隨機(jī)性模型與模擬方法-Read課件

隨機(jī)性模型與模擬方法隨機(jī)性模型與模擬方法1

隨機(jī)變量

蒙特卡羅方法

隨機(jī)數(shù)的生成

模擬隨機(jī)變量2一、隨機(jī)變量何謂隨機(jī)變量？隨機(jī)變量是一個其值不可預(yù)測的變量。雖然一個隨機(jī)變量在個別試驗(yàn)中其結(jié)果不確定，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果是具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律的。正是隨機(jī)變量的這種規(guī)律性使我們可以利用它來建模。例如我們可以利用下述的數(shù)據(jù)：得出一個模型。時間t（秒）0123456789變量X1022120102一、隨機(jī)變量何謂隨機(jī)變量？隨機(jī)變量是一個其值不可預(yù)測的3是一個離散的隨機(jī)變量并取值于0，1和2。我們不可能給出與的確定的關(guān)系式，但是可以通過數(shù)的不同值出現(xiàn)次數(shù)來描述這隨機(jī)型的規(guī)律列表如下：這個表給出了隨機(jī)變量的變化規(guī)律，頻率告訴某個特定的事件發(fā)生的頻繁程度。如果我們需要構(gòu)造一個含有隨機(jī)變量的模型，可以假設(shè)這個規(guī)律總是成立的，模型的假設(shè)可以基于這幾個數(shù)據(jù)之上。實(shí)際操作時可以把頻率分布當(dāng)作概率函數(shù)來處理，但應(yīng)注意概率是頻率的極限值，這兩者是有差異的。在處理一個簡單的理論模型時，對概率函數(shù)012頻數(shù)334頻率0.30.30.4是一個離散的隨機(jī)變量并取值于0，1和2。我們不可能給4必須作出合適的選擇。例如，假設(shè)在上述問題中的隨機(jī)變量取三個值時等于可能的，這樣其概率函數(shù)為這個例子說明在處理隨機(jī)變量的模型時有以下兩種選擇：（1）使用一個理論模型。這在任何一本概率統(tǒng)計(jì)的書上都可以找到一些標(biāo)準(zhǔn)的理論模型如二項(xiàng)分布等。每一個都基于一定的假設(shè)之下成立的，所以在選用時要特別注意其假設(shè)條件。（2）使用基于實(shí)際數(shù)據(jù)的頻率表，并不去套用不準(zhǔn)理論模型。012必須作出合適的選擇。例如，假設(shè)在上述問題中的隨機(jī)變量取三個值5使用前者的好處在于能精確地敘述變量的概率，在處理問題時可以充分發(fā)揮數(shù)理統(tǒng)計(jì)的作用。但這一好處把所求模式制約在了處理簡單情形。隨著復(fù)雜性的增加，數(shù)學(xué)就變的太難。使用后者的好處在于模型時基于觀測到的數(shù)據(jù)而不是基于假設(shè)之上。增加復(fù)雜性并不成為一大障礙，但我們不再能利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)而得求助于模擬以及模型的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。在建立隨機(jī)性模型時，首先要注意，將要處理的是離散還是連續(xù)的隨機(jī)變量。1、離散隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量的理論模型是由概率函數(shù)來刻畫的。這個式子說明隨機(jī)變量取值時的概率。對于離散型的隨機(jī)變量有下面三種重要的分布使用前者的好處在于能精確地敘述變量的概率，在處理問題時可以充6（0－1）分布設(shè)隨機(jī)變量只可能取0、1兩個值，它的分布規(guī)律是

則稱服從（0－1）分布。對于一個隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，如果它的樣本空間只包含兩個元素，即，我們總能在上定義一個服從（0－1）分布的隨機(jī)變量來描述這個隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。例如，對新生兒的性別進(jìn)行登記，檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格等都可以用（0－1）分布的隨機(jī)變量來描述。（0－1）分布設(shè)隨機(jī)變量只可能取0、1兩個7（2）二項(xiàng)分布設(shè)實(shí)驗(yàn)只有兩個可能的結(jié)果，將獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)為重貝努利實(shí)驗(yàn)。它是一重和重要的數(shù)學(xué)模型，有著廣泛的應(yīng)用。若用表示重貝努利實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，是一個隨機(jī)變量，它服從如下的二項(xiàng)分布

特別，當(dāng)時二項(xiàng)分布就是（0－1）分布。（2）二項(xiàng)分布設(shè)實(shí)驗(yàn)只有兩個可能的結(jié)果，將8（3）泊松分布設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為而取各個值的概率為

其中，是常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的泊松分布。可以證明當(dāng)很小時，以為參數(shù)的二項(xiàng)分布，當(dāng)時趨于以為參數(shù)的泊松分布，其中（3）泊松分布設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為92、連續(xù)的隨機(jī)變量理論模型的連續(xù)型隨機(jī)變量可以由概率密度函數(shù)來描述，對所有的存在，且，隨機(jī)變量落在區(qū)間的概率可由來給出，在連續(xù)型隨機(jī)變量中下述兩種是重要的。2、連續(xù)的隨機(jī)變量理論模型的連續(xù)型隨機(jī)變量可以由概率密度函數(shù)10(1)均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量具有概率密度則稱在區(qū)間（a，b）上服從均勻分布。在區(qū)間（a，b）上服從均勻分布的隨機(jī)變量，具有下述意義的等可能性，即它落在區(qū)間（a，b）中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的，或者說它落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關(guān)。（2）正態(tài)分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為其中為常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的(1)均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量具有概率密度11正態(tài)分布。連續(xù)型隨機(jī)變量的值如同離散的一樣可以用頻率表給出，但不同的是離散的隨機(jī)變量每個頻率對應(yīng)于隨機(jī)變量的一個值，而對于隨機(jī)變量每一個頻率對應(yīng)于隨機(jī)變量的一個取值范圍。正態(tài)分布。12二、蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法是計(jì)算模擬的基礎(chǔ)，其名字來源于世界著名的賭城——摩納哥的蒙特卡羅。其思想來源于著名的蒲豐投針問題。1777年法國科學(xué)家蒲豐提出了下述著名問題：平面上畫有等距離的一些平行線，取一根長度為的針，隨機(jī)地向有平行線的平面上擲去，求針與平行線相交的概率。我們用幾何概型來解決這一問題。設(shè)M為針落下后的中點(diǎn)，表示中點(diǎn)M到最近一條平行線的距離，表示針于平行線的交角，如圖2.18所示。那么基本時間區(qū)域二、蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法是計(jì)算模擬的基礎(chǔ)，其名字來源于世13圖2.18圖2.1814它為平面上的一個矩形，其面積為。為使針與平行線（與最后的一條平行線）相交，其充要條件是

