概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)-11節(jié)課件

發(fā)展則在17世紀(jì)微積分學(xué)說建立以后.基人是瑞士數(shù)學(xué)家J.伯努利；而概率論的飛速第二次世界大戰(zhàn)軍事上的需要以及大工業(yè)與管理的復(fù)雜化產(chǎn)生了運(yùn)籌學(xué)、系統(tǒng)論、信息論、控制論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)等學(xué)科.數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門研究怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以對所考察的問題作出推斷或預(yù)測，直至為采取一定的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議的數(shù)學(xué)分支學(xué)科.論；使概率論成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支的真正奠對客觀世界中隨機(jī)現(xiàn)象的分析產(chǎn)生了概率發(fā)展則在17世紀(jì)微積分學(xué)說建立以后.基人是瑞士數(shù)學(xué)家J.伯努1統(tǒng)計(jì)方法的數(shù)學(xué)理論要用到很多近代數(shù)學(xué)知識，如函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、矩陣代數(shù)、組合數(shù)學(xué)等等，但關(guān)系最密切的是概率論，故可以這樣說：概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是概率論的一種應(yīng)用.但是它們是兩個(gè)并列的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，并無從屬關(guān)系.統(tǒng)計(jì)方法的數(shù)學(xué)理論要用到很多近代數(shù)學(xué)知識，如函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、2本學(xué)科的應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)理論與方法的應(yīng)用幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)部門中.例如1.氣象、水文、地震預(yù)報(bào)、人口控制及預(yù)測都與《概率論》緊密相關(guān)；2.產(chǎn)品的抽樣驗(yàn)收，新研制的藥品能否在臨床中應(yīng)用，均要用到《假設(shè)檢驗(yàn)》；本學(xué)科的應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)理論與方法的應(yīng)用幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域36.探討太陽黑子的變化規(guī)律時(shí),《時(shí)間可夫過程》

來描述;7.研究化學(xué)反應(yīng)的時(shí)變率，要以《馬爾序列分析》方法非常有用;4.電子系統(tǒng)的設(shè)計(jì),火箭衛(wèi)星的研制及其發(fā)射都離不開《可靠性估計(jì)》;

3.尋求最佳生產(chǎn)方案要進(jìn)行《實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)》和《數(shù)據(jù)處理》；5.處理通信問題,需要研究《信息論》；6.探討太陽黑子的變化規(guī)律時(shí),《時(shí)間可夫過程》來描述4水庫調(diào)度、購物排隊(duì)、紅綠燈轉(zhuǎn)換等，都可用一類概率模型來描述，其涉及到的知目前,概率統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)入其他自然科學(xué)裝卸、機(jī)器維修、病人候診、存貨控制、8.生物學(xué)中研究群體的增長問題時(shí)，提出了生滅型《隨機(jī)模型》，傳染病流行問題要用到多變量非線性《生滅過程》；9.許多服務(wù)系統(tǒng)，如電話通信、船舶識就是《排隊(duì)論》.水庫調(diào)度、購物排隊(duì)、紅綠燈轉(zhuǎn)換等，都可用一類概率模型來描述，5領(lǐng)域,特別是經(jīng)濟(jì)學(xué)中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定增長等問題,都大量采用《概率統(tǒng)計(jì)方法》.法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace)說對了:“生活中最重要的問題,其中絕大領(lǐng)域的趨勢還在不斷發(fā)展.在社會科學(xué)領(lǐng)多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的問題.”英國的邏輯學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家杰文斯曾對概率論大加贊美：“概率論是生活真正的領(lǐng)路人,如果沒有對概率的某種估計(jì),那么我們就寸步難行,無所作為.領(lǐng)域,特別是經(jīng)濟(jì)學(xué)中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定增長等問題6例1口袋中有編號為1,2,…,n的球，從袋中任取一只，觀察球的編號.例2擲骰子一次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).例3將一枚硬幣擲兩次，觀察第一次、第二次正面，反面出現(xiàn)的情況.第一章隨機(jī)事件及其概率例1口袋中有編號為1,2,…,n的球，從袋中任取一只，觀察7例4將一枚硬幣擲兩次，觀察兩次中正面出現(xiàn)的次數(shù).例5在7：00—9：00AM，觀察通過道口的車輛數(shù).例6在一批電視機(jī)中，任取一只，測試其壽命（小時(shí)）.例7對一個(gè)圓柱體構(gòu)件，測量其直徑.例4將一枚硬幣擲兩次，觀察兩次中正面出現(xiàn)的次數(shù).8確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象——

