2022-2023學(xué)年湖北省荊州市部分重點(diǎn)高中高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖北省荊州市部分重點(diǎn)高中高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知直線的傾斜角為45°，且過點(diǎn)，則在直線上的點(diǎn)是（

）A． B． C． D．A【分析】由點(diǎn)斜式求解直線方程，將各點(diǎn)代入檢驗(yàn)即可.【詳解】直線的斜率，方程為，即，將A，B，C，D中各點(diǎn)代入知，A正確.故選：A2．兩直線和互相垂直，則的值是（

）A．0 B．1 C．0或1 D．1或C【分析】由直線的垂直關(guān)系可得的方程，解方程可得值．【詳解】因?yàn)橹本€和直線互相垂直，所以，解得：或.故選：C．3．如圖，在空間四邊形中，點(diǎn)在上，滿足，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．D【分析】由得，結(jié)合中點(diǎn)公式可得，由線性運(yùn)算即可求解.【詳解】由得；由點(diǎn)為線段的中點(diǎn)得，∴，故選：D4．“”是“兩點(diǎn)到直線的距離相等”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A【分析】?jī)牲c(diǎn)到直線距離相等分兩種情況，或過的中點(diǎn)，結(jié)合斜率和中點(diǎn)公式即可求解，再由命題的充分、必要條件判斷即可.【詳解】“兩點(diǎn)到直線的距離相等”“或過的中點(diǎn)”.當(dāng)時(shí)，由得，；當(dāng)過的中點(diǎn)時(shí)，由的中點(diǎn)為得，.所以“兩點(diǎn)到直線的距離相等”“”，故選：A.5．設(shè)直線l的方程為xysin20，則直線l的傾斜角的范圍是（

）A．[0,] B． C． D．C【分析】分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，結(jié)合的范圍，可得斜率的取值范圍，進(jìn)而得到傾斜角的范圍.【詳解】直線l的方程為，當(dāng)時(shí)直線方程為，傾斜角當(dāng)時(shí)，直線方程化為，斜率，因?yàn)椋?，即，又因?yàn)?，所以綜上可得故選：C6．如圖所示，平行六面體中，，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．0D【分析】設(shè)，利用空間向量的線性運(yùn)算結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義，得到，從而得到答案．【詳解】解：設(shè)，則，，則所以，則與所成角為，所以與所成角的余弦值為0．故選：D．7．已知在圓：上恰有兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．C【分析】題意轉(zhuǎn)化為圓與圓相交，即可求解.【詳解】由題意可知圓與圓相交，則，解得或.故選：C8．已知圓，圓，、分別是圓、上動(dòng)點(diǎn)，是軸上動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B．C． D．D【分析】根據(jù)兩圓及的位置關(guān)系，將的最大轉(zhuǎn)化為求最大，再應(yīng)用將軍飲馬模型作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，利用三角形的三邊關(guān)系確定的最大值，進(jìn)而求的最大值.【詳解】要使的最大，需盡可能大，盡可能小，∴連接、，讓兩直線與兩圓的交點(diǎn)，離盡可能遠(yuǎn)，離盡可能近，如下圖示：在△中最大即可，令，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，∴最大，故共線時(shí)的最大值為，∴的最大值為.故選：D二、多選題9．下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的是（

）A．若空間向量，滿足，則B．若非零向量，滿足，則有C．若是空間的一組基底，且，則四點(diǎn)共面D．若向量是空間的一組基底，則也是空間的一組基底CD【分析】結(jié)合空間向量定義可直接判斷A錯(cuò)；由空間的垂直關(guān)系可判斷B錯(cuò)誤；由四點(diǎn)共面的結(jié)論可判斷C正確；由基底向量的定義化簡(jiǎn)可判斷D正確.【詳解】對(duì)于A，模長(zhǎng)相等方向可不同，顯然A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于空間中垂直于同一直線的兩直線可以不平行，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由平面的向量示可知是空間的一組基底，則三點(diǎn)不共線.由，，可判斷四點(diǎn)共面，故C正確；對(duì)于D，若向量是空間一組基底，則對(duì)空間中的任何一個(gè)向量，存在唯一的實(shí)數(shù)組，使得，于是，所以也是空間的一組基底，故D正確.故選：CD10．已知是邊長(zhǎng)為的正方形的中心，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，沿對(duì)角線把正方形折成直二面角，以下說法正確的是（

