超導(dǎo)電子學(xué)作業(yè)

超導(dǎo)電子學(xué)試題(2007.6)張靜MG06230331)可以使用任何工具書、參考文獻(xiàn)，但要獨(dú)立完成，不得互相討論或請(qǐng)教高年級(jí)的學(xué)生和教師。2)200773112交來(lái)。逾期不交的以處理。（共20分）設(shè)超導(dǎo)體內(nèi)的電流密度、電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)穿透深度J，E，Hλ。已知描述其中電動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的方程式是麥克斯韋方程組和下列兩個(gè)倫敦方程：JE2t超導(dǎo)電子學(xué)試題(2007.6)張靜MG06230331)可以使用任何工具書、參考文獻(xiàn)，但要獨(dú)立完成，不得互相討論或請(qǐng)教高年級(jí)的學(xué)生和教師。2)200773112交來(lái)。逾期不交的以處理。（共20分）設(shè)超導(dǎo)體內(nèi)的電流密度、電場(chǎng)強(qiáng)度、磁場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)穿透深度J，E，Hλ。已知描述其中電動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的方程式是麥克斯韋方程組和下列兩個(gè)倫敦方程：JE2t2設(shè)超導(dǎo)體為無(wú)限大，在考慮其中沿z 軸的TM模exp[j(kzt)](HxHzEy0)，并設(shè)場(chǎng)分量與電磁場(chǎng)可以表示為：Exexp(Kx)exp(Kx)y方向無(wú)關(guān)。證明超導(dǎo)體內(nèi)的EjA[exp(Kx)exp(Kx)]zkkB[exp(Kx)exp(Kx)]Hy式中：和是任意常數(shù)，而12K2k22AK1B122證明：由麥克斯韋方程組 0BtEtHJ和倫敦方程JE2t 0BtEtHJ和倫敦方程JE2tJH2221)0得212H(2 )H02考慮到電磁波沿ｚ軸方向 ，且場(chǎng)分量與y方向無(wú)關(guān)所以，波函數(shù)應(yīng)滿足h(Kx)ejkz又由于超導(dǎo)體無(wú)限大滿足邊界條件的解應(yīng)為h(Kx)A1exp(KxA2exp(Kx)1其中K2k22 02Exexp(Kxexp(Kx)α，β為任意常數(shù)由于超導(dǎo)體內(nèi)電荷，由高斯定理可得ExEyEz0x y z即Kexp(Kx)exp(Kx)jkEz0EjKexp(Kx)exp(Kx)zkB由感應(yīng)定理Et得ExEzjHz xyk2K21exp(Kx)exp(Kx)1HE2 2yxkExEzjHz xyk2K21exp(Kx)exp(Kx)1HE2 2yxkk綜上所述，超導(dǎo)體內(nèi)的電磁場(chǎng)為Exexp(Kx)exp(Kx)EjAexp(Kx)exp(Kx)zkBexp(Kx)exp(Kx)Hyk式中，α，β為任意常數(shù)12K2k22AK1B122二、(40分)解釋下列名詞，并回答相應(yīng)的問(wèn)題：1)超導(dǎo)電子對(duì)(5分)；的動(dòng)量和自旋兩兩結(jié)合而形成的電子對(duì).理論中超導(dǎo)電子對(duì)以“庫(kù)柏對(duì)”D薄層內(nèi)的電子由于兩電子間的凈吸引作用吸收和態(tài)，兩兩結(jié)電子對(duì)，稱為庫(kù)2△的能量。超導(dǎo)弱連接(5分)；超導(dǎo)弱連接有哪幾種類型？(10分)所以會(huì)構(gòu)成弱耦合是因?yàn)閹?kù)柏對(duì)有可能通過(guò)隧道效應(yīng)從超導(dǎo)體1轉(zhuǎn)移到超導(dǎo)體，轉(zhuǎn)移只有很小的幾率，這樣就形成了弱耦合。