的面積為，這樣針與平行線相交的概率為

設(shè)一共投擲次（是一個事先選好的相當(dāng)大的自然數(shù)），觀察到針和直線相交的次數(shù)為。它為平面上的一個矩形，其面積為15從上式我們看到，當(dāng)比值不變時，值始終不變。取為的近似值，我們可以算出的近似值?？梢韵胂螽?dāng)投擲次數(shù)越來越多時計(jì)算的結(jié)果就越來越準(zhǔn)確。下表時這些實(shí)驗(yàn)的有關(guān)資料(此處把折算為1）：實(shí)驗(yàn)者年份針長投擲次數(shù)相交次數(shù)的實(shí)驗(yàn)值pulf18500.8500025323.1596Smith18550.632041218.53.1554DeMorggenC18601.0600382.53.137Fox18840.7510304893.1595Lazzerini19010.83340818083.141592Reina19250.541925208593.1795從上式我們看到，當(dāng)比值不變時，16由此可以看出蒙特卡羅方法的基本步驟：首先，建立一個概率模型，使它的某個參數(shù)等于問題的解。然后按照假設(shè)的分布，對隨機(jī)變量選出具體的值（這一過程又叫著抽樣），從而構(gòu)造出一個確定性的模型，計(jì)算出結(jié)果。再通過幾次抽樣實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，的到參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性，最終算出解的近似值。蒙特卡羅方法主要用再難以定量分析的概率模型，這種模型一般的不到解析的結(jié)果，或雖然又解析結(jié)果，但計(jì)算代價太大以至不可用。也可以用在算不出解析結(jié)果的定性模型中。用蒙特卡羅方法解題，需要根據(jù)隨機(jī)變量遵循的分布規(guī)律選出具體的至，即抽樣。隨機(jī)變量的抽樣方法很多，不同的分布采用的方法不盡相同。在計(jì)算機(jī)上的各種分布的隨機(jī)數(shù)事實(shí)上都是按照一定的確定性方法產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)。由此可以看出蒙特卡羅方法的基本步驟：首先，建立一個概率17三、隨機(jī)數(shù)的生成我們知道對于丟硬幣的隨機(jī)結(jié)果可以用以下的離散隨機(jī)變量的改里函數(shù)來描述

如果我們需要模擬隨機(jī)變量的以個值或一個集合，可以用丟硬幣然后記錄其其結(jié)果的方法來得到，然而這具又相當(dāng)?shù)木窒扌?，這里我們用數(shù)學(xué)程序來產(chǎn)生擬隨機(jī)變量。即看上去是隨機(jī)出現(xiàn)的，但并非真正的隨家便朗，它們產(chǎn)生于一個梯推公式。不過這些擬隨機(jī)數(shù)并沒有明顯的規(guī)律，當(dāng)給于適當(dāng)?shù)纳炜s之后，它們非常接近于在區(qū)間的均勻分布。X01P(x)0.50.5三、隨機(jī)數(shù)的生成我們知道對于丟硬幣的隨機(jī)結(jié)果可以用以下的離散18這種方法的思想是，設(shè)計(jì)一個把和之間的整數(shù)映射到它們自身上的函數(shù)，然后從開始，依次計(jì)算例如通過下面的公式可以產(chǎn)生這樣的一組隨機(jī)變量給定任意一個初值，如代入公式得，然后用去除得；同樣代入公式，可以得，重復(fù)這一過程可以得到我們所需要的一組隨機(jī)變量。在程序設(shè)計(jì)和軟件包中通常用來表示由這樣，我們用它來表示從上的均勻分布所產(chǎn)生的隨機(jī)變量。這種方法的思想是，設(shè)計(jì)一個把和之間的整數(shù)映射到19我們可以從它構(gòu)造出另外的隨機(jī)變量。例如，可以從給出區(qū)間上的連續(xù)均勻分布的隨機(jī)變量。如果我們要生成帶參數(shù)的指數(shù)分布，可以用。如果我們要生成平均值未零，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布，可以用下列公式和

來給出的兩個值，令或可以生成型的正態(tài)分布。我們可以從它構(gòu)造出另外的隨機(jī)變量。例如，可以從20為了得到離散的隨機(jī)變量，我們把分成若干部分。例如設(shè)計(jì)一個離散的隨機(jī)變量有下列的概率函數(shù)。取一個RND值：如果，則；如果，則；如果，則。對于連續(xù)的隨機(jī)變量除了取生成的隨機(jī)變量是每類的中點(diǎn)外，我們可以用同樣的思想進(jìn)行列表分類。如

0120.30.30.40-1010-1515-20頻率0.20.50.3為了得到離散的隨機(jī)變量，我們把分成若21的一個值將平移到。一個更細(xì)致的方法是用線性插值而不是取中點(diǎn)，即

給出。從已知的模擬一個連續(xù)隨機(jī)變量的理論分布，可以用以下方法：

的一個值將平移到22（1）逆累積分布函數(shù)法如果隨機(jī)變量的是，則累積分布函數(shù)是。如果把它作為一個隨機(jī)變量，是上的均勻分布。從上的均勻分布取一個值，解方程得對應(yīng)得的值，例如，設(shè)

