2020高中數(shù)學(xué) 第三章 概率 .1 隨機(jī)事件的概率 .1.1 頻率與概率學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE18-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.1.1頻率與概率[航向標(biāo)·學(xué)習(xí)目標(biāo)］1．了解隨機(jī)事件的概念,能正確辨別必然事件、不可能事件與隨機(jī)事件．2．了解概率與頻率的區(qū)別和聯(lián)系,會通過試驗(yàn)求事件的頻率和估計(jì)概率．3．了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性．［讀教材·自主學(xué)習(xí)］1．必然事件是指eq\o（□，\s\up4（01))在條件S下，一定會發(fā)生的事件．2．不可能事件是指eq\o（□,\s\up4(02））在條件S下,一定不發(fā)生的事件．3．隨機(jī)事件是指eq\o(□,\s\up4(03)）在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．4．在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的eq\o（□,\s\up4（04））頻數(shù),稱事件A出現(xiàn)的比例fn（A)＝eq\f（nA,n）為事件A出現(xiàn)的eq\o(□，\s\up4(05）)頻率．5．在相同條件下，大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件A發(fā)生的eq\o(□,\s\up4(06））頻率會在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，即隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有eq\o（□,\s\up4(07）)穩(wěn)定性,這時(shí)我們把這個(gè)常數(shù)叫作隨機(jī)事件A的概率，記作eq\o(□,\s\up4（08））P(A)．6．概率從數(shù)量上反映了一個(gè)事件eq\o(□,\s\up4(09））發(fā)生可能性的大小，任何事件的概率的取值范圍是eq\o(□，\s\up4(10））［0,1］．必然事件的概率為eq\o(□,\s\up4（11）)1，不可能事件的概率為eq\o(□,\s\up4(12））0。[看名師·疑難剖析］1．隨機(jī)事件是指在條件S下出現(xiàn)的某種結(jié)果，若條件S變了，則結(jié)果也會變，因此同一事件必須在相同的條件下研究；其次隨機(jī)事件可以重復(fù)地進(jìn)行大量試驗(yàn)，而每次試驗(yàn)結(jié)果不一定相同,并且無法預(yù)測下一次試驗(yàn)的結(jié)果，但隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，其結(jié)果又呈現(xiàn)規(guī)律性．2．一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生,就單次試驗(yàn)而言,具有隨機(jī)性（偶然性），對大量重復(fù)試驗(yàn)而言又具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性(必然性），這就是偶然性和必然性的對立統(tǒng)一．由概率的統(tǒng)計(jì)定義可知：必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0,而任意事件的概率在區(qū)間[0，1］之間．所以不可能事件和必然事件可看成隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情況，這就是它們之間既對立又統(tǒng)一的辯證關(guān)系．3．對于隨機(jī)事件，知道它發(fā)生的可能性大小非常重要．要了解隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，最直接的方法就是試驗(yàn)，一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)應(yīng)滿足下述三個(gè)條件：(1）試驗(yàn)可以在相同的情況下重復(fù)進(jìn)行；（2）試驗(yàn)的所有結(jié)果明確可知，但不止一個(gè)；(3)每次試驗(yàn)總是出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但是一次試驗(yàn)之前卻不能確定這次試驗(yàn)會出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．