高中數(shù)學(xué)求函數(shù)解析式解題方法大全與配套練習(xí)

..定義法：根據(jù)函數(shù)的定義求解析式用定義法。[例1]設(shè),求.=[例2]設(shè),求.解：設(shè)[例3]設(shè),求.解：又故[例4]設(shè).解：.待定系數(shù)法：〔主要用于二次函數(shù)已知函數(shù)解析式的類型,可設(shè)其解析式的形式,根據(jù)已知條件建立關(guān)于待定系數(shù)的方程,從而求出函數(shù)解析式。它適用于已知所求函數(shù)類型〔如一次函數(shù),二次函數(shù),正、反例函數(shù)等及函數(shù)的某些特征求其解析式的題目。其方法：已知所求函數(shù)類型,可預(yù)先設(shè)出所求函數(shù)的解析式,再根據(jù)題意列出方程組求出系數(shù)。[例1]設(shè)是一次函數(shù),且,求[解析]設(shè),則[例2]已知二次函數(shù)f〔x滿足f〔0=0,f〔x+1=f〔x+2x+8,求f〔x的解析式.解：設(shè)二次函數(shù)f〔x=ax2+bx+c,則f〔0=c=0①f〔x+1=a+b〔x+1=ax2+〔2a+bx+a+b②由f〔x+1=f〔x+2x+8與①、②得解得故f〔x=x2+7x.[例3]已知,求.解：顯然,是一個(gè)一元二次函數(shù)。設(shè)則又比較系數(shù)得：解得：三、換元〔或代換法：已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式時(shí),還可以用換元法求的解析式．用來(lái)處理不知道所求函數(shù)的類型,且函數(shù)的變量易于用另一個(gè)變量表示的問(wèn)題。使用換元法時(shí)要注意新元定義域的變化,最后結(jié)果要注明所求函數(shù)的定義域。如：已知復(fù)合函數(shù)f[g〔x]的解析式,求原函數(shù)f〔x的解析式,把g〔x看成一個(gè)整體t,進(jìn)行換元,從而求出f〔x的方法。實(shí)施換元后,應(yīng)注意新變量的取值范圍,即為函數(shù)的定義域.[例1]已知,求[解析]令,則,[例2]已知求.解：設(shè)則則[例3]設(shè),求.解：令又[例4]若〔1在〔1式中以代替得即〔2又以代替〔1式中的得：〔3[例5]設(shè),求。解：〔1用來(lái)代替,得〔2由[例6]已知,求.解：設(shè),則即代入已知等式中,得：四、代入法：求已知函數(shù)關(guān)于某點(diǎn)或者某條直線的對(duì)稱函數(shù)時(shí),一般用代入法．[例1]已知：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,求的解析式．解：設(shè)為上任一點(diǎn),且為關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)．則,解得：,點(diǎn)在上,．把代入得：．整理得,．<五>配湊法已知復(fù)合函數(shù)的表達(dá)式,求的解析式,的表達(dá)式容易配成的運(yùn)算形式時(shí),常用配湊法．但要注意所求函數(shù)的定義域不是原復(fù)合函數(shù)的定義域,而是的值域．[例1]：已知求的解析式。分析：可配湊成可用配湊法解：由令則即當(dāng)然,上例也可直接使用換元法令則得即由此可知,求函數(shù)解析式時(shí),可以用配湊法來(lái)解決的,有些也可直接用換元法來(lái)求解。[例2]：已知求.分析：此題直接用換元法比較繁鎖,而且不易求出來(lái),但用配湊法比較方便。