高等數(shù)學(xué)上冊第五節(jié) 函數(shù)的微分及其應(yīng)用

關(guān)于高等數(shù)學(xué)上冊第五節(jié)函數(shù)的微分及其應(yīng)用第1頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六一、微分的概念

引例:

一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少?設(shè)薄片邊長為x,面積為A,則面積的增量為關(guān)于△x

的線性主部高階無窮小時為故稱為函數(shù)在的微分當x在取得增量時,變到邊長由其第2頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六的微分,定義:

若函數(shù)在點的增量可表示為(A

為不依賴于△x

的常數(shù))則稱函數(shù)而稱為記作即定理:

函數(shù)在點可微的充要條件是即在點可微,第3頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六定理:函數(shù)證:

“必要性”

已知在點可微,則故在點的可導(dǎo),且在點可微的充要條件是在點處可導(dǎo),且即第4頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六定理:函數(shù)在點可微的充要條件是在點處可導(dǎo),且即“充分性”已知即在點的可導(dǎo),則第5頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六說明:時,所以時很小時,有近似公式與是等價無窮小,當故當?shù)?頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六當很小時,則有從而導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標的增量自變量的微分,記作記二.微分的幾何意義第7頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六例1設(shè)求當及時，函數(shù)的增量和微分的值.解:當時，函數(shù)的增量

則時，則時，第8頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六三、微分運算法則設(shè)u(x),v(x)均可微,則(C

為常數(shù))分別可微,的微分為微分形式不變式5.復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)基本初等函數(shù)的微分公式(見P72表)第9頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六例3.設(shè)解:，求第10頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六例4.設(shè)求解:先化簡第11頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六例+.設(shè)求解:利用一階微分形式不變性,有例5.

在下列括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)使等式成立:說明:上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.注意:數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.第12頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性,例如第13頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六四、微分在近似計算中的應(yīng)用當很小時,使用原則:得近似等式:（一）函數(shù)值的近似計算第14頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六特別當很小時,常用近似公式:很小)證明:令得第15頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六解:

以例6.半徑為10厘米的金屬圓片加熱后，

半徑伸長了0.05厘米，

問面積達約增加了多少？分別表示圓片的面積及半徑，則當厘米，厘米，時面積的增量（厘米2）第16頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六的近似值.例7.求解:設(shè)則令則由得第17頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六的近似值.例8.求解:由公式第18頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六內(nèi)容小結(jié)1.微分概念微分的定義及幾何意義可導(dǎo)可微2.微分運算法則微分形式不變性:(u

是自變量或中間變量)3.微分的應(yīng)用近似計算估計誤差第19頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六思考與練習(xí)1.設(shè)函數(shù)的圖形如下,試在圖中標出的點處的及并說明其正負.第20頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六2.第21頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六1.已知求解：因為所以備用題第22頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六方程兩邊求微分,得已知求解：2.第23頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六（二）函數(shù)的誤差估計例1.

計算球的體積可精確至１％，若根據(jù)這個體積來推算球的半徑則的相對誤差是多少？解:由公式則于是

因此第24頁，共26頁，2022年，5月20日，18點11分，星期六例2.有一批半徑為1cm的球,

為了提高球面的光潔度,解:

已知球體體積為鍍銅體積為V

在時體積的增量因此每只球需用銅約為(g)用