2020高中數(shù)學 習題課（一）立體幾何初步 2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE9-學必求其心得，業(yè)必貴于專精習題課（一）立體幾何初步1。(2018·全國卷Ⅰ）某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）A．2eq\r（17） B．2eq\r（5）C．3 D．2解析：選B先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題圖的三視圖可知點M，N的位置如圖①所示．圓柱的側面展開圖及M，N的位置（N為OP的四等分點)如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．∵ON＝eq\f（1,4）×16＝4，OM＝2,∴MN＝eq\r(OM2＋ON2）＝eq\r（22＋42)＝2eq\r（5）.2．過平面外兩點與這個平面平行的平面()A．只有一個 B．至少有一個C．可能沒有 D．有無數(shù)個解析：選C過這兩點的直線若與已知平面平行，則有且只有一個，若與已知平面相交，則不存在．故選C。3．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，則下列命題錯誤的是(）A．如果直線a⊥α,那么直線a必垂直于平面β內(nèi)的無數(shù)條直線B．如果直線a∥α，那么直線a不可能與平面β平行C．如果直線a∥α，a⊥l，那么直線a⊥平面βD．平面α內(nèi)一定存在無數(shù)條直線垂直于平面β內(nèi)的所有直線解析：選BA選項中直線a必定與平面β內(nèi)無數(shù)條平行直線垂直,故正確；B選項中如果a∥α，a∥l，aβ，則a∥β,故錯誤；由面面垂直的性質(zhì)定理可知C選項正確;在平面α內(nèi)，垂直于交線l的直線都垂直于平面β,也就垂直于平面β內(nèi)的所有直線，故D選項正確．4．設α,β是兩個不同的平面，l是一條直線，給出下列說法：①若l⊥α，α⊥β，則l∥β；②若l∥α，α∥β,則l∥β；③若l⊥α，α∥β，則l⊥β；④若l∥α,α⊥β，則l⊥β。其中說法正確的個數(shù)為（)A．1 B．2C．3 D．0解析：選A對于①，若l⊥α，α⊥β，則l∥β或lβ，故①錯誤;對于②,若l∥α,α∥β，則lβ或l∥β，故②錯誤；對于③,若l⊥α，α∥β，則l⊥β，故③正確;對于④,若l∥α，α⊥β，則lβ或l∥β或l⊥β或l與β斜交，故④錯誤．5．四面體ABCD為空間四邊形,AB＝CD，AD＝BC，AB≠AD,M，N分別是對角線AC與BD的中點，則MN與(）A．AC，BD之一垂直 B．AC，BD都垂直C．AC，BD都不垂直 D．AC，BD不一定垂直解析：選B∵AD＝BC，AB＝CD，BD＝BD，∴△ABD≌△CDB.∴AN＝CN。在等腰△ANC中，由M為AC的中點知MN⊥AC。同理可得MN⊥BD.6．（2018·全國卷Ⅱ）在正方體ABCD。A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CDA．eq\f（\r（2)，2） B．eq\f（\r(3),2)C．eq\f（\r（5),2) D．eq\f（\r（7），2）解析：選C如圖，連接BE，因為AB∥CD，所以AE與CD所成的角為∠EAB。在Rt△ABE中,設AB＝2，則BE＝eq\r(5）,則tan∠EAB＝eq\f（BE,AB）＝eq\f(\r（5），2)，所以異面直線AE與CD所成角的正切值為eq\f(\r(5），2).7．現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5，高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個，若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為________．解析：設新的底面半徑為r，由題意得eq\f(1,3）×π×52×4＋π×22×8＝eq\f(1,3)×π×r2×4＋π×r2×8，∴r2＝7,∴r＝eq\r(7）。答案：eq\r（7）8．正三棱柱ABC。A1B1C1的底面邊長為2,側棱長為4，E，F(xiàn)分別是AB，A1C1的中點，則EF解析：如圖,取A1B1的中點H,連接EH，F(xiàn)H，則EH＝4,FH＝1.由正三棱柱的性質(zhì)知△EFH為直角三角形．所以EF＝eq\r(FH2＋EH2）＝eq\r(17）。答案：eq\r(17）9.如圖所示，一個正方體的棱長為2，以相對兩個面的中心連線為軸，鉆一個直徑為1的圓柱形孔，所得幾何體的表面積為________．解析:幾何體的表面積為S＝6×22－π×0.52×2＋2π×0.5×2＝24－0。5π＋2π＝24＋1.5π.答案：24＋1.5π10．一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示（其中M，N分別是AF，BC中點）．(1）求證:MN∥平面CDEF;(2)求多面體A。CDEF的體積．解：(1）證明：由三視圖知，該多面體是底面為直角三角形的直三棱柱，且AB＝BC＝BF＝2，DE＝CF＝2eq\r(2)，∴∠CBF＝90°.取BF中點G，連接MG，NG,由M，N分別是AF，BC中點，可知NG∥CF,MG∥EF.又MG∩NG＝G,CF∩EF＝F，∴平面MNG∥平面CDEF.又∵MN平面MNG，∴MN∥平面CDEF。(2）作AH⊥DE于H，由于三棱柱ADE。BCF為直三棱柱，∴AH⊥平面CDEF，且AH＝eq\r（2).∴VA.CDEF＝eq\f（1，3)S四邊形CDEF·AH＝eq\f（1,3）×2×2eq\r（2）×eq\r(2)＝eq\f(8，3）.11．(2018·全國卷Ⅲ）如圖,矩形ABCD所在平面與半圓弧eq\o(CD，\s\up7（）)所在平面垂直，M是eq\o（CD，\s\up7（））上異于C，D的點．（1)證明:平面AMD⊥平面BMC.(2）在線段AM上是否存在點P，使得MC∥平面PBD？說明理由．解：(1）證明：由題設知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD。因為BC⊥CD,BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD,所以BC⊥DM。因為M為eq\o（CD，\s\up7（）)上異于C,D的點,且DC為直徑，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C,所以DM⊥平面BMC。因為DM平面AMD,所以平面AMD⊥平面BMC。(2)當P為AM的中點時,MC∥平面PBD。證明如下：連接AC交BD于O.因為四邊形ABCD為矩形,所以O為AC的中點．連接OP，因為P為AM中點，所以MC∥OP。又MC平面PBD,OP平面PBD，所以MC∥平面PBD。探究應用題12．(2018·北京高考)如圖，在四棱錐P.ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD，PA＝PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點．(1）求證：PE⊥BC；(2)求證：平面PAB⊥平面PCD；(3)求證：EF∥平面PCD.證明：（1）因為PA＝PD，E為AD的中點,所以PE⊥AD。因為底面ABCD為矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC。(2）因為底面ABCD為矩形，所以AB⊥AD。又因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，因為PD平面PAD，所以AB⊥PD。又因為PA⊥PD，AB∩PA＝A,所以PD⊥平面PAB。因為PD平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD。（3)如圖，取PC的中點G，連接FG,D