《高等幾何》朱德祥

第一章仿射幾何的基本概念1、證明線段的中點(diǎn)是仿射不變性，角的平分線不是仿射不變性。T△ABC（AB=AC）一般△A'B'C'相對應(yīng)，設(shè)點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，則AD⊥BCβ=γ，T（D）=D'∴D'是B'C'的中點(diǎn)。因此線段中點(diǎn)是仿射不變性?！咴诘妊鰽BC中，β=γ。設(shè)T（β）=β'，T∴D'是B'C'的中點(diǎn)。因此線段中點(diǎn)是仿射不變性?！咴诘妊鰽BC中，β=γ。設(shè)T（β）=β'，T（γ）=γ'，但一般△A'B'C'中，過A'的中線A'D'并不平分∠A'，即B'與γ'一般不等?！嘟瞧椒志€不是仿射不變性。在等△ABC中，設(shè)D是BC的中點(diǎn)，則AD BC，由于T△ABC)=△A'B'C（一般三角形D仍為B'C的中點(diǎn)。由于在一般三角形中，中線并不垂直底邊B'C'。得下2、兩條直線垂直是不是仿射不變性？答:兩直線垂直不是仿射不變性。

圖(1)3、證明三角形的中線和重心是仿射不變性。證明：設(shè)仿射變換T△ABC△A'B'C'，D、、FBCCA，AB邊的中點(diǎn)。由于仿射變換保留簡比不變，所以D'=T(D)，E'=T(E)，F(xiàn)'=T(F)分別是B'C',C'A',A'B'的中點(diǎn)，因此A'D，B'E，C'F是△A'B'C的三條中線（圖。設(shè)G△ABC的重心，且G'=T(G)∵G∈AD，由結(jié)合性得G'∈A'D'；又∵（AGD）=（A'G'D'）即 ADAD3GD 1BE BE 3 CF CF 3同理可得： ，

GE GE∴G'是△A'B'C'的重心。

1 GF GF 1圖24、證明梯形在仿射對應(yīng)下仍為梯形。證明：設(shè)在仿射對應(yīng)下梯形ABCD（AB??CD）與四邊形A'B'C'D'相對應(yīng)，由于仿射對應(yīng)保持平行性不變，因此A'B'??C'D'，所以A'B'C'D'為梯形。5、證明兩個全等矩形經(jīng)過仿射變換為兩個等積平行四邊形。證明：設(shè)T為仿射變換，A1B1C1D1與A2B2C2D2為兩個全等矩形，其面積分別以S1=S2。由于T保留平行性，所以：T（A

BCD）=平行四邊形A'B'C'D',面積記為：S'1 1 1 1 1 1 1 1 1T（A

BCD）=平行四邊形A'B'C'D',面積記為：S'，112 2 2 2 2 2 2 2 211且S'=KS

，S'

=KS，

S

1SS1 1 2 2

S KS 1 22 2∴A'1B'1C'1D'1與A'2B'2C'2D'2是等積的平行四邊形。6、經(jīng)過A（-3，2）和B（6，1）兩點(diǎn)的直線被直線X+3y-6=0截于P點(diǎn)，求簡比（ABP）解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）0 oQ(ABP)

APAP（分割比，

36,

2BP PB

0 1

0 1且P在直線x+3y-6=0上，363(2601 1λ=1P是AB中點(diǎn)，且。7、證明直線Ax+By+C=0將兩點(diǎn)

（x，y）和P

（x，y）的聯(lián)線段分成的比是

AxBy

1 1

2 2 21Ax1ByC12 2證明設(shè)分點(diǎn)為Px，y，則分割比

AP，Qx

0xx,y

0yy

PB圖(3)(圖(3)110 12 011

1P（x，y）在直線Ax+By+C=0上，0 01xx yy1A(11

2)B(1

2)C0Ax1+By1+C+λ(Ax2+By2+C)=0 AxByC1111

AxByC2 28、證明一直線上二線段之比是仿射不變量。證明：若直線a上兩線段AB和CD經(jīng)仿射變換T后與直線A'B'C'D'對應(yīng)圖（3）ABABBCABBC

, 得證。CD BC CD

CD

CD9、證明圖形的對稱中心是仿射不變性，圖形的對稱軸和對稱平面是不是仿射不變性？證明：設(shè)仿射變換T將中心對稱圖形F變?yōu)閳D形F'，點(diǎn)O是F的對稱中心，A，B為圖形F上關(guān)于點(diǎn)O對稱的任意一對對稱點(diǎn)設(shè)T（O）=O'，T（A）=A' T（B）=B'?！逿（F）=F'，由結(jié)合性，點(diǎn)A'，B'在圖形F'上；由簡比不變性，（ABO）=(A'B'O')。所以F'是中心對稱圖形，從而圖形的對稱中心是仿射不變性。如果點(diǎn)AB關(guān)于直線（平面）對稱，則線段A⊥A⊥。但仿射變換不保留角的度量，所以當(dāng)T（A）=A'，T（B）=B'，T（）1（T））時(shí)，線段A'B不一定垂直線1（平面。10、在仿射坐標(biāo)系下，直線方程是一次的。證明：設(shè)在笛氏坐標(biāo)系下直線方程為：Ax+By+C=0 （1）（x,）（x，y）為仿射坐標(biāo)。xxy 1笛氏到仿射的變換式為：yxy1

20 (2)1 2 0 1 2xaxaya a ab設(shè)其逆變換為：b

y

1x

b2yb

1 20 (3)b b將3）式代入1

1 2 0 1 2A（a

x'+ay'+a）+B(bx'+by'+b)+C=0,1 2 0 1 2 0即：(Aa1+Bb1)x'+(Aa2+Bb2)y'+Aa0+Bb0+C=0，記為：AxByC0 是x',y'的一次式。2其中A=Aa1+Bb1, B =Aa2+Bb，C=Aa0+Bb0+C02且A,B不全為0，若不然，Aa1+Bb1=0，Aa2+Bb2=0a 1 2b1 2

