山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建

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宗福建1《電動力學(xué)》第10講第二章靜電場（2）§2.2唯一性定理教師姓名：宗福建單位：山東大學(xué)物理學(xué)院2016年10月11日

靜電勢的微分方程真空中Maxwell方程組中，靜電場的方程為：引入：則有：2山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建靜電勢的微分方程ρ為自由電荷密度。上式是靜電勢滿足的基本微分方程，稱為泊松（Poisson）方程。給定邊界條件就可以確定電勢

的解。

3山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建靜電勢的微分方程可以驗證，電勢

是泊松（Poisson）方程

的一個特解。4山東大學(xué)物理學(xué)院宗福建山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建5標(biāo)勢的邊值關(guān)系山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建6標(biāo)勢的邊值關(guān)系兩絕緣介質(zhì)之間：即，山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建7標(biāo)勢的邊值關(guān)系兩導(dǎo)電介質(zhì)之間：即，山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建8標(biāo)勢的邊值關(guān)系金屬表面：即，山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建9標(biāo)勢的邊值關(guān)系一邊是導(dǎo)電介質(zhì)、一邊是絕緣介質(zhì)：即，山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建10上一講習(xí)題簡答第72頁，第14題。山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建11上一講習(xí)題簡答+h/2處放置一個+q，-h/2處放置一個-q兩電荷相距h，總電偶極距為p=qh山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建12上一講習(xí)題簡答解：電偶極子的電勢

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宗福建13本講主要內(nèi)容靜電場的唯一性定理可以均勻分區(qū)的單連通區(qū)域內(nèi)靜電場的唯一性有導(dǎo)體存在時的唯一性定理山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建14§2.2唯一性定理靜電場的唯一性定理對于解決實際問題有著重要的意義。因為它首先告訴我們，哪些因素可以完全確定靜電場，這樣在解決實際問題時就有所依據(jù)。其次，對于許多實際問題，往往需要根據(jù)給定的條件作一定的分析，提出嘗試解。如果所提出的嘗試解滿足唯一性定理所要求的條件，它就是該問題的唯一正確的解。下面我們先提出并證明一般形式的唯一定理，然后再證明有導(dǎo)體存在時的唯一性定理。

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宗福建15§2.2唯一性定理1、可以均勻分區(qū)的單連通區(qū)域內(nèi)靜電場的唯一性單連通區(qū)域：設(shè)

D為平面區(qū)域,如果D

內(nèi)任一閉曲線所圍的部分區(qū)域都屬于D

,則稱D

為平面單連通區(qū)域；否則稱為復(fù)連通區(qū)域。通俗地講,單連通區(qū)域是不含“洞”(包括“點洞”)與“裂縫”的區(qū)域。山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建16§2.2唯一性定理1、可以均勻分區(qū)的單連通區(qū)域內(nèi)靜電場的唯一性單連通區(qū)域：設(shè)

D為空間區(qū)域,如果D

內(nèi)任一閉曲線都能連續(xù)地縮小為一個點

,則稱D

為空間單連通區(qū)域；否則稱為復(fù)連通區(qū)域。山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建17§2.2唯一性定理1、可以均勻分區(qū)的單連通區(qū)域內(nèi)靜電場的唯一性可以均勻分區(qū)的區(qū)域V，即V可以分為若干個均勻區(qū)域

Vi

，每一個區(qū)域的介電常數(shù)為

εi

。設(shè)V內(nèi)有給定的電荷分布

ρ（x）。電勢

φ

在均勻區(qū)域

Vi

內(nèi)滿足泊松方程在兩區(qū)域Vi

和Vj

的分界上滿足邊值關(guān)系

sv山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建18§2.2唯一性定理唯一性定理：設(shè)區(qū)域V內(nèi)給定自由電荷分布，在V的邊界上S上給定（1）電勢φ|s或（2）電勢的法向?qū)?shù)?φ/?n|s

，則V內(nèi)的電場唯一確定。也就是說，在V內(nèi)存在唯一的解，它在每個均勻區(qū)域內(nèi)滿足泊松方程，在兩均勻區(qū)域分界面上滿足邊值關(guān)系，并在V的邊界S上滿足該給定的φ或?φ/?n值。山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建19§2.2唯一性定理證明設(shè)有兩組不同的解φ’

和φ’’

滿足唯一性條件定理的條件。令山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建20§2.2唯一性定理在兩均勻區(qū)界面上有

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宗福建21§2.2唯一性定理在整個區(qū)域V的邊界S上有

所以，山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建22§2.2唯一性定理考慮第i個均勻區(qū)Vi

的界面Si

上的面積分這面積分可以變換為體積分

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宗福建23§2.2唯一性定理對所有分區(qū)Vi求和得在兩均勻區(qū)Vi

和Vj

的界面上，φ和εi▽φ的法向分量分別相等，但dSi=?dSj

。因此，在上式左邊的求和式中，內(nèi)部分界面的積分互相抵消，因而只剩下整個V的邊界S上的積分。但在S上，φ|s=0

，或者?φ/?n|s=0

，兩情形下面積分都等于零。山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建24§2.2唯一性定理因此有由于被積分函數(shù)εi（▽φ）2≥0，上式成立的條件是在V內(nèi)各點上都有φ'

和φ''

