三垂線定理及其典型例題

關(guān)于三垂線定理及其典型例題第一頁，共十五頁，2022年，8月28日復(fù)習(xí)提問：1。直線與平面垂直的定義。2。直線與平面垂直的判定定理。3。證明線面垂直的方法。4。證明線線垂直的方法。第二頁，共十五頁，2022年，8月28日一、射影的概念定義：自一點P向平面α引垂線，垂足P1

叫做P在平面α內(nèi)的正射影（簡稱射影）。.Pα如果圖形F上的所有點在一平面內(nèi)的射影構(gòu)成圖形F1，則F1叫做圖形F在這個平面內(nèi)的射影。思考：1。兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影的位置關(guān)系如何？2。一個三角形在另一平面中的射影可能是什么圖形？第三頁，共十五頁，2022年，8月28日二、平面的斜線、垂線、射影如果aα,a⊥AO，思考a與PO的位置關(guān)系如何？∪aAPoα

PO是平面α的斜線,O為斜足;PA是平面α的垂線,A為垂足;AO是PO在平面α內(nèi)的射影.三垂線定理第四頁，共十五頁，2022年，8月28日性質(zhì)定理判定定理性質(zhì)定理線面垂直①線線垂直②線面垂直③線線垂直PO平面PAO∪a⊥PO③結(jié)論：a⊥PO二、三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。為什么呢？PA⊥αaα∪①PA⊥aAO⊥a②a⊥平面PAO三垂線定理PaAoα第五頁，共十五頁，2022年，8月28日

1、三垂線定理描述的是PO(斜線)、AO(射影)、a(直線)之間的垂直關(guān)系。

2、a與PO可以相交，也可以異面。

3、三垂線定理的實質(zhì)是平面的一條斜線和平面內(nèi)的一條直線垂直的判定定理。對三垂線定理的說明：三垂線定理用法：∵PA⊥α，aα，AO是斜線PO在平面α內(nèi)的射影，a⊥AO∴a⊥POPaAoα思考：如果把定理中的條a⊥AO與結(jié)論a⊥PO互換，命題是否成立？第六頁，共十五頁，2022年，8月28日PaAoα三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直。用法：∵PA⊥α，aα，AO是斜線PO在平面α內(nèi)的射影，a⊥PO∴a⊥AO說明：三垂線定理及其逆定理是證明線線垂直的重要方法。第七頁，共十五頁，2022年，8月28日例題分析：

1、判定下列命題是否正確

(1)若a是平面α的斜線、直線b垂直于a在平面α內(nèi)的射影，則a⊥b。()

2°定理的關(guān)鍵找“平面”這個參照學(xué)。強(qiáng)調(diào)：1°四線是相對同一個平面而言(2)若a是平面α的斜線，b是平面α內(nèi)的直線，且b垂直于a在β內(nèi)的射影，則a⊥b。()××三垂線定理第八頁，共十五頁，2022年，8月28日

2、如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，連結(jié)BD1，AC，CB1，B1A，求證：BD1⊥平面AB1C∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD

又DD1⊥平面ABCD∴BD是斜線D1B在平面ABCD上的射影∵AC在平面AC內(nèi)，∴BD1⊥ACA1D1C1B1ADCB而AB1，AC相交于點A且都在平面AB1C內(nèi)∴BD1⊥平面AB1C證明：連結(jié)BD，請同學(xué)思考：如何證明D1B⊥AB1

連結(jié)A1B三垂線定理第九頁，共十五頁，2022年，8月28日關(guān)于三垂線定的應(yīng)用，關(guān)鍵是找出平面(基準(zhǔn)面)的垂線。至于射影則是由垂足、斜足來確定的，因而是第二位的。從三垂線定理的證明得到證明a⊥b的一個程序：一垂、二射、三證。即第一、找平面(基準(zhǔn)面)及平面垂線第二、找射影線，這時a、b便成平面上的一條直線與一條斜線。三垂線定理第三、證明射影線與直線a垂直，從而得出a與b垂直。第十頁，共十五頁，2022年，8月28日例3.如果一個角所在平面外一點到角的兩邊的距離相等，那么這點在平面內(nèi)的射影在這個角的平分線上。αABCOPEF已知：∠BAC在平面α內(nèi)，點在α外，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分別是E、F、O，PE=PF求證：∠BAO=∠CAO證明：連接PA，OE，OF∵PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，∴AB⊥OE，AC⊥OF（三垂線定理的逆定理）∵PE=PF，PA=PA，∴RtPAE≌RtPAF?！郃E=AF又AO=AO∴，∴RtAOE≌RtAOF?！唷螧AO=∠CAO第十一頁，共十五頁，2022年，8月28日例4、道旁有一條河，彼岸有電塔AB，高15m，只有測角器和皮尺作測量工具，能否求出電塔頂與道路的距離？解：在道邊取一點C，使BC與道邊所成水平角等于90°，再在道邊取一點D，使水平角CDB等于45°，測得C、D的距離等于20cmBAC90°D⌒45°三垂線定理第十二頁，共十五頁，2022年，8月28日BAC90°D⌒45°∵BC是AC的射影且CD⊥BC∴CD⊥AC∵∠CDB=45°，CD⊥BC，CD=20cm∴BC=20m，在直角三角形ABC中

AC2=AB2+BC2，AC=152+202=25(cm)答：電塔頂與道路的距離是25m。因此斜線AC的長度就是電塔頂與道路的距離。三垂線定理第十三頁，共十五頁，2022年，8月28日三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，