0 ab111

a20矛盾。b211、利用仿射變換式，試求在仿射變換下，三角形的面積是怎樣改變的？（1.25所指常數(shù)的意義。解：ΔA1A2A3和ΔA'1A'2A'3的面積分別以S,S'表示，1212x y 112121 1

ax11

a ya121

a x21

a ya 1221 23S x

y 1=

a x

ya 12 2x y 1

11ax

12 2 a ya

21a x

22 2 23a ya 11212x y 1a

113 123 a 0

213

223 23121 1 12 x y 1a2 2

21a 0 DS22

SDS

(常數(shù))x y 1a a 13 3 13 23這結(jié)果與§1.2系2一致，三角形（從而多邊形或曲線形）的面積經(jīng)仿射變換后乘以一個常數(shù)k，此地進(jìn)一步明確了這常數(shù)就是仿射變換式的行列式的絕對值，仿射變換式不同，這常數(shù)也不同。12、在等腰梯形中，兩底中心，兩對角線交點(diǎn)，兩腰（所在直線）然共線（在對稱軸上，試用仿射變換于此圖形，得出什么推廣了的命題？解：設(shè)E，F(xiàn)，Q，P分別是等腰梯形ABCD下底，上底的中點(diǎn)，對角線交點(diǎn)，要腰所在直線交點(diǎn)，T為仿射變換，則梯形ABCDT梯形A'B'C'D，所在直線交點(diǎn)，T為仿射變換，則梯形ABCDT梯形A'B'C'D，ETE為B'CFTF為A'D'中點(diǎn)。（BAP）=（B'A'P'）,(CDP)=(C'D'P')

圖(4)共線，∴由結(jié)合性得四點(diǎn)共線，但直線P'E'已不是對稱軸（圖4直線交點(diǎn)凡四點(diǎn)共線。13、求仿射變換

x3xyy4x2y

的自對應(yīng)點(diǎn)和自對應(yīng)直線；2xy40解：求自對應(yīng)點(diǎn)：設(shè)x=x',y=y'，因此得解得自對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為x=-6，y=-8。

4x3y0求自對應(yīng)直線，設(shè)任意直線l（u,v,w）在所給的變換下的像1'的方程為：u'x'+v'y'+w'=0u'(3x－y+4)+v'(4x－2y)+w'=0，或（3u'+4v'）x－(u'+2v')y+4u'+w'=0。若1為自對應(yīng)直線，則u=λu'，v=λv'，w=λw'，因此u 4v uu 4v u2vvuv0 (1)u

u10因?yàn)閡'，v'，w'不全為零，所以方程組(1)有非零解。3故14

420

001

0 解得λ1=2，λ2=－1，λ3=1，將λ1=2代入方程組(1)，得u'=4,v'=－1，w'=16。將λ2=－1代入方程組(1)，得u'=1,v'=－1，w'=－2。將λ3=1代入方程組(1)，得u'=0,v'=0，w'=1。就本章內(nèi)容而言，λ=1時(shí)，自對應(yīng)直線不存在，故所求自對應(yīng)直線為：4x－y+16=0和x－y－2=0。第二章歐氏平面的拓廣BBC11BBC1證：設(shè)△SAC為等腰三角形（SA=SC）,SB⊥AC,過A作一射線平行于SC交SB的延長線于B1,交SC于C∞（圖A,B,C在中心S的投影下分別是A,B,C1 ∞的像點(diǎn)，C∞ AC AC∞ ∵（ABC）=

BC2,而（AB1C）= B 1，1 1 ∴（ABC）≠（ABC）,1 2、以下面的坐標(biāo)表示的直線是怎樣的直線？11，－；（（，01，。解利用點(diǎn)線結(jié)合方程：u1x1+u2x2+u3x3=0.2(1)∵u1=1,u2=1,u3=－1,∴x1+x－x3=0，非齊次化為：x+y－1=0.21 2 (2) x－x=0或x－y=0（3）x=0y=0x1 2 3、求聯(lián)接點(diǎn)1,21）與二直線2,1,（，0）之交點(diǎn)的直線方程解 先求二直線2,1,（1，0）的交點(diǎn)坐標(biāo)：x：x

：x=1

3 3 2 2 : :

3:3:31:1:11 2 3

1 0 0 1 1 再求兩點(diǎn)1，11，）的聯(lián)線的坐標(biāo)：1 1 1 1 1 1u：u：u= : : 1:0:1 +x=0x+1=01 2 3 2 1 1 1 1 2 1 34、求直線（1,－1,2）與二點(diǎn)（3，4，－1）,(5,－3,1)之聯(lián)線的交點(diǎn)坐標(biāo)。解：先求二點(diǎn)3，(53,1的聯(lián)線坐標(biāo)：4 1 1 3 3 41 2 u：u：u1 2

3 1:1 5:5

1:8:29再求二直線1－1,，－，－2）的交點(diǎn)坐標(biāo)：1 2 2 1 1 1 2 x：x：x1 2

8 29: :

