相似三角形難題集錦含答案

..一、相似三角形中的動點(diǎn)問題1.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=3,BC=4,過點(diǎn)B作射線BB1∥AC．動點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動,同時(shí)動點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動．過點(diǎn)D作DH⊥AB于H,過點(diǎn)E作EF⊥AC交射線BB1于F,G是EF中點(diǎn),連接DG．設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動的時(shí)間為t秒．

〔1當(dāng)t為何值時(shí),AD=AB,并求出此時(shí)DE的長度；

〔2當(dāng)△DEG與△ACB相似時(shí),求t的值．

2.如圖,在△ABC中,ABC＝90°,AB=6m,BC=8m,動點(diǎn)P以2m/s的速度從A點(diǎn)出發(fā),沿AC向點(diǎn)C移動．同時(shí),動點(diǎn)Q以1m/s的速度從C點(diǎn)出發(fā),沿CB向點(diǎn)B移動．當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),它們都停止移動．設(shè)移動的時(shí)間為t秒．

〔1①當(dāng)t=2.5s時(shí),求△CPQ的面積；

②求△CPQ的面積S〔平方米關(guān)于時(shí)間t〔秒的函數(shù)解析式；

〔2在P,Q移動的過程中,當(dāng)△CPQ為等腰三角形時(shí),求出t的值．

3.如圖1,在Rt△ABC中,ACB＝90°,AC＝6,BC＝8,點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動,DE平分CDB交邊BC于點(diǎn)E,EM⊥BD,垂足為M,EN⊥CD,垂足為N．

〔1當(dāng)AD＝CD時(shí),求證：DE∥AC；

〔2探究：AD為何值時(shí),△BME與△CNE相似？

4.如圖所示,在△ABC中,BA＝BC＝20cm,AC＝30cm,點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā),沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā),沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動,當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí),Q點(diǎn)隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為x．

〔1當(dāng)x為何值時(shí),PQ∥BC？

〔2△APQ與△CQB能否相似？若能,求出AP的長；若不能說明理由．5.如圖,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,點(diǎn)P沿AB邊從A開始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動．如果P、Q同時(shí)出發(fā),用t〔s表示移動的時(shí)間〔0＜t＜6?！?當(dāng)t為何值時(shí),△QAP為等腰直角三角形？

〔2當(dāng)t為何值時(shí),以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？二、構(gòu)造相似輔助線——雙垂直模型6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A的坐標(biāo)為<2,1>,正比例函數(shù)y=kx的圖象與線段OA的夾角是45°,求這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式．

7.在△ABC中,AB=,AC=4,BC=2,以AB為邊在C點(diǎn)的異側(cè)作△ABD,使△ABD為等腰直角三角形,求線段CD的長．

8.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,點(diǎn)M是AC上的一點(diǎn),點(diǎn)N是BC上的一點(diǎn),沿著直線MN折疊,使得點(diǎn)C恰好落在邊AB上的P點(diǎn)．求證：MC：NC=AP：PB．

9.如圖,在直角坐標(biāo)系中,矩形ABCO的邊OA在x軸上,邊OC在y軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔1,3,將矩形沿對角線AC翻折B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置,且AD交y軸于點(diǎn)E．那么D點(diǎn)的坐標(biāo)為〔

A.B.

C.D.10..已知,如圖,直線y=﹣2x＋2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)．以AB為短邊在第一象限做一個(gè)矩形ABCD,使得矩形的兩邊之比為1﹕2。

求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

三、構(gòu)造相似輔助線——A、X字型11.如圖：△ABC中,D是AB上一點(diǎn),AD=AC,BC邊上的中線AE交CD于F。

求證：

12.四邊形ABCD中,AC為AB、AD的比例中項(xiàng),且AC平分∠DAB。

求證：

13.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB＝b,CD＝a,E為AD邊上的任意一點(diǎn),EF∥AB,且EF交BC于點(diǎn)F,某同學(xué)在研究這一問題時(shí),發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：

