數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練題

數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練題1、個人住房貸款，根據(jù)中國人民銀行頒布的《個人住房貸款管理辦法》的規(guī)定，個人住房貸款的最長期限為30年，5年(含5年)的年利率為5.31%(折合月利率為4.425%。)，5年以上年利率為5.58%(折合月利率為4?65%0)。同時還規(guī)定了個人住房貸款的兩種按月還本付息的辦法。第一種是等額本息還款法，即在貸款期間借款人以月均還款額償還銀行貸款本金和利息；第二種是等額本金還款法(又叫等本不等息還款法)，即在貸款期間除了要還清當(dāng)月貸款的利息外，還要以相等的額度償還貸款的本金。(1)試給出兩種還款法的每月還款額、還款總額和利息負(fù)擔(dān)總和的計算公式。(2)若一借款人從銀行得到貸款40萬元，計劃20年還清。試以此為例說明借款人選擇何種還款法更為合算？2、某居民區(qū)有一供居民用水的圓柱形水塔，一般可以通過測量其水位來估計水的流量。面臨的困難是，當(dāng)水塔水位下降到設(shè)定的最底水位時，水泵自動啟動向水塔供水，到設(shè)定的最高水位的時候停止供水，這段時間無法測量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一兩次，每次約3h.水塔是一個高為12?20,直徑為17.4m的正圓柱。按照設(shè)計。水塔水位降至約8.2m時，水泵自動啟動，水位升至約10.8m時水泵停止工作。下表是某一天的水位測量記錄(符號“〃”表示水泵啟動)，試估計任何時刻(包括水泵正供水時)從水塔流出的水流量，及一天的總用水量。表1水位測量記錄(符號//表示水泵啟動)時刻(h)水位(cm)0 0.92 1.84 2.953.87 4.98 5.90 7.017.938.97968 948 931 913898 881 869 852839822時刻(h)水位(cm)9.9810.9210.9512.0312.9513.8814.9815.9016.8317.93// // 108210501021994965941918892時刻(h)水位(cm)19.0419.9620.8422.0122.9623.8824.9925.91866 843 822 // // 10591035 10183、某探險隊駕駛一越吉普車穿行2000km的大沙漠。除起點能得到足夠的汽油供應(yīng)外，行車途中的燃料供應(yīng)必須在沿途設(shè)立若干的儲油點，依靠自己運輸汽油來解決。該車在沙漠中行車平均每公里耗油0.25L,車載油箱及油桶總共只能裝載250L汽油。請設(shè)計一個最優(yōu)的行車方案，使行車耗油最少而通過沙漠。試根據(jù)實際情況進(jìn)行推廣和評價。4、由于軍事上的需要，需將甲地n名戰(zhàn)斗人員(不包括駕駛員)緊急調(diào)往乙地,但是由于運輸車輛不足，m輛車無法保證每個戰(zhàn)斗人員都能同時乘車，顯然，部分戰(zhàn)斗人員乘車，部分戰(zhàn)斗人員急行軍是可行的方案。設(shè)每輛車載人數(shù)目相同，只有一條道路，但足以允許車輛，人員同時進(jìn)行，請制定一個調(diào)運方案，能最快地實現(xiàn)兵力調(diào)運，并證明方案的最優(yōu)性。5、為向災(zāi)區(qū)空投一批救災(zāi)物資，共2000kg，需選購一些降落傘，已知空投高度為500m,要求降落傘落地時的速度不能超過20米每秒，降落傘的傘面為半徑為r的半球面，用每根長L共16根繩索連接的重m位于球心正下方球面處，如下圖:每個降落傘的價格由三部分組成。傘面費用01由傘的半徑r決定，見下表；繩索費用C 、….，一一、一一C,C2由繩索總長度及單價4元/米決定，固定費用C3為200元。r22.533.54C1651703506601000降落傘在降落過程中除受到重力外，受到空氣的阻力，可以認(rèn)為與降落的速度和傘的面積的乘積成正比。為了確定阻力系數(shù)，用的半徑r=3m，載重m=300kg的降落傘從500m高度作降落試驗，測得各個時刻的高度x，見下表。t(s)036912151821242730x(m)500470425372317264215160108551試確定降落傘的選購方案，即共需多少個傘，每個傘的半徑多大(在給定的半徑的傘中選)，在滿足空投要求的條件下，使費用最低。