彈性力學(xué)柱體的扭轉(zhuǎn)

第九章柱體的扭轉(zhuǎn)9.1扭轉(zhuǎn)問題的位移解法學(xué)習(xí)思路：本節(jié)討論自由扭轉(zhuǎn)問題的位移解法。首先建立自由扭轉(zhuǎn)的位移假設(shè)：一是剛截面假設(shè)；二是扭轉(zhuǎn)的翹曲位移與軸線方向坐標(biāo)無關(guān)。通過上述假設(shè)，將柱體的扭轉(zhuǎn)位移用橫截面的翹曲表示，因此使得問題的基本未知量簡化成為翹曲函數(shù)（x,y）0基本未知量翹曲函數(shù)（x,y）0確定后，通過基本方程，將應(yīng)力分量、應(yīng)變分量用翹曲函數(shù)表示。位移表示的平衡微分方程要求翹曲函數(shù)滿足調(diào)和方程。因此只要選取的翹曲函數(shù)是調(diào)和函數(shù)，自然滿足自由扭轉(zhuǎn)問題的基本方程。自由扭轉(zhuǎn)問題的邊界條件，可以分為兩個(gè)部分：側(cè)面邊界條件和端面邊界條件。對(duì)于自由扭轉(zhuǎn)，側(cè)面邊界不受力。根據(jù)這一條件，可以轉(zhuǎn)化為翹曲函數(shù)與橫截面邊界的關(guān)系。端面采用合力邊界條件，就是端面應(yīng)力的合力為扭矩T。這一邊界條件，采用翹曲函數(shù)表達(dá)相當(dāng)復(fù)雜。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：.扭轉(zhuǎn)位移假設(shè)；.扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)滿足的基本方程；.扭轉(zhuǎn)邊界條件；.扭轉(zhuǎn)端面邊界條件；當(dāng)柱體受外力矩作用發(fā)生扭轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)于非圓截面桿件，其橫截面將產(chǎn)生翹曲。如果橫截面翹曲變形不受限制，稱為自由扭轉(zhuǎn)；如果橫截面翹曲變形受到限制，就是約束扭轉(zhuǎn)。本章討論的柱體扭轉(zhuǎn)問題為自由扭轉(zhuǎn)。對(duì)于柱體的自由扭轉(zhuǎn)，假設(shè)柱體的位移約束為固定左端面任意一點(diǎn)和相應(yīng)的兩個(gè)微分線素，使得柱體不產(chǎn)生剛體位移。柱體右端面作用一力偶T,側(cè)面不受力。設(shè)柱體左端面形心為坐標(biāo)原點(diǎn)，柱體軸線為z軸建立坐標(biāo)系。柱體扭轉(zhuǎn)時(shí)發(fā)生變形，設(shè)坐標(biāo)為z的橫截面的扭轉(zhuǎn)角為，則柱體單位長的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為。而橫截面的扭轉(zhuǎn)角Z。對(duì)于柱體的自由扭轉(zhuǎn)，首先考察柱體的表面變形。觀察可以發(fā)現(xiàn)，柱體表面橫向線雖然翹曲，但是各個(gè)橫向線的翹曲是基本相同的，而且橫向線的輪廓線形狀基本不變。根據(jù)上述觀察結(jié)論，對(duì)柱體部位移作以下的假設(shè)：.剛截面假設(shè)。柱體扭轉(zhuǎn)當(dāng)橫截面翹曲時(shí)，它在Oxy平面上的投影形狀保持不變,當(dāng)扭轉(zhuǎn)角很小時(shí)，設(shè)OP=,橫截面作為整體繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示n=pcos(ct+J3y=-psinefsitig一一ycc=_^Vzv=+f1]-『sin，=〃寫incrc寫#==中xz?橫截面的翹曲位移與單位長度的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角成正比，而且各個(gè)截面的翹曲相同，即W=(x,V)(X,y)稱為圣維南(SaintVenant)ff1轉(zhuǎn)函數(shù)，或者稱為翹曲函數(shù)對(duì)于位移法求解，需要將平衡微分方程用位移分量表示。因?yàn)橛蚨恢辛恕⒍w也、加二審3（工J）根據(jù)幾何方程，應(yīng)變分量為二叼二號(hào)二，廠中二08w.da,3①、.加工中、7八二二十二二中（丁一了八片二二二二中（，二）dxczu）c號(hào)宓如根據(jù)本構(gòu)方程，應(yīng)力分量為%二卜/，二仁二°，廠平二小J=G@（萼-y），丁獷=Gq（袈+x）取vy對(duì)于平衡微分方程，在不計(jì)體力的條件下，前兩個(gè)方程自然滿足，只有最后一個(gè)方程,為將位移表達(dá)式以二一如“二中位、州二夕切爐）代入上式，則上式為Laplace方程，它表示位移分量如果滿足位移表示的平衡微分方程，即Lam!