至多只能相差一個常量。但電勢的附加常量對電場沒有影響，這就證明了唯一性定理。山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建25思考題考慮第i個均勻區(qū)Vi

的界面Si上的積分為什么有系數(shù)εi？若沒有該系數(shù)結(jié)果會怎樣？山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建26§2.2唯一性定理2.有導(dǎo)體存在時的唯一性定理

當(dāng)有導(dǎo)體存在時，由實踐經(jīng)驗我們知道，為了確定電場，所需條件有兩種類型：一類是給定每個導(dǎo)體上的電勢φi

，另一個是給定每個導(dǎo)體上的總電荷Qi

。

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宗福建27§2.2唯一性定理設(shè)在某區(qū)域V內(nèi)有一些導(dǎo)體，我們把除去導(dǎo)體內(nèi)部以后的區(qū)域稱為V'

，因而V'

的邊界包括界面S以及每個導(dǎo)體的表面Si

。設(shè)V'

內(nèi)有給定電荷分布ρ

，S上給定φ|s

或?φ/?n|s值。對上述第一種類型的問題，每個導(dǎo)體上的電勢φi

亦給定，即給出了V'

所有邊界上的φ或

?φ/?n

值，因而由上一小節(jié)證明了的唯一性定理可知，V'

內(nèi)的電場唯一地被確定。

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宗福建28§2.2唯一性定理對于第二種類型的問題，唯一性定理表述如下：設(shè)區(qū)域V內(nèi)由一些導(dǎo)體，給定導(dǎo)體之外的電荷分布ρ，給定各導(dǎo)體上的總電荷Qi

以及V的邊界S上的φ或

?φ/?n

值，則V內(nèi)的電場唯一確定。也就是說，存在唯一的解，它在導(dǎo)體以外滿足泊松方程

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宗福建29§2.2唯一性定理在第i個導(dǎo)體上滿足總電荷條件

（n為導(dǎo)體面的外法線）和等勢面條件

φ|s=φi=常量以及在V的邊界S上具有給定的φ|s

或?φ/?n|s

值。

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宗福建30§2.2唯一性定理山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建31§2.2唯一性定理山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建32§2.2唯一性定理山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建33§2.2唯一性定理由本定理的證明可以看出電場與電荷的相互制約關(guān)系。若空間內(nèi)有一些導(dǎo)體，給定各導(dǎo)體上的總電荷后，在空間中就激發(fā)了電場。同時導(dǎo)體上的電荷受到電場作用。在靜止情況，導(dǎo)體上的電荷分布使得導(dǎo)體表面為一個等勢面。因此，由導(dǎo)體上的總電荷和導(dǎo)體面為等勢面的條件同時確定空間中的電場以及導(dǎo)體上的電荷面密度。山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建34唯一性定理的意義1.唯一性定理給出了確定靜電場的條件，為求電場強(qiáng)度指明了方向。2.更重要的是它具有十分重要的實用價值。無論采用什么方法得到解，只要該解滿足泊松方程和給定邊界條件，則該解就是唯一的正確解。因此對于許多具有對稱性的問題，可以不必用繁雜的數(shù)學(xué)去求解泊松方程，而是通過提出嘗試解，然后驗證是否滿足方程和邊界條件。滿足即為唯一解，若不滿足，可以加以修改。山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建35§2.2唯一性定理

例題：半徑為a的導(dǎo)體球殼接地,殼內(nèi)中心放置一個點電荷Q，求殼內(nèi)場強(qiáng)。Q解：點電荷Q放在球心處，殼接地因而腔內(nèi)場唯一確定。已知點電荷產(chǎn)生的電勢為但它在邊界上不滿足山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建36要使邊界上任何一點電勢為0，設(shè)它滿足根據(jù)唯一性定理，它是腔內(nèi)的唯一解。可見腔內(nèi)場與腔外電荷無關(guān)，只與腔內(nèi)電荷Q有關(guān)。山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建37§2.2唯一性定理例如圖，兩同心導(dǎo)體球殼之間充以兩種介質(zhì)，左半部電容率為ε1，右半部電容率為ε2。設(shè)內(nèi)球殼帶總電荷Q，外球殼接地，求電場和球殼上的電荷分布。山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建38§2.2唯一性定理解設(shè)兩介質(zhì)內(nèi)的電勢、電場強(qiáng)度和電位移分別為φ1,E

1，D

1

和φ2，E

2，D

2。由于左右兩半是不同介質(zhì)，因此電場一般不同于只有一種均勻介質(zhì)時的球?qū)ΨQ解。在找嘗試解時，我們先考慮兩介質(zhì)分界面上的邊值關(guān)系

E1t=E2tD1n=D2n山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建39§2.2唯一性定理山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建40§2.2唯一性定理山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建41§2.2唯一性定理山東大學(xué)物理學(xué)院

宗福建42本講總結(jié)本講實際上是數(shù)學(xué)物理方法中關(guān)于泊松方程的定解問題第1類邊值問題，給定邊界條件電勢φ|s

；第2類邊值問題，給定邊界條件電勢的法向?qū)?shù)?φ/?n|s

；第3類邊值問題（混合問題），在部分邊界上給定未知函數(shù)在這部分邊界上的函數(shù)值，在其它邊界上給定未知函數(shù)在這部分邊界上的法向?qū)?shù)值；或者給定邊界上未知函數(shù)與其法向?qū)?shù)值的線性組合。1