2019年高考數(shù)學(xué)專題-立體幾何中的截面問題

【精品】2019年高考數(shù)學(xué)專題--立體幾何中的截面問題過三個(gè)點(diǎn)的截面與正方體的六個(gè)面的交線（作圖步驟）：情形一：有兩點(diǎn)共面C情形一：有兩點(diǎn)共面C找共面的兩點(diǎn)P、R,作直線PR；②延長B②延長B】Ai,直線B】Ai與直線PR交于點(diǎn)M,則M在面A1B1CQ1上；連結(jié)MQ，直線MQ與A】D1交于點(diǎn)N；連結(jié)NP；在面ABCD上作直線RF//NQ，RF交BC于點(diǎn)F；（兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，它們的交線平線.）延長，直線B】B與直線PR交于點(diǎn)G，則G在面BBH上;連結(jié)GF，直線GF與CC1交于點(diǎn)H，連結(jié)QH.CC

CC任兩點(diǎn)不共面H①作直線PQ,則PQ為底面ABCD任兩點(diǎn)不共面H①作直線PQ,則PQ為底面ABCD的斜線;情形二：C過點(diǎn)Q做QQi垂直CD于點(diǎn)Qi,則點(diǎn)Q在面ABCD上的射影為點(diǎn)Qi,易知點(diǎn)P在面ABCD上的射影為點(diǎn)A；連結(jié)QiA,直線QiA與直線QP交于點(diǎn)M,則M為截面PQR上的

一點(diǎn)。由觀察可得，M、Q和R三點(diǎn)中有M、R共面，后面的步驟歸結(jié)為情形一（連結(jié)MR,）.注意：斜線在平面上的射影的確定方法有:連結(jié)斜足和垂足，如圖一；連結(jié)兩個(gè)垂足,/圖一連捷備點(diǎn)即可圖二.迄兩個(gè)要做平行踐3這個(gè)要狀出平面與底面的交線，先做蚯在底曲的射彭E卩,然后延長找到交線上的另一點(diǎn)卩,連漲找到％后面的就簡單了

/圖一連捷備點(diǎn)即可圖二.迄兩個(gè)要做平行踐3這個(gè)要狀出平面與底面的交線，先做蚯在底曲的射彭E卩,然后延長找到交線上的另一點(diǎn)卩,連漲找到％后面的就簡單了立體幾何中的截面問題-＞就面的定義屍作法用一個(gè)平面去截幾何體.此平面與幾何體的交集，叫做這牛幾何體的載面.此平面與幾河體表血的交集（交線j叫做截線?此平面匂幾何體的棱的爻恿咬點(diǎn)）叫做武點(diǎn)?K方法（交線法）.該作圖關(guān)鍵在于確定噩點(diǎn)，育了位于多面體同一表面上的兩個(gè)截點(diǎn)即可連結(jié)成截線.從而求得截働+沢低限線與戰(zhàn)點(diǎn)餉主鑒痕據(jù)有*口）確定平面的簫件.（刃如果兩個(gè)不直合的平鹵有一個(gè)公其點(diǎn)，罪么它們和空于過毗點(diǎn)的—條霍線”（3）如果一條山魏上的兩點(diǎn)在一個(gè)罕面內(nèi).那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi).⑷如果一條豐給F行于一個(gè)屮淋經(jīng)過這條直線的riffle這個(gè)甲面相交.那么這條直線就和交線平彳亍■（引如果兩個(gè)平面平行,第三個(gè)平而和密們相交，那么兩條交線M亍一類型"截血經(jīng)過的三個(gè)已知點(diǎn)分別在參面體的梭上，且其中有兩點(diǎn)在同一個(gè)而的按上.洌1；如圖’正方體且舀「D—掛場〔；站中，E.F.G分則左且乩目匚?？谏?，求作過EF.G三點(diǎn)的栽面-作法』（D在底而片。內(nèi)，過風(fēng)T作直線朋分別與勵(lì)、兀的延長線交于乙M.⑵在側(cè)而珂"內(nèi).謹(jǐn)結(jié)上擰交則［于K⑶在惻面坷Q內(nèi).連結(jié)掘交的于丘（4）連結(jié)宓阻則五邊形醐磁即為所求的載面.QCE2.-P、認(rèn)F三點(diǎn)分別在直四樓柱的棱現(xiàn)兌j和碼上，試畫出過只Q、卅三點(diǎn)的戡面QCE作法：⑴連接W硼井延長，分別交師的的延長線于盡F.⑵連接爾交佔(zhàn)于八交卻于汐?「（3）連接斤￡TK則多邊形旳翻即為所求截SL