<1>當(dāng)時(shí),EF=；<2>當(dāng)時(shí),EF=；

<3>當(dāng)時(shí),EF=．當(dāng)時(shí),參照上述研究結(jié)論,請你猜想用a、b和k表示EF的一般結(jié)論,并給出證明．

14.已知：如圖,在△ABC中,M是AC的中點(diǎn),E、F是BC上的兩點(diǎn),且BE＝EF＝FC。

求BN：NQ：QM．

15.證明：〔1重心定理：三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對邊上中線長的．〔注：重心是三角形三條中線的交點(diǎn)

〔2角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對應(yīng)成比例．四、相似類定值問題16.如圖,在等邊△ABC中,M、N分別是邊AB,AC的中點(diǎn),D為MN上任意一點(diǎn),BD、CD的延長線分別交AC、AB于點(diǎn)E、F．

求證：．

17.已知：如圖,梯形ABCD中,AB//DC,對角線AC、BD交于O,過O作EF//AB分別交AD、BC于E、F。

求證：．

18.如圖,在△ABC中,已知CD為邊AB上的高,正方形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在△ABC上。

求證：．19.已知,在△ABC中作內(nèi)接菱形CDEF,設(shè)菱形的邊長為a．求證：．五、相似之共線線段的比例問題20.〔1如圖1,點(diǎn)在平行四邊形ABCD的對角線BD上,一直線過點(diǎn)P分別交BA,BC的延長線于點(diǎn)Q,S,交于點(diǎn)．求證：

〔2如圖2,圖3,當(dāng)點(diǎn)在平行四邊形ABCD的對角線或的延長線上時(shí),是否仍然成立？若成立,試給出證明；若不成立,試說明理由〔要求僅以圖2為例進(jìn)行證明或說明；

21.已知：如圖,△ABC中,AB＝AC,AD是中線,P是AD上一點(diǎn),過C作CF∥AB,延長BP交AC于E,交CF于F．求證：BP2＝PE·PF．22.如圖,已知ΔABC中,AD,BF分別為BC,AC邊上的高,過D作AB的垂線交AB于E,交BF于G,交AC延長線于H。求證：DE2=EG?EH23.已知如圖,P為平行四邊形ABCD的對角線AC上一點(diǎn),過P的直線與AD、BC、CD的延長線、AB的延長線分別相交于點(diǎn)E、F、G、H.

求證：

24.已知,如圖,銳角△ABC中,AD⊥BC于D,H為垂心〔三角形三條高線的交點(diǎn)；在AD上有一點(diǎn)P,且∠BPC為直角．求證：PD2＝AD·DH。六、相似之等積式類型綜合25.已知如圖,CD是Rt△ABC斜邊AB上的高,E為BC的中點(diǎn),ED的延長線交CA于F。

求證：

26如圖,在Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的高,點(diǎn)M在CD上,DH⊥BM且與AC的延長線交于點(diǎn)E.

求證：〔1△AED∽△CBM；〔2

27.如圖,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,E是AC的中點(diǎn),ED的延長線與CB的延長線交于點(diǎn)F.

〔1求證：.

〔2若G是BC的中點(diǎn),連接GD,GD與EF垂直嗎？并說明理由.

28.如圖,四邊形ABCD、DEFG都是正方形,連接AE、CG,AE與CG相交于點(diǎn)M,CG與AD相交于點(diǎn)N．求證：．

29.如圖,BD、CE分別是△ABC的兩邊上的高,過D作DG⊥BC于G,分別交CE及BA的延長線于F、H。求證：〔1DG2＝BG·CG；〔2BG·CG＝GF·GH七、相似基本模型應(yīng)用30.△ABC和△DEF是兩個(gè)等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的頂點(diǎn)E位于邊BC的中點(diǎn)上．

〔1如圖1,設(shè)DE與AB交于點(diǎn)M,EF與AC交于點(diǎn)N,求證：△BEM∽△CNE；

〔2如圖2,將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn),使得DE與BA的延長線交于點(diǎn)M,EF與AC交于點(diǎn)N,于是,除〔1中的一對相似三角形外,能否再找出一對相似三角形并證明你的結(jié)論．

31.如圖,四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形,點(diǎn)R為DE的中點(diǎn),BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q．