方程時(shí)，則扭轉(zhuǎn)翹曲函數(shù)（x,y）為調(diào)和函數(shù)。下面考察柱體自由扭轉(zhuǎn)的邊界條件。對(duì)于自由扭轉(zhuǎn)問題，在側(cè)邊界沒有載荷作用。由于x=y=z=xy=0,只有xz和yz不等于零，因此分為柱體側(cè)面和端面兩部份面力邊界條件討論。柱體的側(cè)邊界沒有外力作用，而且側(cè)面邊界法線方向余弦因此，n=0面力邊界條件只有第三式需要滿足，有將翹曲函數(shù)表示的應(yīng)力分量代入上式，并且注意到柱體側(cè)面法線方向余弦與坐標(biāo)系的關(guān)系，n=0,則如圖所示。有因?yàn)樗裕w側(cè)面面力邊界條件轉(zhuǎn)換為翹曲函數(shù)橫截面邊界條件對(duì)于柱體的端面面力邊界條件，選取柱體任意一個(gè)端面，例如右端面，l=m=0,而n=1。因此面力邊界條件的第三式自然滿足，而前兩式成為面力的合力為外力矩T,則端面面力邊界條件為也沙二。iJJ%也⑦=0]]及丁海一，%)切7=T55J對(duì)于上述邊界條件的前兩式，由于56后+X)a力二G同工^1+河8一0同理所以邊界條件的前兩式是包滿足的。對(duì)于第三式有則T=GD,其中D表達(dá)了橫截面的幾何特征，GD稱為柱體的抗扭剛度?？傊w的自由扭轉(zhuǎn)的位移解法，歸結(jié)為在邊界條件下求解方程，相對(duì)扭轉(zhuǎn)角由公式T=GD確定。9.2扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力解法學(xué)習(xí)思路：柱體自由扭轉(zhuǎn)問題的位移解法，基本方程是翹曲函數(shù)表示的調(diào)和方程?；痉匠痰男问胶唵?，但是邊界條件的描述，特別是要用翹曲函數(shù)表達(dá)端面的合力邊界條件比較困難。因此典型的扭轉(zhuǎn)問題均是采用應(yīng)力解法求解的。自由扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力解法，以扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)（x,y）作為基本未知量。主要工作包括利用平衡微分方程建立扭轉(zhuǎn)應(yīng)力與應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系；將應(yīng)力函數(shù)表達(dá)的應(yīng)力分量代入變形協(xié)調(diào)方程，可以確定應(yīng)力函數(shù)（x,y）滿足的基本方程。這是一個(gè)泊松方程。根據(jù)扭轉(zhuǎn)問題的側(cè)面面力邊界條件，扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)在橫截面的邊界為常數(shù)。對(duì)于單連域問題，可以假設(shè)這個(gè)常數(shù)為零。對(duì)于扭轉(zhuǎn)問題的端面面力邊界條件，可以確定外力矩和應(yīng)力函數(shù)的關(guān)系。學(xué)習(xí)要點(diǎn):1.扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)；扭轉(zhuǎn)問題的位移解法方程雖然簡單，但是邊界條件相對(duì)比較復(fù)雜，因此通常使用應(yīng)力解法求解柱體的扭轉(zhuǎn)問題。根據(jù)扭轉(zhuǎn)問題的平衡微分方程，可得。因此，必然有一個(gè)函數(shù)(x,y),使得將上述扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分量代入變形協(xié)調(diào)方程，則前四個(gè)方程包滿足，而后兩個(gè)方程要求,所以，翹曲函數(shù)(x,y)滿足因此上式即扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力解法的基本方程。(x,y)稱為普朗特(Prandtl)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)。將扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)與翹曲函數(shù)公式相比較，則扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)與翹曲函數(shù)的關(guān)系為將上式代入變形協(xié)調(diào)方程，則C=2G2.扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)與邊界條件；對(duì)于側(cè)面邊界條件，。