累積分布函數(shù)為解得。這就是我們所要的由這個分布所生成的的值（1）逆累積分布函數(shù)法如果隨機(jī)變量的23(2)排除法對于這種方法我們需要用兩個值來生成一個值。設(shè)的值在區(qū)間外為，而的最大值是。我們可以通過如下的步驟生成的值。從上的均勻分布生成和；用計(jì)算；計(jì)算；用算出；如果，則接受，否則排除回到。對于上面的例子，我們?nèi)?2)排除法對于這種方法我們需要用兩個24四、模擬模擬是現(xiàn)象的模型所產(chǎn)生的再現(xiàn)。所謂數(shù)學(xué)模擬就是用模型使現(xiàn)象再現(xiàn)。因此，表示現(xiàn)象的部分或總體的基本方程和表示自然規(guī)律的數(shù)學(xué)模型全是數(shù)學(xué)模擬。然而，狹義地講主要指的是數(shù)字模擬。它是將復(fù)雜現(xiàn)象作出可以用數(shù)字計(jì)算機(jī)表達(dá)的數(shù)學(xué)模型，從數(shù)值上進(jìn)行各種實(shí)驗(yàn)。各種方法隨著計(jì)算機(jī)的進(jìn)步已廣泛地應(yīng)用起來。因此我們所說的模擬主要是指數(shù)學(xué)模擬。四、模擬模擬是現(xiàn)象的模型所產(chǎn)生的再現(xiàn)。所謂數(shù)學(xué)模擬就是用模型25例2.18一列火車大約在下午1點(diǎn)離開站其規(guī)律如下；火車從到途中所需要的平均時間為分，由分鐘的標(biāo)準(zhǔn)差。如果你要趕的是這趟火車的下一站,而你到達(dá)的站的時間分布為問你能趕上這列火車的概率是多少？離站時間13.0013.0513.10概率0.70.20.1時間13.2813.3013.3213.34概率0.30.40.20.1例2.18一列火車大約在下午1點(diǎn)離開站其規(guī)律如26為了回答這個問題，我們需要一些隨機(jī)數(shù)。這里我們將采用上面給出的那些隨機(jī)數(shù)，即等。而我們所要模擬的是火車離站的時間；火車途中的時間；你到達(dá)車站的時間。這樣你趕上火車的條件是。為模擬這個問題只需要生成，和的值，然后檢驗(yàn)這條件。但如何得到的值是不明顯的，因并不知道這個分布。這樣，假設(shè)一個模型，取平均值為30，標(biāo)準(zhǔn)差為2的正態(tài)分布，由所給的條件知，為離散的，而為連續(xù)的隨機(jī)變量。為了回答這個問題，我們需要一些隨機(jī)數(shù)。這里我們將采用上面給出27以分為時間單位，從的下午以點(diǎn)起算，構(gòu)造的模型如下其中。計(jì)算結(jié)果為，和，這樣。在這種場合你比火車提前到達(dá)4分鐘。但需要指出，這并不是說我們已經(jīng)回答了這個問題，要回答這個問題我們要作多次這樣的模擬，記下這些結(jié)果，算出能趕上火車的頻率。通過足夠多次的模擬之后我們就可以看出能趕上火車的概率。以分為時間單位，從的下午以點(diǎn)起算，構(gòu)造的模28一般用在模擬建模時，一次模擬的成功并不能說明什么問題，更不能說我們的主要工作已經(jīng)完成。你必須多次的進(jìn)行模擬，然后分析其結(jié)果。分析的種類要看模型的對象，而這在模擬的一開始就應(yīng)該清楚的。在實(shí)驗(yàn)的模擬模型的對象是在變化的，但常常包括一下幾種：對系統(tǒng)的長期性態(tài)作出統(tǒng)計(jì)；比較系統(tǒng)的可選擇對象的安排；研究參數(shù)變化的影響；研究模型假設(shè)的影響；找出系統(tǒng)最優(yōu)方案；上面的例子是相當(dāng)平凡的，根本不能作為用模擬解決問題的例子。下面我們僅舉兩個簡單的例子以理順模擬模型的思路。一般用在模擬建模時，一次模擬的成功并不能說明什么問題29例2.19某個理發(fā)店中有兩名理發(fā)員和，顧客隨機(jī)地來理發(fā)，據(jù)統(tǒng)計(jì)的顧客僅需要剪發(fā)，化時分鐘；而有的顧客即需要剪又需要又需要吹風(fēng)，許花時分。對任意一個模擬，首先要作的是找出能完全描述任意時刻的系統(tǒng)的狀態(tài)變量的集合。給出能從時刻的狀態(tài)變量算出時刻的新的狀態(tài)變量的程序。這個例子中有三個狀態(tài)變量：在等待的顧客的人輸（離散的非負(fù)整數(shù)）；是否正在工作（是或否）；是否正在工作（是或否）。例2.19某個理發(fā)店中有兩名理發(fā)員和30一次模擬式由始于，結(jié)束于的狀態(tài)變量的值的一系列演算組成的。一個事件是時間中的一點(diǎn)，在這個時刻一個隨機(jī)變量改變了它的值。在這個例子中的事件有:一個顧客到達(dá)；開始服務(wù)；結(jié)束服務(wù)；開始服務(wù)；結(jié)束服務(wù)。一個元素是一個離散，或者是系統(tǒng)的長期部分，或者是進(jìn)入和離開，這里的元素是顧客和兩個理發(fā)員。對研究一個模擬模型來說，有兩種程序類型：（1）時間切片考察狀態(tài)變量和在時間切片中（通常是等時間的切片）元素的位置。在每一個時間切片中狀態(tài)變量可變可不變。一次模擬式由始于，結(jié)束于31（2）事件序列考察在每一事件的系統(tǒng)，并不考慮時間之間的時間。這兩種途徑我們有時稱為“時間傳動”和“事件傳動”模型。一般我們用時間傳動模型于連續(xù)的的確定型系統(tǒng)，事件傳動模型于離散的概率模型，但這不時絕對。在這個例子中我們將用“事件傳動”。對于時間切片模型，我們必須決定時間切片的大小，為簡單計(jì)我們將取分鐘。問題的描述并不包括任何有關(guān)顧客到達(dá)率的信息。假設(shè)在任何一分鐘顧客到達(dá)的概率是。實(shí)際上有兩種不同類型的顧客，取決于是否要吹風(fēng)。我們通過取服務(wù)時間的平均值，即分，構(gòu)造一個粗糙的模型。（2）事件序列考察在每一事件的系統(tǒng)，并不考32為了描述一個顧客是否到來這個隨機(jī)變量，我們用一個硬幣將作為一個隨機(jī)數(shù)的生成器，用表示反面，表示正面。設(shè)扔出的序列是。用表示一個顧客到達(dá)，且取初始狀態(tài)為顧客，運(yùn)行前分鐘，就有下表的結(jié)果：時間（分）到達(dá)？A在工作B在工作排隊(duì)0否否否01是是否02否是否03是是是04是是是05否是是0為了描述一個顧客是否到來這個隨機(jī)變量，我們用一個硬33到這里，人們將要為我們希望知道什么。通常我們感興趣的是平均隊(duì)伍的長度，最長的隊(duì)伍，顧客等待的平均時間以及兩個理發(fā)員的忙閑程度等，注意到這里有兩種不同的平均，即一個是關(guān)于時間，而另一個是關(guān)于顧客的平均，為回答上述為她我們設(shè)是任意時刻的排隊(duì)的顧客數(shù)。顧客和時間的關(guān)系通?？捎蓤D給出。6是是是0是是是0是是是0否是是010否是是0到這里，人們將要為我們希望知道什么。通常我們感興趣的34