〔1請寫出圖中各對相似三角形〔相似比為1除外；

〔2求BP：PQ：QR．

32.如圖,在△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F。求證：

答案：1.答案：解：〔1∵∠ACB=90°,AC=3,BC=4

∴AB=5

又∵AD=AB,AD=5t

∴t=1,此時(shí)CE=3,

∴DE=3+3-5=1

〔2

如圖當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E左側(cè),即：0≦t≦時(shí),DE=3t+3-5t=3-2t．

若△DEG與△ACB相似,有兩種情況：

①△DEG∽△ACB,此時(shí),

即：,求得：t=；

②△DEG∽△BCA,此時(shí),

即：,求得：t=；

如圖,當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)E右側(cè),即：t>時(shí),DE=5t-<3t+3>=2t-3．

若△DEG與△ACB相似,有兩種情況：

③△DEG∽△ACB,此時(shí),

即：,求得：t=；

④△DEG∽△BCA,此時(shí),

即：,求得：t=．

綜上,t的值為或或或．3.答案：解：〔1證明：∵AD=CD∴∠A=∠ACD∵DE平分CDB交邊BC于點(diǎn)E

∴∠CDE=∠BDE∵∠CDB為△CDB的一個(gè)外角

∴∠CDB=∠A+∠ACD=2∠ACD∵∠CDB=∠CDE+∠BDE=2∠CDE∴∠ACD=∠CDE∴DE∥AC

〔2①∠NCE=∠MBE∵EM⊥BD,EN⊥CD,

∴△BME∽△CNE,如圖

∵∠NCE=∠MBE∴BD=CD

又∵∠NCE+∠ACD=∠MBE+∠A=90°∴∠ACD=∠A∴AD=CD∴AD=BD=AB

∵在Rt△ABC中,ACB＝90°,AC＝6,BC＝8

∴AB=10∴AD=5②∠NCE=∠MEB∵EM⊥BD,EN⊥CD,

∴△BME∽△ENC,如圖

∵∠NCE=∠MEB∴EM∥CD

∴CD⊥AB∵在Rt△ABC中,ACB＝90°,AC＝6,BC＝8

∴AB=10∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB∴△ACD∽△ABC∴∴

綜上：AD=5或時(shí),△BME與△CNE相似．4.答案：解〔1由題意：AP=4x,CQ=3x,AQ=30-3x,

當(dāng)PQ∥BC時(shí),,即：

解得：

〔2能,AP=cm或AP=20cm

①△APQ∽△CBQ,則,即

解得：或〔舍

此時(shí)：AP=cm

②△APQ∽△CQB,則,即

解得：〔符合題意

此時(shí)：AP=cm

故AP=cm或20cm時(shí),△APQ與△CQB能相似．5.答案：解：設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t,則DQ=t,AQ=6-t,AP=2t,BP=12-2t．

〔1若△QAP為等腰直角三角形,則AQ=AP,即：6-t=2t,t=2〔符合題意

∴t=2時(shí),△QAP為等腰直角三角形．

〔2∠B=∠QAP=90°①當(dāng)△QAP∽△ABC時(shí),,即：,

解得：〔符合題意；

②當(dāng)△PAQ∽△ABC時(shí),,即：,

解得：〔符合題意．

∴當(dāng)或時(shí),以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．6.答案：解：分兩種情況

第一種情況,圖象經(jīng)過第一、三象限

過點(diǎn)A作AB⊥OA,交待求直線于點(diǎn)B,過點(diǎn)A作平行于y軸的直線交x軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)B作BD⊥AC

則由上可知：＝90°

由雙垂直模型知：△OCA∽△ADB∴∵A〔2,1,＝45°∴OC＝2,AC＝1,AO＝AB

∴AD＝OC＝2,BD＝AC＝1

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為〔2,3

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為〔1,3

∴此時(shí)正比例函數(shù)表達(dá)式為：y＝3x

第二種情況,圖象經(jīng)過第二、四象限

過點(diǎn)A作AB⊥OA,交待求直線于點(diǎn)B,過點(diǎn)A作平行于x軸的直線交y軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)B作BD⊥AC