將應(yīng)力函數(shù)代入側(cè)面面力邊界條件，有所以業(yè)史+也生二地二0-—i_m-9xBydsbxdsc=const根據(jù)應(yīng)力表達(dá)式，在應(yīng)力函數(shù)（x,y）中增加或者減少一個(gè)常數(shù)對(duì)于應(yīng)力分量的計(jì)算沒有影響，因此對(duì)于單連域橫截面柱體，可以將常數(shù)取為零。有c=0但是應(yīng)該注意，如果柱體橫截面為多連域時(shí)，應(yīng)力函數(shù)在每一個(gè)邊界都是常數(shù)，但是各個(gè)常數(shù)一般并不相同。因此，只能將其中一個(gè)邊界上的c取為零。3.扭轉(zhuǎn)端面邊界條件；對(duì)于桿的端面邊界條件，有1瓦也沙,「JJ"JJL一,七55八和位移解法相同，前兩個(gè)邊界條件包滿足，對(duì)于第三式，將應(yīng)力分量表達(dá)式代入有J&%一戶用世心、二明（工由于應(yīng)力函數(shù)在邊界上的值包為零，上式線積分為零。所以，明彥5"）+焉7"'，用門仙根據(jù)上式可以求出單位長度扭轉(zhuǎn)角本方這樣，柱體扭轉(zhuǎn)問題的基程歸結(jié)為求解變形協(xié)調(diào)方程0問題的邊界條件為：側(cè)面邊界條件c=0；端面邊界條件為,9.3薄膜比擬法學(xué)習(xí)思路:扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力解法具有一個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)，它能夠借助于所謂的薄膜比擬（Prandtl比擬）法，使對(duì)應(yīng)的扭轉(zhuǎn)問題運(yùn)算和分析變的更為直觀。薄膜比擬法是由德國力學(xué)家Prandtl提出的。薄膜比擬法的基本思想是：受均勻壓力的薄膜與柱體的扭轉(zhuǎn)，有著相似的微分方程和邊界條件，因此可以通過測試薄膜變形，分析柱體扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力分布。當(dāng)柱體受外力矩作用發(fā)生扭轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)于非圓截面桿件，其橫截面將產(chǎn)生翹曲。薄膜比擬法的主要作用是定性地分析橫截面的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力。這一方法借助薄膜等高線直觀地說明橫截面的切應(yīng)力方向與大小。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：.薄膜比擬；扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力解法具有一個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)，它能夠借助于所謂的薄膜比擬（Prandtl比擬）法，使對(duì)應(yīng)的扭轉(zhuǎn)問題運(yùn)算和分析變的更為直觀。薄膜比擬的基本思想是：假設(shè)一個(gè)與柱體橫截面形狀相同的孔，孔上敷以緊的均勻薄膜，那么，受均勻壓力的薄膜與柱體的扭轉(zhuǎn)，有著相似的微分方程和邊界條件。因此，可以通過測試薄膜彎曲的情況，分析柱體扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面的應(yīng)力分布。設(shè)有一塊均勻的薄膜，在一個(gè)與扭轉(zhuǎn)柱體橫截面形狀相似的水平邊界上。當(dāng)薄膜承受微小的均勻壓力4作用時(shí)，薄膜上各點(diǎn)將產(chǎn)生微小的垂度。將邊界所在水平面作為Oxy平面，z軸垂直向下，如圖所示由于薄膜的柔順性，可以假設(shè)它不承受彎矩，扭矩，剪力和壓力，而只承受均勻的力。設(shè)薄膜單位寬度的力為ft?，F(xiàn)在考慮薄膜中微分單元abcd的平衡。微分單元受的總壓力為qdxdy,薄膜的垂度用Z表示。ad邊上的力為FTdy,它在z軸上的投影為；bc邊上的力也是FTdy,它在z軸上的投影為；ab邊的力在z軸上的投影為；cd邊上的力在z軸上的投影為。根據(jù)薄膜微分單元平衡條件，則L*3ZL*……L，月Za”.,4心弁*京郎『必)一'改二+再也(=*5)+匕力°改dxexdy亦期簡化可得這就是薄膜平衡時(shí)垂度Z所滿足的微分方程，垂度Z在邊界上顯然是等于零。有Z=02薄膜垂度與扭轉(zhuǎn)應(yīng)力;3.