845:31:7 C29 1 1 所求交點(diǎn)坐標(biāo)為4，3，－2。1 2 3 1 5、方程u－u+2u=0代表什么？u2－u2=01 2 3 1 1 2 解：方程u－u+2u=0表點(diǎn)（1，－1，2）的方程 1 2 或表示以點(diǎn)（1，－1，2）為中心的線束方程。1 2 1 2 1 u2－u2（u+uuu=01 2 1 2 1 1∴u1+u2=0表示點(diǎn)（1，1，0）的方程；u－u2=0表示點(diǎn)（1，－1，0）的方程。11 ∴u2－u2=0表示兩點(diǎn)（1，1，0）和（1，－1，01 62x－y+13x+y－2，7x－y2x－y+1=λ（3x+y－2）+μ（7x－y）=（3λ+7μ）x+（λ－μ）v－2λ，72得方程組1 解得：

1,121 2 2∴2x－y+1=1(3x+y－2)+ 1(7x－y)。依據(jù)是若令它們?yōu)榱?，所得三直線共點(diǎn)。2 27、將（2，1，1）表成（1，－1，1）和（1，0，0）的線性組合，這說明什么幾何性質(zhì)？解：設(shè)，11（，1101）2則1 此方程組無解，1即找不到λ和μ滿足式，這說明它們表示的三點(diǎn)（線）不共線（點(diǎn)。8、求直線x－2y+3=0上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)。解：x3=0是無窮遠(yuǎn)直線方程∴x2x3x 0102 331 2 1 從而x－2x=0,取x=2,得x=1,所求無窮遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為2,1.1 2 1 9、下列概念，哪些是仿射的，哪些是歐氏的？①非平行線段的相等； ②不垂直的直線；③四邊形； ④梯形；⑤菱形； ⑥平行移動；⑦關(guān)于點(diǎn)的對稱； ⑧關(guān)于直線的對稱；⑨繞點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)； ⑩面積的相等答：①歐氏；②歐氏；③仿射；④仿射；⑤歐氏；⑥仿射；⑦仿射；⑧歐氏；⑨歐氏；⑩仿射。第三章一維射影幾何1、設(shè)A、B、C、D、E為直線上五點(diǎn)，證明(AB,CD)(AB,DE)(AB,EC)=1。證明:(AB,CD)(AB,DE)(AB,EC)

ACBDADBEAEBC1ADBC AEBD ACBE2、證明一線段中點(diǎn)是這直線上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的調(diào)和共軛點(diǎn)?！拮C明：設(shè)C為線段AB的中點(diǎn)，D為直線AB上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，∞（AB·CD

）AC

AC 1∞ AD

BC BC3、直線上順序四點(diǎn)A、B、C、D相鄰兩點(diǎn)距離相等，計(jì)算這四點(diǎn)形成的六個交比的值。解:（AB，CD）

ACBD224ADBC 31 3（AB，DC） 1 3(AB,CD) 4(AC，BD)=1－（AB，CD）14

1（AC，DB）

1(AC,BD)

3 33（AD，BC）1(AB,DC)13114 41（AD，CB） (AD,BC)4、求四點(diǎn)（2，1，－1）,（1，－1，1）,（1，0，0）,（1，5，－5）順這次序的交比。解：以（2，1，－1）和（1，－1，1）為基底。1則（2，1，－1）+μ（1，－1，1）=（1，0，0）12 1

1 1

1 1

1；1 0 0 12（2，1，－1）+μ（1，－1，1）=（1，5，-5）22 2

1

12

31 5 5 2 2 2所求交比為132345、設(shè)P1,P2,P4三點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1，1）,（1，－1，1）,（1，0，1）且（P1P2,PP）=2,求點(diǎn)P3的坐標(biāo)。34解：以P

為基底，則（1，1，1）+μ

，－，1）∝，1。112 22

21

1211 0 1 2設(shè)μ1是基底P1，P2表示P3的參數(shù)，由已知條件P3P4）=12，且μ2=1，2∴1=P3的坐標(biāo)為11+（1-，=，-，3。=-1

6、設(shè)A、B、C、D為共線四點(diǎn)，O為CD的中點(diǎn)，且OC2=OA·OB，證明（AB，CD）OC OB OCOA OBOC證明：∵OC2=OA·OB

OC

，由合分比得OC

OBOCAC CB因此OAOD

OBOD,（∵OC=－OD）AC CB

ACBD

(AB,CD)1，DA DB ADBC7、設(shè)A、B、C、D成調(diào)和點(diǎn)列，即(AB，CD)=－1，求證

1 1(1

1).CD 2CA CBACBD1ACBD+BCAD=0(1)ADBC∵BD=CD－CB, 代入（1）AC（CD－CB）+BC（CD－CA）=0，化簡得：AC·CD－AC·CB+BC·CD－BC·CA=0，－CA·CD+CA·CB－CB·CD+CB·CA=02CB·CA=CA·CD+CB·CD 以CA·CB·CD除（2）式兩邊，得：1 1(1 1).CD 2CA CB8、證明在X軸上由方程a11x2+2a12x+a22=0和b11x2+2b12x+b22=0之根所決定的兩個點(diǎn)偶成調(diào)和分割的充要條件是ab －2a b

b =0。1122

12

2211證明：必要性，設(shè)兩方程的根依次是x1,x2和x，x，則x+x

=

3 4a12，x·x=1222221 2 a11

1 2 a11x+x

=

b22，x·x=22

（1）123 4 b1211

3 4 b11若(xx，xx

)=－1，即(xx)(x

)112 34

1 3 2 4(xx1 4

)(x2

x)31 3 2 4 1 4 2 有（x－x（xx（xx（x－x=1 3 2 4 1 4 2 2（x

x＋xx）－x＋x（x

）=0，（2）12 34 1 2 3 422將（）代入，得：22

2a22

4ab 12120b a ab11∴a11b22+a22b11-2a122b12=0。

11 1111充分性，以 2 乘ab

b －2a b =0的兩邊，得ab 1122

22

121211112b 2a 2a 2bb22a22a12b12011 11 11 11將（1）代入上式后按必要性步驟倒推即得：(x1x2，x3x4)=－1。92x－y+1=0,3x+y－2=0,7x－y=0,5x－1=02x－y+1=03x+y－2=0為基線表示7x－y=0，5x－1=0，∵7x－y=0與（2x－y+1）+λ（3x+y－2）=0重合，∴ 721

