信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換

信號與系統(tǒng)拉普拉斯變換本課件僅供大家學習學習學習完畢請自覺刪除謝謝本課件僅供大家學習學習學習完畢請自覺刪除謝謝優(yōu)點：求解比較簡單，特別是對系統(tǒng)的微分方程進行變換時，初始條件被自動計入，因此應用更為普遍。缺點：物理概念不如傅氏變換那樣清楚。2本章內容及學習方法

本章首先由傅氏變換引出拉氏變換，然后對拉氏正變換、拉氏反變換及拉氏變換的性質進行討論。本章重點在于，以拉氏變換為工具對系統(tǒng)進行復頻域分析。最后介紹系統(tǒng)函數(shù)以及H(s)零極點概念，并根據(jù)它們的分布研究系統(tǒng)特性，分析頻率響應，還要簡略介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。注意與傅氏變換的對比，便于理解與記憶。3一．從傅里葉變換到拉普拉斯變換則1．拉普拉斯正變換42．拉氏逆變換53．拉氏變換對6二．拉氏變換的收斂

收斂域：使F(s)存在的s的區(qū)域稱為收斂域。記為：ROC(regionofconvergence)實際上就是拉氏變換存在的條件；7u部分s平面收斂的情況：8u910例4時限信號的拉氏變換(如門信號)。整個s平面收斂的情況：這里只要不是無窮大，上式的分子就不等于無窮大，拉氏變換就存在。故其收斂域為整個s平面。例5下列信號的拉氏變換：

，故在整個s平面都不收斂。整個s平面都不收斂的情況：11uuuuuu:1213一般求函數(shù)的單邊拉氏變換可以不加注其收斂范圍。14三．一些常用函數(shù)的拉氏變換1.階躍函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)全s域平面收斂3.單位沖激信號154．tnu(t)165.復指數(shù)函數(shù)174.3拉氏變換的基本性質u18uuuuuu19“周期信號”的拉氏變換第一周期的拉氏變換時移特性無窮級數(shù)求和20時移特性例題【例1】已知【例2】21用時移性質求單邊信號抽樣后的拉氏變換2223復頻移特性舉例2425例：兩邊取拉氏變換：整理得：26電感元件的s域模型電感元件的s模型應用原函數(shù)微分性質設2728電容元件的s域模型電容元件的s模型29303132初值定理33終值存在的條件:證明：根據(jù)初值定理證明時得到的公式終值定理34初值定理舉例

即單位階躍信號的初始值為1。例2例1354.4拉普拉斯逆變換

由象函數(shù)求原函數(shù)的三種方法

部分分式法求拉氏逆變換

兩種特殊情況36F(s)的一般形式ai,bi為實數(shù)，m,n為正整數(shù)。分解零點極點37拉氏逆變換的過程38部分分式展開法(m<n)1.第一種情況：單階實數(shù)極點2.第二種情況：極點為共軛復數(shù)3.第三種情況：有重根存在39第一種情況：單階實數(shù)極點(1)找極點(2)展成部分分式(3)逆變換求系數(shù)40如何求系數(shù)k1,k2,k3``````？41第二種情況：極點為共軛復數(shù)共軛極點出現(xiàn)在42求f(t)43例題44F(s)具有共軛極點，不必用部分分式展開法求下示函數(shù)F(s)的逆變換f(t)：解：求得另一種方法453.第三種情況：有重根存在如何求k2?46如何求k2?設法使部分分式只保留k2，其他分式為047逆變換48一般情況求k11，方法同第一種情況：求其他系數(shù)，要用下式49F(s)的兩種特殊情況非真分式——

化為真分式＋多項式501.非真分式——真分式＋多項式作長除法512.含e-s的非有理式522*.已知某LTI系統(tǒng)的微分方程為若輸入，，，求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應、零狀態(tài)響應及全響應。系統(tǒng)頻域分析課堂練習：1.已知某LTI系統(tǒng)的階躍響應，若輸入，求該系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。534.5用拉氏變換法分析電路、s域元件模型主要內容：

用拉氏變換法求解瞬態(tài)電路的步驟微分方程的拉氏變換利用元件的s域模型分析求解瞬態(tài)電路54一、用拉氏變換法求解瞬態(tài)電路的步驟列s域方程(可以從兩方面入手)

列時域微分方程，用微積分性質求拉氏變換直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程求解s域方程，得到時域解答55二、微分方程的拉氏變換

