康托爾的集合論課件

康托爾與集合論主要內(nèi)容簡(jiǎn)介集合論誕生歷程三次數(shù)學(xué)危機(jī)集合論趨于完善啟發(fā)簡(jiǎn)介格奧爾格·康托爾格奧爾格·康托爾（Cantor，GeorgFerdinandLudwigPhilipp，1845.3.3-1918.1.6）德國(guó)數(shù)學(xué)家，19世紀(jì)數(shù)學(xué)偉大成就之一——集合論的創(chuàng)立人。生于俄國(guó)圣彼得堡（今俄羅斯列寧格勒）。父親是猶太血統(tǒng)的丹麥商人，母親出身藝術(shù)世家。1856年全家遷居德國(guó)的法蘭克福。先在一所中學(xué)，后在威斯巴登的一所大學(xué)預(yù)科學(xué)校學(xué)習(xí)?？低袪栂群缶蛯W(xué)于蘇黎世大學(xué)、哥廷根大學(xué)、法蘭克福大學(xué)和柏林大學(xué)，主要學(xué)習(xí)哲學(xué)、數(shù)學(xué)和物理。集合論誕生歷程

集合論研究的開端：十九世紀(jì)初，許多迫切問題得到解決后，出現(xiàn)了一場(chǎng)重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的運(yùn)動(dòng)。正是在這場(chǎng)運(yùn)動(dòng)中，康托爾開始探討了前人從未碰過的實(shí)數(shù)點(diǎn)集。1874年，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾在著名的《克雷爾數(shù)學(xué)雜志》上發(fā)表了關(guān)于無窮集合論的第一章革命性文章。從1874年到1884年，康托爾的一系列關(guān)于集合的文章，奠定了集合論的基礎(chǔ)。他對(duì)集合所下的定義是：把若干確定的、有區(qū)別的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個(gè)整體，其中各事物稱為該集合的元素。格奧爾格·康托爾集合是數(shù)學(xué)的一個(gè)基本分支，在數(shù)學(xué)中占據(jù)著一個(gè)極其獨(dú)特的地位，其基本概念已滲透到數(shù)學(xué)的所有領(lǐng)域。如果把現(xiàn)代數(shù)學(xué)比作一座無比輝煌的大廈，那么可以說集合論正是構(gòu)成這座大廈的基石，由此可見它在數(shù)學(xué)中的重要性。其創(chuàng)始人康托爾也以其集合論的成就被譽(yù)為對(duì)二十世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展影響最深的學(xué)者之一。集合集合論受排擠

如同每一個(gè)新事物的出現(xiàn)一樣，集合論一經(jīng)問世就遭到許多數(shù)學(xué)家及其他學(xué)者的激烈反對(duì)。當(dāng)時(shí)的權(quán)威數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克(Kronecker)非常敵視康托爾的集合論思想，時(shí)間達(dá)整整十年之久，法國(guó)數(shù)學(xué)大家龐加萊(Poincare)則預(yù)測(cè)后一代人將把集合論當(dāng)作一種疾病。在猛烈的攻擊下與過度的用腦思考中，康托爾本人一度成為這一激烈論爭(zhēng)的犧牲品，他得了精神分裂癥，幾次陷于精神崩潰。然而烏云遮不住太陽(yáng)，經(jīng)歷二十余年后，集合論最終獲得了世界公認(rèn)。

二十世紀(jì)初集合論已得到數(shù)學(xué)家們的贊同。數(shù)學(xué)家們樂觀地認(rèn)為從算術(shù)公理系統(tǒng)出發(fā)，只要借助集合論的概念，便可以建造起整個(gè)數(shù)學(xué)的大廈。在1900年第二次國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)上，著名數(shù)學(xué)家龐加萊就曾興高采烈地宣布“……數(shù)學(xué)已被算術(shù)化了。我們可以說，現(xiàn)在數(shù)學(xué)已經(jīng)達(dá)到了絕對(duì)的嚴(yán)格?！比欢@種自得的情緒并沒能持續(xù)多久。英國(guó)哲學(xué)家羅素(Russell)就很懷疑數(shù)學(xué)的這種嚴(yán)密性，他經(jīng)過三年的苦思冥想，于1902年找到了一個(gè)能證明自己觀點(diǎn)的簡(jiǎn)單明確的“羅素悖論”。不久，集合論是有漏洞的消息迅速就傳遍了數(shù)學(xué)界。集合論的漏洞羅素悖論

羅素悖論還有一些較為通俗的版本，如理發(fā)師悖論。在某個(gè)城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理發(fā)技藝十分高超，譽(yù)滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對(duì)各位表示熱誠(chéng)歡迎！”來找他刮臉的人絡(luò)繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長(zhǎng)了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。理發(fā)師悖論號(hào)稱“天衣無縫”、“絕對(duì)嚴(yán)密”的數(shù)學(xué)陷入了自相矛盾之中。從此整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)被動(dòng)搖了，由此引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。理發(fā)師悖論第二次數(shù)學(xué)危機(jī)無窮小量取值大小——源于微積分工具的使用。微積分在很多疑難問題運(yùn)用中及其簡(jiǎn)單，但是不論是牛頓，還是萊布尼茲所創(chuàng)立的微積分理論都不是嚴(yán)格的。對(duì)于無窮小量是不是0的看法引發(fā)了數(shù)學(xué)史上第二次危機(jī)。第三次數(shù)學(xué)危機(jī) 悖論的產(chǎn)生。在康托爾的集合論被公認(rèn)沒多久，1903年，一個(gè)震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論存在漏洞。這就是英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的羅素悖論。公理化集合論的誕生

危機(jī)產(chǎn)生后，眾多數(shù)學(xué)家投入到解決危機(jī)的工作中去。1908年，德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅羅(E.Zermelo)提出公理化集合論，試圖把集合論公理化的方法來消除悖論。他認(rèn)為悖論的出現(xiàn)是由于康托爾沒有把集合的概念加以限制，康托爾對(duì)集合的定義是含混的．策梅羅希望簡(jiǎn)潔的公理能使集合的定義及其具有的性質(zhì)更為顯然。策梅羅的公理化集合論后來演變成ZF或ZFS公理系統(tǒng)。從此原本直觀的集合概念被建立在嚴(yán)格的公理基礎(chǔ)之上，從而避免了悖論的出現(xiàn)。這就是集合論發(fā)展的第二個(gè)階段：公理化集合論。與此相對(duì)應(yīng)，在1908年以前由康托爾創(chuàng)立的集合論被稱為樸素集合論。公理化集合論是對(duì)樸素集合論的嚴(yán)格處理。它保留了樸素集合論的有價(jià)值的成果并消除了其可能存在的悖論，因而較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。公理化集合論的建立，標(biāo)志著著名數(shù)學(xué)家希耳伯特所表述的一種激情的勝利！啟發(fā)無論是康托爾，還是牛頓或者萊布尼茲，他們所創(chuàng)立的理論或者定理并非