2010泛函分析A卷答案

2010泛函分析A卷答案華中師范大學(xué)2009-2010學(xué)年第二學(xué)期期末考試試卷答案(A卷)課程名稱:泛函分析，課程編號83410016，任課教師堯小華彭雙階阮立志鄧國泰題型判斷填空簡述計算證明總分分值1220162032100得分線得分評閱人一、判斷題：(判斷下列論斷正確與否，如錯誤請改正。共六題，每題2分，共12分)P1，均是可分的完備距離空間。L[a,b](1,p,,)封錯，.1,p,,2，任意距離空間上的全有界集與準緊集等價。錯，完備的距離空間.3，任意賦范線性空間中的單位閉球均不是緊集。錯，無窮維賦范空間。2l4，任意可分的希爾伯特空間均等距同構(gòu)于空間。錯，無窮維HIllbert空間。5，任何賦范空間的對偶空間均是巴拿赫空間。對。11pq*LLp,,,,，，6，.([0,1])[0,1],(1,1)pq院(系)：專業(yè)：年級：學(xué)生姓名：學(xué)號：錯，1,p,,。得分評閱人二、填空題：(共五小題，每題4分，共20分)集合準緊的充分必要條件是A具有下列性質(zhì)：ACab,[,]M,0x,A(i)集合A是有界的，即存在常數(shù)，使得對一切有；|x(t)|,M(t,K),,,,,,,,,0(ii)集合A是等度連續(xù)的，即對，，使得對，只要，就有，，(,)，0,t,t,K|t,t|,,,,,x,A對一切成立。|x(t),x(t)|,,(共鳴定理)設(shè)是定義在巴拿赫空間E上而值域包含在賦范線性空間中的有界線性算{}()T,,,E,1xE,子簇。如果對每個，有，貝V一致有界。sup{||Tx||},,{T},,,,,,,,3，(開映射定理)設(shè)有界線性算子T將巴拿赫空間E映入巴拿赫空間，則T的值域或者是，或者EE11是第一類型集，二者必居其一。UxU,4,設(shè)是內(nèi)積空間的一個規(guī)范正交系，若對每個，帕賽瓦爾公式{}en2,2恒成立，則稱是完備的。(}e||x||,|(x,e)|,nnn,111pqp,q5，設(shè)，那么當(dāng)滿足時，有赫爾德不，，1f(x),L[0,1],g(x),L[0,1],1,p,q,,pq1|f(x)g(x)dx|,||f||||g||等式成立。pq,LL0得分評閱人三、簡述題：(共二小題，每題8分，共16分)1、敘述距離空間，賦范線性空間和內(nèi)積空間的定義以及它們之間的關(guān)系。答:距離空間是帶有一個度量空間函數(shù)的非空集合，記為(X,,);賦范空間是在其上定義了一個范數(shù)的線性空間，記為(E,||.||);內(nèi)積空間是在其上定義了一個內(nèi)積的線性空間，記為(H,,.,.,)。(6分)它們之間的關(guān)系是：內(nèi)積空間一定是賦范線性空間，而賦范線性空間，也一定是距離空間，反過來不一定正確，但在適當(dāng)條件下可以逆轉(zhuǎn)，比如，賦范空間中范數(shù)滿足平行四邊形法則，那么該空間也是內(nèi)積空間。(8分)2、敘述賦范空間上的強收斂、弱收斂以及其對偶空間上的弱*收斂定義，并簡單說明他們之間的關(guān)系。**解：設(shè)；，.則{x},X,x,X{}fX,fX,xn強收斂:若，則稱強收斂于x.;(2分)||x,x||,0(n,,)xnn*弱收斂:若對任意，均有，那么稱弱收斂于x.;(4分)f(x),f(x)(n,,)xfX,nnxX,弱*收斂:若對于任意的，均有，則稱弱*收斂于；(6分)|()()|fxfxn,,,,0()ffnn關(guān)系:強收斂能推出弱收斂，反之不然；弱收斂與弱*收斂沒有必然關(guān)系。(8分)線得分評閱人四、計算題：(共二小題，每題10分，共20分)1，求上線性泛函C[,1,1]封01f(x),2x(t)dt,4x(t)dt,,,10的范數(shù)。12,,1,t,0,,f(x),g(t)x(t)dt解:令g(t),，那么。因為對，有,x,C[,1,1],,,1,4,0,t,1,1密|f(x)|,(|g(t)|dt).max|x(t)|,6||x||,1,t,1,,1故。