111

0121

11;1 22∵5x－1=0與（2x－y+1）+λ（3x+y－2）=0重合.2∴ 52

01

11

1,22 2 21所求交比為12

，由于交比存在，所以四直線共點(diǎn)。210證明：設(shè)直線、d是a、b為邊的角的內(nèi)外分角線，以直線1截a、b、c、d分別于A、B、C、D∵（AB，CD）

AC

AC

SA

1 6ADBC CB AD SB SA∴（ab，cd）=（AB，CD）=－1。（圖證明：設(shè)AC×BD=O，AE×BD=P∞因此A（BD，CE）=（BD，（圖證明：設(shè)AC×BD=O，AE×BD=P∞因此A（BD，CE）=（BD，OP）∞=（BDO）DO1BO圖712AB為直徑延長線上一點(diǎn)，從C向圓引切線CT，證明TAB上的垂直射影DC對于BC在線段AB和共軛點(diǎn)？1：設(shè)O是AB和共軛點(diǎn)？1：設(shè)O是AB∴OT2=OD·OC，即OA2=OD·OC，圖8證法2：∠ATD=∠ATE，∠DTB=∠BTC，T，TADTC的內(nèi)外分角線（圖因此（AB，CD）=T（AB，CD）=－1。如果C在線段AB內(nèi)部，過C作CT⊥AB交圓于T，過T作圓的切線交AB的延長線于D，則A，B調(diào)和分割C，D，因?yàn)楫?dāng)C也確定，所以點(diǎn)唯一確定。13、設(shè)兩點(diǎn)列同底，求一射影對應(yīng)使0，1，∞分別變?yōu)?，∞，0解：設(shè)第四對對應(yīng)點(diǎn)為x，x'，由于射影對應(yīng)保留交比不變，所以（01,∞x）=（1∞，0x'）（1，x）=(0x，1∞)（10（0x'，展開得：

x1

10

x

1 ,

0 110x0 1x 1x 1 114、設(shè)點(diǎn)列上以數(shù)x為笛氏坐標(biāo)的點(diǎn)叫做x，試求一射影對應(yīng)，使點(diǎn)列上的三點(diǎn)1,2,3對應(yīng)于點(diǎn)列上三點(diǎn)：1）4,3,（1,2,33）1－2－3.解：設(shè)第四對對應(yīng)點(diǎn)（1）∵（12，3x）=（43，2x'）2(x2)

2(x3), xx5, 且1

10(x1) 1(x4) 0 11 0（2）∵（12,3x）=(12,3x')，∴x'=x為恒等變換，且 100 11 0（3）∵12,3）（-1-，-3x，∴x'=-x且 100 115、當(dāng)射影對應(yīng)使一點(diǎn)列上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)對應(yīng)于另一點(diǎn)列上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)時(shí)，證明兩點(diǎn)列的對應(yīng)線段成定比。證法1：∵三對對應(yīng)點(diǎn)A→A'，B→B'，C∞→C'∞，決定射影對應(yīng)，設(shè)M→M'為任一對對應(yīng)點(diǎn)，則由（AB，C∞M）=（A'B'，C'∞M'）得：（AB）A'B'M，即AMAMAMBMAMBMAB定比。 BM AM BM AMBM AB2x

axcxd

a b且c d0或：x

abx ,cdx因?yàn)楫?dāng)x→∞時(shí)，x'→∞，所以c=0。x

axd

，或dx'－ax－b=0。設(shè)x1→x1'，x2→x2'為兩對對應(yīng)點(diǎn)，因此1dx1'－ax－b=0 ①1dx2'－ax－b=0 ②2①式減②式，得d(x

'－x

')=a(x

)xx 1 212

定比。1 2 1 2

xx1

d16圓周上的兩線叫做對應(yīng)直線，證明這樣的對應(yīng)是射影的。證明：設(shè)A，A'為圓周上二定點(diǎn)，Mi（i=1，2，3，4）為圓周上任意四點(diǎn)（圖9） 9∵A（MM

，M

）=sinM1AM3sinM2AM41 2 3 4

sinMAM1 4

sinMAM2 3sinMAMsinMAM= 1 3 2 4sinM1

AM4

sinM2

AM3=A'（M1M2,M3M）。∴A'（MM

,M

4M,MM）1 2 3 4 1 2 3 412 117、從原點(diǎn)向圓（x－2）2+(y－2)2=1t,tx軸，y軸，t,t順這次序的交（t12 11k1k2

2k

1，兩邊平方得：3k230，解得：k1,2

= 4 7.4 74 74 74 734 734 74 7

鄰近x軸，∴t1

的斜率為k1=

3 .