則由上可知：＝90°

由雙垂直模型知：△OCA∽△ADB∴∵A〔2,1,＝45°∴OC＝1,AC＝2,AO＝AB

∴AD＝OC＝1,BD＝AC＝2

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為〔3,1

∴B點(diǎn)坐標(biāo)為〔3,﹣1

∴此時(shí)正比例函數(shù)表達(dá)式為：y＝x7.答案：解：情形一：

情形二：

情形三：8.答案：證明：方法一：

連接PC,過點(diǎn)P作PD⊥AC于D,則PD//BC

根據(jù)折疊可知MN⊥CP∵∠2+∠PCN=90°,∠PCN+∠CNM=90°∴∠2=∠CNM∵∠CDP=∠NCM=90°∴△PDC∽MCN∴MC：CN=PD：DC

∵PD=DA∴MC：CN=DA：DC

∵PD//BC∴DA：DC=PA：PB

∴MC：CN=PA：PB

方法二：如圖,

過M作MD⊥AB于D,過N作NE⊥AB于E

由雙垂直模型,可以推知△PMD∽NPE,則,

根據(jù)等比性質(zhì)可知,而MD=DA,NE=EB,PM=CM,PN=CN,

∴MC：CN=PA：PB9.答案：A解題思路：如圖

過點(diǎn)D作AB的平行線交BC的延長線于點(diǎn)M,交x軸于點(diǎn)N,則∠M=∠DNA=90°,

由于折疊,可以得到△ABC≌△ADC,

又由B〔1,3

∴BC=DC=1,AB=AD=MN=3,∠CDA=∠B=90°∴∠1+∠2=90°∵∠DNA=90°∴∠3+∠2=90°∴∠1=∠3∴△DMC∽△AND,

∴

設(shè)CM=x,則DN=3x,AN=1＋x,DM＝

∴3x＋＝3

∴x＝

∴,則。

答案為A10.答案：解：

過點(diǎn)C作x軸的平行線交y軸于G,過點(diǎn)D作y軸的平行線交x軸于F,交GC的延長線于E。

∵直線y=﹣2x＋2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)

∴A〔1,0,B〔0,2

∴OA=1,OB=2,AB=

∵AB：BC=1:2

∴BC=AD=∵∠ABO+∠CBG=90°,∠ABO+∠BAO=90°∴∠CBG=∠BAO

又∵∠CGB=∠BOA=90°∴△OAB∽△GBC∴∴GB=2,GC=4

∴GO=4∴C〔4,4

同理可得△ADF∽△BAO,得

∴DF=2,AF=4

∴OF=5

∴D〔5,211.答案：證明：〔方法一如圖

延長AE到M使得EM=AE,連接CM

∵BE=CE,∠AEB=∠MEC∴△BEA≌△CEM∴CM=AB,∠1=∠B∴AB∥CM∴∠M=∠MAD,∠MCF=∠ADF∴△MCF∽△ADF∴∵CM=AB,AD=AC

∴

〔方法二

過D作DG∥BC交AE于G

則△ABE∽△ADG,△CEF∽△DGF∴,

∵AD=AC,BE=CE

∴12.答案：證明：

過點(diǎn)D作DF∥AB交AC的延長線于點(diǎn)F,則∠2=∠3∵AC平分∠DAB∴∠1=∠2∴∠1=∠3∴AD=DF∵∠DEF=∠BEA,∠2=∠3∴△BEA∽△DEF∴∵AD=DF∴∵AC為AB、AD的比例中項(xiàng)