薄膜等高線與切應(yīng)力；垂度Z所滿足的微分方程與扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)相同，均為泊松方程，只是常數(shù)不同。下面考察薄膜垂度Z所滿足的邊界條件。討論薄膜所圍的體積，有上述分析表明，薄膜垂度Z與扭轉(zhuǎn)應(yīng)力具有相同的函數(shù)形式，邊界條件的差別僅是一個(gè)常數(shù)。雖然確定薄膜體積與扭矩的關(guān)系仍然是困難的，但是通過薄膜曲面，可以形象地描述柱體橫截面的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分布。由于薄膜垂度Z與扭轉(zhuǎn)應(yīng)力具有相同的函數(shù)形式，其差別僅是一個(gè)常數(shù)。因此我們可以通過薄膜曲面，形象地表示出橫截面上的應(yīng)力分布情況。我們可以想象一系列的和Oxy平面平行的平面與薄膜曲面相截，得到一系列曲線，顯然這些曲線是薄膜的等高線。對(duì)于薄膜的等高線上的任意點(diǎn)的垂度Z為常數(shù)，所以，Z對(duì)等高線方向的導(dǎo)數(shù)為零，因此，，這就是說。將扭轉(zhuǎn)應(yīng)力分量計(jì)算公式中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成曲線坐標(biāo)，可以寫出切應(yīng)力分別沿等高線的切線和法線方向的分量表達(dá)式：上式表明柱體扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面的切應(yīng)力的方向總是沿著薄膜上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的等高線的切線方向，切應(yīng)力的數(shù)值與等高線的法線導(dǎo)數(shù)成正比，如因此，薄膜的等高線，對(duì)應(yīng)于扭轉(zhuǎn)桿件橫截面上這樣的曲線，各點(diǎn)的切應(yīng)力均與曲線相切。因此這一曲線稱為切應(yīng)力線。這個(gè)結(jié)論對(duì)于研究柱體扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面上的應(yīng)力分布是很重要的。因?yàn)?，雖然我們很難完全通過薄膜比擬測定柱體扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面的應(yīng)力分布，但是通過這種比擬，至少可以定性的描述出橫截面上應(yīng)力分布的大致情況。例如，要知道橫截面上哪一點(diǎn)的應(yīng)力最大，只要看一下對(duì)應(yīng)的薄膜上哪一點(diǎn)的斜率最大。也就是說，薄膜上斜率最大的點(diǎn)，就是對(duì)應(yīng)橫截面上切應(yīng)力最大的作用點(diǎn)。由此可知，最大切應(yīng)力一定發(fā)生在橫截面的周界上，而且橫截面的周界是一條切應(yīng)力線。9.4橢圓截面桿件的扭轉(zhuǎn)學(xué)習(xí)思路：對(duì)于自由扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力解法，橢圓橫截面柱體扭轉(zhuǎn)問題是最成功的應(yīng)用。本節(jié)通過橢圓截面柱體的扭轉(zhuǎn)問題，對(duì)應(yīng)力解法作全面介紹。應(yīng)力解法的關(guān)鍵是應(yīng)力函數(shù)的確定。根據(jù)邊界應(yīng)力函數(shù)值為零，橢圓橫截面柱體扭轉(zhuǎn)的應(yīng)力函數(shù)是容易確定的。對(duì)于待定常數(shù)根據(jù)基本方程，即泊松方程確定。端面面力邊界條件的應(yīng)用確定了外力偶與柱體應(yīng)力的關(guān)系。通過這個(gè)條件，可以建立待定常數(shù)與外力偶的關(guān)系。應(yīng)力函數(shù)確定后，可以確定橫截面切應(yīng)力以及最大切應(yīng)力關(guān)系式橢圓形橫截面的最大切應(yīng)力在長邊的中點(diǎn)。本節(jié)最后討論橫截面的翹曲，即扭轉(zhuǎn)變形。對(duì)于非圓橫截面柱體，在扭矩作用下，橫截面將發(fā)生翹曲。因此對(duì)于非圓橫截面柱體的扭轉(zhuǎn)，平面假設(shè)不能使用。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：?橢圓截面直桿應(yīng)力函數(shù)；2,橢圓截面切應(yīng)力；3.橢圓截面翹曲；設(shè)有橢圓截面直桿，它的橫截面為橢圓邊界，橢圓的長短半軸分別為a和如如圖所示和如如圖所示 。