）A．B．的長(zhǎng)度為C．異面直線所成的角是60°D．點(diǎn)到平面的距離BCD【分析】采用建系法，以的方向?yàn)檩S的正方向，結(jié)合向量夾角公式可判斷A錯(cuò)誤，C正確；由空間中兩點(diǎn)間距離公式可求，判斷B正確；由點(diǎn)到平面距離的向量公式可判斷D正確.【詳解】以點(diǎn)為原點(diǎn)，以的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，∴，，∴，∴，故A錯(cuò)誤；∵，∴，故B正確；∵，又，∴，∴，所以異面直線所成的角是60°，故C正確；設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，于是，又，所以點(diǎn)到平面的距離，故D正確.故選：BCD11．?dāng)?shù)學(xué)中的很多符號(hào)具有簡(jiǎn)潔?對(duì)稱的美感，是形成一些常見的漂亮圖案的基石，也是許多藝術(shù)家設(shè)計(jì)作品的主要幾何元素．如我們熟悉的符號(hào)，我們把形狀類似的曲線稱為“曲線”．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn)距離之積等于的點(diǎn)的軌跡是“曲線”．若點(diǎn)是軌跡上一點(diǎn)，則下列說法中正確的有(

)A．曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱B．的取值范圍是C．曲線上有且僅有一點(diǎn)滿足D．曲線上所有的點(diǎn)都在圓的內(nèi)部或圓上ACD【分析】求出軌跡的方程，由方程確定曲線的性質(zhì)，再判斷各項(xiàng)．【詳解】曲線的方程為①若點(diǎn)，則滿足①，于是對(duì)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)有：，即也在曲線上，故A正確，對(duì)于B，由得，∴，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則點(diǎn)在的垂直平分線上，∴，將代入①得，∴，即僅是原點(diǎn)時(shí)滿足，故C正確．對(duì)于D，由化簡(jiǎn)得，∴，∴由得∴，故D正確．故選：ACD．12．正方體中，E，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn)，則（

）A．直線與直線垂直B．直線與平面平行C．直線與平面所成角的余弦值為D．點(diǎn)C和點(diǎn)G到平面的距離相等AB【分析】根據(jù)給定條件建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量逐項(xiàng)分析判斷作答.【詳解】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令棱長(zhǎng)，則，，則，即，直線與直線垂直，A正確；，令平面的法向量，則，令，得，而，，平面，而平面，則平面，B正確；，，所以直線與平面所成角的正弦值為，C不正確；，則點(diǎn)C和點(diǎn)G到平面的距離分別為：，，D不正確.故選：AB三、填空題13．如圖在一個(gè)的二面角的棱上有兩點(diǎn)、，線段、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且均與棱垂直，若，，，則___________.3【分析】由，兩邊平方后展開整理，即可求得，則的長(zhǎng)可求．【詳解】，，，，，，．，.故3.本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了空間想象能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．14．經(jīng)過點(diǎn)作直線，若直線與連接與兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為________．或【分析】畫出圖像，數(shù)形結(jié)合解決起來好理解.【詳解】如圖，連接PA、PB，則直線PA與直線PB均與線段AB相交，設(shè)直線PA的傾斜角為，直線PB的傾斜角為,則符合要求的直線的傾斜角范圍為，,由題意知直線的斜率存在，根據(jù)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，滿足條件的直線的斜率的取值范圍為或故或15．光線沿直線入射到直線后反射，則反射光線所在直線的方程為________．【分析】求得直線與直線交點(diǎn)后，再求直線上一點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，是本題的關(guān)鍵所在.【詳解】由得即直線與直線交點(diǎn)為在直線上取點(diǎn)設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為則即則反射光線所在直線的方程為故四、雙空題16．已知直線過點(diǎn)，且與軸、軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為___________；當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí)，直線的方程是_______________

.

