4隱函數(shù)和高階導(dǎo)數(shù)課件

第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第三章第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第三章1高階導(dǎo)數(shù)的概念速度即加速度即引例：變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)高階導(dǎo)數(shù)的概念速度即加速度即引例：變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)2定義.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類(lèi)似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為三階導(dǎo)數(shù),階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為n階導(dǎo)數(shù),或的二階導(dǎo)數(shù),記作的導(dǎo)數(shù)為依次類(lèi)推,分別記作則稱(chēng)定義.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類(lèi)似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為3設(shè)求解:依次類(lèi)推,例1.思考:設(shè)問(wèn)可得設(shè)求解:依次類(lèi)推,例1.思考:設(shè)問(wèn)可得4例2.

設(shè)求解:特別有:解:規(guī)定0!=1思考:例3.設(shè)求例2.設(shè)求解:特別有:解:規(guī)定0!=1思考:例35例4.

設(shè)求解:一般地,類(lèi)似可證:例4.設(shè)求解:一般地,類(lèi)似可證:6例5設(shè)求解令利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得一般地,……類(lèi)似可得例5設(shè)求解令利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得一般地,……類(lèi)似可得7例6設(shè)求解因?yàn)樗岳?設(shè)求解因?yàn)樗?例7設(shè)求解……一般地,例7設(shè)求解……一般地,9例8設(shè)求解利用例7的結(jié)果可得例9設(shè)求解利用例7的結(jié)果可得例8設(shè)求解利用例7的結(jié)果可得例9設(shè)求解利用例7的結(jié)果可得10例9

.設(shè)解:例9.設(shè)解:11例10.

設(shè)求使存在的最高分析:但是不存在.2又階數(shù)例10.設(shè)求使存在的最高分析:但是不存在.2又階數(shù)12規(guī)律高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有n階導(dǎo)數(shù),則(C為常數(shù))萊布尼茨(Leibniz)公式及設(shè)函數(shù)規(guī)律規(guī)律高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有n階導(dǎo)數(shù),則(C為常13規(guī)律用數(shù)學(xué)歸納法可證規(guī)律用數(shù)學(xué)歸納法可證14例11.求解:設(shè)則代入萊布尼茨公式,得例11.求解:設(shè)則代入萊布尼茨公式,得15例12.設(shè)求解:即用萊布尼茨公式求n階導(dǎo)數(shù)令得由得即由得例12.設(shè)求解:即用萊布尼茨公式求n階導(dǎo)數(shù)令得由得即16第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、相關(guān)變化率隱函數(shù)和參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第三章第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三17一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y是x

的函數(shù),由表示的函數(shù),稱(chēng)為顯函數(shù).例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x

的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化.函數(shù)為隱函數(shù).則稱(chēng)此隱函數(shù)求導(dǎo)方法:

兩邊對(duì)x求導(dǎo)(注意y=y(x))(含導(dǎo)數(shù)的方程)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y是x的函數(shù),由表示18例1.

求由方程在x=0

處的導(dǎo)數(shù)解:方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得因x=0時(shí)y=0,故確定的隱函數(shù)例1.求由方程在x=0處的導(dǎo)數(shù)解:方程兩邊對(duì)19例2.

求橢圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程.解:橢圓方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)故切線(xiàn)方程為即例2.求橢圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程.解:橢圓方程兩邊對(duì)x20解:設(shè)隱函數(shù)為求將兩端對(duì)求導(dǎo),即再將上式兩端對(duì)求導(dǎo),得解得將代入,得得例3.解:設(shè)隱函數(shù)為求將兩端對(duì)求導(dǎo),即再將上式兩端對(duì)求導(dǎo),得解得將21例4設(shè)求解兩邊都是冪指函數(shù)，兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊對(duì)求導(dǎo),得即故對(duì)例4設(shè)求解兩邊都是冪指函數(shù)，兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊對(duì)求導(dǎo),得即故22二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個(gè)y與x之間的函數(shù)可導(dǎo),且則時(shí),有時(shí),有(此時(shí)看成x是y的函數(shù))關(guān)系,二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個(gè)y與23若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).24?例5.設(shè),且求已知解:注意:對(duì)誰(shuí)求導(dǎo)?

