǎn)，并且不經(jīng)過F(s)的任一零點(diǎn)和極點(diǎn)，則當(dāng)s沿閉合路徑順時針方向旋轉(zhuǎn)一圈時，映射到F(s)平面內(nèi)的F(s)曲線（ГF）順時針繞原點(diǎn)（Z–P）圈。即N=ZP（或逆時針繞原點(diǎn)N=PZ圈）其中N為圈數(shù)，正、負(fù)表示的旋轉(zhuǎn)方向逆時針為負(fù)，順時針為正。幅角定理9=tg-1幅相曲線對臨界點(diǎn)包圍的圈數(shù)與正負(fù)穿越次數(shù)差相對應(yīng)。707M0時的頻率。當(dāng)，開環(huán)幅相特性曲線GH稱作是Nyquist曲線P=開環(huán)系統(tǒng)s右半平面極點(diǎn)數(shù)研究表明，較小時，2）h≥4～6dB以上；1①應(yīng)用開環(huán)頻率特性曲線判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。(a)對于Ⅰ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn)試討論K在不同范圍內(nèi)取正值時，系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性，并指出系統(tǒng)在右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)的個數(shù)。S右平面Nyquist圍線函數(shù)為：解:開環(huán)頻率特性為F的繪制:GH(j)和GH(-j)關(guān)于實(shí)軸對稱統(tǒng)“慣性”小，動作迅速，ts也小。幅相曲線對臨界點(diǎn)包圍的圈數(shù)與正負(fù)穿越次數(shù)差相對應(yīng)。33＞1,故此時系統(tǒng)穩(wěn)定;0b，稱為系統(tǒng)帶寬。當(dāng)，開環(huán)幅相特性曲線GH稱作是Nyquist曲線有以下三點(diǎn)是明顯的：當(dāng)開環(huán)傳函G(s)H(s)包含積分環(huán)節(jié)時,在對數(shù)相頻曲線為0+的地方,應(yīng)該補(bǔ)畫一條從相角到的虛線,其中v是積分環(huán)節(jié)數(shù)。用奈氏判據(jù)判斷反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性時,一般只需繪制從0到∞時的開環(huán)幅相曲線,然后按其包圍臨界點(diǎn)圈數(shù)N*(逆時針方向包圍時,N*為正;順時針方向包圍時,N*為負(fù))和開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)P,根據(jù)公式函數(shù)為：此時，增益K=500，S右半平面的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P=0。（1）正、負(fù)穿越的概念(4)帶寬頻率ωbM圓越來越小，最后收斂于點(diǎn)；幅頻最大值與零頻幅值之比。一個反饋系統(tǒng),若開環(huán)傳遞函數(shù)右半s平面的極點(diǎn)數(shù)P=0,開環(huán)頻率特性曲線在開環(huán)傳遞系數(shù)(即開環(huán)增益)改變時,閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性將發(fā)生變化。2、相角裕度γ的定義：180°加上開環(huán)幅相曲線幅值等于1時的相角?！螱2（j5）=-180°式中zi和pi分別為F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。如果系統(tǒng)穩(wěn)定，()再負(fù)多少度系統(tǒng)就不穩(wěn)定了。根據(jù)上面的討論，如果將柯西幅角定理中的封閉曲線取奈魁斯特路徑，則可將柯西幅角定理用于判斷閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。>>bode(feedback(g,1))=180o-90o-tg-1(0.解首先，由開環(huán)幅相（極坐標(biāo)）曲線可以確定P---F（S）在Гs內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)；Z---F（S）在Гs內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)；N---ГF曲線繞其原點(diǎn)逆時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。=tg-10b，稱為系統(tǒng)帶寬。P---F（S）在Гs10Z=0P=1N=Z-P=0-1=-1例：Z=0N=Z-P=0-1=-1例：11Z=3P=1N=Z-P=3-1=2

例：Z=3N=Z-P=3-1=2例：12解:G(s)H(s)有兩個積分環(huán)節(jié),故在對數(shù)相頻曲線為0+處,補(bǔ)畫了00到-1800的虛線,作為對數(shù)相頻曲線的一部分。解:系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖示.例5-17下述各圖所示系統(tǒng)開環(huán)都是穩(wěn)定的，試根據(jù)其開環(huán)幅相曲線分析各系統(tǒng)的穩(wěn)定性。為使二階系統(tǒng)不至于振蕩得太厲害以及調(diào)節(jié)時間太長，一般取11)GH(j)圖和GH(-j)圖關(guān)于實(shí)軸對稱將代入上式F包圍原點(diǎn)(0,0)的周數(shù)n=p-z在直線的左邊，且隨著M值的增大，P---F（S）在Гs內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)；它反映了系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性和快速性。半徑為無限小的右半圓：33＞1,故此時系統(tǒng)穩(wěn)定;解首先，由開環(huán)幅相（極坐標(biāo)）曲線可以確定①應(yīng)用開環(huán)頻率特性曲線判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。解：系統(tǒng)有2個開環(huán)極點(diǎn)分布在s的右半平面（P=2），∣G（jωg）H（jωg）∣)=-90o-tg-1（對應(yīng)于映射曲線第Ⅱ部分）要求閉環(huán)穩(wěn)定：Z=0幅相曲線對臨界點(diǎn)包圍的圈數(shù)與正負(fù)穿越次數(shù)差相對應(yīng)。但零值極點(diǎn)不包括在右半開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目中。我們這里是應(yīng)用開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此開環(huán)頻率特性是已知的，輔助方程也已知。高頻段對應(yīng)系統(tǒng)的小時間常數(shù)，對系統(tǒng)動態(tài)性能影響不大。

1、圍線如何??？

為了運(yùn)用Cauchy定理，在頻域內(nèi)驗(yàn)證系統(tǒng)是否穩(wěn)定，需要考慮2個問題：

2、圍線映射如何取？

思路：1、右半平面取為內(nèi)部；

2、圍線映射取為特征函數(shù)。

解:G(s)H(s)有兩個積分環(huán)節(jié),故在對數(shù)相頻曲線13二、輔助函數(shù)

閉環(huán)傳遞函數(shù)記輔助函數(shù)反饋控制系統(tǒng)中，G(s)和H(s)是兩個多項(xiàng)式之比如果G(s)和H(s)無極點(diǎn)和零點(diǎn)對消,則系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)二、輔助函數(shù)

閉環(huán)傳遞函數(shù)記輔助函數(shù)反饋控制系統(tǒng)中，G(s)14b)零點(diǎn)和極點(diǎn)個數(shù)相同;c)F(s)和G(s)H(s)只差常數(shù)1。式中zi

和pi

分別為F(s)

的零點(diǎn)和極點(diǎn)。

由上,輔助函數(shù)F(s)具有如下特點(diǎn):a)其零點(diǎn)和極點(diǎn)分別是閉環(huán)和開環(huán)特征根;物理系統(tǒng)中開環(huán)傳遞函數(shù)分子的最高次冪必小于分母的最高次冪,故F(s)可改寫為b)零點(diǎn)和極點(diǎn)個數(shù)相同;c)F(s)和G(s)H15輔助函數(shù)與開環(huán)傳函的關(guān)系00(-1,j0)F(s)平面圍繞(0,0)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)G0(s)平面圍繞(-1,j0)點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)輔助函數(shù)與開環(huán)傳函的關(guān)系00(-1,j0)F(s)平面圍繞G16F(s)與的關(guān)系圖。ⅠⅡⅢF(s)與的關(guān)系圖。ⅠⅡⅢ17

