數(shù)學建模第一講：對變化建模課件

數(shù)學建模河南財經(jīng)政法大學數(shù)學系任煜東電話言為了更好的了解世界，人們常常用數(shù)學（如函數(shù)或方程）來描述某種特定的現(xiàn)象，稱為數(shù)學模型。數(shù)學模型是現(xiàn)實世界的理想化，但永遠不會精確表示現(xiàn)實世界。盡管任何模型都有局限性，但好的模型能夠提供有價值的結(jié)果和結(jié)論。第一章對變化建模數(shù)學模型實際問題的數(shù)據(jù)模型預測、解釋數(shù)學結(jié)論簡化分析闡明驗證數(shù)學模型可以看作是為了研究一種特定的實際系統(tǒng)而設計的數(shù)學結(jié)構(gòu)。從模型中，可以得出一些數(shù)學結(jié)論，幫助決策者規(guī)劃未來。簡化：

定義：兩個變量y和x是成比例的，如果一個變量總是另一個變量的常數(shù)倍。即：如果對某個非零常數(shù)k，有記為：兩個變量成比例的驗證方法：圖形近似位于通過原點的直線上。多數(shù)模型對實際問題進行了簡化。一般情況下，模型只能近似表示現(xiàn)實對象。一種強有力的簡化關系是比例性。例1：測試的比例性關于彈簧的伸長和彈簧末端質(zhì)量，收集到如下數(shù)據(jù)：m50100150200250e11.882.753.254.383003504004505005504.885.686.507.258.008.75e未來值=現(xiàn)在值+變化變化=未來值-現(xiàn)在值而對于變化，先可以按照如下公式來研究對變化進行建模如果變化是在“離散時間段”上發(fā)生，可以構(gòu)成差分方程。如果變化在“連續(xù)時間段”上發(fā)生，可以構(gòu)成微分方程。預測未來的范例是：也就是說，根據(jù)現(xiàn)在知道的東西加上變化，可以預測未來。根據(jù)收集的數(shù)據(jù)，識別出變化趨勢的模式，就可以預測未來值這兩者都是描述和預測行為變化的強有力的方法。本章學習差分方程1.1、用差分方程對變化進行建模定義：數(shù)列一階差分是對于正整數(shù)n，第n個一階差分是差分表示在一個時間周期里考察對象的變化量。下標n通常代表時間(n+1)-n=一個時間周期例1儲蓄存單考慮一個1000元的儲蓄存單在單月利率1%的條件下的累積價值。用數(shù)列表示該儲蓄單逐月的價值為：A={1000，1010，1020.10，1030.30……}一階差分為：注：一階差分表示在一個時間周期里數(shù)值的變化。此例中表示所得的利息。第n月價值的變化(利息的增長）表示為:這個表達式改寫為：于是得出模型：以上模型表示無窮多個代數(shù)方程，稱為動力系統(tǒng)。上例中，如果每月要從賬戶中提取50元，則一個周期里存款的變化為：我們需要找出描述變化的這一函數(shù)f。這個函數(shù)往往不像上面的例子那樣精確，常常需要畫出圖形，觀察模式，然后用數(shù)學術(shù)語來描述。變化==

某一個函數(shù)

f描述變化的函數(shù)f可以是前一項的的函數(shù)（沒有月提款的情形），也可能包含外來項（如提款數(shù)，或關于n的表達式等）。通過表示或近似表示從一個周期到下一個周期的變化，可以構(gòu)建差分方程。如：即：該周期的利息減去月提款。一般情況下，差分方程為：用一條過原點的直線來近似，擬合出直線斜率k=0.5。預測出：這個模型預測出種群總是生長，與事實不符。于是，模型為：模型的改進：對出生、死亡和資源的建模由于資源的限制，種群數(shù)量接近最大限度時，增長就會慢下來

例2:(再論酵母培養(yǎng)物的成長)以下數(shù)據(jù)是在一個受限制的區(qū)域里對酵母培養(yǎng)物的觀察，次數(shù)超過8次，npn09.68.7118.310.7229.018.2347.223.9471.148.05119.155.56174.682.77257.393.48350.790.39441.072.310513.346.411559.735.112594.834.613629.411.414640.810.315651.14.816655.93.717659.62.218661.8當資源受到限制時，種群量趨于一個極限值。