例3：己知AQ斤分別是四棱柱肋4如巧彳巧的梭金沏1和血1上的點(diǎn)，且站與血不平行，求悴過這三點(diǎn)的戴面.作法：⑴連接妒井延怏交加延長線于點(diǎn)人（刃在平面馭4內(nèi)連接刃交血于魚也（引連接爐磁則四邊形尸昭r即為所求。II?古例套如五棱毎P—側(cè)屋中#三條側(cè)棱上各有一已知點(diǎn)F、G、H,求作過只G、甘的截面.II?古作法’⑴將側(cè)面削風(fēng)PSC.磁伸展得到三棱錐i於匚⑵在側(cè)面P虧內(nèi),逢結(jié)并延長癥.交於于兀（為在側(cè)面膚r內(nèi),連結(jié)并延長胡交刃于匚⑷怪側(cè)面出『內(nèi).連結(jié)皿分別交PE亍樂M⑸連結(jié)感曲則五邊形陽醐聞為所求的截面類型Z載面經(jīng)過的三于已知點(diǎn)至少有一點(diǎn)在多面體的瓶上，其余點(diǎn)在援上例3：如圖，正方體朋4地約匂竝中，類型Z載面經(jīng)過的三于已知點(diǎn)至少有一點(diǎn)在多面體的瓶上，其余點(diǎn)在援上f在底面』1勺內(nèi)，求過EF、&的戡而,作法；⑴過區(qū)產(chǎn)作輔助面’在面血內(nèi)?過尸柞f在底面』1勺內(nèi)，求過EF、&的戡而,作法；⑴過區(qū)產(chǎn)作輔助面’在面血內(nèi)?過尸柞叭#叫S勺q于點(diǎn)尸1”則面?zhèn)兩诪樗醯妮o助面.（小連結(jié)逝并延長與駆延長線交于Q連接如交肋于夙⑸連結(jié)出限則五邊形頤膚為所求的截面.

