趣味數(shù)學(xué)123課件

請(qǐng)問：紙牌這兩面的句子是對(duì)是錯(cuò)？引例：紙牌的一面寫著：“紙牌反面的句子是對(duì)的。”而另一面卻寫著：“紙牌反面的句子是錯(cuò)的。”

悖論

數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)孔婧竹悖論

（一）概念（二）類型（三）經(jīng)典數(shù)學(xué)悖論悖論

（一）概念（二）類型（三）經(jīng)典數(shù)學(xué)悖論（二）類型

悖論主要有邏輯悖論、概率悖論、幾何悖論、統(tǒng)計(jì)悖論和時(shí)間悖論等。邏輯悖論

最著名的邏輯悖論是伯特納德·羅素提出的理發(fā)師悖論。一個(gè)理發(fā)師的招牌上寫著：城里所有不自己刮臉的男人都由我給他們刮臉，我也只給這些人刮臉。誰給這位理發(fā)師刮臉呢？伯特納德·羅素提出這個(gè)悖論，為的是把他發(fā)現(xiàn)的關(guān)于集合的一個(gè)著名悖論用故事通俗地表述出來。概率悖論

概率悖論出自法國(guó)數(shù)學(xué)家莫里斯·克萊特契克，在他的《數(shù)學(xué)消遣》書中寫道：“有兩個(gè)人都聲稱他的領(lǐng)帶好一些。他們叫來了第三個(gè)人，讓他作出裁決到底誰的好。勝者必須拿出他的領(lǐng)帶給敗者作為安慰。兩個(gè)爭(zhēng)執(zhí)者都這樣想：我知道我的領(lǐng)帶值多少。我也許會(huì)失去它，可是我也可能贏得一條更好的領(lǐng)帶，所以這種比賽是對(duì)我有利。一個(gè)比賽怎么會(huì)對(duì)雙方都有利呢？幾何悖論

幾何悖論所構(gòu)造的圖案是僅存在于2維平面世界里的圖形，是一種通過素描，線描等立體繪畫手法表現(xiàn)出3維立體世界中不可能存在的圖像?！安豢赡芘_(tái)階”是由英國(guó)遺傳學(xué)家列昂尼爾·S·彭羅斯和他的兒子，數(shù)學(xué)家羅杰爾·彭羅斯發(fā)明的，后者于1958年把它公布于眾，人們常稱這臺(tái)階為“彭羅斯臺(tái)階”。在這個(gè)臺(tái)階里，永遠(yuǎn)找不到最高階和最低階，“不可能臺(tái)階”永遠(yuǎn)沒有盡頭。。。。。。統(tǒng)計(jì)悖論

假定有三個(gè)人—阿貝爾、伯恩斯和克拉克競(jìng)選總統(tǒng)。民意測(cè)驗(yàn)表明，選舉人中有2/3愿意選A不愿選B，有2/3愿選B不愿選C。是否愿選A不愿選C的最多？不一定！如果選舉人下表那樣排候選人，就會(huì)引起一個(gè)驚人的逆論。三分之一的人，對(duì)選舉人的喜好是：A，B，C；另外三分之一的人，對(duì)選舉人的喜好是：B，C，A；最后三分之一的人，對(duì)選舉人的喜好是：C，A，B。所以，有2/3寧愿選A而不愿選B；同樣，有2/3寧愿選B而不愿選C；有2/3寧愿選C而不愿選A！

a>b,b>c,則a>c這個(gè)悖論可追溯到18世紀(jì)，選舉悖論使人迷惑，是因?yàn)槲覀円詾椤昂脨骸标P(guān)系總是可傳遞的，但實(shí)際上它是一個(gè)非傳遞關(guān)系的典型。這條悖論有時(shí)稱為阿洛悖論，肯尼思·阿洛曾根據(jù)這條悖論和其他邏輯理由證明了，一個(gè)十全十美的民主選舉系統(tǒng)在原則上是不可能實(shí)現(xiàn)的，他因此而分享了1972年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)金。時(shí)間悖論

有關(guān)時(shí)間的悖論，最著名的是“芝諾悖論”。二分法。物體在到達(dá)目的地之前必須先到達(dá)全程的一半，這個(gè)要求可以無限的進(jìn)行下去，所以，如果它起動(dòng)了，它永遠(yuǎn)到不了終點(diǎn)，或者，它根本起動(dòng)不了。