此動力系統(tǒng)為非線性的，一般不能給出解析解，但可用迭代的方法給出數(shù)值解n觀測預測09.69.6118.314.8229.022.6347.234.5471.152.45119.178.76174.6116.67257.3169.08350.7237.89441.0321.110513.3411.611559.7497.112594.8565.613629.4611.714640.8638.415651.1652.316655.9659.117659.6662.318661.8663.8“o”表示觀測值，“*”表示預測值。1.3動力系統(tǒng)的解法1.3.1線性系統(tǒng)定理1對任何非零常數(shù)r,線性系統(tǒng)的解為其中是給定的初值。例1(污水處理)一家污水處理廠每小時去掉處理池中污物的12%,一天后處理池中將剩下百分之幾的污物？要多長時間才能把污物的量減少一半？要把污物的量減少到原來的10%，要多長時間？解設一開始的量為n小時后的量為建立模型：解為：一天后的含量為：即去除95%以上的污物當時，最初的污物剩下一半。由得即大約需要5.42小時為把90%的污物去掉,需要求：得：1.3.2線性系統(tǒng)的長期趨勢的長期趨勢r=0所有值為0（首項可能例外）r=1所有初值都是常數(shù)解r<0震蕩|r|<1衰減到極限值為0|r|>1無限增長1.3.3、形為的動力系統(tǒng),其中r和b均為常數(shù)定義：當時，如果對所有的k=1，2，3…有則將數(shù)a稱為動力系統(tǒng)的平衡點或不動點。是該動力系統(tǒng)的常數(shù)解。即推論：a是動力系統(tǒng)的不動點當且僅當時1.3.4、通過三個例子了解動力系統(tǒng)的長期趨勢例1地高辛的處方