的斜率為k2= 3 ，因此t1

的方程為

的方程為x=0，44 7故（xy，t,t）=k= 。1112 k218、設(shè)點(diǎn)（31（，-，）的聯(lián)線與圓2+2－5x－7＋6=0相交于兩點(diǎn)C和，求交點(diǎn)D及交比AC。2 13 23 解：圓方程齊次化：x12+x2－5xx－7xx+6x2 13 23 （3+3，1，2，若此點(diǎn)在已知圓上，則（3+3λ）2+（1－λ）2 －5（3+3λ）2－7（1－λ）2+6×22=0，化簡得：10λ2－10=0，∴λ1=1，λ2=-1，即直線AB與圓有兩個交點(diǎn)，λλ21設(shè)，分別對應(yīng)的交點(diǎn)是D，則C的坐標(biāo)是3,0,D的坐標(biāo)是0,1,）λλ211且（AB，CD）=12

=-1.19、一圓切于x軸和y軸，圓的動切線m交兩軸于M及M，試證｝｛M。證明：設(shè)圓半徑為a,，M（，b，，b為參數(shù)（圖1，a bbraraba2b2ma bbraraba2b2因此r ，此式兩邊平方，得r2a2+r2b2+a2b2+2abr－2a2br－2b2ar＝a2r2＋b2r2,1 或ab－2ra－2rb+2r2=0

2r2

2r20

10∴點(diǎn)故｛｝M。20xxx,δα－βγ≠0,在什么條件x下以無窮遠(yuǎn)點(diǎn)作為二重點(diǎn)。解：設(shè)x=x'是無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，因此limx = lim

x

0x x x所以，以無窮遠(yuǎn)點(diǎn)作為二重點(diǎn)的射影變換是x

axa,b. 21、設(shè)兩個重迭一維射影幾何形式有兩個二重元素S1、S2，證明它們之間的對應(yīng)式1S1S2

kS1S12

,k是個常數(shù)。2證明：已知S1→S2

，S

→μ'

是第三對對元素，μ→μ'是任一對對應(yīng)元素，1 2211因?yàn)槿龑?yīng)元素確定唯一射影對應(yīng)，1 2211∴（SS

，μμ'）=（SS

μ，因而(

S)(

)(S)(S)12 1

12

(S)(S) (S)(S)2 1 2 1 (S) (S) (S)(S) (S) (S)(S)故： 1 1 1 2

1

1 , 其k= 1 1 2(S) (2=

S)(1 2

S)(S1

) (S2

) (1

S)(2

S)122、設(shè)S

12

是對合對應(yīng)的二重元素，證明這對合可以寫: S1S12

S 01S12證明：設(shè)μ→μ'是對合對應(yīng)下任一對對應(yīng)元素，從而（S1S2，μμ'）=-1，即SS S 或S SS11S122 1

S2

S121∴S1S2

SS10223、一直線上點(diǎn)的射影變換是x'=3x2，證明這直線上有兩點(diǎn)保持不變，且這兩點(diǎn)跟x4任意一對對應(yīng)點(diǎn)的交比為一常數(shù)證明：設(shè)固定點(diǎn)為x=x' ，所以x(x+4)=3x+2，即x2+x－2=0，解得固定點(diǎn)為x=-2和設(shè)任一對對應(yīng)點(diǎn)為x，3x2 ，x4

3x2x4

5(x1)(x2)52(x2)(x1) 2

(常數(shù))24、試證對合對應(yīng)的二線束中，一般只有一對互相垂直的對應(yīng)直線，若有兩對互垂的對應(yīng)直線，則每對對應(yīng)直線都互垂。證明：取二線束公共頂點(diǎn)為原點(diǎn)，取對應(yīng)線的斜率為λ、λ'，則對合方程為aλλ'+b(λ+λ')+d=0,ad－b2≠0λλ'=－1，ab()d0所以1

b2(ad)b0 (1) (ad)24b20λ1所以當(dāng)方程有兩個不等實(shí)根λλ1

2時(shí)，只有一對互垂對應(yīng)線，這是因?yàn)棣?/p>

bλ=－=－1,因而

'= 1=λ，λ'=1=λ。12 b

1 1

2 12當(dāng)方程（1）有兩個相等實(shí)根時(shí)，必須a－d=0，b=0，這時(shí)對合變?yōu)棣甩?=－1，每對對應(yīng)線都互垂。25、設(shè)ABBCC是對合的三對對應(yīng)點(diǎn)，試證ABCBCA（CAB=1。證明：由對合對應(yīng)的相互交換性，有A→A'，B→B'，A'→A，C'→C，所以ABA'C）=A'B，A，于是得AABCAA BC AC1ACACBC∴ABC（BCACAB）=126、AB是定圓直徑，作一組圓使其中心都在直線AB上并且都跟定圓正交，證明這組圓跟直線AB的交點(diǎn)構(gòu)成一個雙曲對合。證明：設(shè)圓O'是與定圓O正交的任一圓，T為一個交點(diǎn)，且圓O'與直線AB交于點(diǎn)和P'（圖11）已知OT⊥O'T，∴OT2=OP·OP'，即OA2=OB2=OP·OP'?！帱c(diǎn)P，P'的一對對應(yīng)點(diǎn)。1127Oy軸上一定點(diǎn)，以A為頂點(diǎn)的直角繞A旋轉(zhuǎn)，證明直角兩邊被x軸所截的點(diǎn)偶構(gòu)成一個橢圓型對合。1 2 1 證明：設(shè)直角邊交x軸的任意兩個位置為A，A；B，B（設(shè)OA2=k，則OA1·OA2=OB1·OB2=OA2=k1 2 1 1 2 1 因?yàn)锳，A；B，B在x1 2 1 2故OA1·OA2=OB1·OB＜0，2