每次試驗(yàn)前不能預(yù)言出現(xiàn)什么結(jié)果每次試驗(yàn)后出現(xiàn)的結(jié)果不止一個(gè)在相同的條件下進(jìn)行大量觀察或試驗(yàn)時(shí)，出現(xiàn)的結(jié)果有一定的規(guī)律性

——稱之為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象——9§1.1

隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件

對某事物特征進(jìn)行觀察,統(tǒng)稱試驗(yàn).若它有如下特點(diǎn),則稱為隨機(jī)試驗(yàn),用E表示

試驗(yàn)前不能預(yù)知出現(xiàn)哪種結(jié)果

基本術(shù)語

可在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行

試驗(yàn)結(jié)果不止一個(gè),但能明確所有的結(jié)果§1.1隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件對某事物特10樣本空間——隨機(jī)試驗(yàn)E所有可能的結(jié)果樣本空間的元素,即E

的直接結(jié)果,稱為隨機(jī)事件

——S的子集,記為A,B,…它是滿足某些條件的樣本點(diǎn)所組成的集合.組成的集合稱為樣本空間

記為S或樣本點(diǎn)(or基本事件)

常記為，S={}樣本空間——隨機(jī)試驗(yàn)E所有可能的結(jié)果樣本空間的元素,即11其中T1,T2分別是該地區(qū)的最低與最高溫度練習(xí)1

給出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間1.投一枚硬幣2次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)2.投一枚硬幣2次，觀察正面，反面出現(xiàn)的情況3.觀察某地區(qū)每天的最高溫度與最低溫度其中T1,T2分別是該地區(qū)的最低與最高溫度練習(xí)1給出下列隨12基本事件

——僅由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的子集它是隨機(jī)試驗(yàn)的直接結(jié)果,每次試驗(yàn)必定發(fā)生且只可能發(fā)生一個(gè)基本事件.

必然事件——全體樣本點(diǎn)組成的事件,記為,每次試驗(yàn)必定發(fā)生的事件.隨機(jī)事件發(fā)生

——組成隨機(jī)事件的一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生不可能事件——不包含任何樣本點(diǎn)的事件,記為,每次試驗(yàn)必定不發(fā)生的事件.基本事件——僅由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的子集必然事件——全體樣13練習(xí)2寫出下列事件的樣本空間（1）袋中有5只球，其中3只白球2只黑球，從袋中任意取一球，觀察其顏色＿＿＿；（2）從（1）的袋中不放回任意取兩次球（每次取出一個(gè)）觀察其顏色＿＿＿＿；（3）從（1）的袋中不放回任意取3只球，記錄取到的黑球個(gè)數(shù)＿＿＿＿。練習(xí)2寫出下列事件的樣本空間（1）袋中有5只球，其中3只白14A

隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算雷同集合的關(guān)系和運(yùn)算

§1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算文氏圖(Venndiagram)

A隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算§1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算文氏圖15——

A

包含于B

事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B

發(fā)生AB且1.事件的包含2.事件的相等——A包含于B事件A發(fā)生必AB且116

事件A與事件B

至少有一個(gè)發(fā)生的和事件

——

的和事件

——

——

A

與B

的和事件3.事件的并(和)發(fā)生事件A與事件B至的和事件——的和事件———17或事件A與事件B

同時(shí)發(fā)生發(fā)生的積事件

——

的積事件

——

——

A

與B

的積事件

4.事件的交(積)或事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的積事件——的積事件——18發(fā)生事件