超導(dǎo)弱連接基本上分成三類：薄膜隧道結(jié)是利用薄膜生長(zhǎng)和加工技術(shù)構(gòu)造出超導(dǎo)膜-勢(shì)壘層-超導(dǎo)膜的弱連接結(jié)構(gòu)。它的特點(diǎn)是結(jié)有較大的電容和電阻，并須考慮電感，因此RSJ結(jié)與電阻、電容并聯(lián)，與電感串)LJ，因而各種在平面結(jié)上變化的物理量都可以略去不計(jì)。但由于它們是窄結(jié)，故其上流過(guò)的電流密度很大，以致出現(xiàn)其他新的物理效應(yīng)。)制作簡(jiǎn)單，結(jié)電容、電感都較小，臨界電流密度大。3)約瑟夫遜效應(yīng)(5分)；描述約瑟夫遜效應(yīng)有哪幾個(gè)基本方程？(15分)解：效應(yīng)是位壘兩側(cè)的位相隨時(shí)間變化的效應(yīng)。描述約瑟夫遜效應(yīng)的基本方程有：約瑟夫遜方程2K 1t 22)t K1cos(21)因而各種在平面結(jié)上變化的物理量都可以略去不計(jì)。但由于它們是窄結(jié)，故其上流過(guò)的電流密度很大，以致出現(xiàn)其他新的物理效應(yīng)。)制作簡(jiǎn)單，結(jié)電容、電感都較小，臨界電流密度大。3)約瑟夫遜效應(yīng)(5分)；描述約瑟夫遜效應(yīng)有哪幾個(gè)基本方程？(15分)解：效應(yīng)是位壘兩側(cè)的位相隨時(shí)間變化的效應(yīng)。描述約瑟夫遜效應(yīng)的基本方程有：約瑟夫遜方程2K 1t 22)t K1cos(21)1 1t2K 2t2212分別是超導(dǎo)體、2的庫(kù)柏對(duì)密度，v1、v2、2中塊超導(dǎo)體之間耦合程度的量，取決于轉(zhuǎn)移幾率的大小。120，描述隧道結(jié)行為的公式假設(shè)超導(dǎo)體和是同種材料，則為：j2e12K2esinjsint 002eVt 其中，21之間的位相差，jc是臨界電流密度，是通過(guò)勢(shì)壘層面積的超電流，它的方向?yàn)閯?shì)壘層的法線方向，是超導(dǎo)體1和之間存在的電勢(shì)差。磁場(chǎng)中的位相差依賴于坐標(biāo)的微分方程)2edHx y2edHxy其中，Hx和Hy是磁場(chǎng)的切向分量，僅存在于寬度為的區(qū)域，磁場(chǎng)存在的寬度dt2為存在磁場(chǎng)的區(qū)域厚度，有關(guān) 的偏微分方程22121sinx2 y2t其中，Hx和Hy是磁場(chǎng)的切向分量，僅存在于寬度為的區(qū)域，磁場(chǎng)存在的寬度dt2為存在磁場(chǎng)的區(qū)域厚度，有關(guān) 的偏微分方程22121sinx2 y2t2t2v2v2j式中，21/4cdg/c/82jc無(wú)關(guān)的某個(gè)給定常數(shù)，jc是臨界電流密度。j稱為約瑟夫遜穿透深度，若超導(dǎo)結(jié)的尺寸遠(yuǎn)小于j，超電流密度在超導(dǎo)結(jié)中是均勻分布的；反之，若超導(dǎo)結(jié)的尺寸遠(yuǎn)大于j，超電流僅在結(jié)的邊緣流動(dòng)，當(dāng)離開超導(dǎo)結(jié)邊界的距離達(dá)到j(luò)逐漸深入結(jié)的內(nèi)部時(shí)，超電流將急驟減少而趨向于零。（分）Ic。IdcJVIcsinθRC分能量；Idc表示描述該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程；Ic（分）用勢(shì)能UIdcIcUx分Ux之間的關(guān)係式。時(shí)，寫出解：．結(jié)的耦合能：v0dh ；IIsin2dt0C2et0d0tE VIdtE 0dt0sindtCCc耦合耦合220外電源輸入的能量：t0dId0ItE VIdt0dt0dt0dcdcdcdc輸入220電容儲(chǔ)能：E 1CV210d)2dtUx之間的關(guān)係式。