假定地高辛在血液中的濃度每天遞減到前一天的50%，每天增加0.1毫克的處方，得到一個動力系統(tǒng)：考慮三個初始值：1、0.2是一個平衡點，一旦達到了這個值，系統(tǒng)永遠停留在0.2處ABCnananan00.10.20.310.150.20.2520.1750.20.22530.18750.20.212540.193750.20.2062550.1968750.20.20312560.19843750.20.201562570.199218750.20.2007812580.199609380.20.2003906390.199804690.20.20019531100.199902340.20.20009766110.199951170.20.20004883120.199975590.20.20002441130.199987750.20.20001221140.19999390.20.2000061150.199996950.20.200003052、不管起始值低于或高于平衡點，最終都會趨向于平衡點例2投資年金年金是對現(xiàn)有的存款付給利息而且允許每月有固定數(shù)額的提款，直到提盡為止?，F(xiàn)在考慮月利率為1%以及月提款額為1000元的情形，動力系統(tǒng)為：假定初始投資為：ABCnananan0900001000001100001899001000001101002897991000001102013896971000001103034895941000001104065894901000001105106893851000001106157892791000001107218891711000001108299890631000001109371088954100000111046118884310000011115712887321000001112681388619100000111381148850510000011149515883901000001116101、10000是一個平衡點，一旦達到這個值，系統(tǒng)以后的值都取它。2、起始值高于平衡點，系統(tǒng)會無限增長。起始值低于平衡點，存款以不斷增加的速率被取盡。3、此時稱該平衡點是不穩(wěn)定的。從以上例子看出，動力系統(tǒng)設a是動力系統(tǒng)的平衡點，則對所有n，代入上式得：解得：定理2：動力系統(tǒng)的平衡點是：如果每個數(shù)都是平衡點不存在平衡點的長期趨勢分三種情況穩(wěn)定平衡點，不穩(wěn)定平衡點，無平衡點。1.3.5、求平衡點并分類按照常數(shù)r的值對于動力系統(tǒng)對長期趨勢的性質(zhì)分類如下：動力系統(tǒng)r的值長期趨勢|r|<1穩(wěn)定平衡點|r|>1不穩(wěn)定平衡點r=1沒有平衡點例：再論投資年金：月利率1%，月提款1000元，需要多少初始投資才能保證20年（240月）才把它用盡解：該動力系統(tǒng)的平衡點10000要求：即：初始投資90819.42元就能使20年里從賬戶每月提取1000元。20年底賬戶存款被取盡非線性動力系統(tǒng)，混沌從上面的討論可知，動力系統(tǒng)的長期趨勢對初始值及參數(shù)r的值可能很敏感。簡單運算后改寫為：從0.1開始，對不同的r值，數(shù)值解圖形如下：看酵母菌生物量的模型：震蕩的趨于一個約為0.65的極限值震蕩趨于兩個值0.5和0.8.這種周期行為稱為2-循環(huán)4——循環(huán)什么模式都沒有，不可能預測長期趨勢。這種現(xiàn)象稱為混沌總結(jié)：對于一個由差分建立的動力系統(tǒng)，我們要：求出平衡點，然后從平衡點附近的起始值進行探究。從一個靠近平衡點的起始值開始，我們要知道該系統(tǒng)是否：a、仍然靠近平衡點b、趨近于該平衡點平衡點附近會發(fā)生什么將提供對該系統(tǒng)的長期趨勢的洞察。c、不再靠近平衡點b、建模中用到的比例常數(shù)的微小變化敏感嗎？例如：該動力系統(tǒng)有周期行為嗎？有震蕩行為嗎？由數(shù)值解描述的長期趨勢，對a：初始條件差分方程組例1汽車租賃公司一家汽車租賃公司在A、B兩市都有分公司。這家公司是專門為滿足在這兩個城市之間開展旅游活動的旅行社的需要而開設的。游客可以在一個城市租車而在另一個城市還車。公司想確定這種方便的借還車方式的收費應該是多少。因為汽車可以在兩個城市歸還，每個城市都要有足夠的車輛以滿足用車需要。如果一個城市的車輛不夠了，要從另一個城市運送多少車輛過來呢？這些問題的回答有助于公司計算它的期望成本。歷史記錄顯示：從A市出租的車輛，有60%還到了A市，40%還到了B市。而B市出租的車中，有70%還到了B市，30%還到了A市。動力系統(tǒng)模型：n表示營業(yè)的天數(shù)。表示第n天結(jié)束時在A市的車輛數(shù)表示第n天結(jié)束時在B市的車輛數(shù)于是：平衡點：平衡點是系統(tǒng)不再發(fā)生變化的值稱為A和B。有：代入模型:解得：如果公司有7000輛車，開始時A市有3000輛車，系統(tǒng)將保持不變。下面探討從不同于平衡點的初始值開始迭代的長期趨勢：汽車租賃公司的四個起始值ABAB情形170000情形320005000情形250002000情形407000nAB07000014200280023360364033408389243032.43967.653009.723990.2863002.9163997.08473000.8753999.125nAB05000200013600340023180382033054394643016.23983.853004.863995.1463001.4583998.54273000.4373999.563nAB02000500012700430022910409032973402742991.91008.152997.574002.4362999.2714000.72972999.7814000.219nAB00700012100490022730427032919408142975.74024.352992.714007.2962997.8134002.18772999.3444000.656對初始條件的敏感性及長期趨勢：每一種情形在一周內(nèi)都和平衡點很接近，暗示平衡點穩(wěn)定且對初始條件不敏感?；谶@些研究，我們傾向于預測該系統(tǒng)趨于平衡點，3/7的車到A市而4/7的車到B市。這些信息對該公司是有幫助的。例2特拉法爾戰(zhàn)斗1805年法國、西班牙聯(lián)軍和英國海軍作戰(zhàn)，一開始法西聯(lián)軍有33艘戰(zhàn)艦，英國有27艘戰(zhàn)艦。在每一次遭遇戰(zhàn)中，每一方的戰(zhàn)艦損失都是對方戰(zhàn)艦的10%。動力系統(tǒng)模型：n表示戰(zhàn)斗過程中遭遇戰(zhàn)的階段表示第n階段英軍的戰(zhàn)艦數(shù)表示第n階段法西聯(lián)軍的戰(zhàn)艦數(shù)n英法12733223.730.3320.6727.93417.87725.863515.290724.0753612.883222.5462710.628521.257988.502820.195196.483219.3448104.548818.6965112.679118.2416經(jīng)過11次戰(zhàn)斗后，法西聯(lián)軍有18艘戰(zhàn)艦，而英軍有3艘戰(zhàn)艦且至少一艘重傷。分割并各個擊敗戰(zhàn)略：法軍33艘戰(zhàn)艦分為3個戰(zhàn)斗編組，一字排開：B=17，A=3，C=13英軍戰(zhàn)略：用13艘迎戰(zhàn)法軍A組，另外14艘備用然后用戰(zhàn)斗后存留下來的加上備用的迎戰(zhàn)B組，最后所有剩下的迎戰(zhàn)C組。加設每次損失對方戰(zhàn)艦數(shù)的5%（增加圖解效果），結(jié)果如下：戰(zhàn)斗An英法1133212.852.35312.73251.7075412.64711.07088戰(zhàn)斗Bn英法126.647118.0709225.7