4．頻率fn（A)是隨試驗(yàn)次數(shù)變化而變化的，而概率是一個(gè)常數(shù)；概率是頻率的科學(xué)抽象，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)越來越大時(shí)，頻率越來越靠近概率．因此只要試驗(yàn)次數(shù)足夠大，所得的頻率才可近似地當(dāng)做概率．考點(diǎn)一必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的判斷例112件同類產(chǎn)品中，有10件正品,2件次品，從中任意抽出3件,下列事件中，隨機(jī)事件有________；必然事件有________；不可能事件有________．(填上相應(yīng)的序號)①3件都是正品 ②至少有1件是次品③3件都是次品 ④至少有1件是正品[解析］抽出的3件可能都是正品，也可能不都是，則①②是隨機(jī)事件；這12件產(chǎn)品中共有2件次品，那么抽出的3件不可能都是次品，其中至少有1件是正品，則③是不可能事件，④是必然事件．［答案]①②④③類題通關(guān)判斷事件的隨機(jī)性或確定性，主要是根據(jù)定義來進(jìn)行:確定不發(fā)生的就是不可能事件，確定要發(fā)生的就是必然事件,可能發(fā)生也可能不發(fā)生的就是隨機(jī)事件.，本題易誤把③④也當(dāng)成隨機(jī)事件，其原因是不注意所給條件中正品和次品的數(shù)量，三個(gè)概念混淆不清.）eq\a\vs4\al(［變式訓(xùn)練1］)指出下列事件是必然事件，不可能事件，還是隨機(jī)事件？①某地1月1日刮西北風(fēng)；②x為實(shí)數(shù)時(shí)，x2≥0；③手電筒的電池沒電，燈泡發(fā)亮；④一個(gè)電影院某天的上座率為50％.解①④是隨機(jī)事件，②是必然事件；③是不可能事件?？键c(diǎn)二隨機(jī)事件的概率例2某籃球運(yùn)動(dòng)員在同一條件下進(jìn)行投籃練習(xí)，結(jié)果如下所示:投籃次數(shù)n1020405070100投中次數(shù)m81935446390投中頻率eq\f(m,n)（1)計(jì)算表中籃球被投中的頻率;（2）籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次,籃球被投中的概率約是多少？［分析]（1)將m、n的值逐一代入eq\f(m，n）計(jì)算．(2)觀察各頻率是否在某一常數(shù)附近擺動(dòng),用多次試驗(yàn)的頻率估計(jì)概率．[解］（1)投中的頻率依次為0。8,0。95，0.875,0。88，0。90，0。90.(2)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次，籃球被投中的概率約是0。9.類題通關(guān)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，主要是依靠試驗(yàn)得出.大量試驗(yàn)表明:隨機(jī)事件的頻率，即此事件發(fā)生的次數(shù)與試驗(yàn)總次數(shù)的比值表現(xiàn)出隨機(jī)性，又具有穩(wěn)定性，總是在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這種擺動(dòng)的幅度會變得越來越小。這個(gè)常數(shù)就是這個(gè)隨機(jī)事件的概率.頻率本身是一個(gè)隨機(jī)變量，用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率只能得到概率的估計(jì)值,而概率是一個(gè)確定的數(shù)值，兩者有一定的差別.eq\a\vs4\al（[變式訓(xùn)練2]）一個(gè)地區(qū)從某年起幾年之內(nèi)的新生嬰兒數(shù)及其中的男嬰數(shù)如下：時(shí)間范圍1年內(nèi)2年內(nèi)3年內(nèi)4年內(nèi)新生嬰兒數(shù)n554496071352017190男嬰數(shù)m2883497069948892（1）計(jì)算男嬰出生頻率(保留4位小數(shù))；（2）這一地區(qū)男嬰出生的概率約是多少？解(1)計(jì)算eq\f(m,n)即得到男嬰出生的頻率依次約是:0.5200，0.5173,0.5173,0。5173.(2)由于這些頻率非常接近0.5173,因此這一地區(qū)男嬰出生的概率約為0.5173?？