2022-2023學(xué)年江蘇省南通市海安市實驗中學(xué)高二年級上冊學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省南通市海安市高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一?單選題（本大題共8小題，共40.0分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.若直線y=ax+1與連接的線段總有公共點，則a的取值范圍是（）A. B.C. D.B【分析】可得直線過定點，則數(shù)形結(jié)合可得或即可求出.【詳解】由直線y=ax+1可得直線的斜率為，且過定點，又，則由圖可得，要使直線與線段總有公共點，需滿足或，又，或.故選：B.2.“”是“直線與直線互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件A【分析】根據(jù)直線垂直求出的范圍即可得出.【詳解】由直線垂直可得，解得或1，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.3.若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為()A. B. C. D.C【分析】先判定兩直線平行，再求出兩平行線之間的距離即得解.【詳解】因為，所以兩直線平行，將直線3x＋4y－12＝0化為6x＋8y－24＝0，由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離，即，所以|PQ|的最小值為.故選：C.本題主要考查平行直線的判定和兩平行線之間的距離的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.4.點(在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍()A.－1<a<1 B.0<a<1 C.–1<a< D.－<a<1D【詳解】解：由題意，4a2+（a-1）2-2（a-1）-4＜0即5a2-4a-1＜0解之得：-＜a＜1故選D5.某月球探測器運行軌道是以月球球心為一個焦點的橢圓形軌道，其近月點與月球表面距離為，遠(yuǎn)月點與月球表面距離為.已知月球的直徑約為，則該橢圓形軌道的離心率約為A. B. C. D.B【分析】根據(jù)題意得，，然后聯(lián)立求解即可.【詳解】如圖（示意圖）：為月球的球心，月球半徑約為.依題意，，.所以，解得.由，得，所以橢圓的離心率.故選：B本題主要考查橢圓的定義和幾何性質(zhì)，還考查了分析求解問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.6.圓上點關(guān)于直線的對稱點仍在圓上，且該圓的半徑為，則圓的方程為（）A. B.C.或 D.或D【分析】先判斷圓心在直線上，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，由半徑，列出方程，求出的值，即可得到答案．【詳解】解：因為圓上的點關(guān)于直線的對稱點仍在圓上，所以圓心在直線上，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，因為該圓的半徑為，則，解得或，所以圓心為或，則圓的方程為或．故選：D．7.已知圓與圓的公共弦所在直線恒過點，且點在直線上，則的取值范圍是（）A. B. C. D.A【分析】將兩圓的方程相減可得公共弦方程，從而求得定點，利用點在直線上可得，再代入消元，轉(zhuǎn)化成一元二次函數(shù)的取值范圍；【詳解】解：由圓，圓，得圓與圓的公共弦所在直線方程為，求得定點，又在直線上，，即.∴，∴的取值范圍是.故選：A.本題考查圓的公共弦方程求解、一元二次函數(shù)的最值，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用.8.已知橢圓：的左、右焦點分別為，，若橢圓上存在一點，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A. B. C. D.C【分析】在中，由正弦定理可得，結(jié)合已知條件得到，設(shè)點，得到，整理得到，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得，化簡得到，即可求解.【詳解】在中，由正弦定理可得,又由，即，即,設(shè)點，可得，則，解得，由橢圓的幾何性質(zhì)可得，即，整理得，解得或，又由，所以橢圓的離心率的取值范圍是.故選：C.方法點撥：在中，由正弦定理和結(jié)合已知條件得到，設(shè)點，結(jié)合橢圓的焦半徑公式，得到，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)可得，列出關(guān)于離心率的不等式是解答的關(guān)鍵.二?多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）9.下列說法正確的是（）A.截距相等的直線都可以用方程表示B.方程能表示平行y軸的直線C.經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程為D.經(jīng)過兩點，的直線方程BD【分析】．當(dāng)直線過原點時，無法表示；．