∴

即

又∵∠1=∠2∴△ACD∽△ABC∴∴∴13.答案：解：

證明：

過點(diǎn)E作PQ∥BC分別交BA延長線和DC于點(diǎn)P和點(diǎn)Q

∵AB∥CD,PQ∥BC∴四邊形PQCB和四邊形EQCF是平行四邊形

∴PB＝EF＝CQ,

又∵AB＝b,CD＝a

∴AP＝PB-AB＝EF-b,DQ＝DC-QC＝a-EF

∴∴14.答案：解：

連接MF

∵M(jìn)是AC的中點(diǎn),EF＝FC

∴MF∥AE且MF＝AE

∴△BEN∽△BFM

∴BN：BM＝BE：BF＝NE：MF

∵BE＝EF

∴BN：BM＝NE：MF＝1:2

∴BN：NM＝1:1

設(shè)NE＝x,則MF＝2x,AE＝4x

∴AN＝3x

∵M(jìn)F∥AE

∴△NAQ∽△MFQ

∴NQ：QM＝AN：MF＝3:2

∵BN：NM＝1:1,NQ：QM＝3:2

∴BN：NQ：QM＝5:3:215.答案：證明：〔1

如圖1,AD、BE為△ABC的中線,且AD、BE交于點(diǎn)O

過點(diǎn)C作CF∥BE,交AD的延長線于點(diǎn)F

∵CF∥BE且E為AC中點(diǎn)

∴∠AEO＝∠ACF,∠OBD＝∠FCD,AC＝2AE

∵∠EAO＝∠CAF∴△AEO∽△ACF∴∵D為BC的中點(diǎn),∠ODB＝∠FDC∴△BOD≌△CFD∴BO＝CF

∴∴

同理,可證另外兩條中線

∴三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對邊上中線長的

〔2

如圖2,AD為△ABC的角平分線

過點(diǎn)C作AB的平行線CE交AD的延長線于E

則∠BAD=∠E∵AD為△ABC的角平分線

∴∠BAD=∠CAD∴∠E=∠CAD∴AC＝CE

∵CE∥AB∴△BAD∽△CED∴∴16.答案：證明：

如圖,作DP∥AB,DQ∥AC

則四邊形MDPB和四邊形NDQC均為平行四邊形且△DPQ是等邊三角形

∴BP+CQ＝MN,DP＝DQ＝PQ

∵M(jìn)、N分別是邊AB,AC的中點(diǎn)

∴MN＝BC＝PQ

∵DP∥AB,DQ∥AC∴△CDP∽△CFB,△BDQ∽△BEC∴,

∴∵DP＝DQ＝PQ＝BC＝AB

∴AB〔＝

∴17.答案：證明：∵EF//AB,AB//DC

∴EF//DC∴△AOE∽△ACD,△DOE∽△DBA∴,

∴∴18.答案：證明：∵EF∥CD,EH∥AB∴,

∵,

∴△AFE∽△ADC,△CEH∽△CAB∴,

∵EF＝EH

∴∴19.答案：證明：∵EF∥AC,DE∥BC∴,

∵,

∴△BFE∽△BCA,△AED∽△ABC∴,

∴∵EF＝DE＝a

∴20.答案：〔1證明：在平行四邊形ABCD中,AD∥BC,

∴∠DRP=∠S,∠RDB=∠DBS∴△DRP∽△BSP∴

同理由AB∥CD可證△PTD∽△PQB∴∴∴

〔2證明：成立,理由如下：

在平行四邊形ABCD中,AD∥BC,

∴∠PRD=∠S,∠RDP=∠DBS∴△DRP∽△BSP∴

同理由AB∥CD可證△PTD∽△PQB∴∴∴21.答案：證明:∵AB＝AC,AD是中線,

∴AD⊥BC,BP=CP∴∠1=∠2

又∵∠ABC=∠ACB∴∠3=∠4∵CF∥AB∴∠3=∠F,∠4=∠F

又∵∠EPC=∠CPF∴△EPC∽△CPF∴∴BP2＝PE·PF

即證所求22.答案：證明：∵DE⊥AB∴＝90°∵＝90°∴∵∴△ADE∽△DBE∴∴DE2=∵BF⊥AC∴＝90°∵＝90°且

∴∵∴△BEG∽△HEA∴∴＝

∴DE2=EG•EH23.答案：證明：

∵四邊形ABCD為平行四邊形

∴AB∥CD,AD∥BC∴∠1=∠2,∠G=∠H,∠5=∠6∴△PAH∽△PCG∴

又∵∠3=∠4∴△APE∽△CPF∴∴24.答案：證明：如圖,連接BH交AC于點(diǎn)E,

∵H為垂心

∴BE⊥AC∴∠EBC+∠BCA=90°∵AD⊥BC于D

∴∠DAC+∠BCA=90°∴∠EBC=∠DAC

又∠BDH=∠ADC=90°∴△BDH∽△ADC∴,即

∵∠BPC為直角,AD⊥BC

∴PD2＝BD·DC

∴PD2＝AD·DH25.答案：證明：∵CD是Rt△ABC斜邊AB上的高,E為BC的中點(diǎn)

