六年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)素材－工程問(wèn)題 全國(guó)通用

工程問(wèn)題工程問(wèn)題內(nèi)容分析內(nèi)容分析--（）工程問(wèn)題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的重點(diǎn)，是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的引申與補(bǔ)充，是培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思維能力的重要工具。工程問(wèn)題是把工作總量看成單位“1”的應(yīng)用題，它具有抽象性，學(xué)生認(rèn)知起來(lái)比較困難。在教學(xué)中，讓學(xué)生建立正確概念是解決工程應(yīng)用題的關(guān)鍵知識(shí)結(jié)構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)基本工程問(wèn)題基本工程問(wèn)題工程問(wèn)題工程問(wèn)題工程問(wèn)題方法與技巧工程問(wèn)題方法與技巧模塊一：基本工程問(wèn)題模塊一：基本工程問(wèn)題知識(shí)精講知識(shí)精講1、工程問(wèn)題的基本概念（1）定義：工程問(wèn)題是指用分?jǐn)?shù)來(lái)解答有關(guān)工作總量、工作時(shí)間和工作效率之間相互關(guān)系的問(wèn)題。工作總量：一般抽象成單位“1”，工作效率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)完成的工作量（2）三個(gè)基本公式：工作總量=工作效率×工作時(shí)間，工作效率=工作總量÷工作時(shí)間，工作時(shí)間=工作總量÷工作效率；例題解析例題解析一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要天時(shí)間，甲、乙合作需要天時(shí)間，如果乙單獨(dú)做需要多少時(shí)間？【難度】★【答案】28天【解析】由于本題只有天數(shù)作為條件，所以設(shè)總工作量為1，則甲每天完成1/21，甲乙合作每天完成1/12，乙每天完成:1/12-1/21=1/28，乙單獨(dú)做需要:1÷1/28=28天一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開(kāi)了，由乙繼續(xù)做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？【難度】★★【答案】75天，50天．【解析】設(shè)總工程量為1，則剩余工作量為：，則乙的工作效率為，所以甲單獨(dú)完成需要50天，乙單獨(dú)完成需要(天)5個(gè)工人加工735個(gè)零件，2天加工了135個(gè)，已知2天中有1人因事請(qǐng)假1天，照這樣的工作效率，如果以后幾天無(wú)人請(qǐng)假，還要多少天才能完成任務(wù)？【難度】★★【答案】8天．【解析】每人每天加工零件的個(gè)數(shù)：135÷（2×5-1×1）=15（個(gè)），5人每天加工零件的個(gè)數(shù)：15×5=75（個(gè)），剩下的工作量：735-135=600（個(gè)），還需要的天數(shù)600÷75=8（天）．某工程先由甲獨(dú)做63天，再由乙單獨(dú)做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42天，然后再由乙來(lái)單獨(dú)完成，那么乙還需要做多少天？【難度】★★【答案】56天．【解析】甲乙合做28天，完成任務(wù)的28÷48=，故甲的工作效率為（1-）÷（63-28）=，乙的工作效率為，于是乙還需做一項(xiàng)工作，甲、乙兩人合做8天完成，乙、丙兩人合做9天完成，丙、甲兩人合做18天完成．那么丙一個(gè)人來(lái)做，完成這項(xiàng)工作需要多少天？【難度】★★【答案】48天．【解析】可以利用效率進(jìn)行和差，從而求出丙一個(gè)人的工作效率，從而得到天數(shù)。（效率）甲+乙=1/8，乙+丙=1/9，丙+甲=1/18。則三式子相加得2（甲+乙+丙）-2（甲+乙）=1/24，所以丙的效率是1/48，所以完成工作需要48天一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做天完成，乙單獨(dú)做天完成．