.【分析】設(shè)為且，求出A、B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到、關(guān)于的表達(dá)式，再應(yīng)用基本不等式求最值，并確定等號(hào)成立的條件即可.【詳解】由題意，設(shè)直線為且，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴的最小值為.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，整理得.故，.五、解答題17．已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在的直線方程為，邊上中線所在的直線方程為.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)到直線的距離.(1)(2)【分析】（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，設(shè)，則，結(jié)合在直線上，在直線上，將對(duì)應(yīng)點(diǎn)代入直線方程可求，進(jìn)而得到點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）由可求，由點(diǎn)斜式求出方程，再結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)，則，∴，解得，∴；（2）∵，且直線的斜率為，∴直線的斜率為，∴直線的方程為，即，所以點(diǎn)到直線的距離為.18．如圖，正方形和所在平面互相垂直，且邊長(zhǎng)都是1，，，分別為線段，，上的動(dòng)點(diǎn)，且，平面，記.（1）證明：平面；（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最小時(shí)，求二面角的余弦值.（1）證明見解析；（2）.（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直；（2）求出的長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)的位置，然后分別以，，所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫移矫?，平面平面，所以，所以，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，平面平面，所以平?（2）由（1）知，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，，則，取，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，，則，取，得，所以，則二面角的余弦值為.本題考查面面垂直的性質(zhì)定理，考查用空間向量法求二面角，解題關(guān)鍵是是建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由向量的夾角得二面角，注意觀察二面角是銳二面角還是鈍二面角．19．已知，動(dòng)點(diǎn)滿足：(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說明它表示什么曲線；(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，對(duì)上任意一點(diǎn)，在軸上是否存在一個(gè)與(為坐標(biāo)原點(diǎn))不重合的定點(diǎn)，使得為定值？若存在，求出該定點(diǎn)和定值；若不存在，說明理由.(1)，表示圓心為，半徑為的圓.(2)存在定點(diǎn)使得.【分析】（1）設(shè)，由題中等量關(guān)系得到，化簡(jiǎn)整理即可得出結(jié)果；（2）設(shè)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式表示出，化簡(jiǎn)整理即可求出結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)，由，即，所以化簡(jiǎn)可得軌跡的方程為：,表示圓心為，半徑為的圓.（2）設(shè)則，設(shè)，要使為定值，則，故（舍去）或；代入（定值）,故存在定點(diǎn),使得.求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．20．已知線段的端點(diǎn)的坐標(biāo)是，端點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)．(1)求線段的中點(diǎn)的軌跡方程；(2)求曲線與的公共弦長(zhǎng)．(1)(2)【分析】（1）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式用表示出點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓方程可得；（2）由兩圓方程相減得公共弦所在直線方程，求出一個(gè)圓心到這條直線的距離，然后由勾股定理得弦長(zhǎng)．【詳解】（1）設(shè)，，則，即，，又在已知圓上，所以，即，化簡(jiǎn)得．即為點(diǎn)的軌跡方程；（2）由（1）知點(diǎn)的軌跡是圓，與已知圓方程相減得：，即．圓的圓心為，半徑為，到直線的距離為，所以公共弦長(zhǎng)為．21．如圖，在四棱錐中，面，，且，，，，，為的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求平面與平面所成二面角的余弦值；(3)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在說明理由．(1)證明見解析(2)(3)存在，【分析】（1）只要證明AN所在平面ANE與平面PBC平行即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法計(jì)算二面角的余弦值；（3）用向量法計(jì)算直線與平面成角的正弦值，然后列方程求解．【詳解】（1）證明：取CP中點(diǎn)F，連接NF、BF，因?yàn)镕，N分為PC，PD的中點(diǎn)，則，且，又，且，，所以四邊形NABF是平行四邊形，，又面PBC，面PBC所以AN∥平面PBC；（2）取CP中點(diǎn)E，連接AE，則，且，所以四邊形ABCE是平行四邊形，又，則四邊形ABCE是矩形，所以AE、AB、AP兩兩垂直，建系如圖，，設(shè)平面PAD的法向量為，平面PBC的法向量為則，，設(shè)得平面PAD的一個(gè)法向量為，平面PBC的一個(gè)法向量為，所以平面PAD與平面PBC所成二面角的余弦值為．（3）假設(shè)在線段PD上存在一點(diǎn)M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是，設(shè)，所以，由（2）知是平面PBC的法向量，所以直線CM與平面PBC所成角的正弦值是，解得.22．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，以原點(diǎn)O為圓心的圓截直線所得線段的長(zhǎng)度為.(1)求圓O的方程；(2)若直線與圓O相交于M，N兩點(diǎn)，且，求t的值；(3)在直線上是否存在異于A的定點(diǎn)Q，使得對(duì)圓O上任意一點(diǎn)P，都有（為正常數(shù)）？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)及的值；若不存在，請(qǐng)