它是一個右連續(xù)的階梯函數(shù)是合理的，這是由于只有新顧客到來或有顧客完成服務(wù)后離去，函數(shù)值才發(fā)生變化，關(guān)于時間的平均是，其中圖下額面積，設(shè)表示一個時間區(qū)間，在其上保持常數(shù)（這里本身是變量）。當(dāng)我們進(jìn)行模擬時我們累積其和。用記在進(jìn)行模擬期間到達(dá)的顧客數(shù)。這樣我們所要的兩個平均分別為

35

隊(duì)長平均等待時間的平均

下面是用來說明累積排隊(duì)時間的記錄（注意這里僅給出變化的時間）：

36時間Q0000011.584100012.93501.3511.3511.35117.29014.35501.35117.93500.6450.6451.99618.67610.74101.99623.15604.4804.4806.47625.21712.06106.47625.32720.1100.1106.58625.93510.6081.2167.80227.43121.4061.4069.208時間Q37這里所執(zhí)行的總時間。在這期間。隊(duì)伍的最長長度。累計(jì)排隊(duì)時間隊(duì)伍的平均長度。平均等待時間。在我們結(jié)束模擬時還有兩個顧客，一個是排隊(duì)的，而另一個是新來的。服務(wù)的總時間是分。因此忙碌的概率是。服務(wù)的總時間是分或忙碌時間為。這里所執(zhí)行的總時間。38評注1模擬一個系統(tǒng)的目的不是為了模仿一個現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)，而是通過解決問題達(dá)到優(yōu)化系統(tǒng)的目的。例如在這個例子中可以分析諸如增雇一個理發(fā)員或改變服務(wù)時間等對系統(tǒng)的影響。評注2在我們的模型中，為使問題簡單我們已經(jīng)作了一些假設(shè)：（1）假設(shè)了在任何一分鐘有一個顧客到達(dá)的概率是。（2）默認(rèn)在同一分鐘內(nèi)的顧客數(shù)。（3）如果兩個理發(fā)師均空閑，顧客可以任意選。（4）排隊(duì)的原則是安先后的秩序。如果有預(yù)約可以先服務(wù)。評注1模擬一個系統(tǒng)的目的不是為了模仿一個現(xiàn)實(shí)39（5）我們的模型中允許一下情形出現(xiàn)，一個顧客的來到，發(fā)現(xiàn)有很多人在等就走啦。也可能是一個顧客在等了一段時間之后等不及了就離開了。意味這允許其中的一個理發(fā)員有短暫的休息。

例2.20倒媒臺的操作方案某煤礦公司有一個大型煤臺，用于向運(yùn)媒列車裝煤。該倒煤臺的容量是列標(biāo)準(zhǔn)列車。裝滿一個空的倒煤臺需要一個小組個小時的時間，費(fèi)用是。為提高裝煤速度可以以的代價動用第二個小組。鐵道部門每天向這個倒煤臺發(fā)三列空的標(biāo)準(zhǔn)車。這些列車可在上午點(diǎn)倒下午點(diǎn)之間的任何時刻到達(dá)。給一列標(biāo)準(zhǔn)車裝滿煤需要小時，向倒煤臺裝煤和從倒煤臺向列車裝煤不能同時進(jìn)行。如果列車到達(dá)后因等待裝煤二停滯，鐵道部門將征收每車的滯費(fèi)。（5）我們的模型中允許一下情形出現(xiàn)，一個顧客的來到，發(fā)現(xiàn)有很40此外，每星期四上午點(diǎn)到下午點(diǎn)之間還有一列大容量列車到達(dá)，其容量為標(biāo)準(zhǔn)的列車的倍，滯期費(fèi)為。請問（1）安標(biāo)準(zhǔn)規(guī)則操作可使裝煤費(fèi)最低？費(fèi)用使多少？（2）如果標(biāo)準(zhǔn)列車能在指定的時間到達(dá)，什么樣的調(diào)度安排最經(jīng)濟(jì)？這個問題中列車的到達(dá)時間使隨機(jī)因素，適合于建立概率模型，同計(jì)算機(jī)模擬加以解決。首先，模型中需要考慮的費(fèi)用由兩部分組成。一部分使裝煤小組向倒煤臺裝煤的費(fèi)用，記為，另一部分使列車等待裝煤的滯期費(fèi)。因每天要裝的煤數(shù)量使固定的，的大小只受是否使用大二小組影響。此外，每星期四上午點(diǎn)到下午點(diǎn)之間還有一列大容量列車41通過使用第二小組，有可能減少。模型的主要任務(wù)是將總費(fèi)用降到最低。故是模型的目標(biāo)函數(shù)。其次，由于理論上的困難，很難得到最優(yōu)方案?？紤]到這是一個每天重復(fù)發(fā)生的為她，重要的的是提供一組簡單明確的規(guī)劃，使煤礦公式可以根據(jù)規(guī)則方便地獲得接近最優(yōu)的解。因此，我們將在方案的優(yōu)化程度和簡明性之間做一個折中。設(shè)：為裝滿列車所需的煤量；為倒煤臺中剩下煤量；表示當(dāng)前時間。其中和均以小時向列車裝的煤量為單位。通過使用第二小組，有可能減少。模型的主42

根據(jù)題意寫出下面一些應(yīng)該遵循的規(guī)則：有列車等待時，用兩個小組裝煤節(jié)省的滯期費(fèi)大于增加的裝煤費(fèi)用，此時應(yīng)使用第二個小組。當(dāng)同時有兩列或三列標(biāo)準(zhǔn)列車等待裝煤時。應(yīng)將已裝煤量最多的車排在前面先裝，已裝煤量最少的車排到最后面。可以證明，這樣安排滯期費(fèi)最少。當(dāng)同時有大容量車和標(biāo)準(zhǔn)車等待時，先裝后裝的滯期費(fèi)