6、在家里,每天做飯后總會有一大堆油膩膩的盤子需要清洗，為清洗這些盤子,你準(zhǔn)備了一大盆熱的肥皂水，熱水的溫度足夠洗掉盤子上的油膩而不燙手，隨著洗滌過程的繼續(xù)，盆中的水會漫漫地冷下來，一直到無法在清洗這些盤子，假設(shè)每個盤子重0.5KG,盆內(nèi)水重15千克,盆內(nèi)最初溫度是60度最終無法清洗盤子的溫度是40度,盆內(nèi)水的表面積是0.1平方米,空氣溫度是20度,試建立模型分析使用這盆熱水可以洗多少個盤子,已知盤子的熱容量是600焦耳/千克,水的熱容量是4200焦耳/千克,水到空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)是100焦耳/米*秒7、空氣通過盛有CO2吸收劑的圓柱形器皿，已知它吸收CO2的量與CO2的百分濃度及吸收層厚度成正比。今有CO2含量為8%的空氣，通過厚度為10cm的吸收層后，其CO2含量為2%。問：(1)若通過的吸收層厚度為30皿，出口處空氣中CO2的含量是多少？(2)若要使出口處空氣中CO2的含量為1%,其吸收層厚度應(yīng)為多少？8、已知生產(chǎn)x對汽車擋泥板的成本是C(x)=10+ (美元)，每對的售價為5美元。(1)出售x+1對比出售x對所產(chǎn)生的利潤增長額為I(x)=R(x+1)-C(x+1)]-R(x)-C(x)]當(dāng)生產(chǎn)穩(wěn)定、產(chǎn)量很大時，這個增長額為limI(x)，試求這個極限值；Xf+8(2)生產(chǎn)了x對汽車擋泥板時，每對的平均成本為上,同樣當(dāng)產(chǎn)品產(chǎn)量x很大時，每對的成本大致是limC也，試求這個極限值。Xf+8X9、有n個電動勢為E的電池，每個的內(nèi)阻為丁，將它們以下述方式與已知的外電阻R連接：分成s個并聯(lián)分支，m是每個分支中串聯(lián)的數(shù)目(如下圖)。問m、s的個數(shù)分別為多少時才能使R中的有效電功率最大？?組10、在研究飛機(jī)的自動著陸系統(tǒng)時，技術(shù)人員需要分析飛機(jī)的降落曲線。根據(jù)經(jīng)驗，一架水平飛行的飛機(jī)，其降落曲線是一條三次拋物線。如下圖所示，已知飛機(jī)的飛行高度為h，飛機(jī)的著陸點為原點0,且在整個降落過程中，飛機(jī)的水平速度始終保持為常數(shù)〃。出于安全考慮，飛機(jī)垂直加速度的最大絕對值不得超過g/10，此處g是重力加速度。(1)若飛機(jī)從x=x0處開始下降，試確定出飛機(jī)的降落曲線；(2)求開始下降點x0所能允許的最小值。11、一飛機(jī)在離地面2km的高度，以每小時200km的速度飛臨某目標(biāo)之上空,以便進(jìn)行航空攝影。試求飛機(jī)飛至該目標(biāo)上方時攝像機(jī)轉(zhuǎn)動的速度。12、肺內(nèi)壓力的增加可以引起咳嗽，而肺內(nèi)壓力的增加伴隨著氣管半徑的縮小。試問：較小半徑是促進(jìn)還是阻礙空氣在氣管里的流動？13、如下圖所示，在離水面高度為h米的岸上，有人用繩子拉船靠岸。假定繩長為l米，船位于離岸壁s米處。試問：當(dāng)收繩速度為v(m/s)時，船的速度、0加速度各是多少？14、一個企業(yè)有x名技術(shù)工人和y名非技術(shù)工人，每天可生產(chǎn)的產(chǎn)品產(chǎn)量為現(xiàn)有16名技術(shù)工人和32名非技術(shù)工人，而經(jīng)理計劃再雇用1名技術(shù)工人。試求經(jīng)理如何調(diào)整非技術(shù)工人的人數(shù)，可保持產(chǎn)品產(chǎn)量不變？15、在地面上建有一座圓柱形水塔，水塔內(nèi)部的直徑為d，并且在地面處開了一個高為H的小門?，F(xiàn)在要對水塔進(jìn)行維修施工，施工方案要求把一根長度為l(l>d)的水管運到水塔內(nèi)部。試問水塔的門高H為多少時，才能成功地把水管搬進(jìn)水塔內(nèi)？16、由實驗知，某種細(xì)菌繁殖的速度在培養(yǎng)基充足等條件滿足時與當(dāng)時已有的數(shù)量A0成正比，即V=kA0(k>0為比例常數(shù))，問經(jīng)過時間t以后細(xì)菌的數(shù)量是多少？