134課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題新版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)講解課件

13.4

課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題

引言：

前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問(wèn)題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn)題．現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問(wèn)題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問(wèn)題”．引入新知引言：引入新知最短路徑問(wèn)題①垂線段最短。②兩點(diǎn)之間，線段最短。LABABLC最短路徑問(wèn)題①垂線段最短。②兩點(diǎn)之間，線段最短。LABABL問(wèn)題1

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？探索新知BAl問(wèn)題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久探索新知BA精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題．這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱為“將軍飲馬問(wèn)題”．你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？探索新知BAl精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的探索新知B追問(wèn)1

這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．探索新知B··Al追問(wèn)1這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？將A，（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A地到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和；探索新知追問(wèn)2

你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；探索新知探索新知追問(wèn)2

你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？（3）現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線l上的點(diǎn)．設(shè)C為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，

AC與CB的和最小（如圖）．BAlC探索新知追問(wèn)2你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，（3追問(wèn)1

對(duì)于問(wèn)題2，如何將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長(zhǎng)度相等？探索新知問(wèn)題2

如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小？B·lA·追問(wèn)1對(duì)于問(wèn)題2，如何探索新知問(wèn)題2如圖，點(diǎn)A追問(wèn)2

你能利用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)，找到上問(wèn)中符合條件的點(diǎn)B′嗎？探索新知問(wèn)題2

如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？B·lA·追問(wèn)2你能利用軸對(duì)稱的探索新知問(wèn)題2如圖，點(diǎn)A作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．探索新知問(wèn)題2

如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？B·lA·B′C作法：探索新知問(wèn)題2如圖，點(diǎn)A，B在直線l的探索新知問(wèn)題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C探索新知問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．探索新知問(wèn)題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不探索新知探索新知問(wèn)題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′證明：在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．探索新知問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？若直線l上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合）與A，B兩點(diǎn)的距離和都大于AC+BC，就說(shuō)明AC+BC最?。剿餍轮狟·lA·B′CC′追問(wèn)1

證明AC+BC最短時(shí)，為什么要在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），證明AC+BC＜AC′+BC′？這里的“C′”的作用是什么？若直線l上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)探索新知B·lA·B′CC′探索新知追問(wèn)2

回顧前面的探究過(guò)程，我們是通過(guò)怎樣的過(guò)程、借助什么解決問(wèn)題的？B·lA·B′CC′探索新知追問(wèn)2回顧前面的探究過(guò)程，我們是通過(guò)怎樣的B造橋選址問(wèn)題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）BA造橋選址問(wèn)題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座思維分析BA

1、如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接ＡＭ和ＢＮ，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？ＭＮ

2、利用線段公理解決問(wèn)題我們遇到了什么障礙呢？點(diǎn)此播放分析視頻

思維分析BA1、如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花各抒己見(jiàn)1、把A平移到岸邊.2、把B平移到岸邊.3、把橋平移到和A相連.4、把橋平移到和B相連.我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋上述方法都能做到使AM+MN+BN不變嗎？請(qǐng)檢驗(yàn).合作與交流1、2兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？把A或B分別向下或上平移一個(gè)橋長(zhǎng)那么怎樣確定橋的位置呢?上述方法都能做到使AM+MN+BN不變嗎？請(qǐng)檢驗(yàn).合作與交流問(wèn)題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于Ｎ作橋ＭＮ，此時(shí)路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性質(zhì)可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由線段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN問(wèn)題解決BAA1MN如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連作法：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E，

2.連接AE交河對(duì)岸與點(diǎn)M,

則點(diǎn)M為建橋的位置，MN為所建的橋。證明：由平移的性質(zhì)，得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B兩地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在CD處，連接AC.CD.DB.CE,則AB兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中，∵AC+CE＞AE,

∴AC+CE+MN＞AE+MN,即AC+CD+DB＞AM+MN+BN所以橋的位置建在CD處，AB兩地的路程最短。A·BMNECD作法：1.將點(diǎn)B沿垂直與河岸的方向平移一個(gè)河寬到E，A·BM13.4

