工程數(shù)學(xué)行列式與矩陣

第一章行列式與矩陣

行列式是代數(shù)學(xué)中一個重要的工具，利用它可以用來判斷一個n階矩陣是否可逆；可以導(dǎo)出一個矩陣的逆矩陣公式以及著名的克拉姆法則。這一章我們先給出二、三階行列式的定義，在此基礎(chǔ)上歸納出一般n階行列式的定義，然后討論行列式的基本性質(zhì)及其應(yīng)用?！?.1行列式及其性質(zhì)在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，行列式是通過解線性方程組的求解而引出的，以二元線性方程組的求解為例,為了消去未知數(shù)x2,兩式分別乘以1定義12（+）（-）(2.1)式中橫寫的叫行,豎寫的叫列,其中的數(shù)稱為行列式的元素如為二階行列式的第一行第二列的元素.二階行列式的運算規(guī)則:3定義2三階行列式有3行3列,32個元素,其右端的算式由3!個項組成,其中每一項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積,所有乘積項前所帶的符號為正負(fù)號各半.(即各為項)4

與二階行列式相似,它可以由一個很簡單的規(guī)則來說明,這就是三階行列式的對角線法則,即如下所示,實對角線上三個元素之乘積前冠以正號,虛對角線上三個元素之乘積前冠以負(fù)號,再把這些乘積加起來,就得到(1.2)式.(+)(+)(+)(-)(-)(-)(1.3)5上述三階行列式的值,也可以表示為

我們來分析一下(1.4)式:首先(1.4)式右端的三項是D3中第一行的三個元素分別乘一個二階行列式,而使乘的二階行列式是劃去該元素所在的行與所在的列所組成;其次,每一項之前都要乘以,1和j正好是的行標(biāo)和列標(biāo).

按照這一規(guī)律,我們可以用三階行列式定義出四階行列式.以此類推,我們可以給出n階行列式的定義.6定義3這種利用低階行列式逐次地給出高一階行列式的定義的方法,稱為遞歸(推)定義法7定義4

為了簡化上述定義中的展開式的書寫,我們引入代數(shù)余子式的概念.8定義5稱的代數(shù)余子式

由上述定義5,(1.5)式可以表達(dá)為9解:10

一般地,按照行列式的遞推(歸)定義來計算n階行列式,通常是很繁瑣的.因此我們有必要來研究行列式的性質(zhì),利用這一些性質(zhì)可使行列式的計算簡化.行列式的性質(zhì)記性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等意義：

行列式中的行與列具有同等的地位；11.例如

證明思想：仍然是從定義出發(fā)證，祥略。如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.為什么？？.例如性質(zhì)2將行列式的兩行(列)對調(diào),行列式變號推論12性質(zhì)3(展開法則)行列式等于它的任意一行(列)中所有元素與它們對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和.即13推論行列式中任一行(列)中元素與另一行(列)對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零,即證:由性質(zhì)3按第j行展開得到rirj14性質(zhì)4行列式的某一行(列)元素的公因子可提到行列式外面,即例如:15證:推論行列式的某一行(列)元素的全為零,則此行列式為零.行列式的某兩行(列)對應(yīng)元素成比例,則此行列式為零.推論16性質(zhì)5若行列式的第i行(列)元素的每一個元素都可以表示為兩數(shù)的和,則該行列式可以表示為兩行列式之和,即這并不是唯一的分拆方法！17性質(zhì)6把行列式的第j行(列)元素的k倍加到第i行(列)的對應(yīng)元素上,行列式的值不變.例

計算行列式

運算符號：

交換行列式兩行（列），記作行列式第i行（列）乘以數(shù)k，記作以數(shù)k乘行列式第i行（列）加到第j行（列）上，記作18例

計算行列式解:

第二行乘以-1加到其它各行上去可得19

(行列式中行與列具有同等的地位,行列式的性質(zhì)凡是對行成立