A發(fā)生，但

事件B不發(fā)生

——

A

與B

的差事件5.事件的差發(fā)生事件A發(fā)生，但——A與B的差事件5.19——

A

與B

互斥A、

B不可能同時(shí)發(fā)生AB兩兩互斥兩兩互斥6.事件的互斥(互不相容)——A與B互斥A、B不可能同時(shí)發(fā)生AB兩兩互斥兩兩互20——

A

與B

互相對立每次試驗(yàn)A、

B中有且只有一個(gè)發(fā)生A稱B

為A的對立事件(or逆事件)，記為注意：“A

與B

互相對立”與“A

與B

互斥”是不同的概念7.事件的對立——A與B互相對立每次試驗(yàn)A、B中有且只有一個(gè)發(fā)生21

吸收律

冪等律

差化積

重余律運(yùn)算律對應(yīng)事件運(yùn)算集合運(yùn)算吸收律冪等律差化積重余律運(yùn)算律對應(yīng)事件集合22

交換律

結(jié)合律

分配律

反演律運(yùn)算順序：逆交并差，括號優(yōu)先交換律結(jié)合律分配律反演律運(yùn)算順序：逆交并差，括號優(yōu)23例4

利用事件關(guān)系和運(yùn)算表達(dá)多個(gè)事件的關(guān)系A(chǔ),B,C

都不發(fā)生——

A,B,C

不都發(fā)生——例4利用事件關(guān)系和運(yùn)算表達(dá)多A,B,C都不發(fā)生——24練習(xí)3設(shè)A,B,C是三個(gè)隨機(jī)事件，試以A，B，C的運(yùn)算來表示下列事件：（1）僅有A發(fā)生＿＿＿＿＿＿＿；（2）A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生＿＿＿；（3）A，B，C中恰有一個(gè)發(fā)生＿＿＿＿；（4）A，B，C中最多有一個(gè)發(fā)生＿＿＿；（5）A，B，C都不發(fā)生＿＿＿；（6）A不發(fā)生，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生＿；練習(xí)3設(shè)A,B,C是三個(gè)隨機(jī)事件，試以A，B，C的運(yùn)算來表25例6

假設(shè)一口袋內(nèi)有白球若干只，紅球若干只，每次從口袋中取一只球，以Ai表示第i次取到白球(i=1,2,3)

，用Ai的關(guān)系和運(yùn)算法則表示下列事件:1.第一次取到白球；2.前兩次取到紅球；3.至少一次取到紅球；4.都是白球；5.至少兩次取到白球。答案：例6假設(shè)一口袋內(nèi)有白球若干只，紅球1.第一次取到白球26練習(xí)4選擇題1.以C表示事件“零件長度合格并且直徑不合格”，則C的對立事件是（）（A）“零件長度合格并且直徑合格”(B)“零件長度合格并且直徑合格”（C）“零件長度不合格或直徑合格”(D)“零件長度不合格”。2.假設(shè)事件A，B與事件C,則事件“A,B,C不多于一個(gè)發(fā)生”的逆事件是（）（A）A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生(B)A,B,C至少有2個(gè)發(fā)生（C）A,B,都發(fā)生(D)A,B,C不都發(fā)生。練習(xí)4選擇題1.以C表示事件“零件長度合格并且直徑不合格27例8

在圖書館中隨意抽取一本書，表示數(shù)學(xué)書，表示中文書，表示平裝書.——抽取的是精裝中文版數(shù)學(xué)書——精裝書都是中文書——非數(shù)學(xué)書都是中文版的，且中文版的書都是非數(shù)學(xué)書則事件例8在圖書館中隨意抽取一本書，表示數(shù)學(xué)書，表示中文書，表28精品課件！精品課件！29精品課件！精品課件！30練習(xí)5

化簡事件解

原式練習(xí)5化簡事件解原式31發(fā)展則在17世紀(jì)微積分學(xué)說建立以后.基人是瑞士數(shù)學(xué)家J.伯努利；而概率論的飛速第二次世界大戰(zhàn)軍事上的需要以及大工業(yè)與管理的復(fù)雜化產(chǎn)生了運(yùn)籌學(xué)、系統(tǒng)論、信息論、控制論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)等學(xué)科.數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門研究怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以對所考察的問題作出推斷或預(yù)測，直至為采取一定的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議的數(shù)學(xué)分支學(xué)科.論；使概率論成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支的真正奠對客觀世界中隨機(jī)現(xiàn)象的分析產(chǎn)生了概率發(fā)展則在17世紀(jì)微積分學(xué)說建立以后.基人是瑞士數(shù)學(xué)家J.伯努32統(tǒng)計(jì)方法的數(shù)學(xué)理論要用到很多近代數(shù)學(xué)知識，如函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、矩陣代數(shù)、組合數(shù)學(xué)等等，但關(guān)系最密切的是概率論，故可以這樣說：概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是概率論的一種應(yīng)用.但是它們是兩個(gè)并列的數(shù)學(xué)分支學(xué)科，并無從屬關(guān)系.統(tǒng)計(jì)方法的數(shù)學(xué)理論要用到很多近代數(shù)學(xué)知識，如函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、33本學(xué)科的應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)理論與方法的應(yīng)用幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和國民經(jīng)濟(jì)的各個(gè)部門中.例如1.氣象、水文、地震預(yù)報(bào)、人口控制及預(yù)測都與《概率論》緊密相關(guān)；2.產(chǎn)品的抽樣驗(yàn)收，新研制的藥品能否在臨床中應(yīng)用，均要用到《假設(shè)檢驗(yàn)》；本學(xué)科的應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)理論與方法的應(yīng)用幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域346.探討太陽黑子的變化規(guī)律時(shí),《時(shí)間可夫過程》