(6分)||f||,6另一方面取1,,1,t,,(1/n),,x(t),,nt,,(1/n),t,1/n,,,u,,1,1/n,t,1,x,C,,,1,1||x||,1,n,1,2,...,那么知且故有nn1||f||,|f(x)|,|g(t)x(t)dt,6,3/n，nn,,1n,,令||f||,6||f||,6得，于是得。(10分)1,2(Tx)(t),x(s)ds,t,[0,1]2，在上，定義線性算子，試求的伴隨算子。TL[0,1]T,t*2證明：由Holder不等式可直接證明算子為有界算子，下面求其對偶算子。TTL[0,1]*2*2任取，(2分)由的定義以及Fubini定理有Tf,(L[0,1]),L[0,1]111*(6分)(Tf)(x),f(Tx),f(t)(Tx)(t)dt,f(t)x(s)dsdt,,,t001s(8分)，x(s)(f(t)dt)ds,,00于是得到s*。(10分)(Tf)(s),f(t)dt,0得分評閱人五、證明題：(共四小題，每題8分，共32分)1，設(shè)T為完備距離空間X到它自身的映射，如果nn,(,)TxTy,,infsup1,0n,(,)xyxy,則T在X中存在唯一的不動點。證明：取,，(0,1,,),那么必存在n,N，使得00nn00,TxTy(,)(3分)sup,,，，，0xy(,),,xynnn000T,,,，，，1令，故得對，均有，于是映射為壓縮映射，，，x,y,X,(Tx,Ty),,,(x,y)0

而且X為完備距離空間，故由巴拿赫不動點定理知T存在唯一的不動點。（8分）T:H,H2，設(shè)為一希爾伯特空間，為一線性算子。若對任意，均滿足HTx,y,H，（Tx,y）,（x,Ty）則證明為上一有界線性算子。TH證明：任取，使得，，（2分）那么由條件得到{x},Hx,x（n,,）Tx,z（n,,）nnn，（4分）（Tx,y）,（x,Ty）,y,Hnn令得到n,,，（6分）（z,y）,（x,Ty）,（Tx,y）,y,Hz,Tx于是有。由閉圖像定理知T為H上一有界線性算子。（8分）線，，3，設(shè)為一切有界數(shù)列組成的集合，其線性運算按通常對應(yīng)的分量運算定義。在中令ll||x||,sup|,|，nn,1，，其中，則證明按照該范數(shù)為不可分的巴拿赫空間。lx,{,,,,？,,,？},l12n,證明：容易證明關(guān)于該范數(shù)是賦范空間。（2分）l封kkk,n,1接著證明完備。為此，任取一基本列，于是對任意有x,{,,,,,？,,,？},l12knkm|,,,|,||x,x||,0（k,m,,）nnkmkn,1由直線的完備性知，對于是對任意存在，使得?，F(xiàn)記,，R,,,（k,,）nnnx,{,,,,,？,,,？}，因為有12nk|,|,sup|,|,sup||x||,,（,n）nnk密kk,,,,0k,Nx,l故得到。,,,,0k,Nx,l故得到。（4分）存在N，使得當(dāng)時，對任意的n,有kkm|,,,|,lim|,,,|,lim||x,x||,,mnnmnnkm,lx,x(k,,)于是得到，即為巴拿赫空間。(6分)k最后證不可分。,l注意到有如下一個不可數(shù)的子集，并且每兩個元數(shù)之間的而距離是1:A,{x,(,,,,,？,,,？);,,0,or1}12nn,l然后利用反證法可證不可分。(8分)k4，設(shè)為K上的賦范線性空間，(,1，2,…,n),,,…,是一組數(shù)并且滿足條件：存在Xx,Xaaakn12M,0常數(shù)，使得對任意，，???，有tttn21nn|ta|,M||tx||,,kkkk,1,1kk證明存在上的有界線性泛函，使得Xfk(1)(,1，2,…,n);f(x),akk(2)。||f||,M證明：令那么為有限維子空間，令X,span{xx?x},X,Xn1,2nnnnnn~,，其中，注意到如果，f:x,X,ta,Kx,txx,tx,tx,,,,iiniiiiii,1,1,1,1iiii那么條件知nn,,，|(t,t)a|,M||(t,t)x||,0,kkk,kkkk,1k,1nn~~k,故有。由此知映射為一適定得映射，且有(,1，2,…,n)°(3分)f(x),ata,taf,,kkiiii,1,1ii?,，K接著證明映射為一線性映射，對任意，顯然有x,y,Xfn~~~~~，f(x，y),f(x)，f(y)f