?例5.設(shè),且求已知解:注意:對(duì)誰(shuí)求導(dǎo)?25例6.拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向.解:先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線(xiàn)方向):設(shè)

為切線(xiàn)傾角,則例6.拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)26拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量在剛射出(即t=0)時(shí),傾角為達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻高度落地時(shí)刻拋射最遠(yuǎn)距離速度的方向拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量在剛射出(即t27三、相關(guān)變化率為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱(chēng)為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問(wèn)題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對(duì)t求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱(chēng)為相關(guān)變化28例7.

一氣球從離開(kāi)觀(guān)察員500m處離地面鉛直上升,其速率為當(dāng)氣球高度為500m

時(shí),觀(guān)察員視線(xiàn)的仰角增加率是多少?解:設(shè)氣球上升t分后其高度為h,仰角為,則兩邊對(duì)t求導(dǎo)已知

h=500m時(shí),例7.一氣球從離開(kāi)觀(guān)察員500m處離地面鉛直上升,其速29思考題:當(dāng)氣球升至500m時(shí)停住,有一觀(guān)測(cè)者以100m／min的速率向氣球出發(fā)點(diǎn)走來(lái),當(dāng)距離為500m時(shí),仰角的增加率是多少?提示:對(duì)t求導(dǎo)已知求思考題:當(dāng)氣球升至500m時(shí)停住,有一觀(guān)測(cè)者以30試求當(dāng)容器內(nèi)水例8.

有一底半徑為Rcm,高為hcm的圓錐容器,今以自頂部向容器內(nèi)注水,位等于錐高的一半時(shí)水面上升的速度.解:設(shè)時(shí)刻t容器內(nèi)水面高度為

x,水的兩邊對(duì)t

求導(dǎo)而故體積為V

,則試求當(dāng)容器內(nèi)水例8.有一底半徑為Rcm,高為h31

作業(yè)P73習(xí)題3(3)P76習(xí)題2(1)，3（2），P80習(xí)題1(4),3(2),4(1)

作業(yè)32第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第三章第三節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第三章33高階導(dǎo)數(shù)的概念速度即加速度即引例：變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)高階導(dǎo)數(shù)的概念速度即加速度即引例：變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)34定義.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類(lèi)似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為三階導(dǎo)數(shù),階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為n階導(dǎo)數(shù),或的二階導(dǎo)數(shù),記作的導(dǎo)數(shù)為依次類(lèi)推,分別記作則稱(chēng)定義.若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可導(dǎo),或即或類(lèi)似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為35設(shè)求解:依次類(lèi)推,例1.思考:設(shè)問(wèn)可得設(shè)求解:依次類(lèi)推,例1.思考:設(shè)問(wèn)可得36例2.

設(shè)求解:特別有:解:規(guī)定0!=1思考:例3.設(shè)求例2.設(shè)求解:特別有:解:規(guī)定0!=1思考:例337例4.

設(shè)求解:一般地,類(lèi)似可證:例4.設(shè)求解:一般地,類(lèi)似可證:38例5設(shè)求解令利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得一般地,……類(lèi)似可得例5設(shè)求解令利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可得一般地,……類(lèi)似可得39例6設(shè)求解因?yàn)樗岳?設(shè)求解因?yàn)樗?0例7設(shè)求解……一般地,例7設(shè)求解……一般地,41例8設(shè)求解利用例7的結(jié)果可得例9設(shè)求解利用例7的結(jié)果可得例8設(shè)求解利用例7的結(jié)果可得例9設(shè)求解利用例7的結(jié)果可得42例9

.設(shè)解:例9.設(shè)解:43例10.

設(shè)求使存在的最高分析:但是不存在.2又階數(shù)例10.設(shè)求使存在的最高分析:但是不存在.2又階數(shù)44規(guī)律高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有n階導(dǎo)數(shù),則(C為常數(shù))萊布尼茨(Leibniz)公式及設(shè)函數(shù)規(guī)律規(guī)律高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有n階導(dǎo)數(shù),則(C為常45規(guī)律用數(shù)學(xué)歸納法可證規(guī)律用數(shù)學(xué)歸納法可證46例11.求解:設(shè)則代入萊布尼茨公式,得例11.求解:設(shè)則代入萊布尼茨公式,得47例12.設(shè)求解:即用萊布尼茨公式求n階導(dǎo)數(shù)令得由得即由得例12.設(shè)求解:即用萊布尼茨公式求n階導(dǎo)數(shù)令得由得即48第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三、相關(guān)變化率隱函數(shù)和參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)第三章第四節(jié)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)三49一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y是x