橢圓方程可以寫作根據(jù)自由扭轉(zhuǎn)問題的基本方程，應(yīng)力函數(shù)在橫截面的邊界上應(yīng)該等于零,所以假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為：這一應(yīng)力函數(shù)滿足c=0將上述應(yīng)力函數(shù)代入基本方程，則則扭轉(zhuǎn)基本方程滿足。將應(yīng)力函數(shù)代入端面邊界條件公式，則jjdxdy=nab計(jì)算可得?；卮傻脩?yīng)力函數(shù)表達(dá)式將上述應(yīng)力函數(shù)代入應(yīng)力分量計(jì)算公式，可以得到橫截面應(yīng)力分橫截面上的任意一點(diǎn)的合成切應(yīng)力為根據(jù)薄膜比擬，最大切應(yīng)力發(fā)生在橢圓邊界上，邊界切應(yīng)力最大值在橢圓短軸處，而最小值在橢圓的長軸處，如圖所示。有下面討論橢圓截面桿扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面的翹曲，將應(yīng)力分量代入翹曲函數(shù)公式，M將上面兩式分別對(duì)x和y積分，則比較上述兩式，必然有fi（x）=f（x）=k（常數(shù)）,所以其中，k表示橫截面沿z方向的剛體平動(dòng)，對(duì)變形沒有影響，因此可以略去。所以M3/3,、爾二時(shí)⑼二育序號(hào)上式表達(dá)了橫截面在變形后并不是保持為平面，而是翹曲成為曲面，成為雙曲拋物面，如圖所示。曲面的等高線在Oxy面上的投影是雙曲線，而且這些雙曲線的漸近線是x軸和y軸。只有當(dāng)a=b時(shí)，即圓截面桿，才有w=0,橫截面保持為平面。9.5矩形截面桿件的扭轉(zhuǎn)學(xué)習(xí)思路：應(yīng)力函數(shù)的確定是扭轉(zhuǎn)應(yīng)力解法的關(guān)鍵。但是矩形橫截面柱體的扭轉(zhuǎn)問題不能采用與橢圓形截面柱體相同的方法建立扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)。矩形截面柱體分析的第一步是引入特解，將基本方程一泊松方程簡化為拉普拉斯方程。第二步是將應(yīng)力函數(shù)表達(dá)為坐標(biāo)x和y的函數(shù)。并且根據(jù)問題性質(zhì)，簡化應(yīng)力函數(shù)，為求解級(jí)數(shù)形式表達(dá)的應(yīng)力函數(shù)作準(zhǔn)備。第三步是根據(jù)面力邊界條件確定級(jí)數(shù)形式的應(yīng)力函數(shù)。最后，根據(jù)應(yīng)力函數(shù)求解橫截面切應(yīng)力表達(dá)式。并且分析橫截面切應(yīng)力分布。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：.矩形截面柱體的扭轉(zhuǎn)分析；2.扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)；.扭轉(zhuǎn)級(jí)數(shù)解;.矩形截面柱體扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力；.扭轉(zhuǎn)級(jí)數(shù)解;.矩形截面柱體扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力；5,橫截面應(yīng)力分析設(shè)矩形的邊長為a和b,如圖所示。矩形截面桿件的扭轉(zhuǎn)問題，不能像橢圓截面桿件扭轉(zhuǎn)問題一樣假設(shè)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)為原因很簡單，這個(gè)應(yīng)力函數(shù)雖然滿足c=0,但是泊松方程卻不可能滿由于根據(jù)邊界條件難以直接確定滿足基本方程的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)，因此首先簡化扭轉(zhuǎn)問題的基本方程。對(duì)于扭轉(zhuǎn)問題的應(yīng)力解法，基本方程為泊松方程。為了簡化分析，需要找到泊松方程的特解，將基本方程轉(zhuǎn)化為拉普拉斯方程。因?yàn)槔绽狗匠糖蠼庀鄬?duì)簡單。因?yàn)樽冃螀f(xié)調(diào)方程有一個(gè)特解，所以設(shè)則變形協(xié)調(diào)方程轉(zhuǎn)化為對(duì)于柱體的側(cè)面面力邊界條件，c=0,則要求o滿足邊界條件由于柱體橫截面是關(guān)于坐標(biāo)軸x和y對(duì)稱的，而扭矩T是關(guān)于坐標(biāo)軸反對(duì)稱的，因此橫截面切應(yīng)力必然是與坐標(biāo)軸反對(duì)稱的。