時(shí)，寫出解：．結(jié)的耦合能：v0dh ；IIsin2dt0C2et0d0tE VIdtE 0dt0sindtCCc耦合耦合220外電源輸入的能量：t0dId0ItE VIdt0dt0dt0dcdcdcdc輸入220電容儲(chǔ)能：E 1CV210d)2dt電容2 2系統(tǒng)總能量：0I(1cos)1C(0)2(EEE總 耦合 電容2c2 2 dt．電阻消耗的能量：tV21 d d1t0dt (0)( )dt0(0) dE 222電阻R 2 dtR 2 dtR0由能量守恒得：0II1cos)10d)2dt1 d() d0200dcc2 2R 2 dt10( ) d I0I(1d)2 1d00202 2兩邊對(duì)求導(dǎo)：R 2 dtdc2cdt 21 dd C(0) (0) [0(IIcosI22dc cc2 dt2 R 2 dt d 和力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程做比較：x,C(0)2m,1(0)2,0(IIcosI)(x)dc cc2R 2d2xdxdmdt2dtdxU(x)為質(zhì)量，因此，可以定義U(0(IIcosI為系統(tǒng)的勢(shì)能，變換零勢(shì)點(diǎn)并dc cc一化后，可得：U()(cosIdc)I因此，可以定義U(0(IIcosI為系統(tǒng)的勢(shì)能，變換零勢(shì)點(diǎn)并dc cc一化后，可得：U()(cosIdc)Ic系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為：Cd12ddI□ □ cos 00dcI 2dt2 RI 2 dt dIcccxIdc，IcU()(cosx)U(令Usinx0，當(dāng)0x1時(shí)，{sin1x2k,sin1x2k|kZ}這些點(diǎn)即為勢(shì)能U(的極點(diǎn)。相鄰極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的勢(shì)能差U：UU(sin1x)U(sin1當(dāng)0x1U(xx(2sin1x)令sin1xxsin，因0x1，故0，2U21)2cos(令sin1xxsin，因0x1，故0，2U21)2cos(2xIdc1時(shí)，U(在點(diǎn)泰勒展開得：2I 2c3階無(wú)窮小，得：3則3)3又cos1x1limx12(1x)則3(1x)242))33U(xxxIdc1時(shí)，近Ic3(1x2更接近于準(zhǔn)確解?？紤]到勢(shì)能42于重疊。其中，近似關(guān)系式U(x)3U(經(jīng)過(guò)了歸一化，3IxIdc1時(shí)，近Ic3(1x2更接近于準(zhǔn)確解?？紤]到勢(shì)能42于重疊。其中，近似關(guān)系式U(x)3U(經(jīng)過(guò)了歸一化，3Idc1Ic實(shí)際上，在0x1范圍內(nèi)，用上式近似，誤差均可接受。（20分）假設(shè)有許多超導(dǎo)層和絕緣層交替重迭，構(gòu)成一種多層結(jié)構(gòu)。其中第i層超導(dǎo)體的厚度是tiii-1層超導(dǎo)體的相應(yīng)量是ti1和i1，而其間的勢(shì)壘層厚度是di,i1(見圖)Bi,i1，兩側(cè)u超導(dǎo)體中的表面電流分別是J和J 已知各超導(dǎo)層的厚度都小于相對(duì)應(yīng)的倫敦ii1穿透深度。如果第i層和i-1層超導(dǎo)體的波函數(shù)的相位差是i,i1，試證明i,i1d'B SBSBi,i1 i i1,ii1 i1,i22e xti) 1)dcoth(d'其中i,i1 ii1i1iiSitsinh()iiti1i1Bi1,iztiiJixydBi,i1iti) 1)dcoth(d'其中i,i1 ii1i1iiSitsinh()iiti1i1Bi1,iztiiJixydBi,i1i,i1Juti1i1i1Bi1,i2ti2i22B12B和BJ的關(guān)系)。