對于一個控制系統(tǒng)，若其特征根處于s右半平面，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對于上面討論的輔助方程，其零點(diǎn)恰好是閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)，因此，只要搞清F(s)的的零點(diǎn)在s右半平面的個數(shù)，就可以給出穩(wěn)定性結(jié)論。如果F(s)的右半零點(diǎn)個數(shù)為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

我們這里是應(yīng)用開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，因此開環(huán)頻率特性是已知的，輔助方程也已知。設(shè)想：三、乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)1、判據(jù)推理對于一個控制系統(tǒng)，若其特征根處于s右半平面，18

如果有一個s平面的封閉曲線能包圍整個s右半平面，則根據(jù)柯西幅角原理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點(diǎn)的次數(shù)應(yīng)為：

N=F(s)的右半零點(diǎn)數(shù)－F(s)的右半極點(diǎn)數(shù)

=閉環(huán)系統(tǒng)右半極點(diǎn)數(shù)－開環(huán)系統(tǒng)右半極點(diǎn)數(shù)當(dāng)已知開環(huán)右半極點(diǎn)數(shù)時，便可由N判斷閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。如果有一個s平面的封閉曲線能包圍整個s右半平19完成這個設(shè)想需要解決兩個問題：1、如何構(gòu)造一個能夠包圍整個s右半平面的封閉曲線，并且它是滿足柯西幅角條件的？2、如何確定相應(yīng)的映射F(s)對原點(diǎn)的包圍次數(shù)N。并將它和開環(huán)頻率特性相聯(lián)系？完成這個設(shè)想需要解決兩個問題：202、Nyquist圍線①GH在虛軸上無開環(huán)極點(diǎn)S右平面Nyquist圍線可以分成3部分：1、正半虛軸：映射像為GH(jω)，ω從０變到∞,正好是開環(huán)頻率特性曲線；2、負(fù)半虛軸：映射像為GH(jω)，ω從-∞變到０,正好是開環(huán)頻率特性曲線關(guān)于實(shí)軸的對稱曲線；0jω（1）（2）2、Nyquist圍線①GH在虛軸上無開環(huán)極點(diǎn)0jω（213、大半圓弧：3、大半圓弧：22F的繪制:GH(j)和GH(-j)關(guān)于實(shí)軸對稱=-=+=0（3）（1）（2）sL(s)=GH(s)(1)極坐標(biāo)圖(2)原點(diǎn)(3)結(jié)論：ω從+∞變到-∞,映射像收縮為一個點(diǎn)，N=M時，為等于開環(huán)增益的實(shí)軸上的點(diǎn)，其他情況下均為原點(diǎn)。F的繪制:GH(j)和GH(-j)關(guān)于實(shí)軸對稱=-23②

GH在虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)如果GH在虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)，通常用半徑為無窮小的小半圓弧，避開該點(diǎn)。該小半圓弧的映射像為GH平面上的順時針旋轉(zhuǎn)的無窮大圓弧，旋轉(zhuǎn)弧度由系統(tǒng)型數(shù)決定，為v個180度。②GH在虛軸上有開環(huán)極點(diǎn)24S平面半徑為無限小的右半圓：S平面半徑為無限小的右半圓：25(b)對于Ⅱ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn)代入中得：所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的整個圓（順時針）。所以這一段的映射為：半徑為，角度從變到的右半圓（順時針）。(a)對于Ⅰ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn)代入中得：

(b)對于Ⅱ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn)所以這一段的映射為：半徑26奈魁斯特路徑的第Ⅰ部分的映射是曲線向右移1；第Ⅱ部分的映射對應(yīng)，即F(s)=1;第Ⅲ部分的映射是第Ⅰ部分映射的關(guān)于實(shí)軸的對稱。①由可求得，而是開環(huán)頻率特性。一般在中，分母階數(shù)比分子階數(shù)高，所以當(dāng)時，，即F(s)=1。（對應(yīng)于映射曲線第Ⅱ部分）輔助方程與開環(huán)頻率特性的關(guān)系：我們所構(gòu)造的輔助方程為，為開環(huán)頻率特性。因此，有以下三點(diǎn)是明顯的：

奈魁斯特路徑的第Ⅰ部分的映射是曲線向27②F(s)對原點(diǎn)的包圍，相當(dāng)于對(-1,j0)的包圍；因此映射曲線F(s)對原點(diǎn)的包圍次數(shù)N與對(-1,j0)點(diǎn)的包圍的次數(shù)一樣。③F(s)的極點(diǎn)就是的極點(diǎn)，因此F(s)在右半平面的極點(diǎn)數(shù)就是在右半平面的極點(diǎn)數(shù)。

根據(jù)上面的討論，如果將柯西幅角定理中的封閉曲線取奈魁斯特路徑，則可將柯西幅角定理用于判斷閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。就是下面所述的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)。②F(s)對原點(diǎn)的包圍，相當(dāng)于對(-1,j28當(dāng)時，系統(tǒng)開環(huán)幅相特性曲線GH

逆時針包圍點(diǎn)的圈數(shù)N是位于s右半閉平面開環(huán)特征根數(shù)P與位于s右半閉平面閉環(huán)極點(diǎn)Z之差。當(dāng)，開環(huán)幅相特性曲線GH稱作是Nyquist曲線。

3、奈氏定理當(dāng)，開環(huán)幅相特性曲29由于,該系統(tǒng)不穩(wěn)定,閉環(huán)特征方程在右半s平面的根數(shù)為2。且γ和h越大，系統(tǒng)越穩(wěn)定；9)開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定：P>030%，可獲得適度的振蕩性能。只能通過閉環(huán)傳遞函數(shù)求性能指標(biāo)。分別為原來的幅頻和相頻特性。如果F(s)的右半零點(diǎn)個數(shù)為零，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。Z為零,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;否則,不穩(wěn)定。(2)中頻段的斜率與動態(tài)性能的關(guān)系用奈氏判據(jù)判斷反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性時,一般只需繪制從0到∞時的開環(huán)幅相曲線,然后按其包圍臨界點(diǎn)圈數(shù)N*(逆時針方向包圍時,N*為正;順時針方向包圍時,N*為負(fù))和開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)P,根據(jù)公式（對應(yīng)于映射曲線第Ⅱ部分）L()=0dB(2)尼柯爾斯曲線低頻段斜率越負(fù)，積分環(huán)節(jié)數(shù)越多。通常用Mr和b（或r）作為閉環(huán)系統(tǒng)的頻域動態(tài)指標(biāo)。（3）諧振頻率r諧振峰值時頻率?！螱2（jω）=-90°2、圍線映射取為特征函數(shù)。4、穩(wěn)定性判據(jù)

奈氏判據(jù)（2）：若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定(P=0),則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)開環(huán)幅相頻率特性曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

奈氏判據(jù)（1）：反饋控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是奈氏曲線逆時針包圍臨界點(diǎn)的圈數(shù)

N等于開環(huán)傳遞函數(shù)右半s

平面的極點(diǎn)數(shù)P,即N=P;否則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定,閉環(huán)正實(shí)部特征根個數(shù)Z

可按下式確定由于,30奈氏判據(jù)有如下特點(diǎn):

①

應(yīng)用開環(huán)頻率特性曲線判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。

開環(huán)頻率特性曲線可以按開環(huán)頻率特性繪制,也可以全部(或部分)由實(shí)驗(yàn)方法繪制;②便于研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)改變對穩(wěn)定性的影響;③很容易研究包含延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性;④④