2122ABBA因而 ，；ABBA1 2 1

，……在x軸上構(gòu)成橢圓型對合1、設(shè)1、設(shè)△ABC的頂點(diǎn)，A，B，C分別在共點(diǎn)的三直線α，β，γ上移動，且直線AB和BC分別通過定點(diǎn)P和Q，求證CA也通過PQ上一個定點(diǎn)（圖1。A0C0×AC共線，即AC通過A0C0×PQ=R（定點(diǎn)。2△ABC的二頂點(diǎn)A與B分別在定直線α和β上移CA分別過共線的定點(diǎn)R，求證頂點(diǎn)C也在一定直線上移動。證：設(shè)（定點(diǎn)，△A0BC0是滿足條件的定三角形，△ABC是滿足條件的任意三角形。140證：設(shè)A0是αβ于B0，BA0C0×AC共線，即AC通過A0C0×PQ=R（定點(diǎn)。2△ABC的二頂點(diǎn)A與B分別在定直線α和β上移CA分別過共線的定點(diǎn)R，求證頂點(diǎn)C也在一定直線上移動。證：設(shè)（定點(diǎn)，△A0BC0是滿足條件的定三角形，△ABC是滿足條件的任意三角形。140∵A0B0×BC=Q，A0C0×AC=R。由代沙格定理逆定理得，3、設(shè)P，Q，R，S是完全四點(diǎn)形的頂點(diǎn)，A=PS×QR，B=PR×QS，C=PQ×RS，證明A1=BC×QR，B1=CA×RP，C1=AB×PQ三點(diǎn)共線。3、設(shè)P，Q，R，S是完全四點(diǎn)形的頂點(diǎn)，A=PS×QR，B=PR×QS，C=PQ×RS，證明A1=BC×QR，B1=CA×RP，C1=AB×PQ三點(diǎn)共線?！鰽BC△PQR中（圖1A，B，CR共點(diǎn)?！鄬?yīng)邊的交點(diǎn)C1=AB×PQ，B1=CA×RP，A1=BC×RQ三點(diǎn)共線。154、已知線束中的三直線a，b，c求作直線d使（ab，cd）4、已知線束中的三直線a，b，c求作直線d使（ab，cd）=－1。S1a,b，cA，B，C在直線c上任意取一點(diǎn)Q，聯(lián)AQdRBQaPPR與1交于D（圖16，則直線SD為所求。因?yàn)?，SPQR構(gòu)成一完全四點(diǎn)形，∴（AB，CD）=－1，16證明：設(shè)P為△ABC的垂心，由完全四點(diǎn)形AFPE（圖17）的性質(zhì)，得（BC，DD'）=－1。在等腰△ABC證明：設(shè)P為△ABC的垂心，由完全四點(diǎn)形AFPE（圖17）的性質(zhì)，得（BC，DD'）=－1。在等腰△ABC中，若AB=AC，D為垂足，因而DBC所以BC直線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，17因而FE∥BC。即在等腰三角形中，底邊的頂點(diǎn)到兩腰的垂足的聯(lián)線平行于底邊。第五章射影坐標(biāo)系和射影變換1、將一維笛氏坐標(biāo)與射影坐標(biāo)的關(guān)系：x, 以齊次坐標(biāo)表達(dá)。x解設(shè)一維笛氏坐標(biāo)系中，一點(diǎn)的坐標(biāo)為x，則齊次坐標(biāo)為（x

x，x，且x＝1，1 2 x121一點(diǎn)的射影坐標(biāo)為λ，齊次坐標(biāo)為（λ

,λ）λ=

，將λ和x代入關(guān)系式x 1

1 2 2 1有 x ，化簡得1 1

1 2 (0)

xx xx 2 1 1 2 1 2x2∴

x

且 為齊次變換式。11x2 2 1 2、在直線上取笛氏坐標(biāo)為的三點(diǎn)作為射影坐標(biāo)系的A1,A2,求此直線上任一點(diǎn)P的笛氏坐標(biāo)x與射影坐標(biāo)λ的關(guān)系（i解：笛氏坐標(biāo) ． ． ． ．射影坐標(biāo)： A2 A1 E λ（i）由定義λ=（AA，EP）=（2 0，3x）=(32)(x0) x1

2x 1 ，且

6

(x2)(30) 3x63x6 3 6若有一點(diǎn)它的兩種坐標(biāo)相等，即x=λx

x3x

，即3x2－7x=0，∴當(dāng)x=0及x=7時(shí)兩種坐標(biāo)相等。33、在二維射影坐標(biāo)系下，求直線A1E，A2E，A3E的方程和坐標(biāo)。1 2 解：坐標(biāo)三角形頂點(diǎn)A（1，0，0）,A（0，1，0）,A（0，0，1）和單位點(diǎn)E（1，11 2 1）設(shè)P（x

x xx001312，x，xx0013121 2 3 1 1 01 1x0013即x2－x3=0，線坐標(biāo)為（0，x0013直線A

x x1 2E的方程為：

，即

－x=，線坐標(biāo)為10，－1；2 0 1 1 31 1x1x1013直線A

1 2E的方程為：

，即

－x=0，線坐標(biāo)為（－1，1，0）3 0 0 2 11 11 2 4、寫出分別通過坐標(biāo)三角形的頂點(diǎn)A，A，A 的直線方程1 2 5、取笛氏坐標(biāo)系下三直線x－y=0，x+y－1=0，x－2=0分別作為坐標(biāo)三角形的邊AA，AA，AA，取E（31）為單位點(diǎn)，2 33 11 222E（3,1，∴e=求一點(diǎn)的射影坐標(biāo)（x1，x，x）與笛氏坐標(biāo)（x，y，t）的關(guān)系。2211 ，e=1，e=1（18）2 32235、取笛氏坐標(biāo)系下三直線x－y=0，x+y－1=0，x－2=0分別作為坐標(biāo)三角形的邊AA，AA，AA，取E（31）為單位點(diǎn)，2 33 11 222E（3,1，∴e=求一點(diǎn)的射影坐標(biāo)（x1，x，x）與笛氏坐標(biāo)（x，y，t）的關(guān)系。2211 ，e=1，e=1（18）2 32232任意一點(diǎn)M（x，y）到三邊的距離為：x2ρ=xy，ρ=181 22xy12，ρ=31∴射影坐標(biāo)（x，x，x）與笛氏坐標(biāo)的關(guān)系為：1 2 3ρx==x－y，ρx=2=x+y－t，ρx=11

