三角形“四心”向量表示

三角形“四心”向量表示三角形“四心”向量表示三角形“四心”向量表示三角形“四心”向量表示編制僅供參考審核批準生效日期地址：電話：傳真:郵編:三角形四心的向量問題三角形重心、垂心、外心、內(nèi)心向量形式的充要條件的向量形式知識點總結(jié)1）O是的重心;若O是的重心，則故;為的重心.2）O是的垂心;若O是(非直角三角形)的垂心，則故3）O是的外心(或)若O是的外心則故4）O是內(nèi)心的充要條件是引進單位向量，使條件變得更簡潔。如果記的單位向量為，則剛才O是內(nèi)心的充要條件可以寫成O是內(nèi)心的充要條件也可以是若O是的內(nèi)心，則故;的內(nèi)心;向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；范例(一)．將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查ACBCCP例1．O是平面上的一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足，ACBCCP（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心解析：因為是向量的單位向量設(shè)與方向上的單位向量分別為，又，則原式可化為，由菱形的基本性質(zhì)知AP平分，那么在中，AP平分，則知選B.點評：這道題給人的印象當然是“新穎、陌生”，首先是什么沒見過！想想，一個非零向量除以它的模不就是單位向量此題所用的都必須是簡單的基本知識，如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，若十分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，解這道題一點問題也沒有。(二)將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例2．H是△ABC所在平面內(nèi)任一點，點H是△ABC的垂心.由,同理，.故H是△ABC的垂心.（反之亦然（證略））例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一點，若，則P是△ABC的（D）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心解析:由.即 則 所以P為的垂心.故選D.點評：本題考查平面向量有關(guān)運算，及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關(guān)知識.將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運算及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。(三)將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例4．G是△ABC所在平面內(nèi)一點，=0點G是△ABC的重心.證明作圖如右，圖中連結(jié)BE和CE，則CE=GB，BE=GCBGCE為平行四邊形D是BC的中點，AD為BC邊上的中線.將代入=0，得=0，故G是△ABC的重心.（反之亦然（證略））例5．P是△ABC所在平面內(nèi)任一點.G是△ABC的重心.證明∵G是△ABC的重心∴=0=0，即由此可得.（反之亦然（證略））例6若為內(nèi)一點，，則是的（

）A．內(nèi)心

B．外心

C．垂心

D．重心解析：由得，如圖以O(shè)B、OC為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則，由平行四邊形性質(zhì)知，，同理可證其它兩邊上的這個性質(zhì)，所以是重心，選D。點評：本題需要扎實的平面幾何知識，平行四邊形的對角線互相平分及三角形重心性質(zhì)：重心是三角形中線的內(nèi)分點，所分這比為。本題在解題的過程中將平面向量的有關(guān)運算與平行四邊形的對角線互相平分及三角形重心性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。(四)．將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例7若為內(nèi)一點，，則是的（

）A．內(nèi)心

B．外心

C．垂心

D．重心解析：由向量模的定義知到的三頂點距離相等。故是的外心

，選B。點評：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。(五)將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例8．已知向量，，滿足條件++=0，||=||=||=1，求證△P1P2P3是正三角形.（《數(shù)學(xué)》第一冊（下），復(fù)習(xí)參考題五B組第6題）證明由已知+=-，兩邊平方得·=，同理·=·=，∴||=||=||=，從而△P1P2P3是正三角形.反之，若點O是正三角形△P1P2P3的中心，則顯然有++=0且||=||=||.即O是△ABC所在平面內(nèi)一點，++=0且||=||=||點O是正△P1P2P3的中心.例9．在△ABC中，已知Q、G、H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、G、H三點共線，且QG:GH=1:2?！咀C明】：以A為原點，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系。設(shè)A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F分別為AB、BC、AC的中點，則有：AB(AB(x1,0)C(x2,y2)yxHQGDEF由題設(shè)可設(shè),即，故Q、G、H三點共線，且QG：GH=1：2【注】：本例如果用平面幾何知識、向量的代數(shù)運算和幾何運算處理，都相當麻煩，而借用向量的坐標形式，將向量的運算完全化為代數(shù)運算，這樣就將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起，從而，很多對稱、共線、共點、垂直等問題的證明，都可轉(zhuǎn)化為熟練的代數(shù)運算的論證。例10．若O、H分別是△ABC的外心和垂心.求證.證明若△ABC的垂心為H，外心為O，如圖.連BO并延長交外接圓于D，連結(jié)AD，CD.∴，.又垂心為H，，，∴AH∥CD，CH∥AD，∴四邊形AHCD為平行四邊形，∴，故.著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置關(guān)系：（1）三角形的外心、重心、垂心三點共線——“歐拉線”；（2）三角形的重心在“歐拉線”上，且為外——垂連線的第一個三分點，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡單，可簡化成如下的向量問題.例11．設(shè)O、G、H分別是銳角△ABC的外心、重心、垂心.求證證明按重心定理G是△ABC的重心按垂心定理由此可得.補充練習(xí)1．已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是三角形ABC的重心，動點P滿足=(++2),則點P一定為三角形ABC的（B）邊中線的中點邊中線的三等分點（非重心）C.重心邊的中點B取AB邊的中點M，則，由=(++2)可得3，∴，即點P為三角形中AB邊上的中線的一個三等分點，且點P不過重心，故選B.2．在同一個平面上有及一點Ｏ滿足關(guān)系式：＋＝＋＝＋，則Ｏ為的（

D

）Ａ外心Ｂ內(nèi)心C重心D垂心2．已知△ABC的三個頂點A、B、C及平面內(nèi)一點P滿足：，則P為的（

C

）Ａ外心Ｂ內(nèi)心C重心D垂心3．已知O是平面上一

定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足：，則P的軌跡一定通過△ABC的（

C

）Ａ外心Ｂ內(nèi)心C重心D垂心4．已知△ABC，P為三角形所在平面上的動點，且動點P滿足：，則P點為三角形的（

D

）Ａ外心Ｂ內(nèi)心C重心D垂心5．已知△ABC，P為三角形所在平面上的一點，且點P滿足：，則P點為三角形的（

B

）Ａ外心Ｂ內(nèi)心C重心D垂心6．在三角形ABC中，動點P滿足：，則P點軌跡一定通過△ABC的：（B）Ａ外心Ｂ內(nèi)心C重心D垂心7.已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))滿足(eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0且eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|)=eq\f(1,2),則△ABC為()A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形解析：非零向量與滿足()·=0，即角A的平分線垂直于BC，∴AB=AC，又=eq\f(1,2)，∠A=，所以△ABC為等邊三角形，選D．8.的外接圓的圓心為O，兩條邊上的