甲、乙合作了幾天后，乙因事請(qǐng)假，甲繼續(xù)做，從開(kāi)工到完成任務(wù)共用了天．乙請(qǐng)假多少天？【難度】★★【答案】10天【解析】因?yàn)閺拈_(kāi)工到完成任務(wù)共用了16天，所以可知甲做了16天可得甲做了全部的，則乙做了全部工程的，因?yàn)檫@項(xiàng)工程以單獨(dú)做要三十天,可知他的速度是，由此可得乙做了，因?yàn)檫@項(xiàng)工程做了16天，乙做了6天后請(qǐng)假，可得乙請(qǐng)假了10天甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)修路，最終按工作量分配8400元工資．按兩隊(duì)原計(jì)劃的工作效率，乙隊(duì)?wèi)?yīng)獲5040元．實(shí)際上從第5天開(kāi)始，甲隊(duì)的工作效率提高了1倍，這樣甲隊(duì)最終可比原計(jì)劃多獲得960元．那么兩隊(duì)原計(jì)劃完成修路任務(wù)要多少天？【難度】★★★【答案】12天．【解析】原來(lái)甲乙的工作效率比為：（8400-5040）：5040=3360：5040=2：3，甲提高工效后，甲乙的工作效率比為：（3360+960）：（5040-960）=4320：4080，=18：17；

設(shè)甲開(kāi)始的工效為“2”，那么乙的工效為“3”，設(shè)甲在提高工效后還需a天完成任務(wù)，得：（2×4+4a）：（3×4+3a）=18：17，解得a=（天），

于是共有工程量為：所以原計(jì)劃修好這條路的天數(shù)為：60÷（2+3）=12（天）．一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需10天，乙獨(dú)做需15天．如果兩人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原來(lái)的，乙只能完成原來(lái)的．現(xiàn)在要8天完成這項(xiàng)工程，兩人合做天數(shù)盡可能少，那么兩人要合做多少天？【難度】★★★ 【答案】5天．【解析】甲單獨(dú)做時(shí)的工作效率為1/10，合作時(shí)的效率為1/10×（1-1/20%）=2/25；乙單獨(dú)做時(shí)的效率為1/15，合作時(shí)的效率為1/15×（1-10%）=3/50；那么合作時(shí)兩人的效率和為2/25+3/50=7/50。要使合作時(shí)間盡量少，那么就要盡量讓甲去多做，在這里我們把兩人的效率和看成是丙的工作效率，是甲和丙去完成，并且要使丙盡量少做。這樣就又變成了假設(shè)問(wèn)題。假設(shè)8天都是甲做的，完成了8×1/10=8/10，還少1-8/10=2/10的工程沒(méi)完成，這是因?yàn)檫@里面有甲做的天數(shù)其實(shí)是丙做的，有一天是丙做的我們算成了甲做的，我們就少算了7/50-1/10=2/50，所以丙做了2/10÷2/50=5天，甲單獨(dú)做了8-5=3天。即：兩人合作了5天隨堂檢測(cè)隨堂檢測(cè)一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做天可以完成，甲隊(duì)做了天后，由于另有任務(wù)，剩下的工作由乙隊(duì)單獨(dú)做天完成．問(wèn)：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工作需多少天？【難度】★【答案】25天【解析】設(shè)總工程量為1，則用甲做完的剩余工作量除以乙的工作時(shí)間即為乙工作效率，則求出結(jié)果，乙工作效率為：，天數(shù)為25天一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)完成需40天。若乙隊(duì)先做10天，余下的工程由甲、乙兩隊(duì)合作，又需20天可完成。如果乙隊(duì)單獨(dú)完成此工程，則需多少天？【難度】★★【答案】60天【解析】甲每天完成，甲乙合作中，甲一共完成，所以乙也一共完成，乙每天完成，則乙單獨(dú)做要60天【難度】★★【答案】60天．【解析】根據(jù)題干分析可得：甲、乙、丙、丁四的效率總和是：，則甲、乙的效率和為：，則根據(jù)最后工作流程得：有一條公路，甲隊(duì)獨(dú)修需10天，乙隊(duì)獨(dú)修需12天，丙隊(duì)獨(dú)修需15天．現(xiàn)在讓3個(gè)隊(duì)合修，但中途甲隊(duì)撤出去到另外工地，結(jié)果用了6天才把這條公路修完．當(dāng)甲隊(duì)撤出后，乙、丙兩隊(duì)又共同合修了多少天才完成？