奈氏判據(jù)稍加推廣還可用來分析某些非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。奈氏判據(jù)有如下特點(diǎn):①應(yīng)用開環(huán)頻率特性曲線判斷310-1j（a）（b）0-1j0-1j（c）解：因開環(huán)都是穩(wěn)定的，即P=0,根據(jù)奈氏判據(jù)：圖（a）之奈氏曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)，即N=0，故Z=P-N=0，所以，系統(tǒng)穩(wěn)定。

圖（b）之奈氏曲線恰好穿過（-1，j0）點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。

圖（c）之奈氏曲線順時針包圍（-1，j0）點(diǎn)兩圈，即N=-2，故Z=P-N=2≠0，所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

例514已知下圖各系統(tǒng)中開環(huán)都是穩(wěn)定的（即P=0），試根據(jù)各圖奈氏曲線分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。

0-1j（a）（b）0-1j0-1j（c）解：因開環(huán)都是穩(wěn)定32例515一單位反饋系統(tǒng),其開環(huán)傳遞函數(shù)試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性

解:

開環(huán)頻率特性為開環(huán)幅相曲線為圖中的下半圓,當(dāng)時為圖中的上半圓,今P=1,N=1,故系統(tǒng)穩(wěn)定。例515一單位反饋系統(tǒng),其開環(huán)傳遞函數(shù)試用奈氏判據(jù)判335、開環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時奈氏判據(jù)的應(yīng)用

若開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)包含虛軸上的極點(diǎn),則閉曲線s

應(yīng)稍作變動,使其不過此極點(diǎn)。例如G(s)H(s)包含積分環(huán)節(jié)時,習(xí)慣上以半徑趨于零的半圓在原點(diǎn)右側(cè)繞過這一極點(diǎn),小半圓通過G(s)H(s)映射到G(s)H(s)平面的象是半徑趨于無窮的圓弧?！?jj5、開環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定時奈氏判據(jù)的應(yīng)用若開環(huán)傳34[結(jié)論]用上述形式的奈氏路徑，奈氏判據(jù)仍可應(yīng)用于Ⅰ、Ⅱ型系統(tǒng)。但零值極點(diǎn)不包括在右半開環(huán)極點(diǎn)的數(shù)目中。例1：設(shè)Ⅰ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示。開環(huán)系統(tǒng)在s右半平面沒有極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：顯然這是1型系統(tǒng)。先根據(jù)奈氏路徑畫出完整的映射曲線。從圖上看出：映射曲線順時針包圍(-1,j0)一圈，逆時針包圍(-1,j0)一圈，所以N=1-1=0，而，故，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。[結(jié)論]用上述形式的奈氏路徑，奈氏判據(jù)仍可應(yīng)用于Ⅰ、Ⅱ型35例2:某Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示，且s右半平面無極點(diǎn)，試用奈氏判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：首先畫出完整的奈氏曲線的映射曲線。如右圖：從圖上可以看出：映射曲線順時針包圍(-1,j0)兩圈。因，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。例2:某Ⅱ型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性如下圖所示，且s右半平面無36

用奈氏判據(jù)判斷反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性時,一般只需繪制從0到∞時的開環(huán)幅相曲線,然后按其包圍臨界點(diǎn)圈數(shù)N*(逆時針方向包圍時,N*為正;順時針方向包圍時,N*為負(fù))和開環(huán)傳遞函數(shù)在右半s平面上的極點(diǎn)數(shù)P,根據(jù)公式

確定閉環(huán)特征方程正實(shí)部根的個數(shù)。

如果Z為零,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;否則,閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。用奈氏判據(jù)判斷反饋系統(tǒng)穩(wěn)定性時,一般只37

如果開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)包含積分環(huán)節(jié),且假定個數(shù)為v,則繪制開環(huán)幅相曲線后,應(yīng)從與頻率0+

對應(yīng)的點(diǎn)開始,逆時針方向補(bǔ)畫v/4個半徑無窮大的圓。如果開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)包含積分環(huán)節(jié)38例516一單位反饋系統(tǒng),其開環(huán)傳遞函數(shù)

解:

系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖示.圖中,虛線是按v=2從幅相曲線為0+

點(diǎn)逆時針方向補(bǔ)畫的半圓.

由幅相曲線看到,曲線順時針包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈,即N*=-1,而開環(huán)傳遞函數(shù)右半s平面的極點(diǎn)數(shù)為零,即P=0.因此,閉環(huán)特征方程正實(shí)部根個數(shù)故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。例516一單位反饋系統(tǒng),其開環(huán)傳遞函數(shù)39的右側(cè)，隨著M值的減小，M圓也越來越小，因此,閉環(huán)特征方程正實(shí)部根個數(shù)L等于F整體向左移動133＞1,故此時系統(tǒng)穩(wěn)定;其中，ωg為穿越頻率。反之，若按順時針方向包圍點(diǎn)(1,j0)一周，則必負(fù)穿越一次。為穿越頻率）分別為、、，且線性系統(tǒng)的頻域分析法之二否則，γ＜0，h＜1，系統(tǒng)不穩(wěn)定。當(dāng)，開環(huán)幅相特性曲線GH稱作是Nyquist曲線L()=0dB()<-()=-L()>0dB解N+N=12=1，不等于P/2（=1）【Z=P2N=4】,所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。試用對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。N---ГF曲線繞其原點(diǎn)逆時針轉(zhuǎn)過的圈數(shù)。通過開環(huán)幅相特性曲線與等M圓圖的交點(diǎn)，可以得到相應(yīng)頻率的M值，即閉環(huán)幅頻值。若a點(diǎn)沿著單位圓順時針轉(zhuǎn)過r角，則=180o-90o-tg-1(0.G(jωc)H(jωc)例5-17

下述各圖所示系統(tǒng)開環(huán)都是穩(wěn)定的，試根據(jù)其開環(huán)幅相曲線分析各系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

av=1bv=1cv=2dv=3解：因?yàn)橄到y(tǒng)開環(huán)都是穩(wěn)定的，即P=0根據(jù)各系統(tǒng)的所含積分環(huán)節(jié)的個數(shù)，故將其開環(huán)幅相曲線分別補(bǔ)足1/4，1/4，1/2，3/4個圓，如圖所示。

的右側(cè)，隨著M值的減小，M圓也越來越小，例5-17下述各40a，c，d圖開環(huán)幅相曲線均不包圍（-1，0j），故N*=0，所以，

Z=P-2N*=0即它們對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。b圖開環(huán)幅相曲線順時針包圍（-1，0j）一圈，故N*=-1，所以，Z=P-2N*=2≠0即對應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。av=1bv=1cv=2dv=3a，c，d圖開環(huán)幅相曲線均不包圍（-1，0j），故N*=0，41例518設(shè)某系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如下圖所示,給出了半封閉曲線的所有趨勢段

此時，增益K=500，S右半平面的開環(huán)極點(diǎn)數(shù)P=0。試討論K在不同范圍內(nèi)取正值時，系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性，并指出系統(tǒng)在右半平面的閉環(huán)極點(diǎn)的個數(shù)。ImRe0-50-20-0.05=+0=+例518設(shè)某系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如下圖所示,給出了半封閉曲42解首先，由開環(huán)幅相（極坐標(biāo)）曲線可以確定，Nyquist曲線會有無限大圓弧，且為一個整圓，因此，開環(huán)傳遞函數(shù)在原點(diǎn)處有2重極點(diǎn)（2個180度），可以記為

記幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)的對應(yīng)頻率（稱為穿越頻率）分別為、、，且（不必求出）。因此有解首先，由開環(huán)幅相（極坐標(biāo)）曲線可以確定記幅相43線性系統(tǒng)的頻域分析法之二培訓(xùn)講義課件44-1.統(tǒng)“慣性”小，動作迅速，ts也小。線性系統(tǒng)的頻域分析法之二時，G(jω)H(jω)曲線在（1，j0）點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸上的正負(fù)穿越之和為P/2圈。且γ和h越大，系統(tǒng)越穩(wěn)定；記幅相曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)的對應(yīng)頻率（稱例5-19如下圖所示的乃氏曲線中，判別哪些是穩(wěn)定的，哪些是不穩(wěn)定的。式中zi和pi分別為F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。(2)尼柯爾斯曲線即在∣G（jω）∣＞1（即20lg∣G（jω）∣＞0）內(nèi)∠G（jω）對－π線的正、負(fù)穿越次數(shù)相等。（1）正、負(fù)穿越的概念等M圓圖可以作閉環(huán)幅頻特性曲線。=-108o～-144o幅頻最大值與零頻幅值之比。L()=0dB③很容易研究包含延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性;∣G1（jω）∣/∣jω∣即N=ZP（或逆時針繞原點(diǎn)N=PZ圈）對于給定，ts與b成反比。(4)帶寬頻率ωb閉環(huán)傳遞函數(shù)為：ImRe0=+0=+K1=10-1K2=25-1-1K3=1000系統(tǒng)穩(wěn)定時，K的取值范圍為和。其他情況下，系統(tǒng)在右半平面有2個閉環(huán)極點(diǎn)。

-1.ImRe0=+0=+K1=10-1K2=25-1451）繪制極坐標(biāo)圖2）補(bǔ)半圈(的極坐標(biāo)圖)3）,補(bǔ)半徑為無窮大的圓弧4）圖形圍繞旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)5）P=?判斷閉環(huán)穩(wěn)定性利用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟1）繪制極坐標(biāo)圖利用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟46一種簡易的奈氏判據(jù)（1）正、負(fù)穿越的概念G(jω)H(jω)曲線對稱實(shí)軸。應(yīng)用中只畫部分。所謂“穿越”是指軌跡穿過段。正穿越從上而下穿過該段一次（相角增加），用表示。負(fù)穿越由下而上穿過該段一次（相角減少），用表示。線性系統(tǒng)的頻域分析法之二培訓(xùn)講義課件47

正穿越

負(fù)穿越正穿越負(fù)穿越48例：例：49若G(jω)H(jω)軌跡起始或終止于(1,j0)以左的負(fù)軸上，則穿越次數(shù)為半次，且同樣有+1/2次穿越和1/2次穿越。(－1.j0)0-1+1-1/2+1/2+1/2-1/2若G(jω)H(jω)軌跡起始或終止于(50幅相曲線對臨界點(diǎn)包圍的圈數(shù)與正負(fù)穿越次數(shù)差相對應(yīng)。調(diào)節(jié)時間ts與ωc以及γ有關(guān)。（5）剪切率M()在b處的斜率。通過開環(huán)幅相特性曲線與等N圓圖的交點(diǎn)，可以得到相應(yīng)頻率的N值（或），即閉環(huán)相頻值。利用奈氏判據(jù)判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的步驟Mr較高，超調(diào)量p也大，且收F(s)零點(diǎn)：閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)當(dāng)，開環(huán)幅相特性曲線GH稱作是Nyquist曲線尼柯爾斯圖線由兩簇曲線所組成，一簇是對應(yīng)于閉環(huán)頻率特性的幅值()為定值時的軌跡(相當(dāng)于等M圓)；Mr較高，超調(diào)量p也大，且收解：因?yàn)橄到y(tǒng)開環(huán)都是穩(wěn)定的，即P=0解：因?yàn)橄到y(tǒng)開環(huán)都是穩(wěn)定的，即P=0F(s)零點(diǎn)：閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)【（2k+1）】>>g=zpk([],[0,-20,-10],2340)F(s)零點(diǎn)：閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)開環(huán)傳遞函數(shù)：2）h≥4～6dB以上；N=N+－N－=0統(tǒng)“慣性”小，動作迅速，ts也小。例：幅相曲線對臨界點(diǎn)包圍的圈數(shù)與正負(fù)穿越次數(shù)差相對應(yīng)。例：51如果G(jω)H(jω)按逆時針方向繞(1,j0)一周，則必正穿越一次。反之，若按順時針方向包圍點(diǎn)(1,j0)一周，則必負(fù)穿越一次。這種正負(fù)穿越之和即為G(jω)H(jω)包圍的圈數(shù)。故奈氏判據(jù)又可表述為閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是當(dāng)由0變化到時，G(jω)H(jω)曲線在（1，j0）點(diǎn)以左的負(fù)實(shí)軸上的正負(fù)穿越之和為P/2圈。P為開環(huán)傳遞函數(shù)在s右半平面的極點(diǎn)數(shù)。此時Z=P2N*如果G(jω)H(jω)按逆時針方向52若開環(huán)傳遞函數(shù)無極點(diǎn)分布在S右半平面，即，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件應(yīng)該是N*=0。注意這里對應(yīng)的ω變化范圍是。若開環(huán)傳遞函數(shù)無極點(diǎn)分布在S右半平面，即53

例:某系統(tǒng)G(jω)H(jω)軌跡如下，已知有2個開環(huán)極點(diǎn)分布在s的右半平面，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性.解：系統(tǒng)有2個開環(huán)極點(diǎn)分布在s的右半平面（P=2），例:某系統(tǒng)G(jω)H(jω)軌跡如下，已知有54解續(xù)G(jω)H(jω)軌跡在點(diǎn)(1,j0)以左的負(fù)實(shí)軸有2次正穿越，1次負(fù)穿越，因?yàn)镹*=,求得Z=P2N*=22=0所以系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。解續(xù)G(jω)H(jω)軌跡在點(diǎn)(1,j0)以55F包圍原點(diǎn)(0,0)的周數(shù)N=P-Z5)Nyquist圍線s

：包圍整個右半平面F包圍原點(diǎn)(0,0)的周數(shù)n=p-z4）圍線映射：若s包圍F(s)的z個零點(diǎn)和p個極點(diǎn)s平面右半平面沒有閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)，即Z=03)閉環(huán)穩(wěn)定：Z=閉環(huán)系統(tǒng)s右半平面極點(diǎn)數(shù)P=開環(huán)系統(tǒng)s右半平面極點(diǎn)數(shù)2)考慮s右半平面F(s)的零極點(diǎn)情況F(s)零點(diǎn)：閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)F(s)極點(diǎn)：開環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)1)F(s)=1+L(s)=1+GH(s)小結(jié)：F包圍原點(diǎn)(0,0)的周數(shù)N=P-Z5)Nyquist圍56N=P-Z=P;L逆時針包圍(-1,j0)點(diǎn)P周；9)開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定：P>0

要求閉環(huán)穩(wěn)定：Z=0N=P-Z=0;L不包圍(-1,j0)8)開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定：P=0