∴CE=EB=DE∴∠B=∠BDE=∠FDA∵∠B+∠CAB=90°,∠ACD+∠CAB=90°∴∠B=∠ACD∴∠FDA=∠ACD∵∠F=∠F∴△FDA∽△FCD∴∵∠ADC=∠CDB=90°,∠B=∠ACD∴△ACD∽△CBD∴∴

即26.答案：證明：〔1∵∠ACB＝∠ADC＝90°∴∠A＋∠ACD＝90°∠BCM＋∠ACD＝90°∴∠A＝∠BCM

同理可得：∠MDH＝∠MBD∵∠CMB＝∠CDB＋∠MBD＝90°＋∠MBD∠ADE＝∠ADC＋∠MDH＝90°＋∠MDH∴∠ADE＝∠CMB∴△AED∽△CBM

〔2由上問可知：,即

故只需證明即可

∵∠A＝∠A,∠ACD＝∠ABC∴△ACD∽△ABC∴,即

∴27.答案：〔1將結(jié)論寫成比例的形式,,可以考慮證明△FDB∽△FCD〔已經(jīng)有一個(gè)公共角∠F

Rt△ACD中,E是AC的中點(diǎn)

∴DE=AE∴∠A=∠ADE∵∠ADE=∠FDB∴∠A=∠FDB

而∠A+∠ACD=90°∠FCD+∠ACD=90°∴∠A=∠FCD∴∠FCD=∠FDB

而∠F=∠F∴△FBD∽△FDC∴∴

〔2判斷：GD與EF垂直

Rt△CDB中,G是BC的中點(diǎn),

∴GD＝GB

∴∠GDB=∠GBD

而∠GBD+∠FCD=90°又∵∠FCD=∠FDB〔1的結(jié)論

∴∠GDB+∠FDB=90°∴GD⊥EF28.答案：證明：由四邊形ABCD、DEFG都是正方形可知,∠ADC=∠GDE=90°,則∠CDG=∠ADE=∠ADG+90°

在和中

∴≌

則∠DAM=∠DCN

又∵∠ANM=∠CND∴△ANM∽△CND

則

∴29.答案：證明：找模型。

〔1△BCD、△BDG,△CDG構(gòu)成母子型相似?！唷鰾DG∽△DCG∴∴DG2＝BG·CG

〔2分析：將等積式轉(zhuǎn)化為比例式。

BG·CG＝GF·GH

∵∠GFC=∠EFH,而∠EFH+∠H=90°,∠GFC+∠FCG=90°∴∠H=∠FCG

而∠HGB=∠CGF=90°∴△HBG∽△CFG∴∴BG·CG＝GF·GH．30.答案：〔1證明：∵∠MEB＋∠NEC＝180°－45°＝135°＝∠MEB＋∠EMB

∴∠NEC＝∠EMB

又∵∠B=∠C

∴△BEM∽△CNE

〔2△COE∽△EON

證明：∵∠OEN=∠C＝45°,∠COE＝∠EON

∴△COE∽△EON31.答案：解：〔1△BCP∽△BER,△CQP∽△DQR,

△ABP∽△CQP,△DQR∽△ABP

〔2∵AC∥DE∴△BCP∽△BER∴∵四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形

∴AD=BC,AD=CE

∴BC=CE,即點(diǎn)C為BE的中點(diǎn)

∴

又∵AC∥DE∴△CQP∽△DQR∴∵點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)