=－2x+4t1 e1x

2 e2xy,

3 e331 0即：

1xyt,且1 1 604 0 x

2x x t3xxxxx

x,6

xx1

x3

(1)求出每一坐標(biāo)三角形的三邊在另一坐標(biāo)系下的方程。xxxx3 1 2 3解：△A1'A2'A3'三邊，A1'A2'：x'3=0；A1'A3'：x'2=0；A2'A3'：x'1=0。2從變換式△A1'A2'A3'△A1A2A3下的方程：A1'A2'的方程為：x'3=0，即x1+x－x3=0；21A1'A3'的方程為：x'2=0，即x－x2+x3=0。1的方程為：x'1=0x

＋x=0。2 xx2 x2x由（1）1x2x

2x,(2)x3

xx1 2xx1 2 3 1 2 3 1 3 2 2 3 △AAA的三邊，AA：x=0；AA：x=0；AA：x=01 2 3 1 2 3 1 3 2 2 3 從變換式△A1A2A3△A1'A2'A3'下的方程：x'1+x'2=0A1A2的方程。x'1+x'3=0，即A1A3x'2+x'3=0，即A2A37△A1A2A3轉(zhuǎn)換式為何？xa

xa

xax,解：設(shè)變換式為：

111ax21

122a x222

133,a x a,233 ijxax3 311

a x322

ax333已知（1,0,0）→（1,0,0）,（0,1,0）→（0,1,0）,（0,0,1）→（0,0,1）分別代入變換式得ρ1=a，a =0，a =0；ρ

，a =0，a =0；ρ=a

=0，a =011 21 31xax,

2 22 12

3 33 13 23x故有 x

11a

, a aaa 0xx

a22x2 ij

1122333 333又（1,1,1）→（a,b,c）aa,∴b

11, 即a：b：c=a：a ：a a 11 22 33ca2233

xax,11

xx

bx,2

a abc0ijxcx3 3yy8、在拓廣歐氏平面上求平移yyxxx x xxx

ax,33解：設(shè)x= x

，y= x

，則有

1 bx,2 33 3

xx3 31由00

010

ab1

得130，即1為三重根。(1)xμ=1

ax0

解得：x0 2 3 3(1)x03所以在有限歐氏平面上，在平移變換下無二重元素，x x 在拓廣歐氏平面上上的所有點(diǎn)（ ，，x x ∞ 1 2λ=1為三重根。)u0將λ=1

得u

+bu

+0u=0au1

2

1 2)u03b

1 2 3所以二重直線是通過點(diǎn)（a，b，0）的一切直線，即以a為斜率的平行線束及無窮遠(yuǎn)線，這平行線束即平移方向的直線集合。xx,9、求射影變換x1 (1的二重元素。x23 3(1)x0（）求二重點(diǎn)：二重點(diǎn)x，x

）應(yīng)滿足()x0 (2)1 2 3

)x203100由010001根。100由010001根。

0

=1為二重根，μ

=－1為單1 20。

將1=1代入）式得x1=，x，3為任意數(shù)，所以二重點(diǎn)為x，x，x，x不同時(shí)為零，此為坐標(biāo)三角形的邊x=0上的一切點(diǎn)；1 2 2 2 3 將2－1代入）式得二重點(diǎn)x00，此為坐標(biāo)三角形的頂點(diǎn)A（1 2 2 2 3 λ1=1λ2=－1，(1)u0將λ=1代入(u0 (3)得二重直線u=，即過A（）的一切直1 1 1)u203線；3將λ=－1代入（3）得二重直線x1=0，為坐標(biāo)三角形的邊A2A。3xxx,10、求射影變換1, x2

(1)的二重元素。3 3（）

，x，x

(1)x）滿足(1)x1

x2

(2)(()203110由010 得130，有三重根，001將μ=1代入（2）式得二重點(diǎn)為x2=0,即坐標(biāo)三角形的邊A1A3上所有的點(diǎn)。（ii）求二重直線：λ=1為三重根，(1)u0將λ=1代入u

0 (3)

=0, u,

為任意數(shù)，(1u3

1 2 3即二重直線為以A1(1,0,0)為中心的線束。x4xx,1、求射影變換61

,(1)的二重元素。x1x2x3 1 2 3

(4)xx0解（i）求二重點(diǎn)：二重點(diǎn)

，x）滿足x

(1)x

(2)61 2 364 0

xx1

(12)x03由6 0 0，(μ+1)(μ+2)(－μ+3)=所以特征根。1 13取－1代入）得二重點(diǎn)為0，，x）即?。?代入2）得二重點(diǎn)為1，，5，3取3 代入）得二重點(diǎn)為1，，0。λ=－1，－2，3。(4)u

6uu0λ=－1代入

0(3)得二重直線為（1，－1，－1）(1u02 33取λ=－2代入得二重直線為取3 代入3）得二重直線為（，10xax

x,1、證明射影變換a1a22,(1)只有一個二重點(diǎn)及通過該點(diǎn)的一條二重直線。33證：若有二重點(diǎn)（x，x

3(a)x，x）則滿足(a)x1

x

00 (2)1 2 3

(a)x2033a 1 0由0 a 1 )30，即μ=a為三重根，0 0 a將μ=a代入2）得二重點(diǎn)為1，，0。123若有二重直線u，u，u，得=a為三重根，123(a)u0將λ=a代入