【難度】★★【答案】5天．【解析】這里前后乙，丙兩隊(duì)未曾離開(kāi)，共同干了6天，所以乙、丙兩隊(duì)6天共干了，也就是說(shuō)甲只干了，那么甲干了，因此，當(dāng)甲隊(duì)撤出后，乙、丙兩隊(duì)又共同合修了6-1=5天才完成甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比單獨(dú)做時(shí)提高，乙的工作效率比單獨(dú)做時(shí)提高．甲、乙兩人合作小時(shí)，完成全部工作的，第二天乙又單獨(dú)做了小時(shí)，還留下這件工作的尚未完成，如果這件工作始終由甲一人單獨(dú)來(lái)做，需要多少小時(shí)？【難度】★★★【答案】．【解析】先算出乙單獨(dú)做了6小時(shí)的工作總量為：，所以乙的工作效率為：，再算出兩人合作時(shí)候甲工作效率為：，甲單獨(dú)的真正效率為：，所以甲單獨(dú)做完的時(shí)間為：一項(xiàng)挖土萬(wàn)工程，如果甲隊(duì)單獨(dú)做，16天可以完成，乙隊(duì)單獨(dú)做要20天能完成．現(xiàn)在兩隊(duì)同時(shí)施工，工作效率提高20％．當(dāng)工程完成時(shí)，突然遇到了地下水，影響了施工進(jìn)度，使得每天少挖了47.25方土，結(jié)果共用了10天完成工程．問(wèn)整工程要挖多少方土？【難度】★★★【答案】1100方土．【解析】合甲乙兩隊(duì)合作的工作效率：，合作完成所用時(shí)間：，所以完成剩下的所用的時(shí)間：，因?yàn)槭鞘茏杷钥梢缘贸鲈谑Ｏ碌睦锏男适牵?；前后的工作效率差是：，這項(xiàng)工程計(jì)劃挖土方數(shù)為：模塊二：工程問(wèn)題方法與技巧模塊二：工程問(wèn)題方法與技巧知識(shí)精講知識(shí)精講1、常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法（1）整體分析法，代換法、比例法、列表法、方程法等（2）拋開(kāi)“工作總量”和“時(shí)間”，抓住題目給出的工作效率之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化出與所求相關(guān)的工作效率，最后再利用先前的假設(shè)“把整個(gè)工程看成一個(gè)單位”，求得問(wèn)題答案．一般情況下，工程問(wèn)題求的是時(shí)間．例題解析例題解析有兩個(gè)同樣的倉(cāng)庫(kù)，搬運(yùn)完其中一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，甲需要6小時(shí)，乙需要7小時(shí)，丙需要14小時(shí)．甲、乙同時(shí)開(kāi)始各搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，開(kāi)始時(shí)，丙先幫甲搬運(yùn)，后來(lái)又去幫乙搬運(yùn)，最后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物同時(shí)搬完．則丙幫甲小時(shí)【難度】★★【答案】1.75小時(shí)．【解析】．三人搬完倉(cāng)庫(kù)用時(shí)：；甲完成了一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的：，則丙運(yùn)了這個(gè)倉(cāng)庫(kù)的：，且用時(shí)甲、乙、丙三隊(duì)要完成，兩項(xiàng)工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果讓甲、乙、丙三隊(duì)單獨(dú)做，完成工程所需要的時(shí)間分別是天，天，天．現(xiàn)在讓甲隊(duì)做工程，乙隊(duì)做工程，為了同時(shí)完成這兩項(xiàng)工程，丙隊(duì)先與乙隊(duì)合做工程若干天，然后再與甲隊(duì)合做工程若干天．問(wèn)丙隊(duì)與乙隊(duì)合做了多少天？【難度】★★【答案】15天【解析】把A工程看作“1”，則B工程為，則總工作量：，工作時(shí)間：丙隊(duì)與乙隊(duì)合做了：一項(xiàng)工程，乙單獨(dú)做要天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，這樣交替輪流做，那么恰好用整天數(shù)完成；如果第一天乙做，第二天甲做，這樣交替輪流做，那么比上次輪流的做法多用半天完工．問(wèn)：甲單獨(dú)做需要幾天？【難度】★★【答案】10天．