來描述;7.研究化學(xué)反應(yīng)的時(shí)變率，要以《馬爾序列分析》方法非常有用;4.電子系統(tǒng)的設(shè)計(jì),火箭衛(wèi)星的研制及其發(fā)射都離不開《可靠性估計(jì)》;

3.尋求最佳生產(chǎn)方案要進(jìn)行《實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)》和《數(shù)據(jù)處理》；5.處理通信問題,需要研究《信息論》；6.探討太陽黑子的變化規(guī)律時(shí),《時(shí)間可夫過程》來描述35水庫調(diào)度、購物排隊(duì)、紅綠燈轉(zhuǎn)換等，都可用一類概率模型來描述，其涉及到的知目前,概率統(tǒng)計(jì)理論進(jìn)入其他自然科學(xué)裝卸、機(jī)器維修、病人候診、存貨控制、8.生物學(xué)中研究群體的增長問題時(shí)，提出了生滅型《隨機(jī)模型》，傳染病流行問題要用到多變量非線性《生滅過程》；9.許多服務(wù)系統(tǒng)，如電話通信、船舶識就是《排隊(duì)論》.水庫調(diào)度、購物排隊(duì)、紅綠燈轉(zhuǎn)換等，都可用一類概率模型來描述，36領(lǐng)域,特別是經(jīng)濟(jì)學(xué)中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定增長等問題,都大量采用《概率統(tǒng)計(jì)方法》.法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯(Laplace)說對了:“生活中最重要的問題,其中絕大領(lǐng)域的趨勢還在不斷發(fā)展.在社會科學(xué)領(lǐng)多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的問題.”英國的邏輯學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家杰文斯曾對概率論大加贊美：“概率論是生活真正的領(lǐng)路人,如果沒有對概率的某種估計(jì),那么我們就寸步難行,無所作為.領(lǐng)域,特別是經(jīng)濟(jì)學(xué)中研究最優(yōu)決策和經(jīng)濟(jì)的穩(wěn)定增長等問題37例1口袋中有編號為1,2,…,n的球，從袋中任取一只，觀察球的編號.例2擲骰子一次，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).例3將一枚硬幣擲兩次，觀察第一次、第二次正面，反面出現(xiàn)的情況.第一章隨機(jī)事件及其概率例1口袋中有編號為1,2,…,n的球，從袋中任取一只，觀察38例4將一枚硬幣擲兩次，觀察兩次中正面出現(xiàn)的次數(shù).例5在7：00—9：00AM，觀察通過道口的車輛數(shù).例6在一批電視機(jī)中，任取一只，測試其壽命（小時(shí)）.例7對一個(gè)圓柱體構(gòu)件，測量其直徑.例4將一枚硬幣擲兩次，觀察兩次中正面出現(xiàn)的次數(shù).39確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象——

每次試驗(yàn)前不能預(yù)言出現(xiàn)什么結(jié)果每次試驗(yàn)后出現(xiàn)的結(jié)果不止一個(gè)在相同的條件下進(jìn)行大量觀察或試驗(yàn)時(shí)，出現(xiàn)的結(jié)果有一定的規(guī)律性

——稱之為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

確定性現(xiàn)象隨機(jī)現(xiàn)象——40§1.1

隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件

對某事物特征進(jìn)行觀察,統(tǒng)稱試驗(yàn).若它有如下特點(diǎn),則稱為隨機(jī)試驗(yàn),用E表示

試驗(yàn)前不能預(yù)知出現(xiàn)哪種結(jié)果

基本術(shù)語

可在相同的條件下重復(fù)進(jìn)行

試驗(yàn)結(jié)果不止一個(gè),但能明確所有的結(jié)果§1.1隨機(jī)試驗(yàn)與隨機(jī)事件對某事物特41樣本空間——隨機(jī)試驗(yàn)E所有可能的結(jié)果樣本空間的元素,即E