键c(diǎn)三頻率與概率的關(guān)系例3李老師在某大學(xué)連續(xù)3年主講經(jīng)濟(jì)學(xué)院的高等數(shù)學(xué)，下表是李老師這門課3年來的考試成績情況：成績?nèi)藬?shù)90分以上(包括90分）4380～89分18270~79分26060~69分9050~59分6250分以下（不包括50分)8經(jīng)濟(jì)學(xué)院一年級的學(xué)生王小倩下學(xué)期將修李老師的高等數(shù)學(xué)課，用已有的信息估計(jì)她得以下分?jǐn)?shù)的概率(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后三位):(1）90分以上（包括90分）;（2）60～69分；（3）60分以上(包括60分）．［分析]隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)的情況下,它的發(fā)生呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，可以用事件發(fā)生的頻率“測量”，因此可以通過計(jì)算事件發(fā)生的頻率來估算概率．[解］根據(jù)題意可計(jì)算出修李老師的高等數(shù)學(xué)課的總?cè)藬?shù)為43＋182＋260＋90＋62＋8＝645(人),則修李老師的高等數(shù)學(xué)課的學(xué)生考試成績在各個(gè)分?jǐn)?shù)段上的頻率依次為：eq\f(43，645)≈0.0667，eq\f（182，645）≈0。2822,eq\f(260,645)≈0.4031，eq\f（90，645）≈0。1395,eq\f(62，645)≈0.0961，eq\f(8,645）≈0.0124。用已有的信息可以估計(jì)出王小倩下學(xué)期修李老師的高等數(shù)學(xué)課得分的概率如下：（1)“得90分以上(包括90分)”記為事件A，則P(A)≈0。067。(2）“得60～69分”記為事件B，則P(B)≈0。140.（3）“得60分以上(包括60分）”記為事件C，則P（C)≈0。0667＋0。2822＋0。4031＋0.1395≈0.892。類題通關(guān)隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但是在大量重復(fù)試驗(yàn)情況下，它的發(fā)生呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，因而,可以從統(tǒng)計(jì)的角度，用事件發(fā)生的頻率去“測量”，通過計(jì)算事件發(fā)生的頻率去估算概率。eq\a\vs4\al(［變式訓(xùn)練3])某公司在過去幾年內(nèi)使用某種型號的燈管1000支，該公司對這些燈管的使用壽命（單位：小時(shí))進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示：分組［500，900)[900，1100）[1100，1300）[1300，1500)[1500，1700)［1700,1900)［1900，＋∞）頻數(shù)4812120822319316542頻率（1）將各組的頻率填入表中；（2）根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)結(jié)果，計(jì)算燈管使用壽命不足1500小時(shí)的概率．分析（1)利用fn（A）＝eq\f（nA,n）計(jì)算各組的頻率；（2)壽命不足1500小時(shí)的頻數(shù)等于［500，900），[900，1100)，[1100,1300)，[1300，1500）的頻數(shù)的和，用頻率來估計(jì)概率．解(1)利用頻率的定義，可得[500,900)上的頻率是eq\f(48,1000）＝0。048；[900,1100)上的頻率是eq\f（121，1000)＝0.121；[1100,1300)上的頻率是eq\f（208，1000)＝0。208；［1300,1500)上的頻率是eq\f(223，1000）＝0.223；[1500，1700）上的頻率是eq\f（193，1000)＝0.193；[1700,1900）上的頻率是eq\f(165,1000）＝0。165;［1900,＋∞)上的頻率是eq\f（42,1000）＝0.042.所以頻率依次是0.048,0.121，0.208，0。223，0。193，0.165,0。042.（2）樣本中壽命不足1500小時(shí)的頻數(shù)是48＋121＋208＋223＝600，所以樣本中壽命不足1500小時(shí)的頻率是eq\f（600,1000）＝0.6.所以估計(jì)燈管使用壽命不足1500小時(shí)的概率是0。6?？键c(diǎn)四概率含義的理解例4某生產(chǎn)線出次品的概率是1%，假設(shè)每天可生產(chǎn)1000件產(chǎn)品，如果有一天已經(jīng)生產(chǎn)了990件合格品，那么最后的10件是不是都是次品？［分析］根據(jù)概率與頻率的關(guān)系及頻率的意義求解．