【解析】這兩種輪流交替做的情況反映出：當(dāng)甲先做時(shí)，用的時(shí)間就少，而乙先做時(shí)，用的時(shí)間就多．還反映出甲的工效高，乙的工效低．肯定的是第一種情況中甲用的時(shí)間比乙多一天，而第二種情況中，乙的天數(shù)剛好和第一種情況中甲的天數(shù)相同，甲則是與第一種情況中乙的天數(shù)相同的基礎(chǔ)上還多天．第一種情況：甲乙甲乙…甲，第二種情況：乙甲乙甲…乙甲×（甲的二分之一），第一種情況：甲乙甲乙…等于第二種情況：乙甲乙甲，根據(jù)分析可得，甲一天的工效=乙一天的工效+甲一天工效的，也就是乙一天的工效應(yīng)該等于甲一天工效的，公園水池每周需換一次水．水池有甲、乙、丙三根進(jìn)水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙、……的順序輪流打開(kāi)1小時(shí)，恰好在打開(kāi)水管整數(shù)小時(shí)后灌滿(mǎn)空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的順序輪流打開(kāi)1小時(shí)，灌滿(mǎn)一池水比第一周少用了15分鐘；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的順序輪流打開(kāi)1小時(shí)，比第一周多用了15分鐘．第四周他三個(gè)管同時(shí)打開(kāi)，灌滿(mǎn)一池水用了2小時(shí)20分，第五周他只打開(kāi)甲管，那么灌滿(mǎn)一池水需用多少小時(shí)？【難度】★★★【答案】7小時(shí)．【解析】如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙…的順序輪流打開(kāi)1小時(shí)，恰好在打開(kāi)丙管1小時(shí)后灌滿(mǎn)空水池，則第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲…的順序輪流打開(kāi)1小時(shí)，應(yīng)在打開(kāi)甲管1小時(shí)后灌滿(mǎn)一池水，不合題意；如第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙…的順序輪流打開(kāi)1小時(shí)，恰好在打開(kāi)乙管1小時(shí)后灌滿(mǎn)空水池，則第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲…的順序輪流打開(kāi)1小時(shí)，應(yīng)在打開(kāi)丙管45分鐘后灌滿(mǎn)一池水；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲…的順序輪流打開(kāi)1小時(shí)，應(yīng)在打開(kāi)甲管后15分鐘灌滿(mǎn)一池水；比較第二周和第三周，發(fā)現(xiàn)開(kāi)乙管1小時(shí)和丙管45分鐘的進(jìn)水量與開(kāi)丙管、乙管各1小時(shí)加開(kāi)甲管15分鐘的進(jìn)水量相同，矛盾；所以第一周是在開(kāi)甲管1小時(shí)后灌滿(mǎn)水池的；比較三周發(fā)現(xiàn)，甲管1小時(shí)的進(jìn)水量與乙管45分鐘的進(jìn)水量相同，乙管30分鐘的進(jìn)水量與丙管1小時(shí)的進(jìn)水量相同．三管單位時(shí)間內(nèi)的進(jìn)水量之比為3：4：2；據(jù)此解答即可2小時(shí)20分=，隨堂檢測(cè)隨堂檢測(cè)搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，甲需小時(shí)，乙需小時(shí)，丙需小時(shí)．有同樣的倉(cāng)庫(kù)和，甲在倉(cāng)庫(kù)，乙在倉(cāng)庫(kù)同時(shí)開(kāi)始搬運(yùn)貨物，丙開(kāi)始幫甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫乙搬運(yùn)，最后同時(shí)搬完兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物．丙幫助甲、乙各搬運(yùn)了幾小時(shí)？【難度】★★【答案】甲：3小時(shí)，乙：5小時(shí)【解析】甲乙丙三人合作完成2個(gè)倉(cāng)庫(kù)，所以完成時(shí)間：，甲能完成：，所以還有是丙做了，丙需要：，所以丙幫助乙為8-3=5（小時(shí)）甲、乙、丙三人同時(shí)分別在3個(gè)條件和工作量相同的倉(cāng)庫(kù)工作，搬完貨物甲用10小時(shí)，乙用12小時(shí)，丙用15小時(shí)．