解析：由令由即得即：實(shí)質(zhì)上,配湊法也缊含換元的思想,只是不是首先換元,而是先把函數(shù)表達(dá)式配湊成用此復(fù)合函數(shù)的內(nèi)函數(shù)來(lái)表示出來(lái),在通過(guò)整體換元。和換元法一樣,最后結(jié)果要注明定義域。<六>構(gòu)造方程組法〔消去法。若已知的函數(shù)關(guān)系較為抽象簡(jiǎn)約,則可以對(duì)變量進(jìn)行置換,設(shè)法構(gòu)造方程組,通過(guò)解方程組求得函數(shù)解析式．構(gòu)造方程組法適用的范圍是：題高條件中,有若干復(fù)合函數(shù)與原函數(shù)混合運(yùn)算,則要充分利用變量代換,然后聯(lián)立方程組消去其余部分。[例3]：設(shè)滿足求的解析式。分析：要求可消去,為此,可根據(jù)題中的條件再找一個(gè)關(guān)于與的等式,通過(guò)解方程組達(dá)到消元的目的。解析：………①顯然,,將換成得……………..②由消去,得小結(jié)：函數(shù)方程組法適用于自變量的對(duì)稱規(guī)律?；榈箶?shù),如f<x>、；互為相反數(shù),如f<x>、f<-x>,通過(guò)對(duì)稱代換構(gòu)造一個(gè)對(duì)稱方程組,解方程組即得f<x>的解析式。[例4]已知,求.解：設(shè),則即代入已知等式中,得：小結(jié)：消元法適用于自變量的對(duì)稱規(guī)律。互為倒數(shù),如f<x>、；互為相反數(shù),如f<x>、f<-x>,通過(guò)對(duì)稱代換構(gòu)造一個(gè)對(duì)稱方程組,解方程組即得f<x>的解析式。[例5]設(shè)為偶函數(shù),為奇函數(shù),又試求的解析式[解析]為偶函數(shù),為奇函數(shù),又=1\*GB3①,用替換得：即=2\*GB3②解=1\*GB3①=2\*GB3②聯(lián)立的方程組,得,七、特殊值法：〔賦值類求抽象函數(shù)當(dāng)題中所給變量較多,且含有"任意"等條件時(shí),往往可以對(duì)具有"任意性"的變量進(jìn)行賦值,使問(wèn)題具體化、簡(jiǎn)單化,從而求得解析式．[例1]：設(shè)是定義在N上的函數(shù),滿足,對(duì)于任意正整數(shù),均有,求.解：由,設(shè)得：即：在上式中,分別用代替,然后各式相加可得：[例2]設(shè)是定義在R上的函數(shù),且滿足f〔0=1,并且對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y,有f〔x－y=f〔x－y〔2x－y+1,求f〔x函數(shù)解析式.分析：要f〔0=1,x,y是任意的實(shí)數(shù)及f〔x－y=f〔x－y〔2x－y+1,得到f〔x函數(shù)解析式,只有令x=y.解：令x=y,由f〔x－y=f〔x－y〔2x－y+1得f〔0=f〔x－x〔2x－x+1,整理得f〔x=x2+x+1.八．利用給定的特性求解析式.[例1]．設(shè)是偶函數(shù),當(dāng)x＞0時(shí),,求當(dāng)x＜0時(shí),的表達(dá)式.練習(xí)．對(duì)x∈R,滿足,且當(dāng)x∈[－1,0]時(shí),求當(dāng)x∈[9,10]時(shí)的表達(dá)式.九、累加法：累加法核心思想與求數(shù)列的通項(xiàng)公式相似。[例1]：若,且當(dāng),求.解：遞推得：……以上個(gè)等式兩邊分別相加,得：十、歸納法：[例1]：已知,求.解：………………,依此類推,得再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。