先裝時的滯期費(fèi)為

當(dāng)時，先裝，否則先裝。根據(jù)題意寫出下面一些應(yīng)該遵循的規(guī)則：43

設(shè)當(dāng)前待裝的車為，則用兩個小組裝倒煤臺直到或?yàn)橹?，然后裝列車。周四時，裝標(biāo)準(zhǔn)車和大容量列車共需要小時。即便是倒煤臺在周四上午點(diǎn)以前就已提前裝滿，當(dāng)天用兩個小組裝倒煤臺仍需小時，合計(jì)小時故最快也要到周五早上點(diǎn)才能完成周四的任務(wù)，且此時倒煤臺為空。為保證周五正常工作，應(yīng)馬上開始裝倒煤臺。由以上分析知，周時間最緊張，就始終用兩個小組。非周四，在此刻無列車等待，設(shè)已知下一列車到達(dá)時間為。若，則時間充足，可以用一個小組裝倒煤臺至滿或下一列車來。否則用兩個小組。設(shè)當(dāng)前待裝的車為，則用兩個小組裝44非周四，不知道列車的到達(dá)時間。設(shè)在時刻倒煤臺中尚有煤量，沒有列車等待，當(dāng)天還有列標(biāo)準(zhǔn)車未到達(dá)。假設(shè)列車到達(dá)時間服從獨(dú)立的均勻分布，則存在，當(dāng)時用一個組裝煤即可，否則要用兩個組。的選擇應(yīng)滿足最小的原則，因其解析解難以求出，故采用計(jì)算機(jī)模擬的方法。首先任意取一個值，注意到，在上述約束條件下以一定步長取各種組合，分別用計(jì)算機(jī)模擬求出平均費(fèi)用，找出使平均費(fèi)用最少的一組，和值，作為在該組合給定下的函數(shù)值。選取一系列不同的的值重復(fù)以上過程，就可以得到函數(shù)在各點(diǎn)上的值。非周四，不知道列車的到達(dá)時間。設(shè)在時刻45在以上規(guī)則指導(dǎo)下，我們用時間切片法進(jìn)行模擬，流程圖如圖所示。模擬的結(jié)果如下：年滯期費(fèi)用元，年度總費(fèi)用元。

開始模擬時鐘0,初始化系統(tǒng)狀態(tài)和時間隊(duì)列找出最近的下次事件。推出模擬時鐘到該事件的時刻計(jì)算新的系統(tǒng)狀態(tài)產(chǎn)生未來事件（可能沒有，也可能有一個或多個）并加入事件列隊(duì)結(jié)束條件滿足嗎？計(jì)算并輸出統(tǒng)計(jì)結(jié)果結(jié)束在以上規(guī)則指導(dǎo)下，我們用時間切片法進(jìn)行模擬，流程圖46

當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)列車的到達(dá)時間可以確定時，分三種情況考慮（記，和為三列車的到達(dá)時間，且）非周四，周五可以推出，滯期費(fèi)用為，且不使用第二小組，當(dāng)且僅當(dāng)

成立。不等式組的解不唯一，任何一小組即可，如取。周四標(biāo)準(zhǔn)列車的到達(dá)時間應(yīng)盡量和大容量列車錯開，故取。再此前提下用模擬的方法確定，得時費(fèi)用最少。當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)列車的到達(dá)時間可以確定時，分三種情況考47周五因周四工作量大，將積壓到周五（周四的最后一列車最快能再周五早上四點(diǎn)裝完，最慢要拖到六點(diǎn)）。為減少等待，發(fā)車的時間盡量靠后，故取。在計(jì)算機(jī)模擬中事件序列比較常用，我們不在舉例說明，這個方法的流程圖可以用圖來說明。周五因周四工作量大，將積壓到周五（周四48開始

，初始化統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

用獨(dú)立的均勻分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生三列標(biāo)準(zhǔn)車的到達(dá)時刻周四時產(chǎn)生大容量車的到達(dá)時刻在時刻倒煤臺處有車等待嗎?當(dāng)天列車到齊了嗎？

裝滿倒煤臺，時間推進(jìn)到第二天模擬天數(shù)足夠了嗎？輸出模擬結(jié)果結(jié)束按規(guī)則選出待裝列車按規(guī)則裝車或裝倒煤臺倒煤臺是滿的嗎?按規(guī)則裝倒煤臺開始，初始化統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用獨(dú)立的均勻分布隨機(jī)數(shù)在49隨機(jī)性模型與模擬方法-Read課件50隨機(jī)性模型與模擬方法隨機(jī)性模型與模擬方法51