的直接結(jié)果,稱為隨機(jī)事件

——S的子集,記為A,B,…它是滿足某些條件的樣本點(diǎn)所組成的集合.組成的集合稱為樣本空間

記為S或樣本點(diǎn)(or基本事件)

常記為，S={}樣本空間——隨機(jī)試驗(yàn)E所有可能的結(jié)果樣本空間的元素,即42其中T1,T2分別是該地區(qū)的最低與最高溫度練習(xí)1

給出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間1.投一枚硬幣2次，觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)2.投一枚硬幣2次，觀察正面，反面出現(xiàn)的情況3.觀察某地區(qū)每天的最高溫度與最低溫度其中T1,T2分別是該地區(qū)的最低與最高溫度練習(xí)1給出下列隨43基本事件

——僅由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的子集它是隨機(jī)試驗(yàn)的直接結(jié)果,每次試驗(yàn)必定發(fā)生且只可能發(fā)生一個(gè)基本事件.

必然事件——全體樣本點(diǎn)組成的事件,記為,每次試驗(yàn)必定發(fā)生的事件.隨機(jī)事件發(fā)生

——組成隨機(jī)事件的一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生不可能事件——不包含任何樣本點(diǎn)的事件,記為,每次試驗(yàn)必定不發(fā)生的事件.基本事件——僅由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的子集必然事件——全體樣44練習(xí)2寫出下列事件的樣本空間（1）袋中有5只球，其中3只白球2只黑球，從袋中任意取一球，觀察其顏色＿＿＿；（2）從（1）的袋中不放回任意取兩次球（每次取出一個(gè)）觀察其顏色＿＿＿＿；（3）從（1）的袋中不放回任意取3只球，記錄取到的黑球個(gè)數(shù)＿＿＿＿。練習(xí)2寫出下列事件的樣本空間（1）袋中有5只球，其中3只白45A

隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算雷同集合的關(guān)系和運(yùn)算

§1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算文氏圖(Venndiagram)

A隨機(jī)事件的關(guān)系和運(yùn)算§1.2事件的關(guān)系和運(yùn)算文氏圖46——

A

包含于B

事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B

發(fā)生AB且1.事件的包含2.事件的相等——A包含于B事件A發(fā)生必AB且147

事件A與事件B

至少有一個(gè)發(fā)生的和事件

——

的和事件

——

——

A

與B

的和事件3.事件的并(和)發(fā)生事件A與事件B至的和事件——的和事件———48或事件A與事件B

同時(shí)發(fā)生發(fā)生的積事件

——

的積事件

——

——

A

與B

的積事件

4.事件的交(積)或事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的積事件——的積事件——49發(fā)生事件

A發(fā)生，但

事件B不發(fā)生

——

A

與B

的差事件5.事件的差發(fā)生事件A發(fā)生，但——A與B的差事件5.50——

A

與B

互斥A、

B不可能同時(shí)發(fā)生AB兩兩互斥兩兩互斥6.事件的互斥(互不相容)——A與B互斥A、B不可能同時(shí)發(fā)生AB兩兩互斥兩兩互51——

A

與B

互相對立每次試驗(yàn)A、

B中有且只有一個(gè)發(fā)生A稱B

為A的對立事件(or逆事件)，記為注意：“A

與B

互相對立”與“A

與B

互斥”是不同的概念7.事件的對立——A與B互相對立每次試驗(yàn)A、B中有且只有一個(gè)發(fā)生52

吸收律

冪等律

差化積

重余律運(yùn)算律對應(yīng)事件運(yùn)算集合運(yùn)算吸收律冪等律差化積重余律運(yùn)算律對應(yīng)事件集合53

交換律

結(jié)合律

分配律

反演律運(yùn)算順序：逆交并差，括號優(yōu)先交換律結(jié)合律分配律反演律運(yùn)算順序：逆交并差，括號優(yōu)54例4

利用事件關(guān)系和運(yùn)算表達(dá)多個(gè)事件的關(guān)系A(chǔ),B,C

都不發(fā)生——

A,B,C

不都發(fā)生—