(a

0，得二重直線為（0，0，u

）即

=0，3 31 2u(a2

)u031所以二重直線AA2通過二重點(diǎn)A（，0。1x y13（i）2x1，y'=2x1的二重點(diǎn)。（ii）設(shè)O為直線x=1OP上一點(diǎn)M求交比O，MM；從這個交比得出什么結(jié)論？解出逆變換式以驗(yàn)證這結(jié)論。解（i）求二重點(diǎn)：x由題設(shè)有x=2x1，解出x=0,。yy=2x1，化簡為：y(2x－2)=0，所以x=1時(shí)，y為任何值都行，故二重點(diǎn)為（0，0）及直線x=1上的任意點(diǎn)。x（ii）交比（OP，MM'）=（01，xx'）=（02x1）=－1.從原變換求其逆變換：xx'=2x1→x=2x1；yy'=2x1→y=2x1所以在每條直線OP上有一個對合對應(yīng)，對合的兩個二重點(diǎn)是原點(diǎn)及P點(diǎn)。14、求證(RST)1T1S1R1這里的R，S，T表示變換。證：設(shè)A'=AA"=SAA"'=（A，∴A'''=(RST，則RS-（A"）=。而R-1（A"'）=A"，S-1（A"）=A'，T-1（A'）=A∴(RST)1T1S1R1xa

xax a a15、證明直線上非奇異射影變換

11

122A 11 120構(gòu)成群。xax2 211

a x a a222 21 22xa

xax a a證：設(shè)T

11

122,A 11 120，xax2 211

a x222

a21 22xbxbx b bS：

11

12, 11 120，xbx2 211

bx222

b21 22xc

xc

x c c a a b bS·T

11

122,D 11 12 11 12 11 120xcx2 211

c x c222

a22

a b b22 21 22故直線上非奇異射影變換之積仍為直線上非奇異射影變換；x

AxAx

A A a a 2又因?yàn)?T-1：

11

21,D

12

12 0 xAx

Ax A A a a2 121 222 21

22 21 22故直線上非奇異射影變換之逆仍為直線上非奇異射影變換，所以直線上非奇異射影變換構(gòu)成群。xa

xax a a16、證明直線上非奇異射影變換

11

122A 11 120構(gòu)成群。xax2 211

a x a a222 21 22xa

xax a a證：設(shè)T

11

122,A 11 120，xax2 211

a x222

a21 22xbxbb bS：

11

12, 11 120，xbx2 211

bx222

b21 22xc

xc

c

a b bS·T

11

122,D

12

12

120 xcxc x c c

a b b2 211 222 21

22

22 21 22故直線上非奇異射影變換之積仍為直線上非奇異射影變換；x

AxAx

A A a a 2又因?yàn)?T-1：

11

21,D

12

12 0 xAx

Ax A A a a2 121 222 21

22 21 22故直線上非奇異射影變換之逆仍為直線上非奇異射影變換，所以直線上非奇異射影變換構(gòu)成群。xa

xax a a17、證明直線上非奇異射影變換

11

122A 11 120不構(gòu)成群。xax2 211

a x a a222 21 22xa

xax a a證：設(shè)T

11

122,A 11 120，xax2 211

a x a a222 21 22xbxbx b bS：

11

12, 11 120，xbx2 211

bx222

b b21 22xc

xc

x c c a a b bS·T

11

122,D 11 12 11 12 11 120xcx2 211

c x c222

c a22

a b b22 21 22即直線上行列式<0的非奇異射影變換之積不再是直線上行列式<0的非奇異射影變換，故不構(gòu)成群。18、證明繞原點(diǎn)的全體旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)成群。證：設(shè)T：xxcosysin

cos，且A=

sin=1yxsinycos sin coS：xxcosysin，且A

cos sin1ysinycos sin co所以S·T：

xx)y)

，且D

) )1yx)y) ) )故旋轉(zhuǎn)變換之積仍為旋轉(zhuǎn)變換；又因?yàn)?/p>

xcos)ysin)yxsin()ycos()

xxcosysinyxsinycoscos且A-1=sin

sincos1，故旋轉(zhuǎn)變換之逆仍為旋轉(zhuǎn)變換，所以繞原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換構(gòu)成群。第六章二次曲線的射影性質(zhì)1、試求二階曲線的方程，它是由兩個射影線束x

－λx

=0

－λ'x=0（

1）所決定的。2

1 3 2 3解：∵

1

（1）由x－λx=0x1

(2)；x－λ'x=0x2

(3)1 3 x3

2 3 x31x11將(2)(3)代入(1)

x xx2 3 1 3x(x

)x(x

x)0x x13 11x3

2x3

2 1

3 1 3故所求二階曲線的方程為：xx2xxxxx2012 23 13 36.13給定無三點(diǎn)共線的任意五E，使6.13給定無三點(diǎn)共線的任意五E，使假設(shè)EB，18C，D，E過A任作一1與直線CD交于A'，再在CD上作使，然后連接B'B1于E，則二階曲線唯一確定之后，在其上任取一點(diǎn)P都有P(AB，CD)=E(AB，CD)=E(A'B'，CD)=k（18）23、建立一個透視對應(yīng)使以A1(1，0，0)為中心的線束對應(yīng)于以A（0，1，0）為中心的2線束；并求這兩透視線束所產(chǎn)生的變態(tài)二階曲線的方程。x 0解：因?yàn)? 的交點(diǎn)為A，過A的線束方程為－λx=0 （1）x 0 1 1 2 33x又

00的交點(diǎn)A2，過A2的線束方程為（2）3若線束A

線束

，則,

0（3）1 2 將(1)(2代(3)得：x2(γx3)-(ax1+βx3)=0 （4）若線束A

線束

，則

=0為自對應(yīng)直線（即

=0，變?yōu)閤

=，1 2 3

33x x3

x 即