2022-2023學(xué)年四川省綿陽市高一年級上冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年四川省綿陽市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則下列選項正確的是（

）A． B． C． D．C【分析】求出集合A的元素，根據(jù)元素和集合的關(guān)系以及集合間的關(guān)系，即可判斷出答案.【詳解】由題意知集合，故，A錯誤；，B錯誤；，C正確；，D錯誤,故選：C.2．下列命題中正確的是（

）A．存在，使得x同時被2和3整除 B．有的三角形沒有外接圓C．冪函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù) D．任何實(shí)數(shù)都有算術(shù)平方根A【分析】利用特殊值判斷A，根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)判斷B，根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷C，根據(jù)算術(shù)平方根的定義判斷D；【詳解】解：對于A：當(dāng)時，因為同時被和整除，故存在，使得同時被和整除，故A正確；對于B：任意三角形均有外接圓，故B錯誤；對于C：冪函數(shù)在內(nèi)是增函數(shù)，故C錯誤；對于D：負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，故D錯誤；故選：A3．若，則下列選項錯誤的是（

）A． B． C． D．C【分析】A.根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷；B.利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷；C.舉例當(dāng)時來判斷；D.利用的單調(diào)性判斷.【詳解】因為，則A.，則，，，A正確；B.在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，B正確；C.當(dāng)時，，C錯誤；D.當(dāng)時，，D正確；故選：C.4．全稱量詞“.”的否定為（

）A． B． C． D．D【分析】根據(jù)含有一個量詞的命題的否定，即可判斷答案.【詳解】全稱量詞“.”的否定為存在量詞，故選：D.5．下列選項中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（

）A． B． C． D．D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義逐一判斷各個選項即可.【詳解】解：對于A，函數(shù)在上遞減，故A不符題意；對于B，函數(shù)在上是減函數(shù)，故B不符題意；對于C，函數(shù)，因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故C不符題意；對于D，函數(shù)，因為為奇函數(shù)，由函數(shù)在上遞增，且，函數(shù)在上連續(xù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，故D符合題意.故選：D.6．若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（

）A． B． C． D．B【分析】結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性求得的取值范圍．【詳解】函數(shù)的對稱軸為，由于在上是單調(diào)函數(shù)，所以，即．故選：B．7．如圖，函數(shù)與的部分圖象分別為，則正確的是（

）A． B．C． D．D【分析】根據(jù)的單調(diào)性，結(jié)合，，可解得答案．【詳解】由圖可知：在時是增函數(shù)，則，即；又，即．綜上，．在時是減函數(shù)，則，即；又，則，綜上，．故選：D．8．三個數(shù)之間的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．C【分析】首先將化簡，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.【詳解】，設(shè)，此函數(shù)在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，∵∴∴.故選：C.二、多選題9．下列選項中，滿足p是q的充分條件的是（

）A． B． C． D．ABC【分析】根據(jù)充分條件的定義依次判斷各選項即可.【詳解】對于A，由可推出，所以是的充分條件，A正確，對于B，由可推出，所以是的充分條件，B正確，對于C，由可推出，所以是的充分條件，C正確，對于D，當(dāng)，時，，但是，所以不是的充分條件，D錯誤，故選：ABC.10．設(shè)m，n是方程的兩根，則下面各式值等于8的有（

）A． B． C． D．BD【分析】根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可求，，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算判斷各選項對錯.【詳解】因為m，n是方程的兩根，所以由根于系數(shù)關(guān)系可得，，所以，，，，所以B，D正確，故選：BD.11．某外貿(mào)公司在30天內(nèi)A商品的銷售價格P（元）與時間t（天）的關(guān)系滿足下方圖象所示的函數(shù)，A商品的銷售量Q（萬件）與時間t（天）的關(guān)系為，則下列說法正確的是（

）A．第15天的銷售額最大 B．第20天的銷售額最大C．最大銷售額為125萬元 D．最大銷售額為120萬元AC【分析】由函數(shù)圖象利用待定系數(shù)法求出銷售價格P（元）關(guān)于時間t（天）的函數(shù)解析式，再求銷售額關(guān)于t的函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求其最大值.【詳解】由圖象可得當(dāng)時，可設(shè)，根據(jù)圖象知過點(diǎn)，所以，解得，所以，當(dāng)，可設(shè)，根據(jù)圖象知過點(diǎn)，所以解得，所以，綜上可得，，又，設(shè)第天的銷售額為，則，化簡可得當(dāng)時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；當(dāng)時，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；’綜上可得，第15日的銷售額最大，最大值為125萬元，故選：AC.12．定義在R上的函數(shù)，對任意的，都有，且當(dāng)時，恒成立，下列說法正確的是（

