2020高中數(shù)學 第二章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）2.1.2.2 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應用學案（含解析）1

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE17-學必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應用［小試身手］1．下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且在（0，＋∞)上單調(diào)遞增的是（）A．y＝eq\f(1,x)B．y＝｜x|C．y＝2xD．y＝x3解析：y＝eq\f(1，x)在（0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以排除A；y＝|x|是偶函數(shù)，所以排除B;y＝2x為非奇非偶函數(shù),所以排除C。選D.答案：D2．下列判斷正確的是（）A．1.51。5＞1。52B．0。52＜0。53C．e2＜eq\r（2）eD．0。90.2＞0。90。5解析：因為y＝0。9x是減函數(shù),且0。5＞0。2，所以0.90。2＞0.90.5。答案：D3．已知y1＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，3)))x,y2＝3x,y3＝10－x，y4＝10x，則在同一平面直角坐標系內(nèi)，它們的圖象為（）解析：方法一y2＝3x與y4＝10x單調(diào)遞增；y1＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，3)））x與y3＝10－x＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,10)）)x單調(diào)遞減,在第一象限內(nèi)作直線x＝1，該直線與四條曲線交點的縱坐標對應各底數(shù)，易知選A。方法二y2＝3x與y4＝10x單調(diào)遞增，且y4＝10x的圖象上升得快，y1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,3)）)x與y2＝3x的圖象關(guān)于y軸對稱，y3＝10－x與y4＝10x的圖象關(guān)于y軸對稱，所以選A。答案：A4．函數(shù)y＝2的值域為________．解析：令u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以y＝2u≥2－1＝eq\f（1，2)，所以y＝2的值域為eq\b\lc\［\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2），＋∞））。答案：eq\b\lc\[\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2），＋∞))類型一利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小例1（1）已知a＝0。771。2，b＝1。20.77，c＝π0，則a，b,c的大小關(guān)系是(）A．a(chǎn)＜b＜cB．c＜b＜aC．a(chǎn)＜c＜bD．c＜a＜b(2）已知a＝eq\f（\r（5）－1，2)，函數(shù)f（x)＝ax,若實數(shù)m，n滿足f（m)＞f(n)，則m，n的關(guān)系為()A．m＋n＜0B．m＋n＞0C．m＞nD．m＜n【解析】（1）a＝0。771。2，0＜a＜1，b＝1.20.77＞1，c＝π0＝1,則a＜c＜b.（2）因為0＜eq\f(\r(5)－1，2）＜1，所以f(x）＝ax＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（\r(5）－1,2）)）x在R上單調(diào)遞減，又因為f（m）＞f(n），所以m＜n，故選D?！敬鸢浮?1）C(2）D要比較大小，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性入手．也可找中間量來比較．方法歸納比較冪值大小的三種類型及處理方法跟蹤訓練1比較下列各題中兩個值的大小:（1）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（5,7)））－1.8與eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(5，7)））－2。5；（2)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2，3）））－0.5與eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（3，4））)－0。5；(3）0。20。3與0.30。2。解析：（1）因為0<eq\f（5，7）〈1，所以函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（5,7)）)x在其定義域R上單調(diào)遞減，又－1.8>－2.5，所以eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（5，7））)－1.8<eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（5，7）））－2.5。(2)在同一平面直角坐標系中畫出指數(shù)函數(shù)y＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(2，3）））x與y＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3,4)))x的圖象，如圖所示．當x＝－0。5時，由圖象觀察可得eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（2，3）)）－0.5>eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3，4）））－0.5。(3）因為0<0.2<0.3〈1，所以指數(shù)函數(shù)y＝0。2x與y＝0。3x在定義域R上均是減函數(shù)，且在區(qū)間（0，＋∞）上函數(shù)y＝0.2x的圖象在函數(shù)y＝0.3x的圖象的下方，所以0。20。2<0.30.2。又根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝0。2x的性質(zhì)可得0。20.3〈0.20.2,所以0。20.3〈0。30.2.底數(shù)相同，指數(shù)不同;底數(shù)不同，指數(shù)相同；底數(shù)不同，指數(shù)不同．類型二解簡單的指數(shù)不等式例2(1）不等式3x－2＞1的解為________；(2）若ax＋1＞eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)）)5－3x(a＞0，且a≠1)，求x的取值范圍．【解析】(1）3x－2＞1?3x－2＞30?x－2＞0?x＞2，所以解為（2,＋∞）．