∴DR=RE∴

綜上：BP：PQ：QR＝3：1：232.答案：證明：∵AD⊥BC,DE⊥AB∴△ADB∽△AED∴∴AD2＝AEAB

同理可證：AD2＝AFAC

∴AEAB＝AFAC反比例函數(shù)典型例題1、〔2011?XX正方形的A1B1P1P2頂點(diǎn)P1、P2在反比例函數(shù)y=〔x＞0的圖象上,頂點(diǎn)A1、B1分別在x軸、y軸的正半軸上,再在其右側(cè)作正方形P2P3A2B2,頂點(diǎn)P3在反比例函數(shù)y=〔x＞0的圖象上,頂點(diǎn)A2在x軸的正半軸上,則P2點(diǎn)的坐標(biāo)為___________,則點(diǎn)P3的坐標(biāo)為__________。答案：P2〔2,1P2〔+1,-12、已知關(guān)于x的方程x2+3x+a=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的倒數(shù)和等于3,且關(guān)于x的方程〔k-1x2+3x-2a=0有實(shí)根,且k為正整數(shù),正方形ABP1P2的頂點(diǎn)P1、P2在反比例函數(shù)y=〔x＞0圖象上,頂點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸的正半軸上,求點(diǎn)P2的坐標(biāo)．答案：〔2,1或〔,3、如圖,正方形OABC和正方形AEDF各有一個(gè)頂點(diǎn)在一反比例函數(shù)圖象上,且正方形OABC的邊長為2．〔1求反比例函數(shù)的解析式；〔2求點(diǎn)D的坐標(biāo)．答案：〔1y=<2><,>4、兩個(gè)反比例函數(shù)y=,y=在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示,點(diǎn)P1、P2在反比例函數(shù)圖象上,過點(diǎn)P1作x軸的平行線與過點(diǎn)P2作y軸的平行線相交于點(diǎn)N,若點(diǎn)N〔m,n恰好在y=的圖象上,則NP1與NP2的乘積是______。答案：3答案：3〔2007?XX已知三點(diǎn)P1〔x1,y1,P2〔x2,y2,P3〔1,-2都在反比例函數(shù)y=的圖象上,若x1＜0,x2＞0,則下列式子正確的是〔答案：DA．y1＜y2＜0B．y1＜0＜y2C．y1＞y2＞0D．y1＞0＞y2如圖,已知反比例函數(shù)y=的圖象上有點(diǎn)P,過P點(diǎn)分別作x軸和y軸的垂線,垂足分別為A、B,使四邊形OAPB為正方形,又在反比例函數(shù)圖象上有點(diǎn)P1,過點(diǎn)P1分別作BP和y軸的垂線,垂足分別為A1、B1,使四邊形BA1P1B1為正方形,則點(diǎn)P1的坐標(biāo)是________。答案：在反比例函數(shù)y=〔x＞0的圖象上,有一系列點(diǎn)P1、P2、P3、…、Pn,若P1的橫坐標(biāo)為2,且以后每點(diǎn)的橫坐標(biāo)與它前一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差都為2．現(xiàn)分別過點(diǎn)P1、P2、P3、…、Pn作x軸與y軸的垂線段,構(gòu)成若干個(gè)長方形如圖所示,將圖中陰影部分的面積從左到右依次記為S1、S2、S3、…、Sn,則S1+S2+S3+…+S2010=________。答案：1如圖,四邊形ABCD為正方形,點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B在y軸上,且OA=2,OB=4,反比例函數(shù)y=<k≠0>在第一象限的圖象經(jīng)過正方形的頂點(diǎn)D．求反比例函數(shù)的關(guān)系式；將正方形ABCD沿x軸向左平移_____個(gè)單位長度時(shí),點(diǎn)C恰好落在反比例函數(shù)的圖象上．答案：〔1〔22如圖,已知△OP1A1、△A1P2A2、△A2P3A3、…均為等腰直角三角形,直角頂點(diǎn)P1、P2、P3、…在函數(shù)y=〔x＞0圖象上,點(diǎn)A1、A2、A3、…在x軸的正半軸上,則點(diǎn)P2010的橫坐標(biāo)為________________。答案：兩個(gè)反比例函數(shù)y=,y=-的圖象在第一象限,第二