的函數(shù),由表示的函數(shù),稱(chēng)為顯函數(shù).例如,可確定顯函數(shù)可確定y是x

的函數(shù),但此隱函數(shù)不能顯化.函數(shù)為隱函數(shù).則稱(chēng)此隱函數(shù)求導(dǎo)方法:

兩邊對(duì)x求導(dǎo)(注意y=y(x))(含導(dǎo)數(shù)的方程)一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若由方程可確定y是x的函數(shù),由表示50例1.

求由方程在x=0

處的導(dǎo)數(shù)解:方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得因x=0時(shí)y=0,故確定的隱函數(shù)例1.求由方程在x=0處的導(dǎo)數(shù)解:方程兩邊對(duì)51例2.

求橢圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程.解:橢圓方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)故切線(xiàn)方程為即例2.求橢圓在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程.解:橢圓方程兩邊對(duì)x52解:設(shè)隱函數(shù)為求將兩端對(duì)求導(dǎo),即再將上式兩端對(duì)求導(dǎo),得解得將代入,得得例3.解:設(shè)隱函數(shù)為求將兩端對(duì)求導(dǎo),即再將上式兩端對(duì)求導(dǎo),得解得將53例4設(shè)求解兩邊都是冪指函數(shù)，兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊對(duì)求導(dǎo),得即故對(duì)例4設(shè)求解兩邊都是冪指函數(shù)，兩邊取對(duì)數(shù)，得兩邊對(duì)求導(dǎo),得即故54二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個(gè)y與x之間的函數(shù)可導(dǎo),且則時(shí),有時(shí),有(此時(shí)看成x是y的函數(shù))關(guān)系,二、由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若參數(shù)方程可確定一個(gè)y與55若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).利用新的參數(shù)方程,可得若上述參數(shù)方程中二階可導(dǎo),且則由它確定的函數(shù)可求二階導(dǎo)數(shù).56?例5.設(shè),且求已知解:注意:對(duì)誰(shuí)求導(dǎo)?

?例5.設(shè),且求已知解:注意:對(duì)誰(shuí)求導(dǎo)?57例6.拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向.解:先求速度大小:速度的水平分量為垂直分量為故拋射體速度大小再求速度方向(即軌跡的切線(xiàn)方向):設(shè)

為切線(xiàn)傾角,則例6.拋射體運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為求拋射體在時(shí)刻t的運(yùn)動(dòng)58拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量在剛射出(即t=0)時(shí),傾角為達(dá)到最高點(diǎn)的時(shí)刻高度落地時(shí)刻拋射最遠(yuǎn)距離速度的方向拋射體軌跡的參數(shù)方程速度的水平分量垂直分量在剛射出(即t59三、相關(guān)變化率為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱(chēng)為相關(guān)變化率相關(guān)變化率問(wèn)題解法:找出相關(guān)變量的關(guān)系式對(duì)t求導(dǎo)得相關(guān)變化率之間的關(guān)系式求出未知的相關(guān)變化率三、相關(guān)變化率為兩可導(dǎo)函數(shù)之間有聯(lián)系之間也有聯(lián)系稱(chēng)為相關(guān)變化60例7.

一氣球從離開(kāi)觀(guān)察員500m處離地面鉛直上升,其速率為當(dāng)氣球高度為500m

時(shí),觀(guān)察員視線(xiàn)的仰角增加率是多少?解:設(shè)氣球上升t分后其高度為h,仰角為,則兩邊對(duì)t求導(dǎo)已知

h=500m時(shí),例7.一氣球從離開(kāi)觀(guān)察員500m處離地面鉛直上升,其速61思考題:當(dāng)氣球升至500m時(shí)停住,有一觀(guān)測(cè)者以100m／min的速率向氣球出發(fā)點(diǎn)走來(lái),當(dāng)距離為500m時(shí),仰角的增加率是多少?提示:對(duì)t求導(dǎo)已知求思考題:當(dāng)氣球升至500m時(shí)停住,有一