(提示：沿圖z2證明：iAii層超導(dǎo)層的波函數(shù)的位相為i，則由i層超導(dǎo)層電流密度和波函數(shù)位相的關(guān)系：(1)的正常芯僅能以Josephson渦旋形式存在于絕緣層中，不考慮其穿透進(jìn)入超導(dǎo)層ii-1層超導(dǎo)層之間的規(guī)范不變位相差可以表示為：i,i1(x)i1(2)Q1這里設(shè)定超導(dǎo)層沿著z軸方向位相保持不變。因?yàn)檠貁軸方向的電流密度與x軸方向的電流密度與超導(dǎo)層本身的相變化可以忽略不計(jì)。2P2P1Q1，則穿過(guò)區(qū)域Q1Q2P2P1的磁將圖中所示的回路標(biāo)為通可以表示為：Q2 BdS Adl Adz Adx Adz Adx(3)i,i1zxzx2由式可推出：)(4b)由式(1)可推出：idxAdx 22J0i i2ex2P222P2P1Q1，則穿過(guò)區(qū)域Q1Q2P2P1的磁將圖中所示的回路標(biāo)為通可以表示為：Q2 BdS Adl Adz Adx Adz Adx(3)i,i1zxzx2由式可推出：)(4b)由式(1)可推出：idxAdx 22J0i i2ex2P22=20iP2J(Q)20iiiQ2(5a)i1P1Adx J 12dx0i1i12ex1=20i1(Q)20i1 i1i1Q1(5b)將式(4)、(5)帶入式(3)得：B dSQ1J(P)(Q)2 Jdx22dxi,i1i,i1i,i10i1i10ii2eQP21由上式可得：i,i1i,i1(P)i,i1(Q)Q2e22e22e 0i udBJJi1i,i1i,i1i(6) uJJ分別代表第i-1層超導(dǎo)層上邊緣的電流密度。i1i又因?yàn)閯?shì)壘層中y方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度滿足方程：該方程有解：假定超導(dǎo)層和勢(shì)壘層邊界磁場(chǎng)連續(xù)，上述方程滿足邊界條件：和由邊界條件而得到系數(shù)B1、B2分別為：和根據(jù)Maxwell方程：，可以得到：B11^^J x Bz=ti-1uxz200z=ti-121 ^t 2Be-t2xBei-1 i1i-1 i1120i1因此，Ju1 Bi1,i2又因?yàn)閯?shì)壘層中y方向的磁感應(yīng)強(qiáng)度滿足方程：該方程有解：假定超導(dǎo)層和勢(shì)壘層邊界磁場(chǎng)連續(xù)，上述方程滿足邊界條件：和由邊界條件而得到系數(shù)B1、B2分別為：和根據(jù)Maxwell方程：，可以得到：B11^^J x Bz=ti-1uxz200z=ti-121 ^t 2Be-t2xBei-1 i1i-1 i1120i1因此，Ju1 Bi1,i2Bi,i1cosh(ti-1i1)(7a)sinh(t )0i1i-1 i1同理，1 Bi,i1cosh(tii)Bi1,iJ(7b)isinh(t )0ii i將式(7)代入式(6)可得：i,i1d'B SBSBi,i1 i i1,ii1i1,i22e xicoth() coth( )tid'd 其中，i,i11iisinh(tiSi)五、(20分)DC-SQUIDRF-SQUID的基本原理(每一部份的字?jǐn)?shù)不400字，但要把最關(guān)鍵的部份說(shuō)清楚)。解：isinh(tiSi)五、(20分)DC-SQUIDRF-SQUID的基本原理(每一部份的字?jǐn)?shù)不400字，但要把最關(guān)鍵的部份說(shuō)清楚)。解：g器件。D即直流超導(dǎo)量子器件，簡(jiǎn)稱直流器件。其等效電路如圖中的弱連接超導(dǎo)體可以是點(diǎn)接觸結(jié)、超導(dǎo)微橋或隧道結(jié)。DC－SQUID就是一種磁通檢測(cè)器。對(duì)于一給定的DC