［解］顯然,最后的10件不是都為次品．“出次品的概率是1%"是指生產(chǎn)線生產(chǎn)出次品的可能性是1％，這個(gè)可能性對每個(gè)產(chǎn)品都是一樣的，不能因?yàn)榍懊娴亩己细?，就認(rèn)為后面產(chǎn)品的合格率就小了,其實(shí)最后10件產(chǎn)品出次品的可能性仍是1%.類題通關(guān)我們說“一個(gè)事件發(fā)生的概率是1%”，不能把它和生活中的“成功率是1％”等同起來,后者是個(gè)人對事實(shí)的一種推測，而前者是對客觀現(xiàn)象的一種科學(xué)估計(jì)，是經(jīng)得起事實(shí)檢驗(yàn)的,即如果讓此試驗(yàn)重復(fù)1萬次或者更多，即可以發(fā)現(xiàn)該事件出現(xiàn)100次左右，這同時(shí)也是“一個(gè)事件發(fā)生的概率是1%”的含義.eq\a\vs4\al（[變式訓(xùn)練4]）據(jù)統(tǒng)計(jì)，某籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為90%,對此有人解釋為其投籃100次,一定有90次命中，10次不中，你認(rèn)為這種解釋正確嗎？說說你的理由．解這種解釋不正確．理由如下：因?yàn)椤巴痘@命中”是一個(gè)隨機(jī)事件,籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率是90％，是指投籃成功的可能性比較大，即每次投籃有90％的把握，就一次投籃而言，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，并不是說投籃100次一定有90次投中,10次投不中，只有當(dāng)投籃次數(shù)n非常大時(shí),我們可以看成大量重復(fù)投籃,命中的次數(shù)約為90％n,并且n越大，命中次數(shù)越接近90％n。[例］(12分)已知f（x）＝x2－2x，x∈［0,3],給出事件A：f(x)≥a.(1)當(dāng)A為必然事件時(shí)，求a的取值范圍;（2）當(dāng)A為不可能事件時(shí)，求a的取值范圍．(一)精妙思路點(diǎn)撥(二）分層規(guī)范細(xì)解f（x）＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈［0,3]，∴f（x)min＝f（1)＝－1.又f（0)＝0<f（3）＝3，∴f（x）max＝f(3）＝3。所以f（x)∈［－1,3］.4分(1）當(dāng)A為必然事件時(shí)，即f（x)≥a，eq\a\vs4\al(x∈[0，3]）①恒成立，則eq\a\vs4\al（a≤fxmin）②＝f(1)＝－1，即a的取值范圍是a≤－1。8分（2）當(dāng)A為不可能事件時(shí)，即f(x）≥a，eq\a\vs4\al（x∈［0,3]）①一定不成立，∴eq\a\vs4\al（a〉fxmax)②＝f（3)＝3,則a的取值范圍是a〉3。12分（三)來自一線的報(bào)告通過閱卷后分析,對解答本題的失分警示和解題啟示總結(jié)如下:(注：此處的①②見分層規(guī)范細(xì)解過程)（四）類題練筆掌握在10個(gè)學(xué)生中，男生有x個(gè)，現(xiàn)從10個(gè)學(xué)生中任選6個(gè)去參加某項(xiàng)活動(dòng)．①至少有一個(gè)女生；②5個(gè)男生，1個(gè)女生；③3個(gè)男生，3個(gè)女生．當(dāng)x為何值時(shí)，使得①為必然事件，②為不可能事件，③為隨機(jī)事件？解“至少有1個(gè)女生”為必然事件，則有x≤5；“5個(gè)男生，1個(gè)女生"為不可能事件，則有x〈5或x＝10；“3個(gè)男生，3個(gè)女生”為隨機(jī)事件，則有3≤x≤7；綜上所述,又由x∈N，可知x＝3或x＝4.(五）解題設(shè)問（1)解答本題的關(guān)鍵是什么？________。(2)x為正整數(shù)嗎?________。答案（1）事件的概念（2)是1．下列現(xiàn)象是必然現(xiàn)象的是（）A．|x－1｜＝0 B．x2＋1<0C。eq\r（x＋1）>0 D．（x＋1）2＝1＋2x＋x2答案D解析A、C為隨機(jī)事件，B為不可能事件．故選D.2．下列說法正確的是（）①頻數(shù)和頻率都能反映一個(gè)對象在試驗(yàn)總次數(shù)中出現(xiàn)的頻繁程度；②每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的頻數(shù)之和等于試驗(yàn)的樣本總數(shù)；③每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的頻率之和不一定等于1；④概率就是頻率．A．① B．①②④C．①② D．③④