所以，設(shè)扭轉(zhuǎn)應(yīng)力函數(shù)o(x,y)為代入變形協(xié)調(diào)方程，則將上式改寫為，，其中為任意常數(shù)根據(jù)所以根據(jù)薄膜比擬，矩形橫截面切應(yīng)力是坐標(biāo)的奇函數(shù)，因此應(yīng)力函數(shù)應(yīng)該為坐標(biāo)X和y的偶函數(shù)。所以上式僅是方程的一個(gè)特解。如果將所有特解作線性迭加就是方程的通解，所以0（x,y）寫作根據(jù)邊界條件的第二式，有由于，所以。因此，?；卮傻?工，2打+1）熱（2典+1國根據(jù)邊界條件的第一式，有兒洪685頊審（r-b2）2$3對(duì)于上式兩邊同時(shí)乘以，并在（b,b）區(qū)間積分，可得所以，應(yīng)力函數(shù)為TT號(hào)3七）V（2燈+1）7teoshA"a根據(jù)應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式，應(yīng)力分量為yG邛4（一1）“5/毒而&獷2力1cosh幾汗16上式中的單位長度扭轉(zhuǎn)角由端面面力邊界條件確定，即16由1*AtanliX,右伽十I〉*對(duì)于上述級(jí)數(shù)，其收斂很快取n=0一項(xiàng)分析，則.ZLA#cosh 2b..可下廣-sinzCrv?對(duì)于上述級(jí)數(shù)，其收斂很快取n=0一項(xiàng)分析，則.ZLA#cosh 2b..可下廣-sinzCrv? 隊(duì)7E1砍ZDcosh 人2&16bGg)sinh 沖co?ML-——co?ih—2b1sbT考Gb%中2b根據(jù)切應(yīng)力表達(dá)式，可以得到矩形橫截面的應(yīng)力分布，如圖所示。最大切應(yīng)力發(fā)生

在矩形長邊的中點(diǎn)，即W)Jt3lScosn lb循1 cosh—2b根據(jù)公式〒16、1032GUR81下」尸心』」TGtQ擊十.tank%二心力=一中-萬不言§>j.jitql)位長度扭轉(zhuǎn)角和最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力其中，和都是僅與比值a/b有關(guān)的參數(shù)，這兩個(gè)因子通過計(jì)算可以表小如下：9.6開薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)學(xué)習(xí)思路：狹長矩形是指矩形橫截面的一邊長度遠(yuǎn)大于另外一邊，這個(gè)問題有明顯的工程意義。工程結(jié)構(gòu)中廣泛使用的形材大多是狹長矩形或者曲邊狹長矩形組成的開薄壁桿件。根據(jù)薄膜比擬，橫截面的切應(yīng)力方向是與狹長矩形的長邊一致，而且數(shù)值不變。這個(gè)條件使得狹長矩形的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式不難推導(dǎo)，同時(shí)，直邊與曲邊狹長矩形的應(yīng)力分布是相同的。對(duì)于開薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力分析，首先將開薄壁桿件分解為一系列的狹長矩形。這些狹長矩形共同承擔(dān)截面力扭矩，并且在扭矩作用下變形。注意到各個(gè)狹長矩形的扭矩之和為外力矩，而相對(duì)扭矩角是相同的，可以得到各個(gè)狹長矩形的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力。開薄壁桿件的扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力是在理想狹長矩形桿切應(yīng)力基礎(chǔ)上推導(dǎo)的，這個(gè)應(yīng)力不能用于局部應(yīng)力分析。原因是開薄壁桿件扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式不能反映應(yīng)力集中；而且為了減少應(yīng)力集中的影響，工程型材在矩形與矩形的交接處有圓弧。對(duì)于工程問題，局部應(yīng)力分析可以查閱相關(guān)圖學(xué)習(xí)要點(diǎn)：.狹長矩形的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力；?開薄壁桿；.開薄壁桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)力；?局部切應(yīng)力O首先討論狹長矩形的扭轉(zhuǎn)應(yīng)力，設(shè)狹長矩形的長