[例2]：設(shè),記,求.十一、遞推法：若題中所給條件含有某種遞進(jìn)關(guān)系,則可以遞推得出系列關(guān)系式,然后通過(guò)迭加、迭乘或者迭代等運(yùn)算求得函數(shù)解析式。[例1]設(shè)是定義在上的函數(shù),滿足,對(duì)任意的自然數(shù)都有,求[解析],不妨令,得：,又=1\*GB3①分別令=1\*GB3①式中的得：將上述各式相加得：,十二、對(duì)稱性法即根據(jù)所給函數(shù)圖象的對(duì)稱性及函數(shù)在某一區(qū)間上的解析式,求另一區(qū)間上的解析式.[例1]已知是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f〔x=2x－x2,求f〔x函數(shù)解析式.解：∵y=f〔x是定義在R上的奇函數(shù),∴y=f〔x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.當(dāng)x≥0時(shí),f〔x=2x－x2的頂點(diǎn)〔1,1,它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)〔－1,—1,x≥0,x＜0.因此當(dāng)x<0時(shí),y=－1=x2x≥0,x＜0.評(píng)注:對(duì)于一些函數(shù)圖象對(duì)稱性問(wèn)題,如果能結(jié)合圖形來(lái)解,就會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)單化.十三、函數(shù)性質(zhì)法利用函數(shù)的性質(zhì)如奇偶性、單調(diào)性、周期性等求函數(shù)解析式的方法。[例1].已知函數(shù)是R上的奇函數(shù),當(dāng)?shù)慕馕鍪?。解析：因?yàn)槭荝上的奇函數(shù),所以,當(dāng),所以十四、反函數(shù)法利用反函數(shù)的定義求反函數(shù)的解析式的方法。[例1].已知函數(shù),求它的反函數(shù)。解：因?yàn)?反函數(shù)為十五、"即時(shí)定義"法給出一個(gè)"即時(shí)定義"函數(shù),根據(jù)這個(gè)定義求函數(shù)解析式的方法。[例1].對(duì)定義域分別是的函數(shù),規(guī)定：函數(shù)若,寫(xiě)出函數(shù)的解析式。十六、微積分法：當(dāng)你學(xué)了導(dǎo)數(shù)和微積分之后,就會(huì)用到,不過(guò)平時(shí)的考題還是比較少出現(xiàn)的,多見(jiàn)識(shí)下各種題型對(duì)你有幫助的。[例1]：設(shè),求.解：因此A、B、十七：坐標(biāo)轉(zhuǎn)換法例7已知=,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)<x。,y。>在y=圖像上時(shí),點(diǎn)<2x。,2y。>在y=圖像上,求函數(shù)的解析式.解：設(shè)p<x,y>是函數(shù)y=圖像上的任一點(diǎn),由已知得點(diǎn)<,>在函數(shù)y=的圖像上.即=,所以y=2故所求函數(shù)的解析式是,=2.點(diǎn)評(píng)：抓住所求函數(shù)圖像上的點(diǎn)與已知函數(shù)圖像上的點(diǎn)的關(guān)系,再利用已知點(diǎn)滿足已知函數(shù),從而轉(zhuǎn)換坐標(biāo),代入即可求得...其它相關(guān)題型1、定義法..x1f<x1xx>,求f<x>。..xx解：x2 < 1>21xx..x∴f<x