要求閉環(huán)穩(wěn)定：Z=0L包圍(-1,j0)的周數(shù)N=P-Z7)Nyquist圍線s

：包圍整個右半平面L等于F整體向左移動1F(0,0)點(diǎn)=L(-1,0)點(diǎn)6)F(s)=1+L(s)=1+GH(s)L(s)=F(s)-1FL(1,0)N=P-Z=P;L逆時針包圍(-1,j0)點(diǎn)P周；9)開5755頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系3）在ωc附近Bode圖的斜率控制在-20～10)當(dāng)s在Nyqusit圍線上取值時，L圖可以計(jì)算繪制出來，正好依托開環(huán)極坐標(biāo)圖。F包圍原點(diǎn)(0,0)的周數(shù)n=p-z通過開環(huán)幅相特性曲線與等M圓圖的交點(diǎn)，可以得到相應(yīng)頻率的M值，即閉環(huán)幅頻值。當(dāng)已知開環(huán)右半極點(diǎn)數(shù)時，便可由N判斷閉環(huán)右極點(diǎn)數(shù)。（1）正、負(fù)穿越的概念如果系統(tǒng)穩(wěn)定，()再負(fù)多少度系統(tǒng)就不穩(wěn)定了。L(s)=F(s)-1即在∣G（jω）∣＞1（即20lg∣G（jω）∣＞0）內(nèi)∠G（jω）對－π線的正、負(fù)穿越次數(shù)相等。解續(xù)G(jω)H(jω)軌跡在點(diǎn)(1,j0)以左的負(fù)實(shí)軸有2次正穿越，1次負(fù)穿越，變到０,正好是開環(huán)頻率特性曲線關(guān)于若出現(xiàn)Mr>2，則與此對應(yīng)的p可高達(dá)40%以上。其定義的含義：如果系統(tǒng)對頻率為截止頻率的信號的相角滯后再增大度，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。Mo=M(ω)=M(0)完成這個設(shè)想需要解決兩個問題：穿越頻率ωc附近的區(qū)段為中頻段。(b)對于Ⅱ型系統(tǒng)：將奈氏路徑中的點(diǎn)1、系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性影響L(s)=F(s)-1要求閉環(huán)穩(wěn)定：Z=011)GH(j)圖和GH(-j)圖關(guān)于實(shí)軸對稱(1)GH(j)極坐標(biāo)圖(2)(0,0)(3)GH(-j)圖10)當(dāng)s在Nyqusit圍線上取值時，L圖可以計(jì)算繪制出來，正好依托開環(huán)極坐標(biāo)圖。=-=+=0（3）（1）（2）GH(j)-GH(-j)55頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系11)GH(j)圖和GH58波德圖與極坐標(biāo)圖的對應(yīng)關(guān)系穩(wěn)定A()=1()>-()=-

A()<1L()=0dB()>-

()=-

L()<0dB三、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)波德圖與極坐標(biāo)圖的對應(yīng)關(guān)系穩(wěn)定A()=1()>-59但在工程實(shí)際中，有時也需了解閉環(huán)頻率特性的基本概念和二階系統(tǒng)中閉環(huán)頻域指標(biāo)與時域指標(biāo)之間的關(guān)系。當(dāng)ω=0時，∣G2（jω）∣=∞；解首先，由開環(huán)幅相（極坐標(biāo)）曲線可以確定若出現(xiàn)Mr>2，則與此對應(yīng)的p可高達(dá)40%以上。（2）對于非最小相位系統(tǒng)，不能用>0，h>1兩個條件判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。其中∣G1（jω）∣和∠G1（jω）4．二階系統(tǒng)開環(huán)頻率特性與動態(tài)性能的關(guān)系解:開環(huán)頻率特性為L等于F整體向左移動1G(jωg)H(jωg)1)–Zi在Γs外。0b，稱為系統(tǒng)帶寬。如果有一個s平面的封閉曲線能包圍整個s右半平面，則根據(jù)柯西幅角原理知：該封閉曲線在F(s)平面上的映射包圍原點(diǎn)的次數(shù)應(yīng)為：即在∣G（jω）∣＞1（即20lg∣G（jω）∣＞0）內(nèi)∠G（jω）對－π線的正、負(fù)穿越次數(shù)相等。對應(yīng)∠G（jωg）=-180°時,20lgh1=－20lg∣G（jωg）∣=-(-10)=10故h1=3.55頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系幅頻特性為1的頻率為截止頻率。解：因?yàn)橄到y(tǒng)開環(huán)都是穩(wěn)定的，即P=0臨界穩(wěn)定

A()=1()=-L()=0dB()=-但在工程實(shí)際中，有時也需了解閉環(huán)頻率特性的基本概念和二階系統(tǒng)60不穩(wěn)定A()=1()<-()=-

A()>1L()=0dB()<-

()=-

L()>0dB不穩(wěn)定A()=1()<-L()=0dB611、對數(shù)頻率特性曲線與Nyquist圖的對應(yīng)Nyquist幅相曲線自上而下(相角增加)穿越負(fù)實(shí)軸區(qū)間(-∞,-1)稱為正穿越,用N+表示,自實(shí)軸區(qū)間(-∞,-1)上開始向下稱為半次正穿越;幅相曲線自下向上(相角減小)穿越負(fù)實(shí)軸區(qū)間(-∞,-1)稱為負(fù)穿越,用N-

表示,自實(shí)軸區(qū)間(-∞,-1)上開始向上為半次負(fù)穿越;則幅相曲線對臨界點(diǎn)包圍的圈數(shù)與正負(fù)穿越次數(shù)差相對應(yīng)。1、對數(shù)頻率特性曲線與Nyquist圖的對應(yīng)62

對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)和奈氏判據(jù)本質(zhì)相同,只不過它按對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻曲線的相互關(guān)系來確定N而已。對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)和奈氏判據(jù)本質(zhì)相同,只63伯德圖與乃奎斯特圖的對應(yīng)關(guān)系

極坐標(biāo)圖 伯德圖單位圓 0db線（幅頻特性圖） 單位圓以內(nèi)區(qū)域 0db線以下區(qū)域單位圓以外區(qū)域0db線以上區(qū)域負(fù)實(shí)軸 1800線（相頻特性圖）【（2k+1）】伯德圖與乃奎斯特圖的對應(yīng)關(guān)系64伯德圖上的正負(fù)穿越

因此，奈氏曲線自上而下（或自下而上）地穿越（1，j0）點(diǎn)左邊的負(fù)實(shí)軸，相當(dāng)于在伯德圖中當(dāng)L(ω)>0db時相頻特性曲線自下而上（或自上而下）地穿越180°線。線性系統(tǒng)的頻域分析法之二培訓(xùn)講義課件65

當(dāng)開環(huán)傳函G(s)H(s)包含積分環(huán)節(jié)時,在對數(shù)相頻曲線為0+

的地方,應(yīng)該補(bǔ)畫一條從相角到的虛線,其中v是積分環(huán)節(jié)數(shù)。

計(jì)算正、負(fù)穿越時,應(yīng)將補(bǔ)上的虛線看成對數(shù)相頻曲線的一部分。

由奈氏判據(jù)表明：若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定（P=0），則ω在（0，+∞）變化時，開環(huán)幅相曲線不包圍（-1，0j）點(diǎn)，即曲線繞（-1，0j）點(diǎn)的轉(zhuǎn)角為零時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。當(dāng)開環(huán)傳函G(s)H(s)包含積分環(huán)節(jié)時,66

幅相曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)有兩種情況：

1）幅相曲線不穿越實(shí)軸上（-∞，-1）區(qū)間：2）幅相曲線穿越實(shí)軸上（-∞，-1）區(qū)間，但正穿越次數(shù)N+與負(fù)穿越N－次數(shù)相等。即在∣G（jω）∣＞1（即20lg∣G（jω）∣＞0）內(nèi)∠G（jω）對－π線的正、負(fù)穿越次數(shù)相等。