問題的解決：這就是極限理論的誕生。十九世紀(jì)初，法國(guó)科學(xué)家以柯西為首建立了極限理論，后來又經(jīng)過德國(guó)數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步的嚴(yán)格化，使極限理論成為微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ)，運(yùn)動(dòng)問題也得到了合理的解釋。可以想見，在微積分和極限理論發(fā)明或被接受以前，人們很難解釋這一運(yùn)動(dòng)佯謬。感官不同于思維，當(dāng)希臘人用概念來判決現(xiàn)實(shí)的時(shí)候，如果邏輯與現(xiàn)實(shí)發(fā)生矛盾，芝諾指責(zé)感官為“欺騙”。

在這個(gè)前提下，有多種“時(shí)間悖論”的表達(dá)方式。最為著名的“時(shí)間悖論”一般稱為“祖父悖論”：某人回到過去，在自己父親出生前殺害了自己的祖父。既然祖父已死，就不會(huì)有其父親，也不會(huì)有他；既然他不存在，又怎么能回到過去，殺死自己的祖父呢？

就嚴(yán)肅的物理學(xué)理論而言，愛因斯坦的《相對(duì)論》指出，的確存在不違背已知的物理法則改變時(shí)間的可能性。但更多的只是一種科學(xué)幻想。為了解決“時(shí)間悖論”，也有多種假設(shè)，比如比較盛行的“平行宇宙”假說，認(rèn)為我們的這個(gè)世界在宇宙中還有許多相似的“克隆世界”，當(dāng)某人回到過去時(shí)，他就進(jìn)入了另一個(gè)平行世界（即未來因?yàn)樗男袆?dòng)已經(jīng)改變的世界），再也不可能回到原來的世界。悖論（一）概念（二）類型（三）經(jīng)典數(shù)學(xué)悖論1-2我國(guó)古代的詭辯：鄧析贖尸詭論(《呂氏春秋》)鄧析生在春秋末年，與老子和孔子基本同時(shí)，是戰(zhàn)國(guó)名家的鼻祖，著名的訟師，他的著作已經(jīng)失傳。后來，鄧析被殺，就是因?yàn)樽赢a(chǎn)認(rèn)為他“以非為是，以是為非，是非無度，而可與不可日變”?？梢?，鄧析是一個(gè)沒有原則的人。身為訟師，鄧析善于辭辯，而不跳出詭論尋找客觀的解決辦法。嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评砉倘痪哂姓f服性，但最終還是要回到現(xiàn)實(shí)中來。2.“羅素是教皇”從單純的邏輯上來講，荒謬的假設(shè)可以推論出任何荒謬的結(jié)論，哪怕推理過程無懈可擊。有人曾經(jīng)讓羅素證明從“２＋２＝５”推出“羅素是教皇”。4?！皝喞锼苟嗟率穷惛拍睢边@是嚴(yán)格按照三段論推導(dǎo)出來的結(jié)果。請(qǐng)看：（１）亞里斯多德是哲學(xué)家，（２）哲學(xué)家是類概念，（３）所以，亞里斯多德是類概念。

語句（１）中的哲學(xué)家和語句（２）中的“哲學(xué)家”不在一個(gè)層次上，前者是對(duì)象概念，后者是元概念。兩個(gè)前提內(nèi)涵不一致，結(jié)論就荒謬了。從根本上來講這不是一個(gè)語言或語法問題，而是一種邏輯錯(cuò)誤。5.連鎖悖論：即由于未定義“類”而導(dǎo)致的悖論谷“堆”的定義如果１粒谷子落地不能形成谷堆，２粒谷子落地不能形成谷堆，３粒谷子落地也不能形成谷堆，依此類推，無論多少粒谷子落地都不能形成谷堆。從真實(shí)的前提出發(fā)，用可以接受的推理，但結(jié)論則是明顯錯(cuò)誤的。它說明定義“堆”缺少明確的邊界，解決它的辦法就是引進(jìn)一個(gè)模糊的“類”。以上都是流傳很廣的常見悖論。大家不要以為悖論是錯(cuò)誤的，所以它的存在會(huì)讓數(shù)學(xué)往相反的方向走去。其實(shí)恰恰相反，它的存在會(huì)讓數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)越來越堅(jiān)固。一些悖論之所以會(huì)出現(xiàn)，并非惡意，是由于實(shí)際上數(shù)學(xué)上尚存在這個(gè)漏洞，比如說集合論里的“羅素悖論”，它的消除使得集合論更加健全！悖論是屬于領(lǐng)域廣闊、定義嚴(yán)格的數(shù)學(xué)分支的一個(gè)組成部分，這一分支以“趣味數(shù)學(xué)”知名于世。歐拉就是通過對(duì)bridge-crossing之謎的分析打下了拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)。萊布尼茨也寫到過他在獨(dú)自玩插棍游戲（一種在小方格