當(dāng)時，滿足條件；．當(dāng)傾斜角為時，無法表示；．結(jié)合兩點式方程進行判斷即可.【詳解】解：對于A，截距相等為0的直線都不可以用方程表示，故錯誤；對于B，當(dāng)時，方程能表示平行y軸的直線，故正確；對于C，經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程不能寫成，故錯；對于D，經(jīng)過兩點，的直線均可寫成，故正確．故選：BD．10.在平面直角坐標(biāo)系中，三點，，，動點滿足，則（）A.點的軌跡方程為 B.面積最大時C.最大時， D.到直線距離最小值為ABD【分析】根據(jù)可求得點軌跡方程為，A正確；根據(jù)直線過圓心可知點到直線的距離最大值為，由此可確定面積最大時，由此可確定B正確；當(dāng)最大時，為圓的切線，利用切線長的求法可知C錯誤；求得方程后，利用圓上點到直線距離最值的求解方法可確定D正確.【詳解】設(shè)，由得：，即，化簡可得：，即點軌跡方程為，A正確；直線過圓的圓心，點到直線的距離的最大值為圓的半徑，即為，，面積最大為，此時，，B正確；當(dāng)最大時，則為圓的切線，，C錯誤；直線的方程為，則圓心到直線的距離為，點到直線距離最小值為，D正確.故選：ABD.11.已知橢圓的左右焦點分別為是圓上且不在軸上的一點，的面積為，設(shè)的離心率為，，則（）A B.C. D.ACD【分析】由題意畫出圖形，由橢圓定義及三角形兩邊之和大于第三邊判斷；設(shè)出的參數(shù)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積運算判斷；求出三角形的面積范圍，結(jié)合已知列式求得橢圓離心率的范圍判斷；由數(shù)量積及三角形面積公式求得判斷．【詳解】如圖，連接，，設(shè)交橢圓于，則，，故正確；設(shè)，，，，，，故錯誤；設(shè)，，則，又△的面積為，，即，，又，，故正確；由，，兩式作商可得：，故正確．故選：ACD12.已知圓，直線，()．則下列四個命題正確的是（）A.直線恒過定點B.當(dāng)時，圓上有且僅有三個點到直線的距離都等于1C.圓與曲線恰有三條公切線，則D.當(dāng)時，直線上一個動點向圓引兩條切線，，其中，為切點，則直線經(jīng)過點ACD【分析】利用相交直線系方程和圓系方程可判斷AD的正誤，根據(jù)圓心到直線的距離可判斷B的正誤，根據(jù)兩圓外切可判斷C的正誤.【詳解】直線可化為：，由可得，故直線恒過定點，故A正確.當(dāng)時，直線，圓心到該直線的距離為，因為，故圓上有且僅有四個點到直線的距離都等于1，故B錯.因為圓與曲線恰有三條公切線，故兩圓外切，故，故，故C正確.當(dāng)時，直線，設(shè)，則以為直徑的圓的方程為，而圓，故的直線方程為，整理得到，由可得，故直線經(jīng)過點，故D正確.故選：ACD.方法點睛：對于含參數(shù)的直線方程，可通過化簡其方程，以便于求出定點坐標(biāo)，而切點弦，則需要利用圓系來求其方程，過圓外一點及兩個切點的圓的方程可由直徑式方程得到.三?填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.直線的斜率為__．【分析】根據(jù)直線的方程寫出直線的斜率表達式，化簡求值即可．【詳解】由直線，得，即，則該直線的斜率．故．本題考查由直線方程求直線的斜率，屬于簡單題．14.已知直線與圓，則被圓截得的最短弦長為___________.【分析】求出直線所過定點，再求出圓心的坐標(biāo)和半徑，要使直線被圓截得的線段長度最小，需圓心到直線的距離最大，的最大值為線段的長度，即可得出結(jié)論．【詳解】解：直線，即，顯然過直線及直線的交點，則的坐標(biāo)為，，故直線經(jīng)過定點，，圓表示以為圓心，以3為半徑的圓，設(shè)圓心到直線的距離為，要使直線被圓截得的線段長度最小，需最大，由題意可知，的最大值為線段的長度，由兩點間的距離公式可得．直線被圓截得的最短的弦長為．故．15.已知圓，過直線上任意一點作圓的兩條切線，切點分別為，若為銳角，則的取值范圍是______．【詳解】試題分析：由于圓心到直線的距離,當(dāng)時,,所以,即,注意到,故,即.考點：圓與直線的位置關(guān)系及運用．【易錯點晴】本題考查的是圓與直線的位置關(guān)系的問題.解答時先求出圓心到定直線的距離,再考慮為直角的特殊情形,求出此時圓心與動點的距離為定值,這時的是最小的,當(dāng)由直角變小時,會增大,由于是動點與圓心連線中長度是最小的,因此只要圓心到直線的距離也大于即可,所以求得的范圍是.16.已知橢圓的左、右焦點分別為，，為橢圓上一個動點，為圓上一個動點，則的最大值為__________12【分析】根據(jù)橢圓定義及圓心位置、半徑，應(yīng)用分析法要使最大只需讓最大即可，由數(shù)形結(jié)合的方法分析知共線時有最大值，進而求目標(biāo)式的最大值.【詳解】由題意得：，根據(jù)橢圓的定義得，∴，圓變形得，即圓心，半徑，要使最大，即最大，又，∴使最大即可.如圖所示：∴當(dāng)共線時，有最大值為，∴的最大值為，∴的最大值，即的最大值為11+1=12，故12四?解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知直線和直線的交點為．（1）求過點且與直線平行的直線方程；（2）若直線與直線垂直，且到的距離為，求直線的方程．（1）；（2）或.