已知一種細(xì)菌的個數(shù)按指數(shù)方式增長，下表是收集到的數(shù)據(jù)。細(xì)菌個數(shù)問：(1)開始時細(xì)菌個數(shù)是多少？936(2)如果繼續(xù)以現(xiàn)在的速度增長下去l60天后細(xì)菌的個數(shù)是多少?17、某雜技團(tuán)刻意求新，在海濱城市演出時，利用當(dāng)?shù)乜亢５臈l件，設(shè)計了一個驚險節(jié)目：在離海邊9米的沙灘上，建一個10米高臺，高臺下5米處放置一個彈性極佳的斜面(如下圖)，斜面與水平面成450角。演員從高臺上團(tuán)身跳下,經(jīng)與斜面碰撞后將其彈到海里。不知此方案是否可行。18、越野賽在湖濱舉行，場地情況如下圖。出發(fā)點在陸地A處，終點在湖心島B處，A、B南北相距5km，東西相距7km，湖岸位于A點南側(cè)2km，是一條東西走向的筆直長堤。比賽中運動員可自行選擇路線，但必須先從A出發(fā)跑步到達(dá)長堤，再從長堤處下水游泳到達(dá)終點B。已知運動員甲跑步到達(dá)長堤，再從長堤處下水游泳到達(dá)終點B。已知運動員甲跑步速度為v=18km/h，游泳速度為V2=6km/h。問他應(yīng)該在長堤的何處下水才能使比賽所用時間最少？北A（0,2）OxB（7,-3），、一個工廠產(chǎn)準(zhǔn)備費為湖生產(chǎn)某種型號的車床，年產(chǎn)量為a臺，分若干批b元。設(shè)產(chǎn)品均勻投入市場，且上一批用完后立即即平均庫存口北A（0,2）OxB（7,-3），、一個工廠產(chǎn)準(zhǔn)備費為湖生產(chǎn)某種型號的車床，年產(chǎn)量為a臺，分若干批b元。設(shè)產(chǎn)品均勻投入市場，且上一批用完后立即即平均庫存口為批量的一半。設(shè)每年每臺庫存費為C元。顯然，行生產(chǎn)。每批生產(chǎn)下一批,產(chǎn)批量大則庫存費高；生產(chǎn)批量小則批數(shù)增多，因此生產(chǎn)準(zhǔn)備費高。如何選擇批量（經(jīng)濟(jì)批量），才能使一年中庫存費與生產(chǎn)準(zhǔn)備費之和最??？當(dāng)年產(chǎn)量:100臺，每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費為0.元，每年每臺庫存費為0.1萬元時，求出經(jīng)濟(jì)批量。20、海洋公園有一個高為a米的塑像（如下圖），其底座高為b米?，F(xiàn)有一身高為C米（從眼睛到地面高度）的游人觀賞塑像，為了觀賞時對塑像張成的夾角最大（即看得最清楚），游人應(yīng)該站在離底座腳多遠(yuǎn)的地方？當(dāng)a=2.5m,b=3m,c=1.7m時，求最佳觀賞位置。本實驗旨在使學(xué)生初步嘗試把實際問題按給定目的抽象成數(shù)學(xué)形式，并得出其求解結(jié)果，體會建立數(shù)學(xué)模型過程的各個環(huán)節(jié)及其相互聯(lián)系，掌握建立數(shù)學(xué)模型的基本方法，并認(rèn)識同一實際問題的數(shù)學(xué)模型的不唯一性,以認(rèn)識模型之間的優(yōu)缺點，從而體會，好的數(shù)學(xué)模型具有更廣泛的適用性。（二）實驗要求：學(xué)生必須對本實驗所提問題，至少用兩種方法建立不同的數(shù)學(xué)模型，并上機(jī)計算出該總是問題所要求的相應(yīng)答案。（三）實驗步驟：1、理解分析所提問題，并設(shè)定相應(yīng)的數(shù)學(xué)符號。2、分別提出所建模型的假設(shè)，并在相應(yīng)假設(shè)下建立模型或作具體計算（含上機(jī)計算及算法分析）。3、分析所建模型的簡明性和可擴(kuò)展性。（四）問題詳述：一批彈子鎖具中每把鎖均有5個槽，每個必須裝且至多可裝6個彈子，制鎖工藝要求任兩鄰槽所裝的彈子數(shù)相差不超過4個，問這批鎖具共有多少把互不相同的鎖？如果工藝還要求至少存在某鄰槽的高度不同，問題的答案是什么？如果在前兩項工藝要求下,每把鎖均有30個槽,你的模型還適用嗎？答案是多少？（五）實驗總結(jié)：進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對建立模型一般流程的理解和記憶，強(qiáng)調(diào)同一問題數(shù)學(xué)模型的多樣性，并對本問題中同學(xué)所建的各種模型的優(yōu)缺點進(jìn)行評價。