若采用0-系統(tǒng)，求拉氏變換時減去的是信號在0-時刻的值；若采用0+系統(tǒng)，求拉氏變換時減去的是信號在0+時刻的值。56例4-4電路在t=0時開關閉合，求輸出信號Vc(t)。兩邊取拉氏變換：列寫微分方程：解得：求拉氏反變換：RCESVc(t)++--i(t)571358596061結論：分析電路時，采用0-系統(tǒng)求解瞬態(tài)電路更為簡便，只要知道起始狀態(tài)，就可以利用元件值和元件起始狀態(tài)，求出元件的s域模型。62三、利用元件的s域模型分析瞬態(tài)電路求響應的步驟：畫0-等效電路，求起始狀態(tài)；電路元件的s域模型→電路的s域等效模型；采用KVL和KCL，列出s域方程(代數(shù)方程)；解s域方程，求出響應的拉氏變換U(s)或I(s)；拉氏反變換求u(t)或i(t)。63元件的s域模型：6465

以上是電路定理的推廣，對于線性穩(wěn)態(tài)電路分析的各種方法都適用。66【例4-5-1】如圖所示，t<0開關S處于1的位置而且已經(jīng)達到穩(wěn)態(tài)；當t=0時,S由1轉向2。＋－RCe(t)=-Ee(t)=E＋－ic(t)i(t)S21675-2168697071例4-5-272（4）求反變換73求采用0-系統(tǒng)采用0+系統(tǒng)兩種方法結果一致。使用0-系統(tǒng)使分析各過程簡化。74(3)對微分方程兩邊取拉氏變換采用0-系統(tǒng)75采用0+系統(tǒng)(4)原方程取拉氏變換764.6系統(tǒng)函數(shù)777879808182838485系統(tǒng)函數(shù)課堂練習：

某級聯(lián)系統(tǒng)如下圖所示，已知，

，，試求、、級聯(lián)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及單位沖激響應。864.7由系統(tǒng)函數(shù)零、極點分布決定時域特性

沖激響應h(t)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)

從時域和變換域兩方面表征了同一系統(tǒng)的本性。

在s域分析中，借助系統(tǒng)函數(shù)在s平面零點與極點分布的研究，可以簡明、直觀地給出系統(tǒng)響應的許多規(guī)律。系統(tǒng)的時域、頻域特性集中地以其系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分布表現(xiàn)出來。主要優(yōu)點：1．可以預言系統(tǒng)的時域特性2．便于劃分系統(tǒng)的各個分量(自由/強迫，瞬態(tài)/穩(wěn)態(tài))3．可以用來說明系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)特性87在s平面上，畫出H(s)的零極點圖：

極點：用×表示，零點：用○表示1．系統(tǒng)函數(shù)的零、極點H(s)零、極點與h(t)波形特征的對應8889909192極點在左半平面見教材P223結論9394瞬態(tài)響應是指激勵信號接入以后，完全響應中瞬時出現(xiàn)的有關成分，隨著t增大，將消失。穩(wěn)態(tài)響應＝完全響應－瞬態(tài)響應左半平面的極點產(chǎn)生的函數(shù)項和瞬態(tài)響應對應。22595例4-7-2，教材習題2-6(1)給定系統(tǒng)微分方程試分別求它們的完全響應，并指出其零輸入響應，零狀態(tài)響應，自由響應，強迫響應各分量，暫態(tài)響應分量和穩(wěn)態(tài)響應分量。解：方程兩端取拉氏變換96零輸入響應／零狀態(tài)響應則

97穩(wěn)態(tài)響應／暫態(tài)響應，自由響應／強迫響應極點位于虛軸暫態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應H(s)的極點E(s)的極點自由響應強迫響應極點位于s左半平面教材P227984.8由系統(tǒng)函數(shù)零、極點分布決定頻域特性99H(s)和頻響特性的關系頻響特性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應——幅頻特性——相頻特性（相移特性）虛軸上的拉氏變換就是傅氏變換100幾種常見的濾波器101102103104討論H(s)的幾點位于s平面實軸的情況一階系統(tǒng)只含有一類儲能元件。轉移函數(shù)僅一個極點且位于實軸，一般形式為或。二階系統(tǒng)只含有兩類儲能元件。轉移函數(shù)的兩個極點都位于實軸。重點討論105例4-8-1確定圖示系統(tǒng)的頻響特性。106頻響特性分析X高通濾波器的截止頻率點107例4-8-2研究右圖所示RC低通濾波網(wǎng)絡的頻響特性。寫出網(wǎng)絡轉移函數(shù)表達式:108頻響特性

1094.11線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性一個穩(wěn)定系統(tǒng)對于有界激勵信號產(chǎn)生有界的響應函數(shù)穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質之一，系統(tǒng)是否穩(wěn)定與激勵情況無關系統(tǒng)沖激響應和系統(tǒng)函數(shù)能表征系統(tǒng)的穩(wěn)定性110可忽略111112113114115116117極點均在左半開平面1181191204.13拉氏變換和傅氏變換的關系s的實部12112212312412512629，求其傅氏變換。127以上兩種方法的結果完全相同12812913030131132電路s域分析課堂練習1：

求解下圖所示電路的回路電流，已知電感上的初始儲能為，激勵信號