隨機(jī)變量

蒙特卡羅方法

隨機(jī)數(shù)的生成

模擬隨機(jī)變量52一、隨機(jī)變量何謂隨機(jī)變量？隨機(jī)變量是一個其值不可預(yù)測的變量。雖然一個隨機(jī)變量在個別試驗(yàn)中其結(jié)果不確定，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中其結(jié)果是具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律的。正是隨機(jī)變量的這種規(guī)律性使我們可以利用它來建模。例如我們可以利用下述的數(shù)據(jù)：得出一個模型。時間t（秒）0123456789變量X1022120102一、隨機(jī)變量何謂隨機(jī)變量？隨機(jī)變量是一個其值不可預(yù)測的53是一個離散的隨機(jī)變量并取值于0，1和2。我們不可能給出與的確定的關(guān)系式，但是可以通過數(shù)的不同值出現(xiàn)次數(shù)來描述這隨機(jī)型的規(guī)律列表如下：這個表給出了隨機(jī)變量的變化規(guī)律，頻率告訴某個特定的事件發(fā)生的頻繁程度。如果我們需要構(gòu)造一個含有隨機(jī)變量的模型，可以假設(shè)這個規(guī)律總是成立的，模型的假設(shè)可以基于這幾個數(shù)據(jù)之上。實(shí)際操作時可以把頻率分布當(dāng)作概率函數(shù)來處理，但應(yīng)注意概率是頻率的極限值，這兩者是有差異的。在處理一個簡單的理論模型時，對概率函數(shù)012頻數(shù)334頻率0.30.30.4是一個離散的隨機(jī)變量并取值于0，1和2。我們不可能給54必須作出合適的選擇。例如，假設(shè)在上述問題中的隨機(jī)變量取三個值時等于可能的，這樣其概率函數(shù)為這個例子說明在處理隨機(jī)變量的模型時有以下兩種選擇：（1）使用一個理論模型。這在任何一本概率統(tǒng)計(jì)的書上都可以找到一些標(biāo)準(zhǔn)的理論模型如二項(xiàng)分布等。每一個都基于一定的假設(shè)之下成立的，所以在選用時要特別注意其假設(shè)條件。（2）使用基于實(shí)際數(shù)據(jù)的頻率表，并不去套用不準(zhǔn)理論模型。012必須作出合適的選擇。例如，假設(shè)在上述問題中的隨機(jī)變量取三個值55使用前者的好處在于能精確地敘述變量的概率，在處理問題時可以充分發(fā)揮數(shù)理統(tǒng)計(jì)的作用。但這一好處把所求模式制約在了處理簡單情形。隨著復(fù)雜性的增加，數(shù)學(xué)就變的太難。使用后者的好處在于模型時基于觀測到的數(shù)據(jù)而不是基于假設(shè)之上。增加復(fù)雜性并不成為一大障礙，但我們不再能利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)而得求助于模擬以及模型的統(tǒng)計(jì)結(jié)果。在建立隨機(jī)性模型時，首先要注意，將要處理的是離散還是連續(xù)的隨機(jī)變量。1、離散隨機(jī)變量離散隨機(jī)變量的理論模型是由概率函數(shù)來刻畫的。這個式子說明隨機(jī)變量取值時的概率。對于離散型的隨機(jī)變量有下面三種重要的分布使用前者的好處在于能精確地敘述變量的概率，在處理問題時可以充56（0－1）分布設(shè)隨機(jī)變量只可能取0、1兩個值，它的分布規(guī)律是

則稱服從（0－1）分布。對于一個隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，如果它的樣本空間只包含兩個元素，即，我們總能在上定義一個服從（0－1）分布的隨機(jī)變量來描述這個隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果。例如，對新生兒的性別進(jìn)行登記，檢查產(chǎn)品的質(zhì)量是否合格等都可以用（0－1）分布的隨機(jī)變量來描述。（0－1）分布設(shè)隨機(jī)變量只可能取0、1兩個57（2）二項(xiàng)分布設(shè)實(shí)驗(yàn)只有兩個可能的結(jié)果，將獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行次，則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立實(shí)驗(yàn)為重貝努利實(shí)驗(yàn)。它是一重和重要的數(shù)學(xué)模型，有著廣泛的應(yīng)用。若用表示重貝努利實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)，是一個隨機(jī)變量，它服從如下的二項(xiàng)分布

特別，當(dāng)時二項(xiàng)分布就是（0－1）分布。（2）二項(xiàng)分布設(shè)實(shí)驗(yàn)只有兩個可能的結(jié)果，將58（3）泊松分布設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為而取各個值的概率為

其中，是常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的泊松分布?？梢宰C明當(dāng)很小時，以為參數(shù)的二項(xiàng)分布，當(dāng)時趨于以為參數(shù)的泊松分布，其中（3）泊松分布設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為592、連續(xù)的隨機(jī)變量理論模型的連續(xù)型隨機(jī)變量可以由概率密度函數(shù)來描述，對所有的存在，且，隨機(jī)變量落在區(qū)間的概率可由來給出，在連續(xù)型隨機(jī)變量中下述兩種是重要的。2、連續(xù)的隨機(jī)變量理論模型的連續(xù)型隨機(jī)變量可以由概率密度函數(shù)60(1)均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量具有概率密度則稱在區(qū)間（a，b）上服從均勻分布。在區(qū)間（a，b）上服從均勻分布的隨機(jī)變量，具有下述意義的等可能性，即它落在區(qū)間（a，b）中任意等長度的子區(qū)間內(nèi)的可能性是相同的，或者說它落在子區(qū)間內(nèi)的概率只依賴于子區(qū)間的長度而與子區(qū)間的位置無關(guān)。（2）正態(tài)分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為其中為常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的(1)均勻分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量具有概率密度61正態(tài)分布。連續(xù)型隨機(jī)變量的值如同離散的一樣可以用頻率表給出，但不同的是離散的隨機(jī)變量每個頻率對應(yīng)于隨機(jī)變量的一個值，而對于隨機(jī)變量每一個頻率對應(yīng)于隨機(jī)變量的一個取值范圍。正態(tài)分布。62二、蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法是計(jì)算模擬的基礎(chǔ)，其名字來源于世界著名的賭城——摩納哥的蒙特卡羅。其思想來源于著名的蒲豐投針問題。1777年法國科學(xué)家蒲豐提出了下述著名問題：平面上畫有等距離的一些平行線，取一根長度為的針，隨機(jī)地向有平行線的平面上擲去，求針與平行線相交的概率。我們用幾何概型來解決這一問題。設(shè)M為針落下后的中點(diǎn)，表示中點(diǎn)M到最近一條平行線的距離，表示針于平行線的交角，如圖2.18所示。那么基本時間區(qū)域二、蒙特卡羅方法蒙特卡羅方法是計(jì)算模擬的基礎(chǔ)，其名字來源于世63圖2.18圖2.1864它為平面上的一個矩形，其面積為。為使針與平行線（與最后的一條平行線）相交，其充要條件是