）A． B．函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為C．函數(shù)為奇函數(shù) D．函數(shù)為R上的增函數(shù)ACD【分析】利用賦值法求，判斷A，通過賦值，結(jié)合奇函數(shù)的定義判斷C，根據(jù)單調(diào)性的定義判斷BD.【詳解】因為對任意的，都有，取，可得，所以，A正確；取，可得，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，C正確；任取實(shí)數(shù)，且，則，因為，所以，又當(dāng)時，恒成立，所以，所以，所以，所以函數(shù)為R上的增函數(shù)，D正確，B錯誤，故選：ACD.三、填空題13．已知集合，，則______.【分析】化簡集合，結(jié)合交集的定義求即可.【詳解】不等式的解集為，所以，又，所以，故答案為.14．已知函數(shù)，則______．【分析】利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】函數(shù)，，．故．15．若奇函數(shù)在上的值域為，則該函數(shù)在區(qū)間上的值域為______．【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求解即可．【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，∵函數(shù)在上的值域為，∴該函數(shù)在區(qū)間上的值域為．故．16．某學(xué)校計劃在運(yùn)動場內(nèi)規(guī)劃面積為的矩形區(qū)域ABCD用于全校師生核酸檢測.矩形區(qū)域內(nèi)布置成如右圖所示的三個檢測點(diǎn)（陰影部分）.已知下方是兩個相同的矩形檢查點(diǎn)，每個檢測點(diǎn)區(qū)域四周各留下寬的間隔，若上方矩形寬LO是下方矩形邊長EH的一半，為使三個檢測點(diǎn)面積之和達(dá)到最大值，則______m.【分析】設(shè)，，利用變量，表示三個檢測點(diǎn)的面積和，結(jié)合矩形的面積為，利用基本不等式求其最大值，由此確定.【詳解】設(shè)，，則，，，，所以三個檢測點(diǎn)面積之和，因為矩形的面積為，所以，所以，所以，令，則，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即時，三個檢測點(diǎn)面積之和達(dá)到最大值，此時，故答案為.四、解答題17．已知集合.(1)當(dāng)時，求；(2)若，且是的真子集，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.(1)，或(2)【分析】（1）解一元二次不等式求得集合B，可得其補(bǔ)集；根據(jù)集合的并集運(yùn)算可得；（2）根據(jù)包含關(guān)系，列出相應(yīng)的不等式組，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1）或，

當(dāng)時，，∴，或.（2）∵，A是的真子集，又，，∴,

解得,∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.18．《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（以幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問題的重要依據(jù)，利用這一方法，很多代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實(shí)現(xiàn)證明．現(xiàn)有如圖所示圖形，點(diǎn)F在半圓O上，且，點(diǎn)C在線段OB上．設(shè)，．結(jié)合該圖形解答以下問題：(1)用a，b表示OF，OC，F(xiàn)C；(2)根據(jù)OF與FC的大小關(guān)系，結(jié)合（1）的結(jié)論可得到什么不等式？并證明是該不等式取等號的充要條件．(1)，，；(2)，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號；證明見解析【分析】（1）根據(jù)圖形在結(jié)合勾股定理求解即可.（2）首先根據(jù)題意得到，再證明充分性和必要性即可.【詳解】（1）因為，，可得圓O的半徑為，又由，在直角中，可得，．（2）因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．充分性：當(dāng)時，，，所以；必要性：當(dāng)時；平方得：，所以，所以．19．已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在上單調(diào)遞增.(1)求m和n的值；(2)求滿足不等式的a的取值范圍.(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)可得，求得m,結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)即可求得n的值;（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得，利用函數(shù)的性質(zhì)，可得關(guān)于a的不等式，求得答案.【詳解】（1）∵是冪函數(shù)，∴，解得m=3.由在上單調(diào)遞增得，解得.∵，∴或.當(dāng)時，函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，符合題意.當(dāng)時，函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，不合題意.綜上，，.（2）由（1）得，，∴.∵函數(shù)在和上均單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，.∴滿足不等式的條件為或或，解得或，∴滿足不等式的的取值范圍.20．已知關(guān)于x的不等式的解集為或.(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的值域.(1)(2)【分析】(1)根據(jù)一元二次不等式的解集與一元二次方程的解的關(guān)系列方程求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求值域.【詳解】（1）因為不等式的解集為或，所以，，為方程的根，且，所以，，所以，，（2）由(1)，任取實(shí)數(shù)，，設(shè)，則當(dāng)時，，，，所以，當(dāng)時，，，，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以函數(shù)，的值域為.21．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，年固定成本為300萬元，可變成本（萬元）與年產(chǎn)量x（件）的關(guān)系為，每件產(chǎn)品的售價為50萬元，且工廠每年生產(chǎn)的產(chǎn)品都能全部售完.(1)將年盈利額W（萬元）表示為年產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；(2)求年盈利額的最大值及相應(yīng)的年產(chǎn)量.(1)(2)當(dāng)年產(chǎn)量為件時該廠盈利額最大，最大為萬元【分析】（1）分兩種情況進(jìn)行研究，當(dāng)時，可變成本，根據(jù)年盈利額=銷售收入-成本，列出函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)時，變成本，根據(jù)年盈利額=銷售收入-成本，列出函數(shù)關(guān)系式，最后寫成分段函數(shù)的形式，從而得到答案；（2）根據(jù)年盈利額的解析式，分段研究函數(shù)的最值，當(dāng)時，利用二次函數(shù)求最值，當(dāng)0時，利用基本不等式求最值，最后比較兩個最值，即可得到答案．【詳解】（1）解：當(dāng)時，當(dāng)時，.∴（2）解：①當(dāng)時，，∴當(dāng)時，取得最大值，最大值為900.②當(dāng)時，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最大值，最大值為.綜上，當(dāng)年產(chǎn)量為件時該廠盈利額最大，最大為萬元.22．設(shè)函數(shù)（，且）.(1)若，用定義證明為上的增函數(shù)；(2)已知，函數(shù)，若函數(shù)在上的最小值