課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題

引言：

前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問(wèn)題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn)題．現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問(wèn)題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問(wèn)題”．引入新知引言：引入新知最短路徑問(wèn)題①垂線段最短。②兩點(diǎn)之間，線段最短。LABABLC最短路徑問(wèn)題①垂線段最短。②兩點(diǎn)之間，線段最短。LABABL問(wèn)題1

相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫．有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題：從圖中的A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地．到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？探索新知BAl問(wèn)題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久探索新知BA精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的知識(shí)回答了這個(gè)問(wèn)題．這個(gè)問(wèn)題后來(lái)被稱為“將軍飲馬問(wèn)題”．你能將這個(gè)問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？探索新知BAl精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對(duì)稱的探索新知B追問(wèn)1

這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？將A，B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l抽象為一條直線．探索新知B··Al追問(wèn)1這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，你打算首先做什么？將A，（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；（2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處，把這些地點(diǎn)與A，B連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和，就是從A地到飲馬地點(diǎn)，再回到B地的路程之和；探索新知追問(wèn)2

你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？（1）從A地出發(fā)，到河邊l飲馬，然后到B地；探索新知探索新知追問(wèn)2

你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎？（3）現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線l上的點(diǎn)．設(shè)C為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，

AC與CB的和最?。ㄈ鐖D）．BAlC探索新知追問(wèn)2你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思，（3追問(wèn)1

對(duì)于問(wèn)題2，如何將點(diǎn)B“移”到l的另一側(cè)B′處，滿足直線l上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長(zhǎng)度相等？探索新知問(wèn)題2

如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？B·lA·追問(wèn)1對(duì)于問(wèn)題2，如何探索新知問(wèn)題2如圖，點(diǎn)A追問(wèn)2

你能利用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí)，找到上問(wèn)中符合條件的點(diǎn)B′嗎？探索新知問(wèn)題2

如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最小？B·lA·追問(wèn)2你能利用軸對(duì)稱的探索新知問(wèn)題2如圖，點(diǎn)A作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．探索新知問(wèn)題2

如圖，點(diǎn)A，B在直線l的同側(cè)，點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí)，AC與CB的和最??？B·lA·B′C作法：探索新知問(wèn)題2如圖，點(diǎn)A，B在直線l的探索新知問(wèn)題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′C探索新知問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），連接AC′，BC′，B′C′．由軸對(duì)稱的性質(zhì)知，

BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC

=AC+B′C=AB′，AC′+BC′

=AC′+B′C′．探索新知問(wèn)題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不探索新知探索新知問(wèn)題3

你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？B·lA·B′CC′證明：在△AB′C′中，

AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．探索新知問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？若直線l上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)C不重合）與A，B兩點(diǎn)的距離和都大于AC+BC，就說(shuō)明AC+BC最?。剿餍轮狟·lA·B′CC′追問(wèn)1

證明AC+BC最短時(shí)，為什么要在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C不重合），證明AC+BC＜AC′+BC′？這里的“C′”的作用是什么？若直線l上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)探索新知B·lA·B′CC′探索新知追問(wèn)2

回顧前面的探究過(guò)程，我們是通過(guò)怎樣的過(guò)程、借助什么解決問(wèn)題的？B·lA·B′CC′探索新知追問(wèn)2回顧前面的探究過(guò)程，我們是通過(guò)怎樣的B造橋選址問(wèn)題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋造在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）BA造橋選址問(wèn)題如圖，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座思維分析BA

1、如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接ＡＭ和ＢＮ，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？ＭＮ

2、利用線段公理解決問(wèn)題我們遇到了什么障礙呢？點(diǎn)此播放分析視頻

思維分析BA1、如圖假定任選位置造橋ＭＮ，連接我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？思維火花各抒己見(jiàn)1、把A平移到岸邊.2、把B平移到岸邊.3、把橋平移到和A相連.4、把橋平移到和B相連.我們能否在不改變AM+MN+BN的前提下把橋上述方法都能做到使AM+MN+BN不變嗎？請(qǐng)檢驗(yàn).合作與交流1、2兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？把A或B分別向下或上平移一個(gè)橋長(zhǎng)