<1>21..xx1≥1xx∴f<x>=x21<x≥1>2、配湊法例2、已知f<x1>x22x,求f<x>．解：f<x1><x1>22x12x<x1>24x1<x1>24<x1>3∴f<x>x24x3．3、換元法..例3、 已知x1x1=xx21x211,求f〔x的解析式.x..解：設(shè)t,則xtt1,..<1>21..∴f〔t=t1 1 =1+<t

+〔t－1=t2－t+1..<1>2t11t1..故 f〔x=x2－x+1〔x≠1.評(píng)注:實(shí)施換元后,應(yīng)注意新變量的取值范圍,即為函數(shù)的定義域4、待定系數(shù)法例4、 已知二次函數(shù)f〔x滿足f〔0=0,f〔x+1=f〔x+2x+8,求f〔x的解析式.解：設(shè)二次函數(shù)f〔x=ax2+bx+c,則f〔0=c=0 ①f〔x+1=a<x1>2+b〔x+1=ax2+〔2a+bx+a+b 由f〔x+1=f〔x+2x+8與①、②得..2abbab8a解得

故f〔x=x2+7x...評(píng)注:已知函數(shù)類型,常用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式.5、直接圖像法例5．函數(shù)在閉區(qū)間[1,2]上的圖象如右圖所示,則求此函數(shù)的解析式。yx1<1x解：f<x>1x<0x2>．0..21 2x1..6、方程組法..1例6、設(shè)函數(shù)f〔x滿足f〔x+2f〔x=xx0f〔...1x〔x個(gè)方程,聯(lián)立方程組求解即可.11x

去代替已知中x,便可得到另一..f〔x+2

=x〔x≠0 ①x..1 由 代入得 2f〔x+f〔x 1= 〔x≠0②x..2 x解①②構(gòu)成的方程組,得f〔x= －3x 3

〔x≠0...7、特殊值法7Rf〔0=1x,y,有f〔xy=fx－〔2－+1fx.f0,xyf〔xy=fx－y2x+1,得到..f〔x函數(shù)解析式,只有令x=y.x=yf〔x－y=f〔x－y〔2x－y+1得f0=fx－x2x+1fx=xx1.8、對(duì)稱性圖像法即根據(jù)所給函數(shù)圖象的對(duì)稱性及函數(shù)在某一區(qū)間上的解析式,求另一區(qū)間上的解析式.例8、 已知是定義在R上的奇函數(shù)當(dāng)x≥0時(shí),f〔x=2x－x2,求f〔x函數(shù)解析式.解：∵y=f〔x是定義在R上的奇函數(shù),∴y=f〔x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.當(dāng)x0時(shí),fx2xx2〔,1〔－1,—,..2xx2因此當(dāng)x<0時(shí),y=<x1>2－1=x2+2x.故f〔x=x22xx≥0,x＜0評(píng)注:對(duì)于一些函數(shù)圖象對(duì)稱性問(wèn)題,如果能結(jié)合圖形來(lái)解,就會(huì)使問(wèn)題簡(jiǎn)單化...9、利用奇偶性法相關(guān)練習(xí)〔一換元法1．已知f<3x+1>=4x+3,求f<x>的解析式.2．若,求.〔二．配變量法3．已知,求的解析式.4．若,求.〔三．待定系數(shù)法5．設(shè)是一元二次函數(shù),,且,求與.6．設(shè)二次函數(shù)滿足,且圖象在y軸上截距為1,在x軸上截得的線段長(zhǎng)為,求的表達(dá)式.〔四．解方程組法7．設(shè)函數(shù)是定義<－∞,0>∪<0,+∞>在上的函數(shù),且滿足關(guān)系式,求的解析式.8．〔1若,求.〔2若f<x>+f<1-x>=1+x,求f<x>.〔五．特殊值代入法9．若,且,求值.10．已知：,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y,等式恒成立,求〔六．利用給定的特性求解析式.11．設(shè)是偶函數(shù),當(dāng)x＞0時(shí),,求當(dāng)x＜0時(shí),的表達(dá)式.12．對(duì)x∈R,滿足,且當(dāng)x∈[－1,0]時(shí),求當(dāng)x∈[9,10]時(shí)的表達(dá)式.例6、已知函數(shù)對(duì)于一切實(shí)數(shù)都有成立,且。<1>求的值；<2>求的解析式。..求函數(shù)的解析式例1．已知f<x>=,求f<>的解析式．〔代入法/拼湊法變式1．已知f<x>=,求f<>的解析式．變式2．已知f<x+1>＝,求f<x>的解析式．例2．若f[f<x>]＝4x＋3,求一次函數(shù)f<x>的解析式．〔待定系數(shù)法變式1．已知f<x>是二次函數(shù),且,求f<x>．例3．已知f<x>2f<－x>＝x,求函數(shù)f<x>的解析式．〔消去