（2)因為ax＋1＞eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,a)））5－3x，所以當a＞1時，y＝ax為增函數(shù)，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.當0＜a＜1時，y＝ax為減函數(shù)，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.綜上，當a＞1時，x的取值范圍為（－∞，3），當0＜a＜1時，x的取值范圍為（3，＋∞）．【答案】（1）（2，＋∞）(2）見解析首先確定指數(shù)不等式對應函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性確定x的取值范圍．方法歸納解指數(shù)不等式應注意的問題（1)形如ax>ab的不等式，借助于函數(shù)y＝ax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a〉1與0<a<1兩種情況討論;(2）形如ax〉b的不等式，注意將b轉(zhuǎn)化為以a為底數(shù)的指數(shù)冪的形式，再借助于函數(shù)y＝ax的單調(diào)性求解．跟蹤訓練2（1）解不等式eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1，3))）≤3;(2）已知（a2＋2a＋3）x>(a2＋2a＋3）1－x，求x的取值范圍．解析：(1)eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,3)))＝（3－1)＝3，∴原不等式等價于3≤31.∵y＝3x是R上的增函數(shù),∴2－x2≤1。∴x2≥1，即x≥1或x≤－1?！嘣坏仁降慕饧莧x｜x≥1或x≤－1}．（2）∵a2＋2a＋3＝(a＋1)2＋2>1,∴y＝（a2＋2a＋3)x在R上是增函數(shù)．∴x〉1－x,解得x〉eq\f(1，2）.∴x的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1（x>\f(1,2))）））。(1）化成同底，確定指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．（2）判斷a2＋2a＋3的范圍．，類型三指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應用例3已知函數(shù)f(x）＝a－eq\f(1,2x＋1）(x∈R)．(1）用定義證明：不論a為何實數(shù),f(x)在(－∞，＋∞）上為增函數(shù)；（2)若f(x)為奇函數(shù)，求f（x)在區(qū)間[1，5］上的最小值．【解析】（1）證明:因為f（x）的定義域為R，任取x1〈x2，則f(x1）－f(x2)＝＝.因為x1〈x2，所以2－2<0，又(1＋2)(1＋2)>0.所以f(x1)－f（x2)〈0,即f（x1)<f（x2)．所以不論a為何實數(shù),f（x）在（－∞，＋∞）上為增函數(shù)．（2)因為f（x)在x∈R上為奇函數(shù)，所以f（0)＝0，即a－eq\f(1,20＋1)＝0,解得a＝eq\f(1,2）.所以f(x)＝eq\f(1，2）－eq\f(1，2x＋1），由(1）知，f(x)為增函數(shù)，所以f（x）在區(qū)間［1,5]上的最小值為f（1)．因為f（1）＝eq\f（1，2)－eq\f（1,3)＝eq\f（1，6），所以f(x）在區(qū)間［1,5］上的最小值為eq\f（1,6）。(1)用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性需4步：①取值；②作差變形；③定號；④結(jié)論.（2）先由f（x）為奇函數(shù)求a，再由單調(diào)性求最小值．方法歸納（1)求解含參數(shù)的由指數(shù)函數(shù)復合而成的奇、偶函數(shù)中的參數(shù)問題，可利用奇、偶函數(shù)的定義，根據(jù)f（－x）＝－f（x）或f（－x）＝f（x），結(jié)合指數(shù)運算性質(zhì)建立方程求參數(shù);（2）若奇函數(shù)在原點處有定義，則可利用f（0)＝0,建立方程求參數(shù)．跟蹤訓練3已知定義在R上的函數(shù)f(x）＝2x＋eq\f（a,2x），a為常數(shù)，若f（x)為偶函數(shù)，（1)求a的值;(2）判斷函數(shù)f(x）在(0,＋∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義給予證明;(3)求函數(shù)f（x）的值域．解析：（1)由f（x)為偶函數(shù)得對任意實數(shù)x都有2x＋eq\f(a，2x)＝eq\f（1，2x)＋a·2x成立，即2x（1－a)＝eq\f(1，2x）·(1－a），所以1－a＝0，所以a＝1。（2）由（1）知f(x)＝2x＋eq\f(1，2x)，f（x）在（0,＋∞)上單調(diào)遞增．證明如下：任取x2，x2∈(0，＋∞）且x1〈x2，則f(x1)－f（x2）＝2＋eq\f(1，2x1)－eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（2＋\f(1,2）））＝（2－2）＋eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2）－\f(1，2）））＝(2－2）＋eq\f(2－2,2·2）＝(2－2)eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（1－\f(1，2＋）)）＝(2－2)·eq\f（2－1，2），因為x1<x2，且x1，x2∈（0，＋∞），所以2〈2,2>1，所以f（x1)－f(x2)<0,即f(x1）〈f(x2）,所以f（x）在(0,＋∞)上單調(diào)遞增．（3）由(2)知f（x)在［0，＋∞)上單調(diào)遞增,又由f（x）為偶函數(shù)知函數(shù)f(x）在(－∞，0]上單調(diào)遞減，所以f(x)≥f（0）＝2.故函數(shù)f(x)的值域為［2，＋∞)．（1)由偶函數(shù)求a.(2)4步法證明f（x）在(0，＋∞)上的單調(diào)性．(3)利用單調(diào)性求最值，得值域．［基礎鞏固］(25分鐘,60分）一、選擇題(每小題5分，共25分)1．下列大小關(guān)系正確的是()A．0。43<30。4〈π0B．0.43<π0<30.4C．30。4<0。43〈π0D．π0〈30。4〈0.43解析：因為π0＝1，0。43<0.40＝1，30.4>30＝1,所以0.43<π0〈30。4，故選B。答案：B2．設f（x)＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)))｜x｜，x∈R，那么f（x）是(）A．奇函數(shù)且在(0，＋∞)上是增函數(shù)B．偶函數(shù)且在（0,＋∞)上是增函數(shù)C．奇函數(shù)且在（0，＋∞)上是減函數(shù)D．偶函數(shù)且在（0，＋∞)上是減函數(shù)解析：因為f（－x）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2）））｜－x｜＝eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，2）)）｜x|＝f(x），所以f（x）為偶函數(shù)．