幅相曲線不包圍（-1，j0）點(diǎn)有兩種情況：1）幅相曲線不67比如：

-1P=0第一種情況-1P=0正負(fù)第二種情況N+=N－=1

N=N+－N－=0即相當(dāng)于沒有穿越。比如：-1P=0第一種情況-1P=0正負(fù)第二種情況N+=68第一種情況：不穿越（-∞，-1），故閉環(huán)穩(wěn)定。第二種情況：穿越（-∞，-1）兩次，但正、負(fù)各一次，故閉環(huán)穩(wěn)定。

若開環(huán)不穩(wěn)定（P≠0），則ω在（0，+∞）變化時，要滿足：Z=P－2N*=0系統(tǒng)才能穩(wěn)定；否則閉環(huán)不穩(wěn)定。注意：G（jω）曲線的起點(diǎn)或終點(diǎn)如果在實(shí)軸（-∞，-1）上的穿越則為半次穿越。

第一種情況：不穿越（-∞，-1），故閉環(huán)穩(wěn)定。第二種情況：69正負(fù)穿越小結(jié)在乃氏圖上，開環(huán)頻率特性，從上半部分穿過負(fù)實(shí)軸的段到實(shí)軸的下半部分，稱為正穿越；開環(huán)頻率特性從下半部穿過負(fù)實(shí)軸的段到實(shí)軸的上半部分，稱為負(fù)穿越；起始于（或終止于）段的負(fù)實(shí)軸的正、負(fù)穿越稱為正負(fù)半穿越；在伯德圖上，在幅值的區(qū)域內(nèi)，當(dāng)角頻率增加時，相頻特性曲線從下向上穿越線稱為正穿越；相頻特性曲線從上向下穿越

線稱為負(fù)穿越。正負(fù)穿越小結(jié)702、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)

一個反饋控制系統(tǒng),其閉環(huán)特征方程正實(shí)部根個數(shù)Z,可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)右半s平面極點(diǎn)數(shù)P和開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的所有頻率范圍內(nèi),對數(shù)相頻曲線與-1800線的正、負(fù)穿越數(shù)之差N*=N+-N-

確定。Z為零,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;否則,不穩(wěn)定。2、對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)一個反饋控制系統(tǒng),其71例某系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點(diǎn)在S右半平面（P=2）解N+N=12=1，不等于P/2（=1）【Z=P2N=4】,所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。例某系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點(diǎn)在S右半平面（P=2）72例5-19如下圖所示的乃氏曲線中，判別哪些是穩(wěn)定的，哪些是不穩(wěn)定的。例5-19如下圖所示的乃氏曲線中，判別哪些是穩(wěn)定的，哪些73解：所以系統(tǒng)穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定解：所以系統(tǒng)穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定74所以系統(tǒng)穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定所以系統(tǒng)穩(wěn)定所以系統(tǒng)穩(wěn)定所以系統(tǒng)不穩(wěn)定所以系統(tǒng)穩(wěn)定75例520一反饋控制系統(tǒng),其開環(huán)傳遞函數(shù)

解:G(s)H(s)有兩個積分環(huán)節(jié),故在對數(shù)相頻曲線為0+

處,補(bǔ)畫了00到-1800的虛線,作為對數(shù)相頻曲線的一部分。

顯見

試用對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。根據(jù),P=0.由于,該系統(tǒng)不穩(wěn)定,閉環(huán)特征方程在右半s平面的根數(shù)為2。例520一反饋控制系統(tǒng),其開環(huán)傳遞函數(shù)76四、條件穩(wěn)定系統(tǒng)1、系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性影響

若開環(huán)增益增加到足夠大,以致,那么,系統(tǒng)就由穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài);如果開環(huán)傳遞系數(shù)減到足夠小,以致于,那么,閉環(huán)系統(tǒng)也由穩(wěn)定狀態(tài)變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)。

一個反饋系統(tǒng),若開環(huán)傳遞函數(shù)右半s平面的極點(diǎn)數(shù)P=0,開環(huán)頻率特性曲線在開環(huán)傳遞系數(shù)(即開環(huán)增益)改變時,閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性將發(fā)生變化。

四、條件穩(wěn)定系統(tǒng)1、系統(tǒng)參數(shù)變化對穩(wěn)定性影響772、條件穩(wěn)定78

只有開環(huán)傳遞系數(shù)在一定范圍內(nèi)時,N才等于零,閉環(huán)系統(tǒng)才穩(wěn)定。

這一系統(tǒng)的穩(wěn)定是有條件的,稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。

對于條件穩(wěn)定系統(tǒng)來說,輸入信號過大時往往會出現(xiàn)不穩(wěn)定現(xiàn)象。這是由于輸入信號過大會引起輸出飽和現(xiàn)象發(fā)生,導(dǎo)致系統(tǒng)開環(huán)傳遞系數(shù)下降。2、條件穩(wěn)定78只有開環(huán)傳遞系數(shù)在一定范圍內(nèi)7854頻域穩(wěn)定裕度54頻域穩(wěn)定裕度79

0ω

ωg

ωc

j

-1

G(jωc)H(jωc)G(jωg)H(jωg)一、臨界穩(wěn)定

一般情況下,我們考慮開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng),則P=0。那么在Nyquist曲線只有不包圍(-1,j0)時系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。當(dāng)幅相曲線經(jīng)過這點(diǎn)時，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。定義：使得幅相曲線穿越實(shí)軸的頻率ωg（ωx）為穿越頻率。幅頻特性為1的頻率為截止頻率?！螱(jωg)H(jωg)=-180°|G(jωc)H(jωc)|=10ωωgωcj80ba-110jr1/h若系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖：考慮a點(diǎn)：但再考慮b點(diǎn)：但若a點(diǎn)沿著單位圓順時針轉(zhuǎn)過r角，則同時成立。

若b點(diǎn)沿著負(fù)實(shí)軸向左移動到(-1,j0)點(diǎn)，則同時成立。頻率域內(nèi)，穩(wěn)定系統(tǒng)有2條途徑滑向臨界穩(wěn)定，因此，有2個穩(wěn)定裕度指標(biāo)。二、穩(wěn)定裕度ba-110jr1/h若系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線如圖：考慮a點(diǎn)：但81其中，ωg為穿越頻率。其定義的含義：如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞系數(shù)增大到原來的h倍，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

0ω

ωg

ωc

j

-1

G(jωc)H(jωc)G(jωg)H(jωg)

h稱為幅值裕度

1、幅值裕度h的定義：

幅相曲線上相角為-180°時所對應(yīng)的幅值之倒數(shù)。即（-1，0j）點(diǎn)的幅值與ω=ωg的幅值之比。即：

1h=—————————∣G（jωg）H（jωg）∣

注意：即使h相同，系統(tǒng)的穩(wěn)定程度也可以不同。其中，ωg為穿越頻率。其定義的含義：如果系統(tǒng)的開環(huán)傳遞系數(shù)增82

其中，ωc為系統(tǒng)截止頻率（零分貝頻率）

。其定義的含義：如果系統(tǒng)對頻率為截止頻率的信號的相角滯后再增大度，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