的面積為，這樣針與平行線相交的概率為

設(shè)一共投擲次（是一個事先選好的相當(dāng)大的自然數(shù)），觀察到針和直線相交的次數(shù)為。它為平面上的一個矩形，其面積為65從上式我們看到，當(dāng)比值不變時，值始終不變。取為的近似值，我們可以算出的近似值?？梢韵胂螽?dāng)投擲次數(shù)越來越多時計(jì)算的結(jié)果就越來越準(zhǔn)確。下表時這些實(shí)驗(yàn)的有關(guān)資料(此處把折算為1）：實(shí)驗(yàn)者年份針長投擲次數(shù)相交次數(shù)的實(shí)驗(yàn)值pulf18500.8500025323.1596Smith18550.632041218.53.1554DeMorggenC18601.0600382.53.137Fox18840.7510304893.1595Lazzerini19010.83340818083.141592Reina19250.541925208593.1795從上式我們看到，當(dāng)比值不變時，66由此可以看出蒙特卡羅方法的基本步驟：首先，建立一個概率模型，使它的某個參數(shù)等于問題的解。然后按照假設(shè)的分布，對隨機(jī)變量選出具體的值（這一過程又叫著抽樣），從而構(gòu)造出一個確定性的模型，計(jì)算出結(jié)果。再通過幾次抽樣實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，的到參數(shù)的統(tǒng)計(jì)特性，最終算出解的近似值。蒙特卡羅方法主要用再難以定量分析的概率模型，這種模型一般的不到解析的結(jié)果，或雖然又解析結(jié)果，但計(jì)算代價太大以至不可用。也可以用在算不出解析結(jié)果的定性模型中。用蒙特卡羅方法解題，需要根據(jù)隨機(jī)變量遵循的分布規(guī)律選出具體的至，即抽樣。隨機(jī)變量的抽樣方法很多，不同的分布采用的方法不盡相同。在計(jì)算機(jī)上的各種分布的隨機(jī)數(shù)事實(shí)上都是按照一定的確定性方法產(chǎn)生的偽隨機(jī)數(shù)。由此可以看出蒙特卡羅方法的基本步驟：首先，建立一個概率67三、隨機(jī)數(shù)的生成我們知道對于丟硬幣的隨機(jī)結(jié)果可以用以下的離散隨機(jī)變量的改里函數(shù)來描述

如果我們需要模擬隨機(jī)變量的以個值或一個集合，可以用丟硬幣然后記錄其其結(jié)果的方法來得到，然而這具又相當(dāng)?shù)木窒扌裕@里我們用數(shù)學(xué)程序來產(chǎn)生擬隨機(jī)變量。即看上去是隨機(jī)出現(xiàn)的，但并非真正的隨家便朗，它們產(chǎn)生于一個梯推公式。不過這些擬隨機(jī)數(shù)并沒有明顯的規(guī)律，當(dāng)給于適當(dāng)?shù)纳炜s之后，它們非常接近于在區(qū)間的均勻分布。X01P(x)0.50.5三、隨機(jī)數(shù)的生成我們知道對于丟硬幣的隨機(jī)結(jié)果可以用以下的離散68這種方法的思想是，設(shè)計(jì)一個把和之間的整數(shù)映射到它們自身上的函數(shù)，然后從開始，依次計(jì)算例如通過下面的公式可以產(chǎn)生這樣的一組隨機(jī)變量給定任意一個初值，如代入公式得，然后用去除得；同樣代入公式，可以得，重復(fù)這一過程可以得到我們所需要的一組隨機(jī)變量。在程序設(shè)計(jì)和軟件包中通常用來表示由這樣，我們用它來表示從上的均勻分布所產(chǎn)生的隨機(jī)變量。這種方法的思想是，設(shè)計(jì)一個把和之間的整數(shù)映射到69我們可以從它構(gòu)造出另外的隨機(jī)變量。例如，可以從給出區(qū)間上的連續(xù)均勻分布的隨機(jī)變量。如果我們要生成帶參數(shù)的指數(shù)分布，可以用。如果我們要生成平均值未零，標(biāo)準(zhǔn)差為1的正態(tài)分布，可以用下列公式和

來給出的兩個值，令或可以生成型的正態(tài)分布。我們可以從它構(gòu)造出另外的隨機(jī)變量。例如，可以從70為了得到離散的隨機(jī)變量，我們把分成若干部分。例如設(shè)計(jì)一個離散的隨機(jī)變量有下列的概率函數(shù)。取一個RND值：如果，則；如果，則；如果，則。對于連續(xù)的隨機(jī)變量除了取生成的隨機(jī)變量是每類的中點(diǎn)外，我們可以用同樣的思想進(jìn)行列表分類。如

0120.30.30.40-1010-1515-20頻率0.20.50.3為了得到離散的隨機(jī)變量，我們把分成若71的一個值將平移到。一個更細(xì)致的方法是用線性插值而不是取中點(diǎn)，即

給出。從已知的模擬一個連續(xù)隨機(jī)變量的理論分布，可以用以下方法：

的一個值將平移到72（1）逆累積分布函數(shù)法如果隨機(jī)變量的是，則累積分布函數(shù)是。如果把它作為一個隨機(jī)變量，是上的均勻分布。從上的均勻分布取一個值，解方程得對應(yīng)得的值，例如，設(shè)