22、物資配置問題（一）設(shè)置目的：本實驗旨在訓(xùn)練學(xué)生建立較復(fù)雜問題的數(shù)學(xué)模型的能力，并理解最優(yōu)化方法在解決實際問題中的重要作用。（二）實驗要求：1、建立所提問題的數(shù)學(xué)模型。2、使用相關(guān)軟件對模型求解。3、分析所得方案的靈敏度并給出實際含義。（三）問題詳述：某電子儀器由3個串聯(lián)的組件（j=1,2,3）構(gòu)成，因而有一個組件失效,儀器即無法工作。為提高該儀器可靠性，每個組件中可增加并聯(lián)不同的備用元件數(shù).用瑪?代表各組件的可靠性,與代表第j個組件中并聯(lián)的元件數(shù),q代表并聯(lián)不同數(shù)目的元件時第j個組件的相應(yīng)費用，有關(guān)數(shù)據(jù)見表3-11若限定用于儀器中組件的總費用不超過1000元。試確定使該儀器可靠性為最高的設(shè)計方案。表3-11圖件j=:1j=2j=:3k.R1C1R2C2&C310.61000.73000.520020.82000.85000.740030.93000.96000.9500（四）實驗總結(jié)本問題建模的重要技巧之一是決策變量的引入，應(yīng)由此提醒學(xué)生在建模中注意變量引入的技巧。另外，實際問題中的有些約束條件是由問題自身的屬性所決定的，并不在問題的表達(dá)中明顯表示出來，但它可能對模型的好壞起著重要作用。這提醒建模者在建模過程中要對問題作深入細(xì)致的分析。23、公路路線設(shè)計（一）設(shè)置目的：訓(xùn)練學(xué)生運用插值方法處理數(shù)據(jù)并解決實際問題的能力。（二）實驗要求：.給出題給數(shù)據(jù)所表示的地形的擬合曲面。.給出滿足題目要求的全部結(jié)果。.將所做工作寫成一篇論文。（三）實驗步驟：.理解題目，熟悉數(shù)據(jù)。.擬定擬合曲面的運算方案。.建立設(shè)計公路線路的數(shù)學(xué)模型并求解。.寫出論文并分組討論。（四）問題詳述：要在一山區(qū)修建公路，首先測得一些地點的高程，數(shù)據(jù)見表2（平面區(qū)域粉0<x<5600,0<y<4800，表中數(shù)據(jù)為坐標(biāo)點的高程，單位：米）。數(shù)據(jù)顯示:在y=3200處有一東西走向的山峰；從坐標(biāo)（2400，2400）到（4800，0）有一西北至東南走向的山谷；在（2000，2800）附近有一山口湖，其最高水位略高于1350米，雨季在山谷中形成一溪流。經(jīng)調(diào)查知，雨量最大時溪流水面寬度匹與溪流最深處的坐標(biāo)x的關(guān)系可近似表示為例x）=（X—2400丫4 （2400<x<4000）2）公路從山腳（0，800）開始，經(jīng)居民點（4000，2000）至礦區(qū)（2000，4000）。已知路段工程成本及路線坡度a（上升高度與水平距離之比）的限制如表1。1）試給出一種線路設(shè)計方案，包括原理、方法及比較精確的線路位置（含橋梁、隧道），并估計該方案的總成本。2）如果居民點改為3600<x<4000,2000<y<2400的居民區(qū)，公路只須經(jīng)過居民區(qū)即可，那么你的方案有什么改變。表1工程種類一般路段橋梁隧道工程成本（元/米）30020001500（長度<300米），3000（長度>301米）對坡度a的限制a<0.125a=0a<0.100040080012001600200024002800320036004000440048005200560003704705506006706906706205804504003001001502508/9400510620730800850870850780720650500200300350320800650760880970102010501020830800700300500550480350120074088010801130125012801230104090050070078075065055016008309801180132014501420140013007009008508403807807502000880106012301390150015001400900110010