γ稱為相位裕度2、相角裕度γ的定義：

180°加上開環(huán)幅相曲線幅值等于1時的相角。即：

γ=180°＋∠G（jωc）H（jωc）=180°＋φ（ωc）γ的理解：指幅相曲線上幅值等于1的復(fù)向量與負(fù)實(shí)軸的夾角。

其中，ωc為系統(tǒng)截止頻率（零分貝頻率）。其定義的含義：83ba-110j1/h

僅用相角裕量或幅值裕量都不能較全面地描述系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。上述兩個系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)都是很差的，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性也很差。-110j1/hba-110j1/h僅用相角裕量或幅值裕量都不能較全面地84幅值裕度:當(dāng)

如果系統(tǒng)穩(wěn)定，L()再向上移動多少分貝系統(tǒng)就不穩(wěn)定了。如果是系統(tǒng)不穩(wěn)定，L()再改善多少分貝系統(tǒng)就穩(wěn)定了。3、在Bode圖中求取h和γ

幅值裕度:當(dāng)如果系統(tǒng)穩(wěn)定，L()再向上移動85開環(huán)截止頻率相角裕度：當(dāng)

如果系統(tǒng)穩(wěn)定，()再負(fù)多少度系統(tǒng)就不穩(wěn)定了。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，相反，()再改善多少度系統(tǒng)就穩(wěn)定了。開環(huán)截止頻率相角裕度：當(dāng)如果系統(tǒng)穩(wěn)定，(86穩(wěn)定系統(tǒng)ba-110j1/h不穩(wěn)定系統(tǒng)ba-110j1/h穩(wěn)定系統(tǒng)ba-110j1/h不穩(wěn)定系統(tǒng)ba-110j1/h87結(jié)論：對于開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的條件為：γ＞0，h＞1；且γ和h越大，系統(tǒng)越穩(wěn)定；否則，γ＜0，h＜1，系統(tǒng)不穩(wěn)定。注意：（1）只有最小相位系統(tǒng)，當(dāng)>0，h>1兩個條件同時滿足時，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）對于非最小相位系統(tǒng)，不能用>0，h>1兩個條件判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。結(jié)論：對于開環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的條件為：γ＞0，h＞188注意：（3）對于最小相位系統(tǒng)，越大，h越大，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性越好，但同時考慮系統(tǒng)的動態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)誤差。

工程設(shè)計(jì)中，一般?。?/p>

1）γ=30°～70°（45°最佳）；

2）h≥4～6dB以上；

3）在ωc附近Bode圖的斜率控制在-20～

-40dB/dec（以-20較理想）。注意：（3）對于最小相位系統(tǒng)，越大，h越大，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定89解：解法一：

根據(jù)G（jω）=k/jω（jω+1）（jω/5+1），在ω∈（0，+∞）內(nèi)求出相應(yīng)的∣G（jω）∣和∠G（jω），并分別畫出當(dāng)K=2和K=20時的兩條幅相曲線如下圖所示。

例521某單位負(fù)反饋系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為

G（S）=k/S（S+1）（S/5+1），試分別求K=2和K=20時，系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度。

從圖中分別讀得：解：解法一：根據(jù)G（jω）=k/jω（jω+1）90

當(dāng)：K=2時，γ1≈24°＞0

，

h1=1/∣-0.3∣≈3.33＞1,故此時系統(tǒng)穩(wěn)定;

K=20時,γ2

≈

－24°＜0，

h2=1/∣-3.2∣≈

0.313＜1,此時系統(tǒng)不穩(wěn)定;

γ1γ2K=20K=2-2j0當(dāng)：γ1γ2K=20K=2-2j091解法二:由G(S)繪制系統(tǒng)的Bode圖如下:1520-180°-270°當(dāng)K=2時,對應(yīng)∣G（jωc）∣=1時,有∠G（jωc）=-156°，故：γ1=180°+(-156°)=24°

對應(yīng)∠G（jωg）=-180°時,20lgh1=－20lg∣G（jωg）∣

=-(-10)=10故h1=3.16解法二:由G(S)繪制系統(tǒng)的Bode圖如下:1520-1892同理,當(dāng)K=20時,對應(yīng)∣G（jωc）∣=1時,有∠G（jωc）=-204°，故γ2=180°+(-204°)=－24°,

對應(yīng)∠G（jωg）=-180°時,

20lgh2=－20lg∣G（jωg）∣=-(10)=-10

故h2=0.316可見,當(dāng)K=2時,系統(tǒng)穩(wěn)定；當(dāng)K=20時,系統(tǒng)不穩(wěn)定。

1520-180°-270°同理,當(dāng)K=20時,對應(yīng)∣G（jωc）∣=1時,有∠G（93解：（1）已知P=0，且從圖中可知

N=-1，故Z=P-2N=2,所以，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；

（2）串入一個1/S后，系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性變?yōu)椋?/p>

0-1．4(ω=5)0．7(ω=250)

-1

-1.3(ω=10)∣G2（jω）∣=∣G（jω）H（jω）∣/∣jω∣=∣G1（jω）∣/∣jω∣∠G2（jω）=-90°+∠G1（jω）

例522某系統(tǒng)開環(huán)頻率特性G（jω）H（jω）如下，且P=0。1)試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性；2)若再串入一個積分環(huán)節(jié)1/S，試重新判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解：（1）已知P=0，且從圖中可知N=-1，故Z=P940-1．4(ω=5)0．7(ω=250)

-1

-1.3(ω=10)其中∣G1（jω）∣和∠G1（jω）分別為原來的幅頻和相頻特性。

當(dāng)ω=0時，∣G2（jω）∣=∞；∠G2（jω）=-90°

當(dāng)ω=5時，∣G2（j5）∣=1.4/5=0.28；∠G2（j5）=-180°

當(dāng)ω=10時，∣G2（j10）∣=1.3/10=0.13；∠G2（j10）=-270°

當(dāng)ω=250時，∣G2（j250）∣=0.7/250=0.0028；∠G2（j250）=0°當(dāng)ω=∞時，∣G2（j∞）∣=0；∠G2（j∞）=-90°

由此,可繪制G2（jω）幅相特性曲線如下:

∣G2（jω）∣=∣G1（jω）∣/∣jω∣∠G2（jω）=-90°+∠G1（jω）

0-1．4(ω=5)0．7(ω=250)-1950-1已知:P=0，且從圖中可知N=0，故Z=P-2N=0，所以，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；

0-1已知:P=0，且從圖中可知N=0，9655頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系

55頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系

97一、開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系二、閉環(huán)頻率特性與時域指標(biāo)的關(guān)系一、開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系二、閉環(huán)頻率特性與時域指標(biāo)的98

常將開環(huán)頻率特性分成低、中、高三個頻段。一、開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系-40dB/dec-40dB/dec-20dB/dec低頻段高頻段中頻段0ωdB

L(ω)ωcω1ω2

三個頻段分別與系統(tǒng)性能有對應(yīng)關(guān)系，下面具體討論。常將開環(huán)頻率特性分成低、中、高三個頻段。一991．低頻段低頻段由積分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)構(gòu)成：

G(s)=sKυ對數(shù)幅頻特性為：ω0KKνKυ=0υ=1υ=2-20υKυG(jωω

)=

)(jL(ω

)=20lgA()ωK=20lgυω=20lgK-v20lgω根據(jù)分析可得如圖所示的結(jié)果：

可知：

曲線位置越高，K值越大；低頻段斜率越負(fù)，積分環(huán)節(jié)數(shù)越多。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能越好。dB