【分析】利用平行（垂直）直線系設(shè)出待求直線，用待定系數(shù)法求直線方程.【詳解】解：聯(lián)立解得，可知交點（1）設(shè)與直線平行的直線方程為把交點代入可得，∴∴所求的直線方程為：（2）設(shè)與直線垂直的直線方程為：∵到的距離為，解得或∴直線的方程為：或解析幾何中直線系方程的設(shè)法:(1)過定點的直線可設(shè)為；(2)與直線平行的直線可設(shè)為：；(3)與直線垂直的直線可設(shè)為.18.已知橢圓經(jīng)過（1）求橢圓的方程；（2）若直線交橢圓于不同兩點是坐標(biāo)原點，求的面積.(1)；(2)．【分析】(1)將兩點坐標(biāo)代入橢圓方程中，求出的值，可求出橢圓的方程；(2)直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去，得到一元二次方程，解這個方程，求出兩點的縱坐標(biāo)，設(shè)直線與軸交于點，利用進行求解．【詳解】(1)由題意得:,解得:即軌跡E的方程為(2)記，的方程為由消去得，所以設(shè)直線與軸交于點19.已知圓過點，，且圓心在直線上，圓.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求圓與圓的公共弦長；（3）求過兩圓的交點且圓心在直線上的圓的方程.（1）；（2）；（3）.【分析】（1）求出的坐標(biāo)及其圓的半徑，從而可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，利用垂徑定理可求弦長.（3）設(shè)所求的圓的方程為：，求出圓心的坐標(biāo)，利用該圓心在已知直線上可求的值，從而得到圓的方程.【詳解】解：（1）設(shè)，則，解得，圓即所求的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）圓的一般方程為，將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，即即，故到直線的距離為，所以所求公共弦長為.（3）設(shè)所求的圓的方程為：，整理得到，該圓圓心為，因為該圓心在直線，故，解得，故所求圓的方程為.本題考查圓的方程的求法、以及圓的公共弦的方程及弦長的求法，注意公共弦的直線方法可以由兩個圓的一般方程相減得到，在求過已知直線和圓的交點的圓的方程時，注意利用圓系方程降低運算量，本題屬于基礎(chǔ)題.20.已知的頂點，邊上的中線所在直線方程，邊上的高所在直線方程為．求：（1）頂點的坐標(biāo)；（2）直線的方程．（1）（2）．【分析】（1）先求直線的方程，然后通過方程組求出的坐標(biāo)．（2）設(shè)出的坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，把點的坐標(biāo)代入直線方程，把點的坐標(biāo)代入直線．聯(lián)立求出的坐標(biāo)，然后利用兩點式求得直線的方程．【詳解】（1）、所在直線方程為的斜率為邊所在直線所在的直線的斜率為，的方程為，即解方程組，求得，故的坐標(biāo)為.（2）、設(shè)出的中點為，．把點的坐標(biāo)代入直線方程，把點的坐標(biāo)代入直線．可得，求得，故點．再用兩點式求的直線BC的方程為，化簡為，故直線的方程.21.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，圓交軸于、兩點，交直線于、兩點．（1）若，求的值；（2）設(shè)直線、的斜率分別為、，試探究斜率之積是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．（3）證明：直線、的交點必然在一條定直線上，并求出該定直線的方程．（1）；（2）恒為定值；（3）證明見解析，交點恒在定直線上.【分析】（1）利用勾股定理可求得圓心到直線的距離，再利用點到直線的距離公式可得出關(guān)于的等式，即可求得實數(shù)的值；（2）設(shè)點、，將直線的方程與圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用斜率公式結(jié)合韋達定理可求得的值，即可證得結(jié)論成立；（3）設(shè)直線的斜率為，可得出，寫出直線、的方程，求出兩直線交點的縱坐標(biāo)，即可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】解：圓的圓心為，到直線的距離為，，可得，解得.【小問2詳解】解：將代入圓О方程，并整理得，則，設(shè)點、，由韋達定理，．，所以，，同理，于是（定值）.【小問3詳解】解：注意到，設(shè)直線的斜率為，則，即．直線的方程為，直線的方程為的交點滿足，即，解得，故直線、交點必在定直線上．22.已知兩圓，動圓在圓內(nèi)部且和圓內(nèi)切，和圓外切.（1）求動圓圓心的軌跡方程；（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡方程恒有兩個交點，且滿足若存在，求出該圓的方程，若不存在，說明理由.（1）（2）存在，理由見解析【分析】（1）設(shè)圓的半徑為，由橢圓的定義得到點的軌跡，求出橢圓方程即可；（2）當(dāng)切線斜率存在時，設(shè)切線方程，與橢圓聯(lián)立，得到韋達定理，利用，化簡整理得到和的關(guān)系，利用圓心到切線的距離等于半徑，可得圓的方程，當(dāng)切線