又當x〉0時,f（x）＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2））)x在（0,＋∞)上是減函數(shù)，故選D.答案：D3．已知1＞n＞m＞0，則指數(shù)函數(shù)①y＝mx，②y＝nx的圖象是（）解析:由1＞n＞m＞0可知兩曲線應為“下降”的曲線，故排除A，B,再由n＞m可知應選C。答案：C4．若eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,2）))2a＋1＜eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2））)3－2a，則實數(shù)a的取值范圍是(）A．（1，＋∞)B.eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1，2），＋∞）)C．（－∞，1）D.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－∞，\f（1，2）））解析：函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）))x在R上為減函數(shù),所以2a＋1＞3－2a，所以a＞eq\f(1,2).答案：B5．設x＞0,且1＜bx＜ax，則()A．0＜b＜a＜1B．0＜a＜b＜1C．1＜b＜aD．1＜a＜b解析：∵1＜bx，∴b0＜bx.又x＞0，∴b＞1?！遙x＜ax,∴eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(a,b））)x＞1,又x＞0，∴eq\f(a，b）＞1,∴a＞b，即1＜b＜a.答案：C二、填空題（每小題5分，共15分)6．三個數(shù)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3,7)）)，eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（3，7))）,eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（4，7）)）中，最大的是________，最小的是________．解析:因為函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（3,7)）)x在R上是減函數(shù),所以eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（3,7)）)>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3，7）))，又在y軸右側(cè)函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(3，7)））x的圖象始終在函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（4,7)））x的圖象的下方，所以eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(4，7)))〉eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(3,7））).即eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(4，7)))>eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3，7）））〉eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（3,7）)）。答案:eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(4，7))）eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3，7）))7．函數(shù)y＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1，2））)的單調(diào)增區(qū)間是________．解析:令t＝x2－4x＋3,則其對稱軸為x＝2.當x≤2時，t隨x增大而減小，則y增大，即y＝eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（1，2)))的單調(diào)增區(qū)間為（－∞，2］．答案：(－∞，2]8．已知f(x)＝a－x(a〉0且a≠1）,且f（－2)〉f(－3），則a的取值范圍是________．解析：f(x）＝a－x＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（1,a）））x，∵f(－2）〉f（－3），∴eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,a)）)－2〉eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,a）))－3,即a2>a3.∴a〈1，即0〈a〈1.答案:(0,1)三、解答題(每小題10分，共20分）9．比較下列各組值的大?。?1)1。8－0。1與1。8－0。2；（2）1。90.3與0.73。1;(3)a1。3與a2。5(a>0,且a≠1)．解析：(1）由于1.8>1，所以指數(shù)函數(shù)y＝1.8x，在R上為增函數(shù)．所以1.8－0.1>1.8－0。2。（2)因為1.90。3>1,0。73.1<1，所以1。90.3〉0.73.1。（3)當a>1時,函數(shù)y＝ax是增函數(shù)，此時a1。3<a2。5，當0〈a〈1時，函數(shù)y＝ax是減函數(shù)，此時a1.3>a2。5。故當0<a<1時，a1。3>a2.5，當a>1時，a1.3〈a2.5。10．函數(shù)f（x)＝eq\r(\f(2＋x,x－1）)的定義域為集合A,關(guān)于x的不等式eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，2）））2x>2－a－x(a∈R）的解集為B，求使A∩B＝B的實數(shù)a的取值范圍．解析：由eq\f（2＋x，x－1)≥0，解得x≤－2或x〉1，于是A＝(－∞，－2]∪(1，＋∞），eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,2))）2x>2－a－x?eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,2)))2x〉eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1，2)））a＋x?2x〈a＋x?x<a，所以B＝（－∞，a)．因為A∩B＝B，所以B?A，所以a≤－2,即a的取值范圍是（－∞,－2］．[能力提升］（20分鐘，40分)11．已知函數(shù)f(x）＝ax(a＞0，且a≠1)在(0，2)內(nèi)的值域是(1,a2)，則函數(shù)y＝f（x)的大致圖象是（）解析：對于函數(shù)f(x)＝ax,當x＝0時,f(0)＝a0＝1，當x＝2時，f(2）＝a2.由于指數(shù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù),則有a2＞1,即a＞1.所