第二天三人又到兩個(gè)大倉(cāng)庫(kù)工作，這兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的工作量相同．甲在倉(cāng)庫(kù)，乙在倉(cāng)庫(kù)，丙先幫甲后幫乙，用了16個(gè)小時(shí)將兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)同時(shí)搬完．丙在倉(cāng)庫(kù)搬了多長(zhǎng)時(shí)間？【難度】★★【答案】6小時(shí)【解析】，規(guī)定兩人輪流做一個(gè)工程，要求第一個(gè)人先做1個(gè)小時(shí)，第二個(gè)人接著做一個(gè)小時(shí)，然后再由第一個(gè)人做1個(gè)小時(shí)，然后又由第二個(gè)人做1個(gè)小時(shí)，如此反復(fù)，做完為止．如果甲、乙輪流做一個(gè)工程需要小時(shí)，而乙、甲輪流做同樣的工程只需要小時(shí)，那乙單獨(dú)做這個(gè)工程需要多少小時(shí)？【難度】★★★【答案】7.3小時(shí)【解析】甲乙輪流做一個(gè)工程，甲工作了5小時(shí)，乙工作了4.8小時(shí)；乙甲輪流工作時(shí)，乙工作了5小時(shí)，甲工作了4.6小時(shí)。所以甲做0.4小時(shí)完成的工程等于乙做0.2小時(shí)，乙的效率是甲的0.4÷0.2=2（倍），甲做5小時(shí)完成的任務(wù)乙只要2.5小時(shí)就能完成。所以乙單獨(dú)完成這個(gè)工程要：2.5+4.8=7.3（小時(shí)）。【難度】★★★【答案】84小時(shí)．【解析】把水池的容量看成單位“1”，進(jìn)水管的效率就是，出水管的效率就是，進(jìn)水管，出水管及漏水處三者的共同效率就是；若不漏水同時(shí)打開(kāi)進(jìn)水管和出水管的效率應(yīng)是；用這一效率減去這一效率就是漏水處的效率，再用工作量除以漏水處的工作效率就是漏完需要的時(shí)間，漏水處的工作效率：；漏完全池水需要的時(shí)間：課后作業(yè)課后作業(yè)甲、乙兩隊(duì)合作挖一條水渠要天完成，若甲隊(duì)先挖天后，再由乙隊(duì)單獨(dú)挖天，共挖了這條水渠的．如果這條水渠由甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)挖，各需要多少天？【難度】★【答案】甲：90天，乙：45天【解析】甲先挖4天后,乙再挖16天,可以看成是甲乙合作4天,乙再獨(dú)做16－4＝12（天）

甲乙合作4天完成：×4＝，乙12天完成:－＝乙每天完成:÷12＝，甲每天完成:－＝甲獨(dú)做完成要:1÷＝90（天）乙獨(dú)做完成要:1÷＝45（天）一批零件平均分給甲、乙兩人同時(shí)加工，兩人工作小時(shí)，共完成這批零件的。已知甲與乙的工作效率之比是，那么乙還要幾小時(shí)才能完成分配的任務(wù)？【難度】★【答案】5天【解析】?jī)扇斯ぷ饕惶炜梢酝瓿伞?=，甲與乙的工作效率是5：3,乙一天完成×=，由于工作平均分給甲乙,每人完成，乙完成自己的總共要，÷=10天，那么乙還要工作:10-5=5天甲、乙、丙三人承包一項(xiàng)工程，發(fā)給他們工資共1800元，三人完成這項(xiàng)工程的具體情況是：甲、乙兩人合作6天完成了工程的，因?yàn)榧子惺?，由乙、丙合?天完成余下工程的，以后三人合作5天完成了這項(xiàng)工程，按完成量的多少來(lái)付勞動(dòng)報(bào)酬，甲、乙、丙各得多少元？【難度】★★【答案】甲：330元，乙：910元，丙：560元【解析】甲乙效率和÷6=，乙丙效率和（1-）×÷2=甲乙丙效率和（1-）×（1-）÷5=甲效率-=，乙效率-=，丙效率-=甲分1800××（6+5）=30×11=330元，乙分1800××（6+2+5）=70×13=910元丙分1800××（2+5）=80×7=560元一個(gè)水箱，用甲、乙、丙三個(gè)水管往里注水．若只開(kāi)甲、丙兩管，甲管注入18噸水時(shí)，水箱已滿(mǎn)；若只開(kāi)乙、丙兩管，乙管注入27噸水時(shí)，水箱才滿(mǎn)．又知，乙管每分鐘注水量是甲管每分鐘注水量的2倍．則該水箱最多可容納多少?lài)嵥?？【難度】★★【答案】54升【解析】可以設(shè)甲水管每分鐘注水量為1升，那么乙水管每分鐘注水量為2升，所以當(dāng)甲管注入18升水時(shí)，用時(shí)