例6：己知直四棱柱/烷，嚴(yán)在面込些l內(nèi)，。在面百嚴(yán)i內(nèi).f在棱函上,畫出過只Q、丘三點(diǎn)的武面。件法：⑴過尸作田丄伽于點(diǎn)已過Q作?！騺A肋于C⑵在底面朋如內(nèi)連接朋*BQ,井交于菽⑶由平行城肱作平面的冊(cè)連接?兄⑷在平面購就內(nèi)過舟作冊(cè)工面MGZ交紗于禮⑸由平行線廳?曲i作平WPfAAv則用必落在茴護(hù)血］內(nèi)⑹在面PPAAy內(nèi)，連接加井延長空曲1于払⑺在面心曲久內(nèi)「連接昭并延扶交例于G⑻在面DXDCCX內(nèi)『連接朋并延長交旳予幾3)連接刃；甌則塞邊形溯丁即為所求"類型浜就瞬絵過的三個(gè)已知點(diǎn)中?有兩個(gè)點(diǎn)在同一擾上.第三點(diǎn)在筍面怦內(nèi)例「試作出過正三棱柱磁一月1勺q的底邊淹及兩底中心連賤陽1中點(diǎn)的戟血匸作法’(D過角』和碼柞平面/叫g(shù)交處于風(fēng)愛方苗1于現(xiàn)，則a坷分別為bc.約q的中點(diǎn)°⑵征平面如腸內(nèi)，作亞純砒交上底面勺坷q于點(diǎn)&⑶在平面輛q內(nèi).過Q作辭7坷q交珂巧于莊交于尺(4連接血⑦則麥邊形冊(cè)遼為審求+.5.5例氏程側(cè)棱和高的夾角為口的正四棱錐中，求作一個(gè)過底面頂點(diǎn)且與這點(diǎn)所對(duì)側(cè)棱垂直的裁面(a<4V).作法：(D在乎面朋C中》作AELSG于點(diǎn)丘⑵崔底而屈席內(nèi)過占作必砂。站)延長綣創(chuàng)分別交乂于點(diǎn)MM(4)謹(jǐn)接啟EN、分別交期、眾?于點(diǎn)G氐馬)連接』A姙則寥邊形衛(wèi)畫即為所求B類型吐截謝經(jīng)H的三個(gè)己知點(diǎn)兩兩不在何一面內(nèi)的棱上.M例鮎aa怡三點(diǎn)分別在直四棱柱眄的様軻、坷坷和曲上，試畫出過只a怡三點(diǎn)作法：⑴先m兩點(diǎn)作備助平面-過點(diǎn)云作旳加碼交如坷于罰，則面儷作法：⑴先m兩點(diǎn)作備助平面-過點(diǎn)云作旳加碼交如坷于罰，則面儷g為所懈I連接円？丼址長交AD前延長絞于」q-【同樣.求岀P0誇r-[fil'ABCD吟確點(diǎn)M：,連接隔一迅得制就銭連接盒0-加得到所求截IfliPQKHR若A/阿不叮底rfdABCD的內(nèi)部松交，而是交丁它的延謹(jǐn)血匕ffil可延長DC■交％見FA/3+連接掘/得剝泄線&廠連接『6&M得別所求泄曲戶。77?AA劃訂：如阿EF分別￥l掖圧先廚直」：?G左平面內(nèi).柞過E或一&的醐］解；隹礙到M,N兩點(diǎn)后，只能去作出恂］4「卜価儼線亦0琴易從圖三看出英氽步愿從而得到所求截mEFLKH我們耙己期三點(diǎn)中有闕牛點(diǎn)分別臣正方障的兩亍共向的陵卜一的作截面厲叫做睪本題釵?有明品的規(guī)律性例⑵L.F.G分別在兩兩異畫的三條棱1:?畫出過￡?F、G1點(diǎn)E槽.L解：作GP丄DC.謹(jǐn)接嗎G秤且F?連接GE井廻長辺只』的站長線丁MT連i^MF交AB與H*連接￡77,任平陽ABCD內(nèi)悴GK//EH交CCt丁K，連接KF世平聞AD、內(nèi)ftERfJKF楚昌Q于R?連孩RG?則所求戲Ihi為人邊形EHFKGR［;i）通過石P丄DU得到一-傘輔助平而耳GRrt?它把正方體分割出一個(gè)直四撞柱衛(wèi)GTLz!'ifBJW=圖8這就回到基本題型?主芻是構(gòu)建輔助平而使所給的三點(diǎn)中的兩點(diǎn)分別在峯的其面的兩簫棱上而￡.G兩點(diǎn)分別在這個(gè)直赳樓Eit師的兩條棱\.?JVJV則作截面的步驟.仍是先作一個(gè)適當(dāng)?shù)妮o助平面，歸結(jié)為星本題型左圏中的輔助V面為則作截面的步驟.仍是先作一個(gè)適當(dāng)?shù)妮o助平面，歸結(jié)為星本題型左圏中的輔助V面為A.QPA■相應(yīng)的直陵柱為4^1一且丹【注】如果G在平面g內(nèi)時(shí).任平面*內(nèi)作GP//B}C^輔助平iftlPOCB分割出直四棱柱-44甬一0010乂回創(chuàng)皋本題世.崔求得MN兩點(diǎn)后’易得截ifiiERFKH若E在棱E4上，F(xiàn).G分別祀不經(jīng)過.陵九％的兩個(gè)麗（共棱的兩個(gè)面或H1對(duì)的?兩個(gè)窗》內(nèi).則件截而的步驟，仍是先作一個(gè)適當(dāng)?shù)妮o助平山n歸結(jié)為峯本題空若E在棱衛(wèi)耳上?F.G分別在不經(jīng)過陵圮￡的兩個(gè)而（共棱的兩個(gè)【佰或柑對(duì)的兩個(gè)面）內(nèi).右闇中的輔助半面為A.OR.A?機(jī)應(yīng)的口磧柱為衛(wèi)QGBfERCBEFG三點(diǎn)分別在正方體的［個(gè)面內(nèi),三個(gè)面分共頂點(diǎn)的和不共頂點(diǎn)兩種情況

例爍E崔平面43內(nèi)?F崔平面耳C內(nèi).。崔平而爲(wèi)耳內(nèi),求過EFG的載而Gtf.il:方體的內(nèi)部.求過EF.G的社而Gtf.il:方體的內(nèi)部.求過EF.G的社而得到直五樓柱A.RQC.D,-ATPCD,連接EF井延長變PQ附運(yùn)長線子M，按培本題瞰方法作出aiffiKHLS咧1:,EF分別枇正方體的梭楓C&DlG骼：過G作GHLHnAC.并碰長交平而角G于広?作輔助TifiiB.PQB?連接EG井延設(shè)交PQTR.DlG連&EF,在平面內(nèi)過7?作：73"廿\連接花和FS.則所求盤麗為ZiFS例怎EG分別在正方i^ABCD-^Cfy的內(nèi)部和外粘F程棱怒上才咸過E、FG三點(diǎn)的正方體的戲血解；過￡G兩點(diǎn)分刪乍￡尸和GD'垂直平麗AC?垂足為RD?作輔圖長方^A'BC'D-A^烏a?作輔助平［S'APQR交平潮BC1f5F?程接FE舟延検交SF于K,SIRS的延長粽于連接肘G交>H?理接冉人井延栓交￡［；于2\交5B.TL,在屮而占匚內(nèi)”柞TN/fHG.1S4?NF+則兩求取廊為四邊聊FI7N【總結(jié)】；①若已知兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)」只要連接這兩點(diǎn)，就可以得到截面與多面體的一個(gè)面的截踐B若面上只有一個(gè)己知