累積分布函數(shù)為解得。這就是我們所要的由這個分布所生成的的值（1）逆累積分布函數(shù)法如果隨機(jī)變量的73(2)排除法對于這種方法我們需要用兩個值來生成一個值。設(shè)的值在區(qū)間外為，而的最大值是。我們可以通過如下的步驟生成的值。從上的均勻分布生成和；用計(jì)算；計(jì)算；用算出；如果，則接受，否則排除回到。對于上面的例子，我們?nèi)?2)排除法對于這種方法我們需要用兩個74四、模擬模擬是現(xiàn)象的模型所產(chǎn)生的再現(xiàn)。所謂數(shù)學(xué)模擬就是用模型使現(xiàn)象再現(xiàn)。因此，表示現(xiàn)象的部分或總體的基本方程和表示自然規(guī)律的數(shù)學(xué)模型全是數(shù)學(xué)模擬。然而，狹義地講主要指的是數(shù)字模擬。它是將復(fù)雜現(xiàn)象作出可以用數(shù)字計(jì)算機(jī)表達(dá)的數(shù)學(xué)模型，從數(shù)值上進(jìn)行各種實(shí)驗(yàn)。各種方法隨著計(jì)算機(jī)的進(jìn)步已廣泛地應(yīng)用起來。因此我們所說的模擬主要是指數(shù)學(xué)模擬。四、模擬模擬是現(xiàn)象的模型所產(chǎn)生的再現(xiàn)。所謂數(shù)學(xué)模擬就是用模型75例2.18一列火車大約在下午1點(diǎn)離開站其規(guī)律如下；火車從到途中所需要的平均時間為分，由分鐘的標(biāo)準(zhǔn)差。如果你要趕的是這趟火車的下一站,而你到達(dá)的站的時間分布為問你能趕上這列火車的概率是多少？離站時間13.0013.0513.10概率0.70.20.1時間13.2813.3013.3213.34概率0.30.40.20.1例2.18一列火車大約在下午1點(diǎn)離開站其規(guī)律如76為了回答這個問題，我們需要一些隨機(jī)數(shù)。這里我們將采用上面給出的那些隨機(jī)數(shù)，即等。而我們所要模擬的是火車離站的時間；火車途中的時間；你到達(dá)車站的時間。這樣你趕上火車的條件是。為模擬這個問題只需要生成，和的值，然后檢驗(yàn)這條件。但如何得到的值是不明顯的，因并不知道這個分布。這樣，假設(shè)一個模型，取平均值為30，標(biāo)準(zhǔn)差為2的正態(tài)分布，由所給的條件知，為離散的，而為連續(xù)的隨機(jī)變量。為了回答這個問題，我們需要一些隨機(jī)數(shù)。這里我們將采用上面給出77以分為時間單位，從的下午以點(diǎn)起算，構(gòu)造的模型如下其中。計(jì)算結(jié)果為，和，這樣。在這種場合你比火車提前到達(dá)4分鐘。但需要指出，這并不是說我們已經(jīng)回答了這個問題，要回答這個問題我們要作多次這樣的模擬，記下這些結(jié)果，算出能趕上火車的頻率。通過足夠多次的模擬之后我們就可以看出能趕上火車的概率。以分為時間單位，從的下午以點(diǎn)起算，構(gòu)造的模78一般用在模擬建模時，一次模擬的成功并不能說明什么問題，更不能說我們的主要工作已經(jīng)完成。你必須多次的進(jìn)行模擬，然后分析其結(jié)果。分析的種類要看模型的對象，而這在模擬的一開始就應(yīng)該清楚的。在實(shí)驗(yàn)的模擬模型的對象是在變化的，但常常包括一下幾種：對系統(tǒng)的長期性態(tài)作出統(tǒng)計(jì)；比較系統(tǒng)的可選擇對象的安排；研究參數(shù)變化的影響；研究模型假設(shè)的影響；找出系統(tǒng)最優(yōu)方案；上面的例子是相當(dāng)平凡的，根本不能作為用模擬解決問題的例子。下面我們僅舉兩個簡單的例子以理順模擬模型的思路。一般用在模擬建模時，一次模擬的成功并不能說明什么問題79例2.19某個理發(fā)店中有兩名理發(fā)員和，顧客隨機(jī)地來理發(fā)，據(jù)統(tǒng)計(jì)的顧客僅需要剪發(fā)，化時分鐘；而有的顧客即需要剪又需要又需要吹風(fēng)，許花時分。對任意一個模擬，首先要作的是找出能完全描述任意時刻的系統(tǒng)的狀態(tài)變量的集合。給出能從時刻的狀態(tài)變量算出時刻的新的狀態(tài)變量的程序。這個例子中有三個狀態(tài)變量：在等待的顧客的人輸（離散的非負(fù)整數(shù)）；是否正在工作（是或否）；是否正在工作（是或否）。例2.19某個理發(fā)店中有兩名理發(fā)員和80一次模擬式由始于，結(jié)束于的狀態(tài)變量的值的一系列演算組成的。一個事件是時間中的一點(diǎn)，在這個時刻一個隨機(jī)變量改變了它的值。在這個例子中的事件有:一個顧客到達(dá)；開始服務(wù)；結(jié)束服務(wù)；開始服務(wù)；結(jié)束服務(wù)。一個元素是一個離散，或者是系統(tǒng)的長期部分，或者是進(jìn)入和離開，這里的元素是顧客和兩個理發(fā)員。對研究一個模擬模型來說，有兩種程序類型：（1）時間切片考察狀態(tài)變量和在時間切片中（通常是等時間的切片）元素的位置。在每一個時間切片中狀態(tài)變量可變可不變。一次模擬式由始于，結(jié)束于81（2）事件序列考察在每一事件的系統(tǒng)，并不考慮時間之間的時間。這兩種途徑我們有時稱為“時間傳動”和“事件傳動”模型。一般我們用時間傳動模型于連續(xù)的的確定型系統(tǒng)，事件傳動模型于離散的概率模型，但這不時絕對。在這個例子中我們將用“事件傳動”。對于時間切片模型，我們必須決定時間切片的大小，為簡單計(jì)我們將取分鐘。問題的描述并不包括任何有關(guān)顧客到達(dá)率的信息。假設(shè)在任何一分鐘顧客到達(dá)的概率是。實(shí)際上有兩種不同類型的顧客，取決于是否要吹風(fēng)。我們通過取服務(wù)時間的平均值，即分，構(gòu)造一個粗糙的模型。（2）事件序列考察在每一事件的系統(tǒng)，并不考82為了描述一個顧客是否到來這個隨機(jī)變量，我們用一個硬幣將作為一個隨機(jī)數(shù)的生成器，用表示反面，表示正面。設(shè)扔出的序列是。用表示一個顧客到達(dá)，且取初始狀態(tài)為顧客，運(yùn)行前分鐘，就有下表的結(jié)果：時間（分）到達(dá)？A在工作B在工作排隊(duì)0否否否01是是否02否是否03是是是04是是是05否是是0為了描述一個顧客是否到來這個隨機(jī)變量，我們用一個硬83到這里，人們將要為我們希望知道什么。通常我們感興趣的是平均隊(duì)伍的長度，最長的隊(duì)伍，顧客等待的平均時間以及兩個理發(fā)員的忙閑程度等，注意到這里有兩種不同的平均，即一個是關(guān)于時間，而另一個是關(guān)于顧客的平均，為回答上述為她我們設(shè)是任意時刻的排隊(duì)的顧客數(shù)。顧客和時間的關(guān)系通常可由圖給出。6是是是0是是是0是是是0否是是010否是是0到這里，人們將要為我們希望知道什么。通常我們感興趣的84

它是一個右連續(xù)的階梯函數(shù)是合理的，這是由于只有新顧客到來或有顧客完成服務(wù)后離去，函數(shù)值才發(fā)生變化，關(guān)于時間的平均是，其中圖下額面積，設(shè)表示一個時間區(qū)間，在其上保持常數(shù)（這里本身是變量）。當(dāng)我們進(jìn)行模擬時我們累積其和。用記在進(jìn)行模擬期間到達(dá)的顧客數(shù)。這樣我們所要的兩個平均分別為

85

隊(duì)長平均等待時間的平均

下面是用來說明累積排隊(duì)時間的記錄（注意這里僅給出變化的時間）：

86時間Q0000011.584100012.93501.3511.3511.35117.29014.35501.35117.935