L(ω)1．低頻段低頻段由積分環(huán)節(jié)和比例環(huán)節(jié)構(gòu)成：G(s)=sKυ100

2.中頻段

穿越頻率ωc附近的區(qū)段為中頻段。它反映了系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性和快速性。(1)穿越頻率ωc與動態(tài)性能的關(guān)系可近似認(rèn)為整個曲線是一條斜率為

-20dB/dec的直線。設(shè)系統(tǒng)如圖:-20dB/dec0+20-20開環(huán)傳遞函數(shù)：G(s)≈

sK閉環(huán)傳遞函數(shù)為：ts≈3T穿越頻率ωc

反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快速性。s=ωcss1+ωc(s)=φωc1s+11=ωc=3ωcωdB

L(ω)ωc2.中頻段穿越頻率ωc附近的區(qū)101(2)中頻段的斜率與動態(tài)性能的關(guān)系設(shè)系統(tǒng)如圖:-40dB/dec0+20-20開環(huán)傳遞函數(shù)：G(s)≈

s2K閉環(huán)傳遞函數(shù)為：處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)

中頻段斜率為-40dB/dec

，所占頻率區(qū)間不能過寬，否則系統(tǒng)平穩(wěn)性難以滿足要求。通常，取中頻段斜率為-20dB/dec

。

可近似認(rèn)為整個曲線是一條斜率為

-40dB/dec的直線。s2=ω2c1+(s)=φs2ω2cs2ω2cs2+

=cω2cω2ωdB

L(ω)ωc(2)中頻段的斜率與動態(tài)性能的關(guān)系設(shè)系統(tǒng)如圖:-40dB102例5-23試分析中頻段與相對穩(wěn)定性的關(guān)系。ω1-20dB/dec0ω2-40dB/decω3-40dB/dec(1)曲線如圖對應(yīng)的頻率特性:γ=72o～54o設(shè)：G(jK(1+j)(1+j))(1+jωωωωω1ω2ω3ωj)=)=-90o-tg-1cc+tg-1c-tg-1(ωφcω1ωω2ωω3ωc==33c2ωωωωc2ωωtg-1=tg-13=72o13c3ωωtg-1=tg-1=18o=-126o)(ωφcωdB

L(ω)ωc可求得:=0

ω1=-108o)(ωφcω1=ω1ω2ω1-20dB/decω1例5-23試分析中頻段與相對穩(wěn)定性的關(guān)系。ω1-20d103ω1-20dB/decω2-60dB/decω3-20dB/dec(2)曲線如圖-40dB/dec對應(yīng)的頻率特性:同樣的方法可得:γ=72o～36o=-108o～-144o)(ωφcωdB

L(ω)ωcω2G(jK(1+j)(1+j))(1+jωωωω1ω2ω3ωj)=2ω1-20dB/decω2-60dB/decω3-20dB/104(3)曲線如圖ω1-20dB/dec0ω2-60dB/dec-40dB/dec對應(yīng)的頻率特性:同樣的方法可得:γ=18o～-18oω2G(jK(1+j)(1+j)ωωω1ω2ωj)=ωdB

L(ω)ωc=-162o～-198o)(ωφc上述計(jì)算表明，中頻段的斜率反映了系統(tǒng)的平穩(wěn)性。(3)曲線如圖ω1-20dB/dec0ω2-60dB/de1053．高頻段

高頻段反映了系統(tǒng)對高頻干擾信號的抑制能力。高頻段的分貝值越低，系統(tǒng)的抗干擾能力越強(qiáng)。高頻段對應(yīng)系統(tǒng)的小時間常數(shù)，對系統(tǒng)動態(tài)性能影響不大。一般即L(ω

)=20lg|G(j)|<<0ω|G(j)|<<1ω≈|G(j)|ω)|=(jωφ|1+G(j)|ω|G(j)|ω|3．高頻段高頻段反映了系統(tǒng)對高頻干擾信號的抑制1064．二階系統(tǒng)開環(huán)頻率特性與動態(tài)性能的關(guān)系開環(huán)傳遞函數(shù)：ωdB

L(ω)020-20-20dB/decωn2ζ-40dB/decω0-90-180)

(ωφγ平穩(wěn)性:σ%γ快速性:

ts

G(s)=2s(s+2)ζnωnω)=(jjωnω2G(j+2)ζnωωω)=ω2A(2+(2)ζnωωωnω2)=-90o-tg-12nω(ωφζωcωωc4．二階系統(tǒng)開環(huán)頻率特性與動態(tài)性能的關(guān)系開環(huán)傳遞函數(shù)：107(1)相位裕量γ和超調(diào)量σ%之間的關(guān)系得0<ζ<0.707近似為0.20.40.60.81.010203040506070800204060801001201400ζσ%γγσ%)=ω2A(2+(2)ζnωωωnω2cc=1cω42ζnω2cω2nω4+4-=0

=tg-1-22+14ζ4ζ2ζcωnω-2=+14ζ4ζ22=tg-1ζnωcω=180o-90o-tg-12ζnωcωγ=180o+)

(ωφcσ%=100%e-ζζπ1-2=100ζγ)

(ωcγ越大，σ%越??；反之亦然。ζ與γ、σ%之間的關(guān)系曲線(1)相位裕量γ和超調(diào)量σ%之間的關(guān)系得108根據(jù)：

調(diào)節(jié)時間

ts

與ωc以及γ有關(guān)。γ不變時，穿越頻率ωc

越大，調(diào)節(jié)時間越短。得得(2)cω、γ與ts

之間的關(guān)系ts=3ζnωcωnω-2=+14ζ4ζ2ts·3=cωζ-2+14ζ4ζ2ts·tg6γcω=

=tg-12γ-2+14ζ4ζ2ζ再根據(jù)：根據(jù)：調(diào)節(jié)時間ts與ωc以及γ有關(guān)。109例5-24分析隨動系統(tǒng)的性能，求出系統(tǒng)的頻域指標(biāo)ωc、γ和時域指標(biāo)σ%、ts。s(0.5s+1)20θr(s)θc(s)-解：(1)隨動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖s(0.5s+1)20G(s)=ωdB

L(ω)020-20-20dB/dec-40dB/decω0-90-180)

(ωφ2可得：=180o-90o-tg-1(0.5×6.3)=90o-72.38o=17.62oγcω0.520≈12=6.3cωγ=180o+)

(ωφcζ=γ/100=0.176=3s=57%cωnω-2=+14ζ4ζ2σ%=100%e-ζζπ1-2tstg6γcω=ωc=6.5例5-24分析隨動系統(tǒng)的性能，求出系統(tǒng)的頻域指標(biāo)ωc、110加入比例微分環(huán)節(jié)1)

τ=0.01θr(s)s(0.5s+1)20θc(s)-s+1τ解：s(0.5s+1)20(0.01s+1)G(s)=ωdB

L(ω)020-20-20dB/dec-40dB/decω0-90-180)

(ωφ2100-20dB/dec可得γ=180o-90o-tg-1(0.5×6.3)+tg-1(

0.01×6.3)=21.22oγζ=γ/100=0.21=6.59σ%=51%ts=2.4scω0.520≈12=6.3cωcωnω-2=+14ζ4ζ2ωc另外所以加入比例1)τ=0.01θr(s)s(0.5s+1)201112)τ=0.2s(0.5s+1)20(0.2s+1)G(s)=ωdB

L(ω)020-20-40dB/decω0-90-180)

(ωφ25-20dB/dec-20dB/decγ=180o-90o-tg-1(0.5×8)+tg-1(0.2×8)=72oγ由于只能通過閉環(huán)傳遞函數(shù)求性能指標(biāo)。